概率论与数理统计章节总结华南理工大学
概率论与数理统计各章重点知识点汇总--最新版
第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 . (3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .,}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P •=====,}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1 ),Y~ χ2 (n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。
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Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
（7）概率 的公理化 定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（10）加法+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 AB 不相容 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1、 f (x) 0 。
f (x)dx 1
2、
。
（3）离散 与连续型
3、 P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
x2 f (x)dx
P(A)=(1 ) (2 ) (m ) = P(1 ) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
（9）几何 概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A，
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B A ⊂ 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅B}x x x { ∈∈=⋃或A B A 当A ，B 中至少有一个发生时，事件发生B A ⋃称为事件A 与事件B 的积事件，指当B}x x x { ∈∈=⋂且A B A A ，B 同时发生时，事件发生B A ⋂ 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅B}x x x { ∉∈=且—A B A 当A 发生、B 不发生时，事件发生B A —，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事φ=⋂B A 件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件且S =⋃B A φ=⋂B A A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律)()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律BA B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数称为A n 事件A 发生的频数，比值称为事件A 发生的频率n n A 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率满足下列条件：)(A P （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有n A A A ,,,21 （可以取）∑===nk k n k k A P A P 11)()( n ∞2．概率的一些重要性质：（i ）0)(=φP （ii ）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）n A A A ,,,21 ∑===nk knk kA P A P 11)()(n ∞（iii ）设A ，B 是两个事件若，则，B A ⊂)()()(A P B P A B P -=-)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ） （逆事件的概率）)(1)(A P A P -=（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即，里}{}{}{2]1k i i i e e e A =个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且，称为事件A 发生的0)(>A P )()()|(A P AB P A B P =条件下事件B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。
华南理工大学 概率论与数理统计 第5讲
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n重贝努里概型
则 B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ,
且 A1，A2，A3相互独立 .
所以，
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 ) P( A2 )P( A3 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6
5 1 2 5 C ( ) ( ) 72 6 6
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第一章 小
结
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公 式和贝叶斯公式。 4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。 6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。
2 3
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定理1.3.4
n重贝努里概型
P A p，P A 1 p q. 设在 n 重Bernoulli 试验中，
Bn，k n重Bernoulli试验中事件 A 恰好发生 k次
则 P Bn，k C p q
k n k
n k
.
该公式的证明留给同学们思考，下一章还会讨论。
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概率论与数理统计总结
第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1、随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象2、样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω｝，其中ω表示基本结果，又称为样本点。
3、随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表示,Ω表示必然事件，∅表示不可能事件.4、随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。
5、时间的表示有多种：（1）用集合表示，这是最基本形式（2）用准确的语言表示（3）用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示6、事件的关系（1）包含关系:如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事件B发生，则称A被包含于B，记为A⊂B；（2）相等关系：若A⊂B且B⊃A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
（3）互不相容:如果A∩B=∅,即A与B不能同时发生,则称A与B互不相容7、事件运算（1）事件A与B的并:事件A与事件B至少有一个发生,记为 A∪B。
(2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生,记为A∩ B或AB。
(3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生，记为 A－B。
用交并补可以表示为。
（4)对立事件:事件A的对立事件（逆事件），即“A不发生”,记为.对立事件的性质：。
8、事件运算性质：设A，B,C为事件，则有(1）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA（2）结合律：A∪（B∪C)=(A∪B）∪C=A∪B∪C A(BC）=（AB)C=ABC（3)分配律：A∪(B∩C）＝(A∪B)∩(A∪C)、A（B∪C)＝(A∩B）∪(A∩C)= AB∪AC（4）棣莫弗公式（对偶法则）：9、事件域：含有必然事件Ω，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ称为事件域，又称为σ代数。
具体说,事件域ξ满足：（1）Ω∈ξ;(2）若A∈ξ，则对立事件∈ξ；（3)若A n∈ξ,n=1,2，···，则可列并ξ。
华南理工大学 概率论与数理统计 第2讲
b sind 2 a π 2
2b . aπ
A
b a π 2
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性 ,当投针试验次数 n很大时, m 算出针与平行直线相交 的次数m , 则频率值 即可 n 作为P ( A)的近似值代入上式 , 那么 m 2b 2bn , π . n aπ am
三、概率的几何定义
定义
若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能 的, 样本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非零有限几何测度,即0 m() , 则称这一随机试验是一几何概型.
定义1.2.2 当随机试验的样本空间是某个区域,并 且任意一点落在几何测度 (长度, 面积, 体积) 相同 的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
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§1.2.2 概率的古典定义
定义1.2.1:
设 Ω ={e1, e2, …en }，每次实验有且只有其中的一 个发生，每个结果发生的可能性大小相同。若事件 A 包含 k 个基本事件， 即 A ={e1, e2, …ek }, 则定义
k A包含的基本事件数 P ( A) . n S中基本事件总数
第k 次取出黑球，有取法 b(a b 1)!种 ， 因 此 事 件 A所 含 样 本 点 数 为 b(a b 1)!．
所以，
b (a b 1)! b P A ． (a b)! ab
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注意：此结果与次数 k 无关．
概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样 本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义 就不适用了. 把有限个样本点推广到无限个样本点的场 合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率 的另一方法——几何方法.
概率论与数理统计1~6章总结
A (BC) (A B)(A C)
摩根律 AB A B A B A B
2.随机事件的概率 ①概率和频率 概率的定义：若对随机试验 E 所对应的样本空间 中的每一事件 A，均赋予一实数 P(A)， 集合函数 P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设 A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即 AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …,
离散型随机变量 随机变量 非离散型奇异型连（续混型合型）
2.离散型随机变量
若随机变量 X 取值 x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn, …, 则称 X 为离散型 随机变量，而称
n!
n1!....nm !
eg: 30 名学生中有 3 名运动员，将这 30 名学生平均分成 3 组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3 名运动员集中在一个组的概率。 解:设 A:每组有一名运动员;B: 3 名运动员集中在一组
N (S)
C C C 10 10 10 30 20 10
Hale Waihona Puke 10!成互斥事件（互不相容事件）：事件 A 与事件 B 互斥——AB=Φ；事件 A 与事件 B 不能同时发
生，两个事件没有公共的样本点
对立事件：事件 A 不发生，由所有不属于 A 的样本点组成，记作 A or Ac
差事件：差事件 A-B 发生 ——事件 A 发生且事件 B 不发生；由属于事件 A 但不属于事件 B
P(A)具有如下性质 (1) 0 P(A) 1； (2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B) 抽球问题 设盒中有 N 个球，其中有 M 个白球，现从中任抽 n 个球，则这 n 个球中恰有 k 个白球的概 率是
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计-章节总结-华南理工大学 (2)
第3章随机变量3.1 随机变量1. 是随机事件概念的数量化----根据试验结果取值例1 口袋中有六个球，依次标有数字：－1,2,2,2,3,3,从口袋中任取一球，问取到球的数字是多少？用X表示被取到球的数字，那么X是一个变量，依赖于基本事件，称为随机变量。
随机变量是基本事件的函数，自变量是基本事件，事件带有随机性。
2. 定义（随机变量）并不是定义在基本空间上的任何函数都可以作为随机变量，而是要满足一定的要求，这就是书本上的定义（P39）对于例1，取x=2，则{w: X(w)<x}={取到“－1”号球}随机变量的表示：大写英文字母，或希腊字母随机变量取值的表示：3.2分布函数对于随机变量，不仅关心它取哪些数值，更关心，以多大的概率取那些值。
定义（分布函数）P39分布函数的性质 (1)单调不减性。
若21x x <, 则 )()(21x F x F ≤．(2) ;0)()(lim =-∞=∞-→F x F x ;1)()(l i m =+∞=∞+→F x F x (3)左连续性。
对任意实数0x ，有)()0()(lim 0000x F x F x F x x =-=-→3.3 离散型随机变量分布列 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ n n p p p x x x 2121 满足分布列的两个条件：(1) ),3,2,1(,0 =≥i p i(2) 11=∑∞=i iP与分布函数的关系∑∑<<===<=xx ixx i i i p x P x P x F )()()(ξξ堂上作业：用X 表示例1中取到球的数字，求X 的分布和分布函数 两点分布： 退化分布： 3.4二项分布 1. 分布律如果随机变量ξ有上述的分布律，记为~(,)B n p ξ（ξ服从二项概率分布）2. 定理事件A 至少发生1次的概率是(1)1(0;,)1n P b n p q ξ≥=-=- 例3-3已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?3. 最有可能的取值（1）当(n+1)p 恰为正整数，记为k0, 则00(;,)(1;,)b k n p b k n p =-同为二项分布概率的最大值；（2）当(n+1)p 不是整数时，记0((1))k ent n p =+，则0(;,)b k n p 为二项分布概率的最大值。
华南理工大学 概率论与数理统计 第20讲
所以（ X 1 ,, X n）的联合分布率为
P{ X 1 x1 ,, X n xn } p( x i )
p xi (1 p)1 xi p i 1 (1 p )
i 1 n
则称g( x1 , xn )是g( X 1 , X n )的观察值。
注：统计量是随机变量。
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第六章 样本及抽样分布
§２ 抽样分布
2 X ~ N ( , ) 的一个样本， 例1设 X 1 , X n为来自总体
问下列随机变量中那些是统计量 其中未知 , 2已知， X1 X n X1 X n m in (X 1 , X 2 , , X n ); ; ; 2 n 2 ( X 1 X n ) ( X 1 X n ) n . ; . 2 n 2） 常用的统计量 1 n 样本均值 X X i , n i 1 n 1 1 n 2 2 2 2 样本方差 S [ X n X ] (Xi X) i n 1 i 1 n 1 i 1
m x 1 1 x2 e 2 m m f X x 2 2 2 0 n y 1 1 y2 e 2 n n fY y 2 2 2 0
§２ 抽样分布
由于
x0 x0 y0 y0
(2) 当 z 0, f z ( z )
0
x
0
z
1 m 2 2
m 2
x
m 1 2
e
x 2 n 2
1 n 2 2
(z x)
华南理工大学概率论第二章
第二章2-1 （1）()()()()0.50.40.10.8;P A B P A P B P AB =+-=+-=（2）()0.1(|)0.25;()0.4P AB P A B P B === （3）()0.1(|)0.2;()0.5P AB P B A P A === （4）()()()0.50.12(|)0.66671()10.43()P AB P A P AB P A B P B P B --====≈--2-2 因为A B 、是独立事件，所以有()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B ===（1）()()()(|)0.3;()()P AB P A P B P A B P B P B === （2）()1()1()()10.70.40.72;P A B P A B P A P B =-=-=-⨯= （3）()()()(|)0.4;()()P AB P A P B P B A P A P A === （4）()()()(|)0.7()()P AB P A P B P A B P B P B === 2-3 因为AB A A B ⊆⊆，所以()()()P AB P A P A B ≤≤又因为()()()()P A B P A P B P AB =+-，所以()()()()()P AB P A P A B P A P B ≤≤≤+当A B ⊂时，第一个不等式中的等号成立； 当B A ⊂时，第二个不等式中的等号成立； 当AB =∅时，第三个不等式中的等号成立. 2-4 证明 (())()()()()P A B C P ACBC P AC P BC P ACBC ==+-(()())()()()P A P B P C P AB P C =+-(()()())()P A P B P AB P C =+- ()()P AB PC =()()()()()()P ABC P A P B P C P AB P C ==(())()()()()P A B C P ABC P A P B P C -==()()()()P AB P C P A B P C ==-所以，A B A B AB -、、分别与C 独立2-5 设A ={射手击中目标}，1A ={第一次击中目标}，2A ={第二次击中目标}，3A ={第三次击中目标}.有题意可知，0.6100k=，即60k =； 1112233()()()(|)()(|)()(|)P A P A P A P A A P A P A A P A P A A =+++6060600.60.40.410.832150150200⎛⎫=+⨯+⨯-⨯= ⎪⎝⎭2-6 设1A ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设2A ={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，1B ={点数和为8}，2B ={点数和为6}（1）1166111111113333111665()5(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ===+；（2）11662222111133332116662()12(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ⨯===+；（3）116622222116662()12(|)21()21C C P A B P A B P B C C ⨯=== 2-7 设A ={此密码能被他们译出}，则141421()0.6553534P A =+⨯+⨯⨯=2-8 1110101101()1(|),1()10C C P AB P B A P A C === 1110101110101()1(|)6()6C C P AB P A B P B C C === 2-9 设A ={第一次取得的全是黄球}，B ={第二次取出黄球、白球各一半}，则5552010155103025()0.1,(|)C C C P A P B A C C ===所以 5551015201052530()()(|)C C C P AB P A P B A C C == 2-10 设1A ={第一次取得的是黄球}，2A ={第二次取得的是黄球}，3A ={第三次取得的是白球}，则1111213121112(),(|),(|)b b ca ab a bc a b cC C C P A P A A P A A A C C C ++++++=== 所以 123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =1111112b b ca ab a bc a b cC C C C C C ++++++= 2b b c aa b a b c a b c+=+++++2-11 设A ={这批货获得通过}，B ={样本中恰有一台次品}，A ={这批空调设备退货}；D ={第一次抽的是合格品}，E ={第二次抽的是合格品}（1）67661474()()(|);70691610P A P D P E D ==⨯= （2）673367134()()(|)()(|);706970691610P B P D P E D P D P E D =+=⨯+⨯= （3）136()1()1610P A P A =-=2-12 设A ={选出的产品是次品}，1B ={产品是由 厂生产}，B ={选出的产品是正品}（1）118241300042();3000C P A C +== （2）11811182418(|);42C P B A C +==（3）117821117821761782(|)2958C P B B C +==2-13 设A ={检验为次品}，B ={实际为正品}（1）()5%90%95%1%0.0545P A =⨯+⨯=； （2）()(|)95%1%(|)0.1743()0.0545P B P A B P B A P A ⨯===2-14 设A ={这位学生选修了会计}，B ={这位学生是女生}（1）()()(|)0.66%0.036P AB P B P A B ==⨯=；（2）()()(|)0.490%0.36P AB P B P A B ==⨯=；（3）((())()()P A P A B B P AB P AB =+=+）()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+ 0.66%0.410%0.076=⨯+⨯=2-15 设A ={此人被诊断为患肺癌}，B ={此人确实患肺癌}（1）()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯ （2）()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()P B P A B P B A P A ⨯===⨯+⨯ （3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的. 2-16 设A ={收到信息为0}，B ={发送信息为0}，则有(0.7(10.02)0.30.010.689P A =⨯-+⨯=）(0.7(10.02)0.686P AB =⨯-=）所以 (0.686686(|()0.689689P AB P B A P A ==））=2-17 设1A ={这批计算机是畅销品}，2A ={这批计算机销路一般}，3A ={这批计算机是滞销品}，B ={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A === 123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3P B A P B A P B A ===（1）1111112233()((|(|)()((|((|((|P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++））））））））0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1⨯==⨯+⨯+⨯（2）22()0.15(|)0.242;()0.62P A B P A B P B === （3）33()0.02(|)0.032;()0.62P A B P A B P B === （4）33(|)1(|)10.0320.968P A B P A B =-=-=2-18 设A ={硬币抛掷出现正面}，i B ={硬币是第i 个硬币} （i =1,2,3,4,5），B ={抛掷又出现字面}（1）125()()()()P A P AB P AB P AB =+++112255()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =+++11111311101;545254552=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）11()(|)0()P AB P B A P A ==， 2211()145(|)1()102P AB P B A P A ⨯===，3311()125(|)1()52P AB P B A P A ⨯=== ， 4431()345(|)1()102P AB P B A P A ⨯===，551()25(|)1()52P AB P B A P A === ；（3）1111332()0010.75104521045P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2-19 设1A ={一人击中}，2A ={两人击中}，3A ={三人击中}，B ={飞机被击落}.根据题意有1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯= 3()0.40.50.70.14,P A =⨯⨯=123(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A ===所以 112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯=2-20 设A ={这批元件能出厂}，则495()(4%0.0596%0.99)0.050.999999P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎝⎭4940.050.999898⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.8639=2-21 （1）设A ={这批产品经检验为合格品}，则1205124175()0.960.060.960.060.960.063252516162222P A ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.757=（2）设B ={产品真是合格品}，则12012170.960.960.96()3251622(|)0.982()0.757P AB P B A P A ⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭===。
《概率论与数理统计》第二章基础知识小结
《概率论与数理统计》第二章基础知识小结第二章、基础知识小结一、 离散型分布变量分布函数及其分布律 1. 定义：),3,2,1(}{ ===i p x X P i iX1x 2x 3x … k x …P1p 2p 3p … k p …2.分布律}{k p 的性质： （1）;,2,1,0 =≥k p k （2）11=∑∞=k k p3.离散型随机变量的分布函数：∑≤=≤=xx kk px X P x F }{)(4.分布函数F (X )的性质： （1）1)(0≤≤x F（2）)(x F 是不减函数，0)()(}{1221≥-=≤<x F x F x X x P（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F ，即1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x f x f x x （4）)(x F 右连续，即)()(lim )0(0x F x x F x F x =∆+=+→∆（5）)()(}{}{}{a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<)(1}{1}{a F a X P a X P -=≤-=>5.三种常见的离散型随机变量的概率分布（1）0-1分布（),1(~p B X ）X 0 1 Pp q（2）二项分布（),(~p n B X ）n k q p C k X P p kn k k n k ,,2,1,0,}{ ====-（3）泊松分布（)(~λP X ）,,,2,1,0,!}{n k e k k X P p kk ====-λλ二、连续型随机变量分布函数及其概率密度 1.连续型随机变量的分布函数即概率密度定义：dt t f x X P x F x⎰∞-=<=)(}{)(其中，)(x F 为X 的分布函数，)(x f 为X 的概率密度。
2.概率密度的性质 （1）0)(≥x f （2）1)(=⎰+∞∞-dx x f（3）dx x f a F b F b X a P ba ⎰=-=≤<)()()(}{ （4）)()(x f x F ='3.三种常见的连续型随机变量 （1）均匀分布（),(~b a U X ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,1)(b x a a b x f（2）指数分布（)(~λE X ）⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x λλ（3）正态分布（),(~2σμN X ）+∞<<-∞=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ（4）标准正态分布（)1,0(~N X ）及其性质+∞<<-∞=-x ex f x ,21)(22π性质：A.)(1)(x x ΦΦ-=-B.21)0(=Φ（5）非标准正态分布标准化 设),(~2σμN X ，则z =x −μσ~N(0,1)三、随机变量函数的概率分布 1.离散型随机变量函数的概率分布 设离散型随机变量X 的分布律为：X1x 2x 3x …k x …P1p 2p 3p …k p …则X 的函数)(X g Y =的分布律为：X)(1x g )(2x g )(3x g … )(k x g …P1p 2p 3p …k p …2.连续型随机变量函数的分布设X 的连续型随机变量，其概率密度为)(x f X 。
概率论与数理统计华工版
试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命
Ω＝[0，+∞)={x∈R∣0≤x< +∞}
试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素，称为 有限样本空间。
试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样 本空间。
随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简
称事件。常用A、B、C等表示。
答案：西家至少有3个“Ａ”
§1. 4 频率与概率
频率的定义
设事件Ａ在ｎ次试验中出现了ｒ次，则比值 r/n称为事件Ａ在ｎ次试验中出现的频率。
概率的统计定义
在同一组条件下所作的大量重复试验中，事 件Ａ出现的频率总是在区间[0，1]上的一个确定 的常数ｐ附近摆动，并且稳定于ｐ，则ｐ称为事 件Ａ的概率，记作P(A)。
B－A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)， (4,4)，(5,5)，(6,6)}
(2)ＢC表示：满足x－y＝0且xy≤20。则 BC＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)， (4,4)} (3)Ｂ∪C表示：满足x－y＝0或xy>20。则 B∪C＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(4,6)， (6,4)，(6,5)，(5,6)}
例4：设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，写出下列事件
的表达式： 1)恰有二个事件发生。 2) 三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生。
解： 1)、ABC ABCABC 2)、ABC 3)、ABC
3、事件的差 事件Ａ与事件Ｂ的差Ａ－Ｂ，是指Ａ发生，Ｂ不发生。 由定义Ａ－Ｂ＝A∩B，A＝Ω－A
例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或 ６点}；则Ａ－Ｂ＝{出现４点}
求以下事件的概率：
概率论与数理统计课程总结
EX xf ( x )dx
i 1
E ( a i X i ) a i EX i
i 1 i 1
n
n
X , Y 不相关 EXY EXEY .
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2）会求随机变量函数的数学期望； 设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，
则 EY pk g( x k )
e f x 0
x
x0 x0
目 录 前一页 后一页 退 出
10）掌握正态分布及其性质：理解一般正态分布函
数与标准正态分布函数的关系，会查表求概率，正 态变量的线性变换仍然是正态变量.
m ， s : X ~ N
2
f x
1
2 s
e
x m 2
2s 2
G
目 录
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退 出
3）掌握二维均匀分布的定义及性质；
A
G
D
1 f x， y A 0
x， y D x， y D
y
P{( X , Y ) G }
G
B f ( x , y )dxdy . A
B
x
4）会求边缘分布率和边缘概率密度；
( 3) P B P Ak P B Ak ;
P( A )P(B | A ) P( A B) k k k ( 4) P ( A | B ) , k n P( B) P( A )P( B | A ) j j j 1
(5) P AB P A P B.
5）理解贝努里试验，掌握两点分布及其概率背景；
X ~ B ( 1, p ), 6）掌握二项分布的概率背景，即会把实际问题中 服从二项分布的随机变量构设出来，运用有关公式 求概率. 若 X 表示n重贝努里试验中成功出现的次数， 则 X ~ B ( n , p ),
华南理工大学概率论与数理统计ppt课件
x 2.5
2 x
0.625
;
6
中心极限定理
✓ 设从均值为，方差为2的一个任意总体（正态/
非正态）中抽取容量为n的样本，当n充分大时 （n≥30） ，样本均值的抽样分布近似服从均值为 μ、方差为σ2/n的正态分布。
一个任意分布 的总体
x
n
当样本容量足够大 时(n 30) ，样本均 值的抽样分布逐渐 趋于正态分布
第一个 观察值
1 2
第二个观察值
1
2
3
4
P(x)
1,1 1,2 0.31,3 1,4
2,1 2,2 2,3 2,4
3
3,1 3,2 0.23,3 3,4
4
4,1 4,2 4,3 4,4
0.1
16个样本的均值（x）
第一个 观察值
第二个观察值
1
2
3
4
1
1.0 1.5 2.0 2.5
2
1.5 2.0 2.5 3.0
2 (n) 分布的密度函数为
伽码函数
f
( y)
2n
1
2n
2
yn
e 21 y
2,
y
0
0,
; y0
(n 1) n!
18
2(n) 分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4
n=1
0.3
0.2 n=4
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
图5-4
其图形随自由度的 不同而有所改变.
t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
;
17
2 ——分布
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(最新整理)
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （8）减
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 法公式
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
独立性 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
1
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F (x) 1, x ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F (x1) F (x2) ；
3° F () lim F (x) 0 ， F () lim F (x) 1；
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时， P(X k) pk q1k ， k 0.1，这就是（0-1）分布，所
以（0-1）分布是二项分布的特例。
1
泊松分 设随机变量 X 的分布律为
布
P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2，
k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或者
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2）基 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 件 、 样 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 本 空 间 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大 和事件 写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
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概率论与数理统计应用数学系陶志穗讲课内容与时间安排：合计：32学时作业要求：每周交作业，独立完成。
考试要求：统考序一、概率论研究的对象是什么？二类现象一定大气压下，水加温到1000C：沸腾实弹射击，打一发子弹：可能中或不中二类现象必然现象：一定条件下，结果是肯定的随机现象：一定条件下，结果不肯定概率论是研究随机现象规律性的一门数学。
二、随机现象有规律性吗？有。
例如：两人打枪。
1发（两种可能）100发甲：中、不中因为受训中97乙：中、不中中35 这种规律性称为统计规律性：在大量试验中才显示出来，不是个别次数显示的特性。
（例：从婴儿出生的调查来看，男、女婴孩的可能性各占一半。
对某个对象不出现这一规律性）规律性体现在结果发生可能性的差异上。
三、 规律性如何指导实践根据实际判断原理1． 发生可能性小，结果少； 发生可能性大，结果多 在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%随机检查，“5个产品有2个次品” 这时，应当拒绝“废品率为5%” 。
为什么？因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（一般小于0.05）（用概率的方法可计算），005114332441555552552530.77370.20360.0210.0011001C p q C p q C p q C p C p q q C p+++++=+++++=在一次试验中不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。
2． 可能性小的事多次重复也必然发生把“南粤风采（36选7）”的一次选号看作一次试验，“中奖”是小概率事件，但多次重复试验，“中奖”就有可能发生，事实上总有人中奖。
股市中的新股认购，买一手的中签率很低，但多次重复，一定会中签。
例如，2006年9月22日“江苏宏宝”发行A 股4,000万股，申购情况统计如下：有效申购股数为17,302,89.1万股，起始配号00000001，截止配号34605782。
中签率为0.23%（是小小概率事件），超额认购倍数为433倍。
例1甲、乙两位棋手棋艺相当。
他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。
比赛为五局三胜制。
已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。
现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？奖金分配方法：平均分，对甲欠公平按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？例2在第43届世界乒乓球锦标赛中，由于决策正确，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。
当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔佩尔松（2008北京奥运会仍出场（5届），与王皓半决赛）卡尔松卡尔松怕削球手，于是中国队排出了如下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛瑞典队有两种选择：或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松即有两种出队的方法第一种瑞典瓦佩卡瓦佩中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.55 0.45 0.4 0. 55 0.45第二种瑞典瓦卡佩瓦卡中国王马丁马王瑞典获胜的概率0.55 0.4 0.5 0. 55 0.4请计算中国队胜的概率。
(2004年8月奥林匹克运动会，老瓦仍然出场，5届奥运元老，2008年北京奥运佩尔森出场，也是5届奥运元老）四、工具数学是用定量方法研究问题的。
如何描述、表现、模拟随机现象及规律性？随机的数学模型如何建立？自然涉及符号、工具预备知识：排列与组合集合论微积分例：下列式子的台劳展开式xe1 1x第1章随机事件与概率1.1随机试验我们说过，随机现象有规律性，这种规律性称为统计规律，是随机现象的内在规律，这种规律一般可在①相同条件下，②通过大量重复试验而获得。
这种试验称为随机试验。
随机试验的特征：例1掷一枚硬币，观察其出现正面还是反面。
所有可能发生的结果：{正} {反}例2 掷三枚硬币，观察其出现的面。
所有可能发生的结果：{正，正，正} {正，正，反} {正，反，正} {正，反，反}{反，正，正} {反，反，正} {反，正，反} {反，反，反}例3 一个有两个小孩的家庭，所有可能的结果是{ boy, boy} {boy, girl }, {girl , boy }, {girl, girl }1.2随机事件——在一次试验中可能发生，也可能不发生的事情，称为这试验的随机事件。
如上面例1中，A={ 出现正面} 为一随机事件例2中，B={ 恰出现两个正面} 为一随机事件必然事件——在一定条件下必定出现的事情称为必然事件（必然事件）不可能事件——在一定条件下，必定不出现的事情称为不可能事件。
样本空间（基本空间）——随机试验所有可能发生的试验结果组成的集合如在上述例2中，8个可能结果的全体是基本空间基本事件——基本空间中，单个元素组成的事件为基本事件如例2中，有8个基本事件要注意下面三点：例2中，B={ 恰出现两个正面} ——是一随机事件由基本事件{ 正，反，正} { 反，正，正} { 正，正，反} 组成例3任抛一个骰子，观察在上一面的点数。
（这是一个随机试验，——条件定，结果不定）用W i表示i 点在上，可能的结果有W i，i=1,2,3,4,5,6观察双数点在上面A双观察单数点在上面A单考察“8”点在上面：不可能出现，因为没有“8”基本事件：W i，i=1,2,3,4,5,6A双：W2，W4，W 6，A单：W1，W 3，W 5，1.3 事件的关系和运算（用集合论）随机试验E，可能结果中的基本结果的全体所成集合为U，称为基本空间（样本空间），复合结果（随机事件）看作基本空间的子集。
①事件A发生了，←→表示A所包含的基本事件至少发生其一例A双发生了，意味着A2，A4，A 6之一发生②A∪B←→表示A或B至少发生其一；A发生或B发生例A双＝A2∪A4∪A 6③A∩B←→表示A和B同时发生④A∩B=φ←→表示A与B不能同时发生⑤A \ B ←→事件A发生，B不发生⑥A与A称为对立事件，互为对立的例用集合的式子描述随机事件的运算⊂(1)A发生，则B发生←→A B(2)A,B,C至少发生其一←→CAB(3)A,B,C不能同时发生←→例1-3 在射击比赛中，一选手连续向目标射击3次，若令Ai ={ 第i 次命中目标} （i=1,2,3）试用Ai表示（1）B={3次射击都命中目标}（2）C={3次射击至少有2次命中目标}（3）D={至少有1次命中目标}（4）E={至少有1次未命中目标}（5）F={恰有1次命中目标}1．4 频率与概率概率的统计定义若事件A 在n 次试验中出现了r 次，则称rn为事件A 在n 次试验中出现的概率，记作f n (A).统计概率的性质性质1 对于任一事件A ，有0()1P A ≤≤性质2 必然事件Ω的概率()1P Ω=；不可能事件Φ的概率()0P Φ=. 性质3 如果两个事件A 与B 互斥，则有 ()()()P A B P A P B +=+ 1.5 古典概型1． 古典概型的特征：有限性，等可能性（22） 2． 古典概型定义3． 典型例子（取球问题，格子问题, 随机取数） 抽球问题袋中有a 个白球，b 个黑球，从中依次任取一个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率。
（组合方法、排列方法）Let A={a white ball is drawn in m-th times} Permutation （用全排列的方法，球有区别）: All ball is different and all balls are placed in the line. n= A a +b =(a +b )！ r=a ·A a +b -1 =a (a +b －1)！P(A)= b a a b-a b-a b a b-a b-a a n r +=⋅⋅+++⋅⋅++=123)2)(1()(123)2)(1(Permutation （用有限排列的方法，球有区别）: All ball is different, and m balls are drawn, n = A a +b,m =(a +b )(a +b －1)(a +b －2)… (a +b －m+1)r =a ·A a +b -1, m-1 =a (a +b －1)(a +b －1－1) …(a +b －1－(m －1)+1)P(A)= b a a m b a b-a b-a b a m -b a b-a b-a a n r +=+-+++++--+++=)1()2)(1()()1)1(1()2)(1(Combination （用组合的方法，球没有区别）: The ball is no different except the color , and all balls are placed in the line.Decide the white ball ’s position （确定白球的位置） n = C a +b, a r = 1·C a +b-1,a -1 P(A)=1,1,1a b a a b a C r an C a b+--+⋅==+ conclusionProbability is unrelated to m. 所求概率与次序m 无关此例用于生活之中就是抽签问题：一个班30人，用抽签的方法分配三张，与各人抽签的次序无关。
亚运会开幕式入场券，则每人取到票的概率为330堂上练习：P18 7作业P18: 习题1：3, 4, 7，8续第1章随机事件与概率（第2周）1.5 古典概型典型例子格子问题A: 指定n 个格子中各有一个质点。
B: 任意n 个格子中各有一个质点。
C ：指定的一个格子中恰有m (≤n)个质点。
基本事件总数 n N(每个质点都有N 种不同的分布法，n 个质点共有n N 种排法) A 所包含的基本事件数：!nB 所包含的基本事件数：!nNC n ⋅ C 所包含的基本事件数：()1n mm n C N -⋅-n 个人看作质点，一年的365天看作格子，上面的问题看作生日问题. 参加某次舞会的n 个人当中没有两个人生日相同的概率是多少？配对问题A hat-check, 100men, 100 hats mix up completely .The girl back these 100 hats to the men completely at random.What is the probability that at least one of these men gets his own hat back? （至少有一人取回自己帽子的概率？）Solution:1.2.3.1．6 几何模型约会问题，投针问题约会问题Solution . Let A t ,B t be the time A, B arriving the gate, resp., then oursample space is a square{(,)|9,10}A B A B S t t t t =≤≤t Bt A109109Fig 2.3.1 A sample space contained in2.Let M be the event that A and B will meet at the gate, then M will be occur if and only if 1||6A B t t -≤, i.e.(Fig 2.3.1)1{(,)|9,10,||}6A B A B A B M t t t t t t =≤≤-≤In this problem, the expression “equally likely to occur ” means that “The probability that the sample point is located in a special region M C ⊂ is proportional to the area of M ”.Again, since the certain event S has area 1, thus the probability of M is equal to the area of M , i.e.2511()1636P M ⎛⎫=-=⎪⎝⎭Example 2.3.8 Buffon ’s needle 蒲丰投针Consider a plane, ruled with equidistant parallel lines, where the distance between the lines is a . A needle of length l (l<a ) is tossed onto the plane. What is the probability that the needle intersects one line.Solution.Letxbe the distance from the midpoint of needle to thenearest line, ϕ be the inclination angle of needle. Then20,0a x ≤≤≤≤πϕ. Thus , the needle is tossed onto plane is equivalent to select a point(,)N x ϕ in the regionSinceArea (),2a G π= Area 0()sin ,2l g d l πϕϕ==⎰So the probability required is2l p aπ=. Since the result above relate to π, it is applied to estimate thevalue of π.The following are results of some experiments in this problem (N =number of trials , n number of successes).It is worth to note is the method using here that relate to MonteCarlo （蒙特卡洛） 思考题设平行线距离为d ，向平行线任意投掷一个边长为a, b, c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率. (a+b+c)/(d*pi)1．7 概率公理化定义（24）P16 公理公理1 对于任一事件A ，有1)(0≤≤A P 公理2 1)(=ΩP公理3 若n A A A ,,,21 两两互斥，则∑∑∞=∞==11)()(i i i i A P A P ， （可列可加性）P16-17性质性质1 不可能事件的概率为零，即0)(=ΦP性质2 （有限可加性）对于两两互斥的有限多个随机事件n A A A ,,,21 ，有∑∑===ni i ni i A P A P 11)()(，性质3 对立事件)(1)(A P A P -=, (Ω=A A , φ=A A )性质4 若B A ⊃，则 )()()(B P A P B A P -=-。