全国名校高考数学优质复习题汇编(理附详解)专题突破 函数的性质及研究(下)

函数的性质及研究（下）

题一：设函数2()1f x x =-，对任意2

,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭

， 24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭

恒成立，则实数m 的取值范围是 . 题二：已知函数()f x x x m n =++，其中,m n R Î.

（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）设n =-4，且()0f x <对任意[0,1]x Î恒成立，求m 的取值范围.

题三：求函数y =.

题四：设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。 （Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a )

第4讲 函数的性质及研究（下）

题一：D 详解：依据题意得2

2222214(1)(1)14(1)x m x x m m

---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2

x ∈+∞上恒成立。 当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥

，解得m ≤

或m ≥

题二：m 的范围是（-5，3）。 详解：（I ）若220,m n +=即0m n ==，则()f x x x =?，∴()()f x f x -=-. 即()f x 为奇函数. 若220,m n +?则m 、n 中至少有一个不为0，

当0m ¹. 则(),()2,f m n f m n m m -==+故()()f m f m -贡.

当0n ¹时，(0)0f n =?()f x \不是奇函数，()f n n m n n =++?，()f n n m n n -=--, 则()(),()f n f n f x ?\不是偶函数. 故()f x 既不是奇函数也不是偶函数.

综上知：当220m n +=时，()f x 为奇函数；当220m n +?时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数.

（Ⅱ）若0x =时，,()0m R f x ?恒成立；

若(0,1]x Î时，原不等式可变形为4x m x +<. 即44x m x x x

--<<-+. ∴只需对(0,1]x Î，满足min max 4()4()m x x m x x ìïï<-+ïïïíïï>--ïïïî

对①式，14()f x x x =-+在（0，1]上单调递减，∴1(1)3m f <=. 对②式，设24()f x x x

=--，则2224()0x f x x -+¢=>.（因为0=-. 综上所知：m 的范围是（-5，3）。 题三：值域为[－1，＋∞）.

① ②

详解：函数的定义域由

240

30

x

x

+≥

⎧

⎨

+≥

⎩

求得，即2

x≥-

.

'y==

==

当2

x>-时，'0

y>，即函数y2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1

，＋∞）.

题四：

详解：

1）因 t＝x

x-

+

+1

1，则[]11

x∈－，

，而220,

t t t⎤

=+≥∴∈⎦22

11

()1,

22

m t a t t

at t a t

⎛⎫⎤

∴=-+=+-∈

⎪⎦

⎝⎭

；

2）由题意知，()

g a即为2

1

(),

2

2

m t at t a t⎤

=+-∈⎦的最大值。而'()1

g t at

=+

ⅰ）当0

a≥

时，()

m t⎤⎦

在上为增函数，(

)(2)2

g a m a

==+；

ⅱ）当

a<

时，若

1

t

a

=-∈

，即

2

a<-时，

()

g a m

==

若

1

2

t

a

⎤

=-∈⎦，即

1

22

a

-≤≤-时，

11

()()

2

g a m a

a a

=-=--

若()

1

2,

t

a

=-∈+∞

，即

1

2

a

-<<时，()(2)2

g a m a

==+

综上

1

2,

2

11

(),

222

2

a a

g a a a

a

a

⎧⎛⎫

⎪+>-

⎪

⎪⎝⎭

⎪

⎛⎫

⎪

=---≤≤-

⎪

⎨ ⎪

⎝⎭

⎪

⎪⎛

⎪≤-

⎪⎝⎭

⎩