RS码的基础知识

3）用钱搜索解出(x) 的根，得到错误 位置数。（上一步已经求得(x) ） 。
下面介绍钱搜索错误位置数的步骤： 对接收向量
r(X ) r0 r 1 X r2X 2 . .rn . 1 X n 1
进行逐比特译码。最高位比特被首先译码。为了 译rn 1 ，译码器检验 n1 是否是错误位置数；也就等
RS编码的基础知识
报告人：李睿 报告时间：2013年10月12日
桂林电子科技大学 信息安全研究所
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目录 1 代数引论 2 RS码的译码
3 近期的工作安排
A
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1 代数引论
群 一个定义了二院运算*的集合G如果满足一下的条件，则称其为群： i.二元运算*满足结合律；
ii.G中包含一个元素e，使得对G中任意元素a，有 a*ee*aa iii.对G中任意元素a，在G中存在另一个元素 a ' ,满足 a*a'a'* ae
之前各行中的 iD(最j)大，且 di ，0于是按
(j 1 )(x ) (j)(x ) d jd i 1 xj i (i)(x )计算 ( j1) (x)
这就是第 j 1 步的解
c 计算d j 1 ，重复 b步进行下一步迭代，这样迭代2t
次后得到的(2t) (x) 即为所求的 (x) 。
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是本原多项式p(x)的根
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2 RS码的译码
BCH码 BCH码是一种获得广泛应用的能够纠正多个错码的循环码。 RS码 RS码是一类具有很强纠错能力的多进制BCH码。 符号取自GF(q)，纠t个错误的RS码具有以下参数：
分组长度： n=q-1
奇偶校验符号数：n-k=2t
最小距离： dmin2t1
D( j)是错误位置多项式 ( j)(x)的次数，d j 为第j步和第j+1步的差值
dj Sj11(j)Sj 2(j)Sj1
.....D(j)(j)Sj1D(j)
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b 若 d j 0 则有 (j1)(x)(j)(x)
并计算 d j 1，再进行下一次迭代 若 d j 0，则找出 j之前的某一行 i，它在所有 j行
1 1l 2 2l.. .v vl
如果和式为0，则 l 是 (X) 的根，且rn l 是 错误位；否则，rn l 是正确位。
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4）由错误位置数求得错误值，从而得到错误
图样。
求出 (x)0
RS码错误值（ e ik） 计算公式：
' ( x ) 为(x) 的导数形式
eik(Xk1)'(Xk1)
交换群 如果群G二元运算同时满足下面的条件，则称群G是交换群：对G
中任意的a和b，有 a*b=b*a
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域
设F为一组元素的集合，在其上定义了加法“+”和乘法“ .”
两种运算。如果满足下列条件，则集合F与这两种运算一起成为
域：
i.在加法下F是一个交换群。
ii.F中的非零元素在乘法下构成一个交换群。
iii.乘法对加法满足分配率，即对F中任意的三个元素a，b和c，
(x)S(x)(x)(mx2ot)d
(x) 被称为错误估值函数
X k为错误位置数
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5） 完成纠错 译码完成
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3 近期的工作安排
1
把RS码的编译码的过程动手推推
2
把课本看看
3
把仿真的过程再仔细的看看
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谢谢
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RS译码 RS码的译码分成以下5步：
由接收的r(x)求得伴随多项式S j
由 S j 求得错误位置多项式 (X )
用钱搜索解出(X ) 的根，得到错误位置数，确定错误位置。
由错误位置数求得错误值，从而得到错误图样
^
r e 完成纠错
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1）求伴随多项式
校验矩阵
接收值
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所以：
SRTH [R ()R ,(2),.R .( .2 t.).].
于0的多项式整除，则称p(x)在GF(2)上是不可约的。 M次不可约多项式p(x)若满足能被p(x)整除的 Xn 的1最小正整数n
为 n2，m则1称p(x)为本原多项式。
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定理：设f(x)是一个以GF(2)中元素为系数的多项式，是
GF(2)扩域中的一个元素。如果 是f(X)的一个根，则对 任意 l 0, 2 l 也是f(X)的根。
价于检验于检验它的倒数是否是(X) 的根。如果是，
则：
1 1 2 2.. .vv0
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因此，为了译 rn 1 ，译码器需要构造 1 ，2 2 ,…, v v 。
如果1 1 2 2.. .vv0，则 n1 是错误位置数，并且rn 1
是错误位，否则，rn 1 是正确位。
为了译 rn l ，译码器需要构造1 l ，2 2l ，…，v vl 并 校验和式：
有
a(bc)abac
伽罗华域（GF（q）） 有限域也称为伽罗华域
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域元素的阶
必然存在一个使得a n 1的最小正整数n，这个n就称为域元素a的
阶。
本原元 在有限域GF（q）中，如果a的阶为q-1，则非零元素a被称为本
原元。
性质：本原元的幂生成了GF(q)中的所有的非零元素。
本原多项式 GF(2)上的m次多项式p(x)若不能被GF(2)上任意次数小于m且大
最小多项式
X
X 1 X4X1
X 4X 3X 2X 1
X2X1
X4X31
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生成多项式 在（n，k）的RS中，存在唯一的n-k次多项式g(x)， 使得每一个码多项式c(x)都是g(x)的倍式.g(x)称为
RS码的生成多项式。
其中：n为码长，k为信息位
一般情况下： g(x)(x)x(2).x . ..2t()
或表示为Sj R(j),j1,2,..2t.,
2）BM迭代算法求错误位置多项式
BM迭代算法利用S伴随矩阵得到错误多项式
迭代步骤如下：
a 由Leabharlann Baidu始值
(1)(x)1,D(1)0,d11
(0)(x)1,D(0)0,d0S1
开始迭代
其中:
(j)(X)11(j)X2(j)X2 .... D(j)(j)XD(j)
元素 2 l称为的一个共轭。
最小多项式
为GF(2m )中的任意元素，令( X )为GF(2)上满足() 0
的最低次数多项式，则多项式(X) 称为的 最小多项式
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由 p(X)X4X31生成的GF(2 4 )中元素的最小多项式
共轭根
0
1
,2,4,8
3,6,9,12
5 , 10
7,11,13,14