(备战中考)2012年中考数学深度复习讲义：全等三角形专题复习

（备战中考）2012年中考数学深度复习讲义

（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）全等三角形

◆考点聚焦

1．探索并掌握两个三角形全等的特征和识别．

2．了解定义、命题、逆命题和定理的含义，会区分命题的条件和结论．

3．完成基本作图（等线段、等角、角的平分线、线段的垂直平分线）；•会利基本作图作三角形及过不在同一直线上的三点作圆．

◆备考兵法

1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．•”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA 或SAS 时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．

2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，•而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．

◆识记巩固

1．三角形全等的识别方法：

注意：要证全等必须满足至少一组边对应相等．

2．三角形全等的证题思路： SAS HL SSS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎨⎪⎪→⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩

找夹角已知两边找直角找另一边找夹角的另一边已知一边和一角找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边

3．全等三角形的特征：全等三角形的对应边_______，•对应角______；•图形经过_______，_______，_______等几何变换后与原图形全等．

•4．•________________•叫做命题．•正确的命题称为_______，•错误的命题称为_______．

两个三角形中对应相等的边或角 全等识别法 一般三角形 三条边 两边及其夹角 两角及其夹边

两角及一角的对边

直角三角形 斜边及一条直角边

5．在几何中，限定用________和_______来画图，称为尺规作图，新课标要求掌握四种基本作图（画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线）．

6．全等三角形中常见的基本图形：

识记巩固参考答案:

1．SSS SAS ASA AAS HL3．相等相等对称平移旋转4．可以判断正确与错误的语句真命题假命题5．直尺圆规 ◆典例解析

例1（2011重庆江津，22，10分）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.

(1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.

【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.

在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,

∵AE=CF,AB=BC,∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)

(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.

∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.

由（1）知Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.

例2在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB=DC ；②BE=CE ；③∠B=∠C ；④∠BAE=∠CDE ．•要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形．

请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）

已知： 求证：△AED 是等腰三角形．

证明：解析本例是一道开放性问题，考查全等三角形的识别，填法多样，•一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法，再看有几种正确．正确的填法可以是已知：①③（或①④，或②③，或②④）（任选一个即可）．若选①③，证明如下：

证明：在△ABE 和△DCE 中，

∵,,,B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△ABE ≌△DCE ， ∴AE=DE ，即△AED 是等腰三角形． 点评几何演绎推理论证该如何考？一直是大家所关注的．本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性．这种考查的形式在近几种的中考试题中频繁出现，复习时值得重视．

例3已知Rt △ABC 中，∠C=90°．

（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．

①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；

②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为H；

③连结ED．

（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_____≌△______，并加以证明．

解析（1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD，作线段AD的垂直平分线，并连结相关线段．

（2）由AD平分∠BAC，可以得到∠BAD=∠DAC．

由EF垂直平分线段AD，可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，

从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共边，从而有△AEH≌△AFH≌△DEH．以上三组中任选一组即可．

点拨本题的最大特点是将基本作图与证明结合起来，就目前的情况来看，“作图→证明”“作图→计算”“作图→变换”是考查基本作图的常见命题模式．作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一，作图的图形中含有很多相等的线段和角，蕴含着全等三角形．

例4在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．

（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，•那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

解析（1）连结AD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°．

又BE=AF，图1 图2

∴△BDE≌△ADF（SAS），∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．

∴△DEF为等腰直角三角形．

（2）连结AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD=BD，AD⊥BC．∴∠DAC=∠ABD=45°，∴∠DAF=∠DBE=135°．

又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．∴△DEF仍为等腰直角三角形．

例5在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，•一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，•另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与AC•边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察，•测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置（点F•在线段AC上，且点F与点C不