全国名校高考数学优质复习题汇编(理附详解)专题突破 函数的性质及研究(下)
高考数学二轮专题突破：第2讲-函数、图象及性质(含答案)
第 2 讲 函数、图象及性质1. 已知 f(x) 是定义在 R 上的函数，且 f(x) ＝ f(x ＋ 2)恒建立，当 x ∈[－ 1， 1]时， f(x) ＝ x 2，则当 x ∈[2 ，3]时，函数 f(x) 的分析式为 ____________．答案： f(x) ＝(x －2)2 分析：因为函数知足 f(x) ＝ f(x ＋ 2)，所以函数周期为 2.又 x ∈ [2，3] ，x － 2∈ [0，1]，则 f(x)＝ f(x － 2)＝ (x － 2)2.k ＋ k在 (1，＋ ∞)上是增函数，则实数 2. 若函数 h(x) ＝ 2x － k 的取值范围是 ________.x 3答案： [－ 2，＋ ∞) 2x 2＋ k分析：因为 h ′(x)＝ 2＋ k k2x 2，所以 h ′ (x)＝ 2＋ x 2＝ x 2 ≥ 0 在 (1，＋ ∞)上恒建立， 即 k ≥－2x 在 (1，＋ ∞)上恒建立，所以 k ∈ [ － 2，＋ ∞)．3. 若函数 f(x) ＝ k － 2 xx (k 为常数 )在定义域上为奇函数，则 k ＝ ________．1＋k ·2答案： ±1 － x分析：∵ f(x) 为定义域上的奇函数， ∴ f(x) ＋f( － x)＝0. k －2x x ＋ k － 2－ x ＝ 0.得(k 2－1)(2 2x＋ 1)＝ 0.∵ 22x ＋1≠0，∴ k 2－ 1＝ 0，解得 k ＝ ±1. 1＋ k ·2 1＋k ·224. 定义在 (－ 1，1)上的函数 f(x) ＝－ 5x ＋ sinx ，假如 f(1 －a)＋f(1 －a )>0，则实数 a 的取值 范围为 ________．答案： (1， 2)(－ 1， 1)上单一递减， f(1－ a)＋ f(1 － a 2)＞0，得 f(1－ a)＞ f(a 2－分析：函数为奇函数，在 1)．－ 1＜ 1－ a ＜ 1，∴ － 1＜ a 2－ 1＜ 1 ， T1＜ a ＜ 2.1－ a ＜a 2 －115. 函数 f(x) ＝1－ 2x ＋ 的定义域为 ________．x ＋ 3答案： (－ 3， 0]1－2x ≥ 0分析：T － 3<x ≤ 0.x ＋3>01 ，若 f( － 1)＝ 1，则 f(26. 函数 f(x) 对于随意实数013)＝x 知足条件 f(x ＋ 2)＝ f （ x ） 2________．答案： 2分析：函数知足 f(x ＋ 2)＝1 ，故 f(x ＋ 4)＝ 1 ＝ f(x) ，函数周期为 4， f(2 013) f （x ） f （ x ＋ 2）＝ f(1) ．又 f(3) ＝ 1 ＝ f(4 － 1)＝ f( － 1)，∴ f(1)＝ 2.f （ 1）7. 设函数 f(x) ＝ |x ＋ 1|＋ |x － a|的图象对于直线 x ＝1 对称，则实数 a 的值为 ________． 答案： 3分析：绘图可知 a ＋（－ 1）＝ 1，a ＝ 3.[ 也可利用 f(0) ＝ f(2) 求得，但要查验 ]28. 设 f(x) 是定义在实数集 R 上的函数，知足条件 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，且当 x ≥1时， f(x)＝ 2－x－ 1，则 f2， f 3 ， f 1 的大小关系是 ______________． (按从大到小的次序摆列 )3 2 3答案： f2＞ f 3 ＞ f 13 2 3分析：函数 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，所以 f(－ x ＋ 1)＝f(x ＋1) ，即函数对于 x ＝ 1 对称．所以24 1 51x4 35 4 3f 3 ＝ f 3 ，f 3 ＝ f 3 ，当 x ≥1时， f(x) ＝ 2 － 1 单一递减， 所以由 3＜ 2＜ 3，得 f 3 ＞ f 2 ＞ f5 ，即 f 2 ＞f( 3)＞ f( 1)．33239. 函数 f(x) 的定义域是 R ，其图象对于直线x ＝ 1 和点 (2 , 0)都对称， 且 f － 1＝ 2，则 f 12 0132 2＋ f ＝______ ．2 答案： 0分析：函数图象对于直线 x ＝ 1 对称，则 f(x) ＝ f(2－ x)，函数图象对于点 (2, 0) 对称，则 f(x) ＝－ f(4－ x)，∴ f(x ＋ 2)＝－ f(x) ，∴ f(x ＋ 4)＝ f(x) ，2 013 1 5 1∴ f2 ＝ f 1 006＋ 2 ＝ f 2＝－ f 2 .又 f －1＝－ f 4＋1 ＝－ f 1，2 2 21 2 013∴ f2 ＋ f2＝0. － x 2＋ 2x ， x ≤ 0，10. 已知函数 f(x) ＝ 若|f(x)| ≥，ax 则 a 的取值范围是 ____________．ln （x ＋ 1）， x ＞ 0.答案： [－2，0]分析：在直角坐标系中画出函数y ＝ |f(x)| 的图象， y ＝ ax 为过原点的一条直线，当 a>0 时， 与 y ＝ |f(x)| 在 y 轴右边总有交点，不合．当a ＝ 0 时，建立．当 a<0 时，找出与 y ＝ |－ x 2＋ 2x|， x ≤ 0 相切的状况， y ′＝ 2x － 2，切线方程为 y ＝ (2x 0 －2)(x － x 0)＋ x 02－2x 0，由剖析可知 x 0 ＝ 0，所以 a ＝－ 2.综上， a ∈ [－ 2， 0]．11.xax x的定义域为区间 [－ 1， 1](a ∈ R )． 已知 f(x) ＝ 3 ，而且 f(a ＋ 2) ＝ 18， g(x) ＝ 3 － 4 (1) 求函数 g(x) 的分析式； (2) 判断 g(x) 的单一性； (3) 若方程 g(x) ＝ m 有解，务实数 m 的取值范围．解： (1) ∵ f(a ＋ 2)＝18， f(x) ＝ 3x ，∴ 3a ＋2＝ 18 3a ＝2，∴ g(x) ＝ (3a )x － 4x ＝ 2x － 4x ， x ∈ [－ 1，1]．(2) g(x) ＝－ x22 x ＝－ 2 x－ 1 21－1，1]时， 2 x∈1x(2 )＋ 2＋ ，当 x ∈ [ ， 2 ，令 t ＝ 2 ，∴ y ＝42－ t 2＋t ＝－1 2 ＋ 1，由二次函数单一性知当t ∈1， 2 时 y 是减函数，又 t ＝ 2x 在 [－ 1， 1] t －2 4 2上是增函数，∴ 函数 g(x) 在 [－ 1，1] 上是减函数． (也可用导数的方法证明 ) (3) 由 (2)知 t ＝2x ， 2x∈1， 2 ，则方程 g(x) ＝ m 有解m ＝ 2x － 4x 在 [ － 1，1]内有解m2 22111－ 2， 1＝ t － t ＝－ t －2＋ 4， t ∈ ， 2，∴ m 的取值范围是4 .2a12. 已知 f(x) ＝ x ＋ x (x ＞ 0)，当 x ∈ [1， 3]时， f(x) 的值域为 A ，且 A [n ， m](n ＜ m)．(1) 若 a ＝1，求 m － n 的最小值； (2) 若 m ＝ 16， n ＝ 8，求 a 的值； (3) 若 m － n ≤1，且 A ＝ [n ， m]，求 a 的取值范围． 解： (1) ∵ a ＝ 1，∴ f(x) 在区间 [1， 3]上单一递加， ∴ f(x) ∈ [f(1) ，f(3)] ，4 4∴ 当 x ∈ [1， 3]时， m － n ≥f(3)－ f(1) ＝3即 m － n 的最小值是 3.a在 (0， a]上单一递减，在 [a ，＋ ∞)上单一递加，(2) (解法 1)∵ 当 x>0 时， f(x) ＝ x ＋ xf （ 1） ≤m1＋ a ≤ 16∴ a a ≤ 15.f （ 3） ≤m3＋ 3≤ 16a① 当 a ≤ 1，即 0≤a ≤1时， f(x) ＝x ＋ x 在[1，3] 上单一递加，∴f(1) ≥n，a ≥ 7(舍去 )；a② 当 1< a<3，即 1<a<9 时， f(x) ＝ x ＋ x 的最小值是2 a ，∴ 2 a ≥ n ， a ≥ 16(舍去 )；③ 当 a ≥ 3，即 a ≥9时， f(x) ＝ x ＋ a在 [1， 3]上单一递减，x∴ f(3) ≥n，a ≥ 15.综上可得： a ＝15.(解法 2)当 m ＝ 16 时， x ＋a≤ 16 恒建立，即 a ≤16x －x 2 恒建立，x∴ a ≤ (－ x 2＋ 16x ，x ∈ [1， 3]) min ＝ 15；当 n ＝ 8 时， x ＋ a≥ 8 恒建立，即 a ≥8x －x 2 恒建立，x∴ a ≥ (－ x 2＋ 8x ，x ∈ [1， 3])max ＝ 15.综上可得： a ＝15.a(3) ① 若 a ≤ 1，即 0<a ≤1时， f(x) ＝ x ＋x 在 [1， 3]上单一递加，2 ∴1≥m－ n ＝ f （ 3）－ f （ 1）＝ 2－ 3a ，无解；0<a ≤ 1，② 当 1< a<3 即 1<a<9 时 f(x) ＝ x ＋ a在 [1， a]上递减，在 [ a ， 3]上递加， x∴ 1≥m－n ＝ f （ 3）－ f （ a ） 1≥m－ n ＝f （ 1）－ f （ a ），1<a ≤3 或3<a<9， ∴ 12－ 6 3≤ a ≤ 4.③ 当 a ≥ 3，即 a ≥9时，函数 f(x) 在区间 [1， 3]上单一递减，2 ∴1≥m－ n ＝ f （ 1）－ f （ 3）＝ 3a － 2，无解．a ≥ 9，综上可得： 12－ 6 3≤ a ≤ 4.1a x ， 0≤x ≤ a ，13. 设函数 f(x) ＝a 为常数且 a ∈ (0， 1)．1（ 1－ x ）， a ＜x ≤1，1－ a(1) 当 a ＝1时，求ff 1 ；2 3(2) 若 x 0 知足 f(f(x 0)) ＝ x 0 ，但 f(x 0) ，则称 x 为 f(x) 的二阶周期点，证明函数f(x) 有且≠x 0 0仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 x 1、 x 2；2， 0)，记 △ ABC 的面积为(3) 对于 (2) 中 x 1、 x 2，设 A(x 1， f(f(x 1))) ， B(x 2，f(f(x 2))) ， C(a 1 1S(a)，求 S(a)在区间3，2 上的最大值和最小值．11 2 1 2 2 2解： (1) 当 a ＝2时，f 3 ＝ 3， f f 3＝ f 3 ＝2 1－ 3 ＝3.122，a x ， 0≤x ≤ a1（ a － x ）， a 2<x ≤ a ，a （ 1－a ）(2) f(f(x)) ＝12（ 1－ a ） 2（ x － a ）， a<x<a － a ＋ 1， 1（ 1－ x ）， a 2－ a ＋ 1≤x ≤1. a （ 1－a ）21当 0≤x ≤a 时，由 a 2x ＝ x ，解得 x ＝ 0，因为 f(0) ＝ 0，故 x ＝ 0 不是 f(x) 的二阶周期点；当 a 2＜ x ≤a 时，由1a （ 1－ a ）(a － x)＝ x ，a2解得 x ＝ － a 2＋ a ＋ 1∈ (a ， a)．a 1 a 1 a a因为 f － a 2＋ a ＋ 1 ＝ a · －a 2 ＋a ＋ 1＝－ a 2＋ a ＋ 1≠－a 2 ＋a ＋ 1，故 x ＝ － a 2＋ a ＋ 1是 f(x) 的二阶周期点；当 a<x<a 2－ a ＋ 1 时，由11∈ (a ， a 2－ a ＋ 1)．（ 1－ a ） 2(x － a)＝ x ，解得 x ＝ 2－a因为 f 1 ＝ 1·1－ 1 ＝ 1 ，故 x ＝ 1不是 f(x) 的二阶周期点；2－ a 1－a 2－ a 2－ a 2－ a2 1 1 2当 a － a ＋ 1≤x ≤1时，由 a （ 1－ a ）(1－ x)＝ x ，解得 x ＝ － a 2＋ a ＋1∈ (a － a ＋ 1， 1)． 因为 f21 ＝1·1－2 1＝ 2 a ≠ 2 1 ，－ a ＋ a ＋ 11－ a － a ＋ a ＋ 1 －a ＋a ＋ 1 － a ＋ a ＋ 1故 x ＝2 1是 f(x) 的二阶周期点．所以，函数f(x) 有且仅有两个二阶周期点，x 1＝－ a ＋ a ＋1a 1－ a 2＋ a ＋ 1， x 2＝ － a 2＋ a ＋ 1.aa11(3) 由 (2) 得 A( － a 2＋ a ＋ 1 ， － a 2＋ a ＋ 1 ) ， B( － a 2＋ a ＋ 1 ， － a 2＋ a ＋ 1 ) ， 则 S(a) ＝1· a 2（ 1－ a ），2 － a 2＋ a ＋ 13－ 2a 2－ 2a ＋2）.S ′ (a)＝1· a （ a2 22（－ a ＋a ＋ 1）因为 a 在 1，1内，故 S ′(a)>0，则 S(a)在区间 [1， 1]上单一递加，3 2 3 21 1 1 1 1 1故 S(a)在区间 3， 2上最小值为S 3 ＝ 33，最大值为 S 2 ＝ 20.。
2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用
2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点， 与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t， 满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在 上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<， 又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++， 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=， 则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出． 【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意． 故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]： 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。
高考数学满分冲刺 函数的性质及研究--讲义练习答案
金题精讲题一：f (x )是R 上的函数，且函数f (x +1)，f (x －1)都是奇函数。
证明：Z k ∀∈，函数f (x +2k +1)是奇函数。
题二：方程252x x =-的实根为α，方程25log (1)2x x -=-的实根是β， 求122log (1)αβ-+-的值.题三题面：R 上的连续函数f (x )，0x ≥时单调，求方程3()()4x f f x x +=+的实根之和。
讲义参考答案金题精讲题一：因为f (x )是R 上的函数，且函数f (x +1)，f (x －1)都是奇函数，所以曲线y = f (x )关于点(1，0)和(－1，0)两点成中心对称，因为点(x ，y )关于点(1，0)的对称点为(2－x ，－y )，即有f (x ) =－f (2－x )，同理可得f (x ) =－f (－2－x )，所以f (x ) =－f (－2－x )=－(－f (2－(－2－x ))=－f (4+x )，可知f (x )是T = 4的周期函数，因为函数f (x +1)，f (x －1)都是奇函数，所以奇函数f (x +1)=f (x +1+4k )，奇函数f (x －1)=f (x －1+4k )(k ∈Z )，即=f (x +(4k +1))，f (x +(4k －1))(k ∈Z )都是奇函数，∴Z k ∀∈，函数f (x +2k +1)是奇函数。
题二：32题三：-8题1：若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ）A 、0x =B 、1x =C 、12x = D 、2x = 题2：已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，则21x x +值为（ ）A 、６B 、１C 、２D 、３题3：设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c课后练习详解题1：答案：选C详解：解法一：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2(1)y x =-，则(2)y f x =变为2(21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是12x =， 解法二：函数(1)y f x =+是偶函数，所以可知其对称轴为x=0将函数(1)y f x =+的图象向右平移1个单位得到()y f x =的图象，其对称轴也相应向右平移1个单位，对称轴变为x=1，再将()y f x =的图象沿着x 轴缩短为原来的12倍，得到(2)y f x =的图象，其对称轴也相应缩短为原来的1/2个单位，则对称轴变为12x =.题2：答案：选B.详解：令()lg f x x x =+,()10xg x x =+,显然()f x ,()g x 都是各自定义域上的增函数.因为()()23,33f f <>,所以123x <<,①因为()()013,1113g g =<=>，所以201x <<②，由①②得1224x x <+<，对照选择支，故选B.例3：R 上的连续函数f(x)，0x ≥时单调， 求方程3()()4x f f x x +=+的实根之和。
2019年高考数学总复习 专题01 函数的图象、性质及综合应用强化突破 理(含解析)新人教版
2019年高考数学总复习 专题01 函数的图象、性质及综合应用强化突破理（含解析）新人教版1．(xx·唐山模拟)函数y ＝log 0.54x －3的定义域为A ，全集为R ，则∁R A 为( ) A ．⎝⎛⎦⎤34，1B ．⎣⎡⎭⎫34，1C ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[1，＋∞) 解析：选C 由log 0.5(4x －3)≥0，得0<4x －3≤1.∴34<x ≤1.所以函数y ＝log 0.54x －3的定义域A ＝⎝⎛⎦⎤34，1，所以∁R A ＝⎝⎛⎦⎤－∞，34∪(1，＋∞)．选C. 2．(xx·佛山模拟)定义运算a ⊕b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝a －b 2， 则f (x )＝2⊕xx ⊗2－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．常函数D ．非奇非偶函数 解析：选A 由题意得f (x )＝4－x 2x －22－2.∵4－x 2≥0且x －22－2≠0，即x ∈[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2x (x ∈[－2,0) ∪(0,2])，∴f (－x )＝4－x 2x ，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数，故选A.3．(xx·邯郸摸底)函数f (x )＝log 2 |x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是( )解析：选C 因为函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2均为偶函数，所以f (x )g (x )是偶函数，且定义域为{x ∈R |x ≠0}，排除A ，D.又当x →0时，f (x )＝log 2|x |→－∞，g (x )＝－x 2＋2→2，即f (x )g (x )→－∞，故选C.4．(xx·广东六校联考)若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．lg x >x 12>2xB ．2x>lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．2x >x 12>lg x解析：选D 当x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x 12∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所2x >x 12>lg x ．故选D.5．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C 依题意得f (3)＝log 12 2＝－1<0，log 12 2<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 12 32<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 6．(xx·吉林一中模拟)2013年8月30日到银行存入a 元，若年利率为x ，且按复利计算，到2021年8月30日可取回( )A ．a (1＋x )8元B ．a (1＋x )9元C ．a (1＋x 8)元D ．a ＋(1＋x )8元解析：选A 2013年8月30日存入银行a 元，年利率为x 且按复利计算，则xx 年8月30日本利和为a (1＋x )元，xx 年8月30日本利和为 a (1＋x )2元，……，则2021年8月30日本利和为a (1＋x )8元，故选A.7．(xx·温州模拟)已知2a ＝3b ＝6c ，则有( ) A ．a ＋bc ∈(2,3)B ．a ＋b c ∈(3,4)C ．a ＋b c∈(4,5)D ．a ＋b c∈(5,6)解析：选C 设2a ＝3b ＝6c ＝k ，则a ＝log 2 k ，b ＝log 3 k ，c ＝log 6 k ， ∴a ＋bc ＝log 2 k log 6 k ＋log 3 k log 6 k ＝log k 6log k 2＋log k 6log k 3＝log 2 6＋log 3 6 ＝1＋log 2 3＋1＋log 3 2>2＋2＝4，又2＋log 2 3＋log 3 2<2＋2＋1＝5.故选C.8．(xx·安徽高考)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2， 即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解， 因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2 x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：{x |－1<x ≤0或x >2} ①当x ≤0时，3x ＋1>1∴x ＋1>0，∴－1<x ≤0；②当x >0时，log 2 x >1∴x >2，综上所述，x 的取值范围为{x |－1<x ≤0或x >2}．10．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0； ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ； ④2a ＋2c <2.解析：④ 画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图所示)， 由图象可知：a <0，b 的符号不确定，1>c >0，故①②错； ∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立．又2a ＋2c >22a ＋c ∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0∴－a >c ， ∴2－a >2c ，③不成立．11．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，记g (x )＝f (x )[f (x )＋f (2)－1]．若y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：⎝⎛⎦⎤0，12 由已知可得y ＝f (x )＝log a x ，∴g (x )＝log a x ·(log a x ＋log a 2－1)＝(log a x )2＋log a 2a ·log a x ．当a >1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 12，log a 2，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≥－12log a 2a ，解得a ≤12(舍去)；当0<a <1时，y ＝log a x 在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数，且log a x ∈⎣⎡⎦⎤log a 2，log a 12，若g (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，则必有log a 12≤－12log a 2a ，解得0<a ≤12. 12．(xx·沈阳监测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝(x ＋1)2，y ＝x 3中有三个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则函数f (x ＋1)的图象关于点A (1,0)对称； ④函数f (x )＝3x －2x －3，则方程f (x )＝0有2个实数根． 其中正确命题的序号是________．解析：①②④ 对于①，y ＝x －1在(0，＋∞)上单调递减，其他三个函数均为增函数，故①正确；对于②，结合对数函数的图象可知，底数小于1时，图象越靠近x 轴底数越小， 则0<n <m <1，故②正确；对于③，根据图象平移的左加右减的规律可知，f (x ＋1)的图象是由f (x )的图象向左平移了一个单位长度，故对称中心变为(－1,0)，故③不正确；对于④，令f (x )＝3x ，g (x )＝2x ＋3，作出它们的图象可以发现有两个交点，故④正确，正确命题的序号是①②④.13．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；或不存在，说明理由． 解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4 (a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3， 函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减， 又y ＝log 4 x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值等于0.14．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？(2)若f (x )是偶函数，试研究其在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ，∴f (－x )＝－f (x )， 即e x a ＋a e x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x a ＋a e －x ，整理得⎝⎛⎭⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0， 即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0显然无解．∴f (x )不可能是奇函数． (2)∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， 即e x a ＋a e x ＝e －x a ＋a e －x ， 整理得⎝⎛⎭⎫a －1a (e x －e －x )＝0， 又∵对任意x ∈R 都成立， ∴有a －1a＝0，得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝e －x ＋e x ，以下讨论其单调性， 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2) ＝e x 1＋e －x1－e x 2－e －x 2∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )＝e －x a ＋ae－x ，当a ＝1时，在(0，＋∞)为增函数，同理，当a ＝－1时，f (x )在(0，＋∞)为减函数．15．(xx·陕西调研)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵x ∈[－1,1]，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3，若t ＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎣⎡⎦⎤13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .∴h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．∵m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又∵h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2， ①12－6n ＝m 2， ② ②－①得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， ∴满足题意的m ，n 不存在．16．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )与g (x )的解析式；(2)若F (x )＝g (x )－λf (x )在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n .∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n ＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m ＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n ＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n ＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1. 又f (－1＋x )＝f (－1－x )， ∴m －2＝2－m ，即m ＝2. 又f (x )的图象过点(1,3)， ∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2， ∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称， ∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g(x)＝－x2＋2x.(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝2－2λ21＋λ＝1－λλ＋1，又∵F (x )在(－1,1]上是增函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>01－λ1＋λ≥1∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数． 综上λ的取值范围为(－∞，0]．.。
2019高三数学北师大版理科一轮：高考大题专项突破一1-1 导数与函数的单调性、极值、最值 含解析 精品
高考大题专项突破一函数、导数、方程、不等式1.1导数与函数的单调性、极值、最值1.(2017广西桂林模拟)已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.〚导学号21500794〛2.(2017浙江,20)已知函数f(x)=(x--)e-x(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间上的取值范围.〚导学号21500795〛3.(2017福建福州一模)已知函数f(x)=a ln x+x2-ax(a∈R).(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;(2)求g(x)=f(x)-2x在区间[1,e]的最小值h(a).4.(2017福建龙岩一模)已知函数f(x)=x2-2x+m ln x(m∈R),g(x)=-e x.(1)若m=-1,函数φ(x)=f(x)--(0<x≤e)的最小值为2,求实数a的值;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),求g(x1-x2)的最小值.5.(2017湖南邵阳一模)已知函数f(x)=x ln x-x2,直线l:y=(k-2)x-k+1,且k∈Z.(1)若存在x0∈[e,e2],使得f(x0)>0成立,求实数a的取值范围;(2)设a=0,当x>1时,函数f(x)的图像恒在直线l的上方,求k的最大值.〚导学号21500796〛6.(2017河北衡水中学三调,理21)已知函数f(x)=-ax,e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)的图像在点(e2,f(e2))处的切线方程为3x+4y-e2=0,求实数a,b的值;(2)当b=1时,若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f'(x2)+a成立,求实数a的最小值.参考答案高考大题专项突破一函数、导数、方程、不等式压轴大题1.1导数与函数的单调性、极值、最值1.解 (1)由题意知f'(x)=(x-k+1)e x.令f'(x)=0,得x=k-1.当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)<0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)的递减区间是(-∞,k-1),递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0 即k≤1时,f(x)在[0,1]上是增加的,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,f(x)在[0,k-1]上是减少的,在[k-1,1]上是增加的,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1 即k≥2时,f(x)在[0,1]上是减少的,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当1<k<2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.,(e-x)'=-e-x,2.解 (1)因为(x--)'=1--e-x-(x--)e-x所以f'(x)=-----.=-(2)由f'(x)=-----=0,解得x=1或x=.因为又f(x)=--1)2e-x≥0所以f(x)在区间上的取值范围是-.3.解 (1)f'(x)=+2x-a(x>0).∵x=3是函数f(x)的一个极值点,∴f'(3)=+6-a=0,解得a=9,∴f'(x)=--,∴当0<x<或x>3时,f'(x)>0,当<x<3时,f'(x)<0,∴f(x)的递增区间为,(3,+∞);f(x)的递减区间为.(2)g(x)=a ln x+x2-ax-2x,x∈[1,e],g'(x)=--.①当≤1 即a≤2时,g(x)在[1,e]上是增加的,g(x)min=g(1)=-a-1;②当1<<e,即2<a<2e时,g(x)在内是减少的,在上是增加的, 故g(x)min=g=a ln-a;③当≥e 即a≥2e时,g(x)在[1,e]上是减少的,故g(x)min=g(e)=a(1-e)+e(e-2).综上,h(a)=------4.解 (1)当m=-1时,φ(x)=x-ln x,φ'(x)=-,当a<0时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,e]上是减少的,φ(x)min=φ(e)=-1<0,不合题意.当a>0时,由φ'(x)>0,解得x>a,由φ'(x)<0,解得0<x<a,∴φ(x)在(0,a]上是减少的,φ(x)在(a,+∞)内是增加的.当0<a≤e时,φ(x)在(0,a)内是减少的,φ(x)在(a,e)内是增加的,φ(x)min=φ(a)=1-ln a=2,∴a=,合题意.当a>e时,φ(x)在(0,e]上是减少的,φ(x)min=φ(e)=-1=2,∴a=,不合题意.综上所述a=.(2)f'(x)=2x-2+-(x>0),令f'(x)=0,得2x2-2x+m=0,①∵f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),∴方程①在(0,+∞)内有两个不等实根x1,x2,∴-⇔0<m<,且x1+x2=1,0<x1<,x1-x2=x1-(1-x1)=2x1-1∈(-1,0),g'(x)=e x,当x∈--时,g'(x)<0;当x∈-时,g'(x)>0.g(x)在--内是减少的,g(x)在-内是增加的,∴g(x1-x2)的最小值为g-=--.5.解 (1)由题意可得x2<x ln x在[e,e2]上有解,即a<,令t(x)=,x∈[e,e2], ∴t'(x)=-,令t'(x)>0,解得0<x<e,令t'(x)<0,解得x>e,∴t(x)在(0,e)内是增加的,在[e,e2]内是减少的,∴当x=e时,t(x)max=t(e)=,∴a<,即a的取值范围是-.(2)由题意可知x ln x>x(k-2)-k+1在x∈(1,+∞)上恒成立,即k<--,令h(x)=--(x>1),∴h'(x)=---,令φ(x)=x-ln x-2(x>1),φ'(x)=1-->0,∴φ(x)在(1,+∞)内是增加的,又φ(3)=1-ln 3<0,φ(4)=2-ln 4>0,∴存在唯一实数x0∈(3,4),使得φ(x0)=0,即x0-ln x0-2=0,∴ln x0=x0-2, ∴h(x)在x∈(1,x0)上是减少的,在x∈(x0,+∞)上是增加的,∴h(x)min=h(x0)=-----=x0+1∈(4,5),∴k<h(x)min,又k∈Z,∴k的最大值为4.6.解 (1)f'(x)=--a(x>0,且x≠1由题意得f'(e2)=-a=-,f(e2)=-a e2=-e2,联立解得a=b=1.(2)当b=1时,f(x)=-ax,f'(x)=--a.∵x∈[e,e2],∴ln x∈[1,2],.∴f'(x)+a=-=--,∴[f'(x)+a]max=,x∈[e,e2].存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1 ≤f'(x2)+a成立⇔x∈[e,e2],f(x)min≤[f'(x)+a]max=.①当a≥时,f'(x ≤0 f(x)在x∈[e,e2]上为减函数,则f(x)min=f(e2)=-a e2≤,解得a≥.②当a<时,由f'(x)=---a在[e,e2]上的值域为--.(ⅰ)当-a≥0 即a≤0时,f'(x ≥0在x∈[e,e2]上恒成立,因此f(x)在[e,e2]上为增加的,∴f(x)min=f(e)=e-a e,不合题意,舍去.(ⅱ)当-a<0时,即0<a<时,由f'(x)的单调性和值域可知存在唯一x0∈(e,e2),使得f'(x0)=0, 且满足当x∈[e,x0),f'(x)<0,f(x)是减少的;当x∈(x0,e2)时,f'(x)>0,f(x)是增加的.∴f(x)min=f(x0)=-ax0≤,x0∈(e,e2).∴a≥,与0<a<矛盾.综上可得a的最小值为.。
高考真题精选3《函数的性质》
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题七 函数的性质（学生版）一．选择题（共21小题）1．（2017•北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()(f x )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数2．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠·C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈3．（2017•天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<4．（2015•天津）已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．（2013•天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]6．（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-且在区间[0，2]上是增函数，则( )/A ．(25)(80)(11)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(11)(80)f f f -<<7．（2009•陕西）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时，有( )A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-8．（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)！9．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= ) A ．2- B ．1 C ．0 D ．210．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为()A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数11．（2009•重庆）已知函数()f x 周期为4，且当(1x ∈-，3]时，(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．，8)3B ．C ．4(3，8)3D ．4(312．（2004•天津）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0x ∈，]2π时，()sin f x x =，则5()3f π的值为( )A ．12-B ．12C ．D 》13．（2018•全国）2()(32)f x ln x x =-+的递增区间是( )A ．(,1)-∞B ．3(1,)2C ．3(2，)+∞D ．(2,)+∞14．（2015•全国）设函数212log (45)y x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为() A ．2B ．1C ．1-D ．2-15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m16．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -= B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =~17．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( )A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞18．（2013•天津）已知函数()(1||)f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11[,]22A -⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．13(0,)+ D ．(-∞ 19．（2017•新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若f （1）1=-，则满足1(2)1f x --的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2]B ．[1-，1]C ．[0，4]D ．[1，3]<20．（2017•全国）函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称，则()(f x =)A ．(1)ln x --B ．(1)ln x -+C ．(1)ln x --D ．(1)ln x +21．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1()(mi i i x y =+=∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m二．填空题（共8小题）22．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 ．23．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．24．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = ．/25．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题七 函数的性质（教师版）一．选择题（共21小题）1．（2017•北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()(f x )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数,【答案】B【解析】1()3()333x x x x f x -=-=-，()33()x x f x f x -∴-=-=-，即函数()f x 为奇函数，又由函数3x y =为增函数，1()3x y =为减函数，故函数1()3()3x x f x =-为增函数，2．（2012•天津）下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．cos2y x =，x R ∈B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．,2x xe e y x R --=∈D ．31y x =+，x R ∈【答案】B【解析】对于A ，令()cos2y f x x ==，则()cos(2)cos2()f x x x f x -=-==，为偶函数，【而()cos2f x x =在[0，]2π上单调递减，在[2π，]π上单调递增，故()cos2f x x =在(1，]2π上单调递减，在[2π，2)上单调递增，故排除A ；对于B ，令2()log ||y f x x ==，x R ∈且0x ≠，同理可证()f x 为偶函数，当(1,2)x ∈时，22()log ||log y f x x x ===，为增函数，故B 满足题意；对于C ，令(),2x xe e yf x x R --==∈，()()f x f x -=-，为奇函数，故可排除C ；而D ，为非奇非偶函数，可排除D ；故选：B ．3．（2017•天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】C?【解析】奇函数()f x 在R 上是增函数，221(log )(log 5)5a f f ∴=-=，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，又0.822122log 4.1log 5<<<<，0.822(2)(log 4.1)(log 5)f f f ∴<<，即c b a <<．4．（2015•天津）已知定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】()f x 为偶函数；()()f x f x ∴-=；||||2121x m x m ---∴-=-；||||x m x m ∴--=-；22()()x m x m --=-；0mx ∴=；0m ∴=；||()21x f x ∴=-；;()f x ∴在[0，)+∞上单调递增，并且0.52(|log 3|)(log 3)a f f ==，2(log 5)b f =，(0)c f =；220log 3log 5<<；c a b ∴<<．故选：C ．5．（2013•天津）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则212(log )(log )2f a f a f +（1）为：2(log )f a f （1），因为函数()f x 在区间[0，)+∞上单调递增，所以2|log |1a ，解得122a ， 》则a 的取值范围是1[2，2]，故选：A ．6．（2009•山东）已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A ．(25)(80)(11)f f f -<< B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(11)(80)f f f -<<【答案】A 【解析】(4)()f x f x -=-，(8)(4)()f x f x f x ∴-=--=，即函数的周期是8，则(11)f f =（3）(34)(1)f f f =--=--=（1），(80)(0)f f =，(25)(1)f f -=-， ()f x 是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，()f x ∴在区间[2-，2]上是增函数，'(1)(0)f f f ∴-<<（1），即(25)(80)(11)f f f -<<，故选：A ．7．（2009•陕西）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->．则当*n N ∈时，有( )A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】C【解析】1x ，2(x ∈-∞，120]()x x ≠，有2121()(()())0x x f x f x -->21x x ∴>时，21()()f x f x >()f x ∴在(-∞，0]为增函数()f x 为偶函数()f x ∴在(0,)+∞为减函数，而110n n n +>>-，~(1)()(1)f n f n f n ∴+<<-，(1)()(1)f n f n f n ∴+<-<-8．（2008•全国卷Ⅰ）设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)【答案】D【解析】由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，即x 与()f x 异号，而f （1）0=，则(1)f f -=-（1）0=，又()f x 在(0,)+∞上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上也为增函数， 、当01x <<时，()f x f <（1）0=，得()0f x x<，满足；当1x >时，()f x f >（1）0=，得()0f x x>，不满足，舍去； 当10x -<<时，()(1)0f x f >-=，得()0f x x<，满足； 当1x <-时，()(1)0f x f <-=，得()0f x x>，不满足，舍去； 所以x 的取值范围是10x -<<或01x <<．故选：D ．9．（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-，则f （6）(= ) A ．2- B ．1 C ．0 D ．2【答案】D)【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1．f ∴（6）f =（1）， 当11x -时，()()f x f x -=-，f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-，(1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=，f ∴（6）2=． 10．（2013•湖北）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为()A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D 【解析】()[]f x x x =-，(1)(1)[1]1[]1[]()f x x x x x x x f x ∴+=+-+=+--=-=，$()[]f x x x ∴=-在R 上为周期是1的函数．故选：D ．11．（2009•重庆）已知函数()f x 周期为4，且当(1x ∈-，3]时，(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．，8)3B ．C ．4(3，8)3D ．4(3【答案】B【解析】当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)11(0)y x y m -+==相交，%而与第三个半椭圆222(8)11y x m-+==(0)y 无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)11y x m -+==(0)y 得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m ，同样由3x y =与第三个椭圆222(8)11y x m -+==(0)y 由△0<可计算得m <，综上可知m ∈故选：B ．12．（2004•天津）定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数．若()f x 的最小正周期是π，且当[0x ∈，]2π时，()sin f x x =，则5()3f π的值为( )A ．12-B ．12C ．D )【答案】D 【解析】()f x 的最小正周期是π55()(2)()333f f f ππππ∴=-=-函数()f x 是偶函数5()()sin 333f f πππ∴===．故选：D ． 13．（2018•全国）2()(32)f x ln x x =-+的递增区间是( )A ．(,1)-∞B ．3(1,)2C ．3(2，)+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】令232(1)(2)0t x x x x =-+=-->，求得1x <或2x >，故函数的定义域为{|1x x <或2x >}，()f x lnt =，本题即求函数t 在定义域内的增区间．》结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2,)+∞，故选：D ．14．（2015•全国）设函数212log (45)y x x =++在区间(,)a +∞是减函数，则a 的最小值为() A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】D【解析】可令245t x x =++，由12()log f x t =在(0,)+∞递减，可得245t x x =++在(,)a +∞是增函数，且0t >在(,)a +∞恒成立，可得2a -且2450a a ++，解得2a -，则a 的最小值是2-．故选：D ．15．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ ):A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数2|23|y x x =--的图象也关于直线1x =对称，故函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点也关于直线1x =对称，故122mi i mx m ==⨯=∑，故选：B ．16．（2017•山东）若函数()( 2.71828x e f x e =⋯是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( ) A ．()2x f x -= B ．2()f x x =C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =(【答案】A【解析】当()2x f x -=时，函数()()2x x ee f x =在R 上单调递增，函数()f x 具有M 性质，17．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是( ) A ．1(,)2-∞B ．(-∞，13)(22⋃，)+∞C ．1(2，3)2D ．3(2，)+∞【答案】C 【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，()f x ∴在(0,)+∞上单调递减．-|1|20a ->，(f f =，1|1|222a -∴<．1|1|2a ∴-<，解得1322a <<．故选：C ． 18．（2013•天津）已知函数()(1||)f x x a x =+．设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11[,]22A -⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．B ．C ．13(0,)+ D ．(-∞ 【答案】A【解析】取12a =-时，1()||2f x x x x =-+，()()f x a f x +<，11()||1||22x x x x ∴--+>，（1）0x <时，解得304x -<<；（2）102x 时，解得102x ；（3）12x >时，解得1524x <<，综上知，12a =-时，3(4A =-，5)4，符合题意，排除B 、D ；取1a =时，()||f x x x x =+，()()f x a f x +<，(1)|1|1||x x x x ∴+++<，（1）1x <-时，解得0x >，矛盾；（2）10x -，解得0x <，矛盾；（3）0x >时，解得1x <-，矛盾；综上，1a =，A =∅，不合题意，排除C ，故选：A ． 19．（2017•新课标Ⅰ）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若f （1）1=-，则满足1(2)1f x --的x 的取值范围是( ) A ．[2-，2] B ．[1-，1] C ．[0，4] D ．[1，3]【答案】D【解析】函数()f x 为奇函数．若f （1）1=-，则(1)1f -=，又函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，1(2)1f x --，.f ∴（1）(2)(1)f x f --，121x ∴--，解得：[1x ∈，3]，故选：D ．20．（2017•全国）函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称，则()(f x =)A ．(1)ln x --B ．(1)ln x -+C ．(1)ln x --D ．(1)ln x +【答案】C【解析】根据题意，函数()y f x =的图象与函数(1)y ln x =-的图象关于y 轴对称， 则有()(1)f x ln x -=-，则()(1)f x ln x =--；故选：C ．21．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1()(mi i i x y =+=∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()2()f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=，可得()f x 关于点(0,1)对称，函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点(0,1)对称， 即有1(x ，1)y 为交点，即有1(x -，12)y -也为交点，2(x ，2)y 为交点，即有2(x -，22)y -也为交点，⋯则有11221()()()()mi i m m i x y x y x y x y =+=++++⋯++∑111122221[()(2)()(2)()(2)]2m m m m x y x y x y x y x y x y =++-+-+++-+-+⋯+++-+-m =． 二．填空题（共8小题）22．（2016•天津）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，若实数a满足|1|(2)(a f f ->，则a 的取值范围是 ． 【答案】1(2，3)2【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增，()f x ∴在区间[0，)+∞上单调递减，则|1|(2)(a f f ->，等价为|1|(2)a f f ->，即|1|2a -<1|1|2a -<，即1322a <<，故答案为：1(2，3)223．（2014•新课标Ⅱ）已知偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．【答案】(1,3)-【解析】偶函数()f x 在[0，)+∞单调递减，f （2）0=，∴不等式(1)0f x ->等价为(1)f x f ->（2），即(|1|)f x f ->（2），|1|2x ∴-<，解得13x -<<，故答案为：(1,3)-24．（2016•全国）定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，则(25)f = ．【答案】0【解析】定义域为R 的偶函数()f x 为周期函数，其周期为8，当[4x ∈-，0]时，()1f x x =+，(25)(831)f f f ∴=⨯+=（1）(1)110f =-=-+=． 故答案为：0．25．（2012•江苏）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1-，1]上，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩其中a ，b R ∈．若13()()22f f =，则3a b +的值为 ．【答案】10-【解析】()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，1,10()2,011ax x f x bx x x +-<⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪+⎩，311()()1222f f a ∴=-=-，14()23b f +=；又13()()22f f =，14123b a +∴-=① 又(1)f f -=（1），20a b ∴+=，②由①②解得2a =，4b =-；310a b ∴+=-．故答案为：10-．。
十年高考真题汇编(北京卷,含解析)函数的概念和性质
十年高考真题（2011-2020）（北京卷）专题03函数概念与基本初等函数本专题考查的知识点为：基本初等函数，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：函数的实际应用，函数的性质（单调性、奇偶性），分段函数，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以函数的实际应用，分段函数为重点较佳.1．【2020年北京卷06】已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是（）． A ．(−1,1)B ．(−∞,−1)∪(1,+∞)C ．(0,1)D ．(−∞,0)∪(1,+∞)2．【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A ．√23f B ．√223f C ．√2512fD ．√2712f3．【2017年北京理科05】已知函数f （x ）＝3x ﹣（13）x ，则f （x ）（ ） A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数4．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN 最接近的是（ ）（参考数据：lg 3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．10935．【2015年北京理科07】如图，函数f （x ）的图象为折线ACB ，则不等式f （x ）≥log 2（x +1）的解集是（ ）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}6．【2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油7．【2014年北京理科02】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=√x+1B．y＝（x﹣1）2C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1）8．【2013年北京理科05】函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1x＜A 9．【2011年北京理科06】根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)=√xx≥A√A（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25B．75，16C．60，25D．60，1610．【2011年北京理科08】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}11．【2018年北京理科13】能说明“若f （x ）＞f （0）对任意的x ∈（0，2]都成立，则f （x ）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ． 12．【2015年北京理科14】设函数f （x ）={2x −a ，x ＜14(x −a)(x −2a)，x ≥1，①若a ＝1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．13．【2012年北京理科14】已知f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3），g （x ）＝2x ﹣2，若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0； ②∃x ∈（﹣∞，﹣4），f （x ）g （x ）＜0． 则m 的取值范围是 ．14．【2011年北京理科13】已知函数f(x)={2x，x ≥2(x −1)3，x ＜2若关于x 的方程f （x ）＝k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是 ．1．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】已知函数f(x)={f(x +2) , x <22−x , x ≥2，那么f(−3)=（）A ．18B ．12C ．2D ．82．函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <03．【2020届北京市第十一中学高三一模】设函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x 2，则使得f(x)>f(1)成立的x 的取值范围是（）． A ．(1,+∞) B ．(−∞,−1)∪(1,+∞) C ．(−1,1)D ．(−1,0)∪(0,1)4．【北京市朝阳区2019-2020学年高三上学期期末】已知函数f(x)=e |x|− e −|x|，则f(x)（） A ．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练】已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则 A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a7．【北京市第四中学2017届高三上学期期中】已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若|f(x)|≥ax ，则a的取值范围是（） A ．(−∞,0]B ．(−∞,1]C ．[−2,1]D ．[−2,0]8．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知a =log √32，b =log 0.20.3，c =tan 11π3，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c <b <a B ．b <a <c C ．c <a <bD ．b <c <a9．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末】下列函数中，值域为[0,+∞)且为偶函数的是（） A ．y =x 2B ．y =|x −1|C ．y =cosxD ．y =lnx10．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH =−lg[H +]，其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10−2摩尔/升，则胃酸的pH 是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．1.398B．1.204C．1.602D．2.60211．【2020届北京市高考适应性测试】下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是（）A．y=√x+1B．y=x2−1C．y=(12)x D．y=log2x12．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x13．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知三个函数y=x3，y=3x，y=log3x，则()A．定义域都为R B．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数14．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】已知函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)，则f(x)（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数D．是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数15．【北京市通州区2020届高考一模】已知a，3，b，9，c成等比数列，且a>0，则log3b−log3c等于（）A．−1B．−12C．12D．116．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m )，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q17．已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R．（）A．若f(a)≤|b|，则a≤b B．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥b D．若f(a)≥2b，则a≥b18．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】已知函数f(x)=√9−x 2|6−x|−6，则函数的奇偶性为（）A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数不是偶函数D ．是偶函数不是奇函数19．设f(x)是R 上的奇函数，且f(x +2)=−f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=（） A ．1.5B ．-1.5C ．0.5D ．-0.520．【2019届北京市一零一中学高三下学期月考】若f(x)={a x ,(x >1)(4−a 2)x +2,(x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,+∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)21．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝2x 2﹣2x .若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣89，则m 的取值范围是_____.22．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中】若函数f(x)=xln(x +√a +x 2)为偶函数，则a =．23．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y =x 2+1；②y =|x +1|+|x +2|；③y =2x +1；④y =x 2+cosx ，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.24．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f(x)−f(−x)x<0的解集为________.25．若函数f(x)={x 2+2x,(x ≥0)g(x),(x <0)为奇函数，则f(g(−1))=________．26．【2019届北京市清华大学附属中学高三下学期5月考试卷】已知函数f(x)=a x +b(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a +b =.27．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若函数f(x)={e x ,x ≤0x 2−1,x >0，则函数y =f(x)−1的零点是___________.28．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x +cosx ，给出下列结论：①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值； ②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数； ③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）29．【北京市2020届高考数学预测卷】已知函数f(x)=e x −e −x ，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号） ①f(x)是奇函数；②f(x)在R 上是单调递增函数；③方程f(x)=x 2+2x 有且仅有1个实数根；④如果对任意x ∈(0 ，+∞)，都有f(x)>kx ，那么k 的最大值为2.30．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)={ax +1,x ≤0|lnx|,x >0，给出下列三个结论：①当a =−2时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1)； ②若函数f(x)无最小值，则a 的取值范围为(0,+∞)；③若a <1且a ≠0，则∃b ∈R ，使得函数y =f(x)−b .恰有3个零点x 1，x 2，x 3，且x 1x 2x 3=−1． 其中，所有正确结论的序号是______．1．【2020年北京卷06】已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是（）． A ．(−1,1)B ．(−∞,−1)∪(1,+∞)C ．(0,1)D ．(−∞,0)∪(1,+∞) 【答案】D 【解析】因为f (x )=2x −x −1，所以f (x )>0等价于2x >x +1， 在同一直角坐标系中作出y =2x 和y =x +1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式2x >x +1的解为x <0或x >1.所以不等式f (x )>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞). 故选：D.2．【2018年北京理科04】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A ．√23f B ．√223f C ．√2512fD ．√2712f【答案】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212． 若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为：(√212)7⋅f =√2712f ． 故选：D ．3．【2017年北京理科05】已知函数f（x）＝3x﹣（13）x，则f（x）（）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】解：f（x）＝3x﹣（13）x＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y＝3x为增函数，y＝（13）x为减函数，故函数f（x）＝3x﹣（13）x为增函数，故选：A．4．【2017年北京理科08】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053C．1073D．1093【答案】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴MN ≈101731080=1093，故选：D．5．【2015年北京理科07】如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}【答案】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y＝log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x ≤1}；故选：C．6．【2015年北京理科08】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油【答案】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故C正确；对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误．故选：C．7．【2014年北京理科02】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=√x+1B．y＝（x﹣1）2C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1）【答案】解：由于函数y=√x+1在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y＝（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y＝2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y＝log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．8．【2013年北京理科05】函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f（x）＝（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【答案】解：函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y＝e﹣（x+1）＝e﹣x﹣1．即f（x）＝e﹣x﹣1．故选：D．9．【2011年北京理科06】根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)=√xx＜AAx≥A （A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A．75，25B．75，16C．60，25D．60，16【答案】解：由题意可得：f（A）=√A=15，所以c＝15√A而f（4）=√4=30，可得出15√A2=30故√A=4，可得A＝16从而c＝15√A=60故选：D．10．【2011年北京理科08】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（）A．{9，10，11}B．{9，10，12}C．{9，11，12}D．{10，11，12}【答案】解：当t＝0时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N（t）＝9，故选项D不正确．当t＝1时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），同理知N（t）＝12，故选项A不正确．当t＝2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），同理知N（t）＝11，故选项B不正确．故选：C．11．【2018年北京理科13】能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【答案】解：例如f（x）＝sin x，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，π2）上为增函数，在（π2，2]为减函数，故答案为：f（x）＝sin x．12．【2015年北京理科14】设函数f（x）={2x−a，x＜14(x−a)(x−2a)，x≥1，①若a＝1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．【答案】解：①当a ＝1时，f （x ）={2x −1，x ＜14(x −1)(x −2)，x ≥1，当x ＜1时，f （x ）＝2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）＝4（x ﹣1）（x ﹣2）＝4（x 2﹣3x +2）＝4（x −32）2﹣1，当1＜x ＜32时，函数单调递减，当x ＞32时，函数单调递增， 故当x =32时，f （x ）min ＝f （32）＝﹣1，②设h （x ）＝2x ﹣a ，g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）＝与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x ＝1时，h （1）＝2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2， 而函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1， 所以12≤a ＜1，若函数h （x ）＝2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）＝2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1＝a ，x 2＝2a ，都是满足题意的， 综上所述a 的取值范围是12≤a ＜1，或a ≥2．13．【2012年北京理科14】已知f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3），g （x ）＝2x ﹣2，若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0； ②∃x ∈（﹣∞，﹣4），f （x ）g （x ）＜0． 则m 的取值范围是 ．【答案】解：对于①∵g （x ）＝2x ﹣2，当x ＜1时，g （x ）＜0， 又∵①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0∴f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面则{m ＜0−m −3＜12m ＜1∴﹣4＜m ＜0即①成立的范围为﹣4＜m ＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．14．【2011年北京理科13】已知函数f(x)={2x，x≥2(x−1)3，x＜2若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根，则数k的取值范围是．【答案】解：函数f(x)={2x，x≥2(x−1)3，x＜2的图象如下图所示：由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f（x）＝k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）1．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】已知函数f(x)={f(x +2) , x <22−x , x ≥2，那么f(−3)=（）A ．18B ．12C ．2D ．8【答案】A 【解析】f(−3)=f(−1)=f(1)=f(3)=18,故选A ；2．函数f(x)=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 【答案】C 【解析】函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以−c >0,c <0，f(0)=bc 2>0,∴b >0，由f(x)=0,∴ax +b =0,即x =−ba ，即函数的零点x =−ba >0∴a <0∴a〈0.b〉0,c <0，故选C ．3．【2020届北京市第十一中学高三一模】设函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x 2，则使得f(x)>f(1)成立的x 的取值范围是（）．A．(1,+∞)B．(−∞,−1)∪(1,+∞) C．(−1,1)D．(−1,0)∪(0,1)【答案】B【解析】由题意知：f(x)定义域为R，∵f(−x)=ln(1+|−x|)−11+(−x)2=ln(1+|x|)−11+x2=f(x)，∴f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)=ln(1+x)−11+x2，∵y=ln(1+x)在[0,+∞)上单调递增，y=11+x2在[0,+∞)上单调递减，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，则f(x)在(−∞,0]上单调递减，由f(x)>f(1)得：|x|>1，解得：x<−1或x>1，∴x的取值范围为(−∞,−1)∪(1,+∞).故选：B.4．【北京市朝阳区2019-2020学年高三上学期期末】已知函数f(x)=e|x|− e−|x|，则f(x)（）A．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】函数f(x)=e|x|− e−|x|的定义域为R，f(−x)=e|−x|− e−|−x|=e|x|− e−|x|=f(x)，即f(−x)=f(x)，∴f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=e x− e−x,y=e x为增函数，y= e−x为减函数，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，故选：C5．【北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长1 2%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年【答案】C 【解析】根据题意，设第n 年开始超过200万元， 则130×(1+12%)n−2018>200， 化为：(n −2018)lg 1.12>lg 2−lg 1.3， 解可得：n −2018>lg 2−lg 1.3lg 1.12≈3.8；则n ≥2022. 故选：C ．6．【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练】已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则 A ．a <b <c B ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a【答案】B 【解析】a =log 20.2<log 21=0,b =20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c <1,a <c <b ．故选B ． 7．【北京市第四中学2017届高三上学期期中】已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若|f(x)|≥ax ，则a的取值范围是（） A ．(−∞,0] B ．(−∞,1]C ．[−2,1]D ．[−2,0]【答案】D 【解析】作出y =|f(x)|的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f(x)|，则a ≤0，且ax ≤x 2−2x(x <0)，即a ≥x −2对任意x <0恒成立，所以a ≥−2.综上，−2≤a ≤0. 故选：D.8．【2020届北京市朝阳区六校联考高三年级四月份测试】已知a =log √32，b =log 0.20.3，c =tan11π3，则a，b，c的大小关系是（）A．c<b<a B．b<a<c C．c<a<b D．b<c<a 【答案】A【解析】由对数函数的单调性可知a=log√32>log√3√3=1，0<b=log0.20.3<log0.20.2=1，由正切函数的性质得c=tan11π3=tan2π3=−√3<0，故c<0<b<1<a.故选：A.9．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末】下列函数中，值域为[0,+∞)且为偶函数的是（）A．y=x2B．y=|x−1|C．y=cosx D．y=lnx【答案】A【解析】对于A，由(−x)2=x2可得函数y=x2为偶函数，且y=x2的值域为[0,+∞)，故A正确；对于B，由|−x−1|=|x+1|可得y=|x−1|为非奇非偶函数，故B错误；对于C，函数y=cosx的值域为[−1,1]，故C错误；对于D，函数y=lnx的值域为(−∞,+∞)，故D错误.故选：A.10．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH=−lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2. 5×10−2摩尔/升，则胃酸的pH是（）（参考数据：lg2≈0.3010）A．1.398B．1.204C．1.602D．2.602【答案】C【解析】依题意pH=−lg(2.5×10−2)=−lg2.5100=lg1002.5=lg40=lg(4×10)=lg4+lg10=2lg2+1≈2×0.3010+1=1.602.故选：C11．【2020届北京市高考适应性测试】下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是（）)x D．y=log2xA．y=√x+1B．y=x2−1C．y=(12【答案】C【解析】对于A选项，函数y=√x+1在区间(0,+∞)上为增函数；对于B选项，函数y=x2−1在区间(0,+∞)上为增函数；)x在区间(0,+∞)上为减函数；对于C选项，函数y=(12对于D选项，函数y=log2x在区间(0,+∞)上为增函数.故选：C.12．【2020届北京市人民大学附属中学高考模拟（4月份）】下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y=x+2B．y=sinx C．y=x−x3D．y=2x【答案】C【解析】A.y=x+2，值域为R，非奇非偶函数，排除；B.y=sinx，值域为[−1,1]，奇函数，排除；C.y=x−x3，值域为R，奇函数，满足；D.y=2x，值域为(0,+∞)，非奇非偶函数，排除；故选：C.13．【北京市东城区2020届高三第二学期二模】已知三个函数y=x3，y=3x，y=log3x，则()A．定义域都为R B．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数【答案】C【解析】函数y=log3x的定义域为（0，+∞），即A错误；函数y=3x的值域是（0，+∞），即B错误；函数y=3x和y=log3x是非奇非偶函数，即D错误，三个函数在定义域内都是增函数，只有C正确．故选：C.14．【北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）（二模）】已知函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)，则f(x)（）A ．是奇函数，且在定义域上是增函数B ．是奇函数，且在定义域上是减函数C ．是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数D ．是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数 【答案】B 【解析】根据题意，函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)，则有{1−x >01+x >0，解可得−1<x <1，即f(x)的定义域为(−1,1)；设任意x ∈(−1,1)，f(−x)=ln(1+x)−ln(1−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数； f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)=ln 1−x1+x ，其导数f ′(x)=2x 2−1， 在区间(−1,1)上，f ′(x)<0，则f(x)为(−1,1)上的减函数； 故选：B.15．【北京市通州区2020届高考一模】已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且a >0，则log 3b −log 3c 等于（） A ．−1 B ．−12C ．12D ．1【答案】A 【解析】a ，3，b ，9，c 成等比数列， 则bc =81，b 2=27， ∴b 2bc=b c=13，∴log 3b −log 3c =log 313=−1， 故选：A.16．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m )，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】D【解析】由图知固定位置到A点距离大于到点C距离，所以舍去N,M点，不选B,C;若是P点，则从最高点到C点依次递减，与图1矛盾，因此取Q,即选D.17．已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R．（）A．若f(a)≤|b|，则a≤b B．若f(a)≤2b，则a≤bC．若f(a)≥|b|，则a≥b D．若f(a)≥2b，则a≥b【答案】B【解析】可设f(x)={2x(x≥0)2−x(x<0)，则f（x）满足题意.易知f(1)=2≤|−5|=5,但1＞−5,排除A.f(2)=4≥|3|=3，但2＜3,排除C.f(−2)=4≥|2|=2，但−2<1,排除D.故选B.18．【2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考】已知函数f(x)=√9−x2|6−x|−6，则函数的奇偶性为（）A．既是奇函数也是偶函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是奇函数不是偶函数D．是偶函数不是奇函数【答案】C【解析】由9−x2≥0⇒−3≤x≤3⇒6−x>0，所以f(x)=√9−x2|6−x|−6=√9−x26−x−6=√9−x2−x，可得函数定义域为−3≤x≤3且x≠0，关于原点对称，又因为f(−x)=√9−(−x)2x =−√9−x2−x=−f(x)，所以函数是奇函数不是偶函数，故选：C.19．设f(x)是R上的奇函数，且f(x+2)=−f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）A．1.5B．-1.5C．0.5D．-0.5【答案】D【解析】由f(x+2)=−f(x)有f(7.5)=−f(5.5)=f(3.5)=−f(1.5)=f(−0.5),又f(x)是R上的奇函数则f(−0.5)=−f(0.5)=−0.5.故选：D20．【2019届北京市一零一中学高三下学期月考】若f(x)={a x,(x>1)(4−a2)x+2,(x≤1)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．(1,+∞)B．[4,8)C．(4,8)D．(1,8)【答案】B【解析】因为f(x)为R上的单调增函数，故{a>1 4−a2>0a≥4−a2+2，解得4≤a<8.故选：B.21．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣89，则m的取值范围是_____.【答案】（﹣∞，43]；【解析】因为f(x+1)=2f(x)，∴f(x)=2f(x−1)，∵x∈(0，1]时，f(x)=2x(x−1)∈[−12，0]，∴x∈(1，2]时，x−1∈(0，1]，f(x)=2f(x−1)=4(x−1)(x−2)∈[−1，0]；当x∈(1，2]时，由4(x−1)(x−2)=−89解得x=43或x=53，若对任意x∈(−∞，m]，都有f(x)⩾−89，则m⩽43．故答案为：(−∞，43]．22．【2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中】若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数，则a=．【答案】1【解析】由函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数⇒函数g(x)=ln(x+√a+x2)为奇函数，g(0)=lna=0⇒a=1．23．【北京市通州区2020届高考一模】给出下列四个函数，①y=x2+1；②y=|x+1|+|x+2|；③y= 2x+1；④y=x2+cosx，其中值域为[1,+∞)的函数的序号是______.【答案】①②④【解析】①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1,+∞)，符合题意；②y=|x+1|+|x+2|≥|(x+1)−(x+2)|=1，故值域为[1,+∞)，符合题意；③∵2x>0，∴2x+1>1，故值域为(1,+∞)，不合题意；④函数f(x)=x2+cosx为偶函数，且f′(x)=2x−sinx，f″(x)=2−cosx>0，故f′(x)在R上单调递增，又f ′(0)=0，故当x ∈(0,+∞)时，f(x)单调递增， 则当x ∈(−∞,0)时，f(x)单调递减， 又f(0)=1，故其值域为[1,+∞)，符合题意. 故答案为：①②④.24．【2020届北京理工大附中高三上学期9月开学】设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f(x)−f(−x)x<0的解集为________.【答案】(－1，0)∪(0，1) 【解析】因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0， 所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数. 因为f(x)−f(−x)x＝2·f(x)x<0，即{x >0f(x)<0或{x <0f(x)>0 解得x ∈(－1，0)∪(0，1). 故答案为：(－1，0)∪(0，1).25．若函数f(x)={x 2+2x,(x ≥0)g(x),(x <0)为奇函数，则f(g(−1))=________．【答案】−15 【解析】根据题意，当x <0时，f(x)=g(x),f(x)为奇函数，f(g(−1))=f(f(−1))=f(−f(1))=−f(f(1))=−f (3)=−(32+2×3)=−15，则 故答案为−15.26．【2019届北京市清华大学附属中学高三下学期5月考试卷】已知函数f(x)=a x +b(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a +b =. 【答案】−32 【解析】若a >1，则f(x)在[−1,0]上为增函数,所以{a −1+b =−11+b =0，此方程组无解； 若0<a <1，则f(x)在[−1,0]上为减函数,所以{a −1+b =01+b =−1，解得{a =12b =−2，所以a +b =−32.27．【2020届北京市顺义区高三第一次模拟】若函数f(x)={e x,x≤0x2−1,x>0，则函数y=f(x)−1的零点是_ __________.【答案】0或√2【解析】解：要求函数y=f(x)−1的零点,则令y=f(x)−1=0,即f(x)=1,又因为：f(x)={e x,x≤0x2−1,x>0,①当x≤0时,f(x)=e x,e x=1,解得x=0.②当x>0时,f(x)=x2−1,x2−1=1,解得x=±√2（负值舍去）,所以x=√2.综上所以,函数y=f(x)−1的零点是0或√2.故答案为：0或√228．【北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）】已知函数f(x)=1x+cosx，给出下列结论：①f(x)在(0，π]上有最小值，无最大值；②设F(x)=f(x)−f(−x)，则F(x)为偶函数；③f(x)在(0，2π)上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】①，由于x∈(0,π]，所以f′(x)=−1x2−sinx<0，所以f(x)在(0,π]上递减，所以f(x)在(0,π]上有最小值，无最大值，故①正确.②，依题意F(x)=f(x)−f(−x)=1x +cosx−[−1x−cos(−x)]=2x，由于F(−x)≠F(x)，所以F(x)不是偶函数，故②错误.③，令f(x)=0得cosx=−1x ，画出y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像如下图所示，由图可知y=cosx和y=−1x在区间(0,2π)上的图像有两个交点，则f(x)在(0，2π)上有两个零点，故③正确. 故答案为：①③29．【北京市2020届高考数学预测卷】已知函数f(x)=e x−e−x，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号）①f(x)是奇函数；②f(x)在R上是单调递增函数；③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根；④如果对任意x∈(0 ，+∞)，都有f(x)>kx，那么k的最大值为2.【答案】①②④【解析】根据题意，依次分析四个命题：对于①中，f(x)=e x−e−x，定义域是R，且f(−x)=e−x−e x=−f(x),f(x)是奇函数，所以是正确的；对于②中，若f(x)=e x−e−x，则f′(x)=e x+e−x>0，所以f(x)的R递增，所以是正确的；对于③中，f(x)=x2+2x，令g(x)=e x−e−x−x2−2x，令x=0可得，g(0)=0，即方程f(x)=x2+2x有一根x=0，g(3)=e3−1e3−13〈0,g(4)=e4−1e4−20〉0，则方程f(x)=x2+2x有一根(3,4)之间，所以是错误的；对于④中，如果对于任意x∈(0,+∞)，都有f(x)>kx，即e x−e−x−kx>0恒成立，令ℎ(x)=e x−e−x−kx，且ℎ(0)=0，若ℎ(x)>0恒成立，则必有ℎ′(x)=e x+e−x−k>0恒成立，若e x+e−x−k>0，即k<e x+e−x=e x+1e x恒成立，而e x+1e x≥2，若有k<2，所以是正确的，综上可得①②④正确.30．【北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习（二模）】已知函数f(x)={ax +1,x ≤0|lnx|,x >0，给出下列三个结论：①当a =−2时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1)； ②若函数f(x)无最小值，则a 的取值范围为(0,+∞)；③若a <1且a ≠0，则∃b ∈R ，使得函数y =f(x)−b .恰有3个零点x 1，x 2，x 3，且x 1x 2x 3=−1． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【解析】对于①，当a =−2时，由0<e −2<1，f(0)=1<f(e −2)=|lne −2|=2，所以函数f(x)在区间(−∞,1)不单调递减，故①错误；对于②，函数f(x)={ax +1,x ≤0|lnx|,x >0可转化为f(x)={ax +1,x ≤0−lnx,0<x ≤1lnx,x >1，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数f(x)无最小值，则a 的取值范围为(0,+∞)，故②正确；对于③，令y =f(x)−b =0即f(x)=b ，结合函数图象不妨设x 1<0<x 2<1<x 3， 则ax 1+1=−lnx 2=lnx 3=b ， 所以x 1=b−1a，x 2=e −b ，x 3=e b ，所以x 2⋅x 3=e −b ⋅e b =1，令x 1=b−1a =−1即b =−a +1，当a <0时，b =−a +1>1，y =f(x)−b =0存在三个零点，且x 1x 2x 3=−1，符合题意； 当0<a <1时，0<b =−a +1<1，y =f(x)−b =0存在三个零点，且x 1x 2x 3=−1，符合题意；故③正确.故答案为：②③.。
2023年高考数学试题分类解析【第三章 函数】附答案解析
2023年高考数学试题分类解析【第三章函数】第二节函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13，文科14）若()21sin 2y x ax x π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则a =.【分析】利用偶函数的性质得到22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【解析】因为()()()221sin 1cos 2y f x x ax x x ax x π⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221cos 1cos 222222a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2211222a ππ⎛⎫⎛⎫π=+--=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故a =2，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos 1cos f x x x x x f x -=-++-=++=，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为2.2.（2023全国乙卷理科4，文科5）已知()e e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（）A.2- B.1- C.1D.2【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为()e e 1xax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x xx x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a xx --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选D.3.（2023新高考I 卷11）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数D.0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x yxy=+，故可以设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，解得12ex ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减.()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误.故选ABC.4.（2023新高考II 卷4）若()()21ln21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）A.1-B.0C.12D.1【解析】()()2111ln ,,,2122x f x x a x x -⎛⎫⎛⎫=+∈-∞-+∞ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()2121lnln 2121x x f x x a x a x x --+-=-+=-+-+-.因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-，即()()()212121lnln ln 212121x x x x a x a x a x x x -+-+=-+=-+-+，所以有x a x a +=-，得0a =.故选B.5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x=- B.()12xf x =C.()1f x x=-D.()13x f x -=【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.【解析】对于A，因为ln y x =在()0,+∞上单调递增，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,+∞上单调递减，故A 错误；对于B，因为2x y =在()0,+∞上单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减，所以()12xf x =在()0,+∞上单调递减，故B 错误；对于C，因为1y x =在()0,+∞上单调递减，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()1f x x=-在()0,+∞上单调递增，故C 正确；对于D，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,+∞上不单调，D 错误.故选C.6.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x a f x a x a x a+<-⎧=->⎪⎩ ，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a - ，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =显然取得最大值a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<，此时，1211MN y y >->+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.第三节幂函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A．c a b >>B．c b a >>C．a b c>>D．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.第四节指数与指数函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A．c a b >>B．c b a >>C．a b c>>D．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.2.（2023全国甲卷文科11）已知函数()()21e x f x --=.记2a f ⎫=⎪⎪⎝⎭，2b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2c f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112⎛-= ⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以1122->-由二次函数性质知())22g g <，因为4112222⎛---=- ⎝⎭，而22481682)0+-=+-=-=<，即1122-<-，所以()22g g >，综上，22g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选A.3.（2023新高考I 卷4）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【解析】令()t x x a =-，要使得()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，需要满足()t x x a =-在区间()0,1单调递减，所以12a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选D.4.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.第五节对数与对数函数1.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.2.（2023新高考I 卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级20lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（）A.12p p ≥ B.2310p p > C.30100p p = D.12100p p ≤【解析】选项A，12121120000220lg 20lg 20lg lg 20lg 0p p p p pL L p p p p p ⎛⎫-=⨯-⨯=⨯-=⨯≥ ⎪⎝⎭，所以12p p ≥，所以A 正确；选项B，223320lg10p L L p -=⨯≥，所以231lg 2p p ≥，所以23p p ≥B 错误；选项C，33020lg40p L p =⨯=，所以30lg 2p p =，所以30100pp =，故C 正确；选项D，112220lg 905040p L L p -=⨯≤-=，所以12lg 2p p ≤，所以12100pp ≤，故D 正确.故选ACD.第六节函数的图像及应用1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x af x a x a x a+<-⎧=->⎪⎩ ，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a - ，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =显然取得最大值a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<，此时，1211MN y y >->+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.3.（2023天津卷4）函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A．()25e e2x xx--+B．25sin1xx+【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于第七节函数与方程1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x为函数cos26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x=与1122y x=-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos26y x⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin2.f x x=-而1122y x=-过10,2⎛⎫-⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x与1122y x=-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x=-==，即3π3π7π,,444x x x=-==处()f x与1122y x=-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.。
专题12-4导函数解答题突破第四季-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题
专题124导函数解答题突破第四季1．已知函数，.（1）求函数在区间[1,2]上的最大值；（2）设在(0,2)内恰有两个极值点，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），∴p′（x）＝e x﹣，∴p″（x）＝e x+＞0恒成立所以p′（x）＝e x﹣在[1,2]单调递增，∵p'（1）＝e﹣3＜0，，∴∃x0∈（1，2），使p'（x0）＝0，当x∈[1，x0]时，p'（x）＜0，p（x）单调递减；当x∈[x0，2]时，p'（x）＞0，p（x）单调递增．又，>e+2∴p（x）在[1，2]上的最大值为p（2）＝e2﹣3ln2+2．（2），，由题意知：=0在(0,2)有两个变号零点，即在(0,2)有两个变号零点令，，令则x=1，且时，，g(x)单调递增；时，g(x)单调递减，又g(0)=0,g(1)=2,g(2)=，2．已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2），，总有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）.（2）由得，，整理得，由题意得“，，总有成立”等价于“，，恒成立”.所以，方法一：整理得，成立.令，则.令，则，当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减，所以，所以当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减，所以，所以，即.故实数的取值范围为.方法二：整理得，令，则，当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减，所以，所以即，故实数的取值范围为.3．已知函数（其中）.（1）讨论的单调性；学_科网（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】（1）的定义域为，（i）若，则.由得或；由得∴在，上单调递增，在上单调递减；（ii）若，则，∴在上单调递增；（iii）若，则，由得或；由得∴在，上单调递增，在上单调递减.（2）∵，，由得，∴，，∴∵∴解得∴设，则∴在上单调递减；当时，∴4．已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，证明：；（3）若，直线与曲线相切，证明：.（参考数据：，）【答案】（1）在上单调递增, 在上单调递减；(2)见证明；（3）见证明【解析】（1）.当，得，则在上单调递增；当，得，则在上单调递减.（2）因为，所以，则0是的极小值点.由（1）知，则.设函数，则.设函数，则.易知.则恒成立.令，得；令，得.则在上单调递减，在上单调递增.则.从而，即.（3）设切点为,当时，，则则.即.设函数，，则为增函数.又，，则.设，则.若，则，为增函数.则.又.故.5．已知函数.（1）当时,求的单调递增区间；（2）证明：当时，有两个零点；（3）若，函数在处取得最小值，证明：. 【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明；【解析】（1）解：.当时，由，得或.故的单调递增区间为.（2）证明：函数f(x)定义域为，时，，当时，在上单调递增，在上单调递减.则.且当），所以有两个零点.6．已知函数，记在点处的切线为.（1）当时，求证：函数的图像（除切点外）均为切线的下方；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设切线方程为记.，，，,在上单调递减.，，在上单调递增，，，在上单调递减.∴，即，当且仅当时取“”.故命题成立（2）.设，，1)当时，，则在上单调递减，且.∴，在上单调递增.∴2)当时，，设，，有两根，，，，不妨令，，，即，在上单调递减，，，即，在上单调递增，①当，即，，在上单调递增.，∴；②当，即时，，，在上单调递减，在上单调递增，，，存在使得，∴.综上可得.7．已知函数，(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)对任意的，，恒有，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2)【解析】（1），所以，又f(3)=,所以由点斜式方程可得切线方程为.（2），当时，，所以在上为减函数，不妨设则，等价于所以，在，上恒成立。
2021年高考数学精选考点专项突破题集 专题2.1 函数的性质(教师版含解析)
专题2.1 函数的性质1、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)设函数()()2221,1log 1,1x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则()4f f =⎡⎤⎣⎦( )A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】∵函数2221,1()(1),1x x f x log x x ⎧-+=⎨-<⎩，∴2424131f ⨯+（）＝﹣＝﹣， ()()()24311315f f f log -⎡⎤⎣+⎦＝＝＝. 故选：C.2、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =( ) A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.3、(2020届山东省临沂市高三上期末)函数()22xf x =-(0x <)的值域是( )A ．1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．1,【答案】A 【解析】0x <，021x ∴<<，120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A4、(2020届山东省泰安市高三上期末)函数()3ln xf x x=的部分图象是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A5、(2020·河南高三月考(理))已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( )A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 【答案】D【解析】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 6、(2019年北京高三月考)已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的x 的取值范围( ) A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增 则()f x 在区间(],0-∞上单调递减 若满足()12103f x f ⎛⎫--< ⎪⎝⎭则1213x -< 化简可得112133x -<-<解不等式可得1233x <<,即12,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选:A7、(2019·山东师范大学附中高三月考)函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为( )A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0()102f =-=-<，1321111()()()02228f =-=<，31111(1)1()10222f =-=-=>， 321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C8、(2020届山东省烟台市高三上期末)设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<, 故选：A9、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(ln19≈3) A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C ．10、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.11、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为( ) A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则()00f =， 即2ln 010a ⎛⎫+=⎪+⎝⎭，可得1a =-， 则()21ln 1ln 11x f x x x +⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，有101x x +>-，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，设11xt x +=-，则ln y t =， 12111x t x x +==----，则t 在()1,1-上为增函数，而ln y t =在()0,∞+上为增函数，则()f x 在()1,1-上为增函数， 若()1f x =，即11xe x +=-，解可得11e x e -=+， 则()1f x <，即()11e f x f e -⎛⎫< ⎪+⎝⎭，解得11e x e -<+， 又由11x -<<，则有111e x e --<<+， 即x 的取值范围为11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭； 故选：A.12、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为( )A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A13、(2020年高考全国I 卷理数)若242log 42log a ba b +=+，则( )A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B【解析】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+ 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B ．14、(2020年新高考全国Ⅲ卷)若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是( ) A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =， 所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =. 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D ． 二、多选题15、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是( ) A ．2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x-=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x-=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.16、(2020届山东省临沂市高三上期末)若104a =，1025b =，则( ) A ．2a b += B ．1b a -=C ．281g 2ab >D ．lg6b a ->【答案】ACD【解析】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .17、(2020年南通期末)对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．18、(2020届山东省日照市高三上期末联考)已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则( ) A ．函数()y f x =是周期函数 B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称 C ．函数()y f x =为R 上的偶函数 D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC 【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确； 又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC. 三、填空题19、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)若()3,0{1,0x x f x x x≤=>,则()()2f f -=__________．【答案】9【解析】因为21(2)309f --==>，所以1((2))()99f f f -==，应填答案9. 20、(2020届江苏省七市第二次调研考试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线x y e =在点()00,x P x e处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数.若点()0,0B x ，PAB ∆的面积为3，则0x 的值是______. 【答案】ln 6【解析】由题，e xy '=，∴切线斜率0x k e =，则切线方程为()000-=-x x y ee x x ，令0y =，解得01A x x =-，又PAB ∆的面积为3，01132x PAB S e ∆∴⨯⨯==，解得0ln 6x =. 故答案为：ln 621、(2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟)若幂函数()a f x x的图象经过点)12，，则其单调递减区间为_______． 【答案】(0,)+∞ 【解析】幂函数()a f x x的图象经过点1)2，则12a=，解得2a =-； 所以2()f x x -=，其中()(),00,x ∈-∞+∞；所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞．22、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________． 【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >，即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，即不等式的解集为1(,2)2，故答案为：1(,2)2.23、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫=⎪⎝⎭________. 【答案】-2【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-， ()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 23log (21)22=-⨯+=- 故答案为：2-.24、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．【答案】(,1)-∞-【解析】根据已知条件：当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，得函数()f x 是定义在R 上的减函数，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f -=-，故(31)(2)0f x f ++>等价于(31)(2)(2)f x f f +>-=-，所以312x +<-，即1x <-.故答案为：(),1-∞-.四、解答题25、(1)已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c ； (2)若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．【解析】 (1)设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k>1.由对数定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36.又2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，∴2a ＋1b ＝2c .(2)由a ＝log 603，b ＝log 605，得1－b ＝1－log 605＝log 6012，于是1－a －b ＝1－log 603－log 605＝log 604，则有1－a －b 1－b ＝log 604log 6012＝log 124，∴121－a －b 2（1－b ）＝1212log 124＝12log 122＝2.26、函数f(x)定义域D ＝{x|x≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求实数x 的取值范围．【解】 (1)令x 1＝x 2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，变形为f[(3x ＋1)(2x －6)]≤f(64)．(*) ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x<－13或－13<x<3或3<x≤5.∴x 的取值范围是{x|－73≤x≤－13或－13<x<3或3<x≤5}．27、(1)设函数f(x)＝a·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )为奇函数，求实数a 的值；(2)设函数f (x )是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f (a －2)－f (4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．【解】 (1)要使f (x )为奇函数，∵ x ∈R ，∴需f (x )＋f (－x )＝0成立．又∵f (x )＝a －22x ＋1，∴ f (－x )＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋12x ＋1.由⎝⎛⎭⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2x ＋12x ＋1＝0，得2a －2（2x ＋1）2x ＋1＝0，∴ a ＝1. (2)由f (x )的定义域是()－1，1，知21a 21-14-a 1.--⎧⎨⎩＜＜，＜＜解得3<a < 5.由f (a －2)－f (4－a 2)<0，得f (a －2)<f (4－a 2)．∵函数f (x )是偶函数，∴ f (|a －2|)<f (|4－a 2|)．由于f (x )在(0，1)上是增函数，∴ |a －2|<|4－a 2|，解得a <－3或a >－1且a ≠2.综上，实数a 的取值范围是3<a <5且a ≠2.28、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)已知函数()()21f x x a x a =++-，()()ln ,g x x b x a b R =-∈.(1)当2b =时，求函数()g x 的单调区间；(2)设函数()()(),1,1f x x h x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若0a b +=，且()0h x ≥在R 上恒成立，求b 的取值范围； (3)设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +≥-，且()u x 在()0,∞+上存在零点，求b 的取值范围.【解析】(1)当2b =时，()2ln g x x x =- ()221x g x x x-'∴=-= 令()0g x '=得：2x =函数()g x 的定义域为()0,∞+ ∴当()0,2x ∈时，()0g x '<；当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，∴函数()g x 的单调减区间为()0,2，单调增区间为()2,+∞(2)由0a b +=得：()()21,1ln ,1x b x b x h x x b x x ⎧--+≤=⎨->⎩.当1x ≤时，()()210h x x b x b =--+≥恒成立 当112b -≥，即3b ≥时，()()min 120h x h ==≥恒成立； 当112b -<，即3b <时，()2min 161024b b b h x h --+-⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭解得：33b -≤<综上所述：3b ≥-当1x >时，由()ln 0h x x b x =-≥恒成立得：ln x b x≤恒成立 设()()1ln x m x x x=>，则()()2ln 1ln x m x x -'=. 令()0m x '=得：x e =当()1,x e ∈时，()0m x '<；当(),x e ∈+∞时，()0m x '> ()()min m x m e e ∴== b e ∴≤综上所述：b 的取值范围为：3e ⎡⎤-⎣⎦(3)()2ln u x x ax b x =++ ()u x 在()0,∞+上存在零点 2ln 0x ax b x ∴++=在()0,∞+上有解 即ln x a x b x=--⋅在()0,∞+上有解 又2a b +≥-，即2a b ≥--ln 2x x b b x∴--⋅≥--在()0,∞+上有解 设()ln t x x x =-，则()111x t x x x -'=-= 令()0t x '=得：1x =当()0,1x ∈时，()0t x '>；当()1,x ∈+∞时，()0t x '< ()()110t x t ∴≤=-<，即ln x x < 22ln x x b x x-∴≥-.设()22ln x x F x x x-=-，则()()()()212ln 2ln x x x F x x x --+'=- 同理可证：ln 2x x < 2ln 20x x ∴-+> 则()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增()()min 11F x F ∴==-，故1b ≥-b ∴的取值范围为：[)1,-+∞29、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数. (1)求实数m ，n 的值；(2)若对任意实数x ，都有()()20x xf e f e λ+≥成立.求实数λ的取值范围. 【解析】(1)当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦， 因为()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()()1122x f n m x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣-⎦， 即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. ∴2020m n -=⎧⎨-=⎩，∴22m n =⎧⎨=⎩， 又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩，综上22m n =⎧⎨=⎩. (2)∵20x e >，0x e >，原不等式化为221122220x x x x e e e e λλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1x x t e e=+，则2t ≥，原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞.①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥，∴1λ≥-合理； ②当22λ->时，即4<-λ时，()n 2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然矛盾. 综上实数λ的取值范围为：1λ≥-.。
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函数的性质及研究（下）
题一：设函数2()1f x x =-，对任意2
,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
， 24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 . 题二：已知函数()f x x x m n =++，其中,m n R Î.
（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）设n =-4，且()0f x <对任意[0,1]x Î恒成立，求m 的取值范围.
题三：求函数y =.
题四：设a 为实数，设函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a )
第4讲 函数的性质及研究（下）
题一：D 详解：依据题意得2
2222214(1)(1)14(1)x m x x m m
---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2
x ∈+∞上恒成立。
当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥
，解得m ≤
或m ≥
题二：m 的范围是（-5，3）。
详解：（I ）若220,m n +=即0m n ==，则()f x x x =?，∴()()f x f x -=-. 即()f x 为奇函数. 若220,m n +?则m 、n 中至少有一个不为0，
当0m ¹. 则(),()2,f m n f m n m m -==+故()()f m f m -贡.
当0n ¹时，(0)0f n =?()f x \不是奇函数，()f n n m n n =++?，()f n n m n n -=--, 则()(),()f n f n f x ?\不是偶函数. 故()f x 既不是奇函数也不是偶函数.
综上知：当220m n +=时，()f x 为奇函数；当220m n +?时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数.
（Ⅱ）若0x =时，,()0m R f x ?恒成立；
若(0,1]x Î时，原不等式可变形为4x m x +<. 即44x m x x x
--<<-+. ∴只需对(0,1]x Î，满足min max 4()4()m x x m x x ìïï<-+ïïïíïï>--ïïïî
对①式，14()f x x x =-+在（0，1]上单调递减，∴1(1)3m f <=. 对②式，设24()f x x x
=--，则2224()0x f x x -+¢=>.（因为0<x<1） ∴2()f x 在(0,1]上单调递增，∴2(1)5m f >=-. 综上所知：m 的范围是（-5，3）。
题三：值域为[－1，＋∞）.
① ②
详解：函数的定义域由
240
30
x
x
+≥
⎧
⎨
+≥
⎩
求得，即2
x≥-
.
'y==
==
当2
x>-时，'0
y>，即函数y2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1
，＋∞）.
题四：
详解：
1）因 t＝x
x-
+
+1
1，则[]11
x∈－，
，而220,
t t t⎤
=+≥∴∈⎦22
11
()1,
22
m t a t t
at t a t
⎛⎫⎤
∴=-+=+-∈
⎪⎦
⎝⎭
；
2）由题意知，()
g a即为2
1
(),
2
2
m t at t a t⎤
=+-∈⎦的最大值。
而'()1
g t at
=+
ⅰ）当0
a≥
时，()
m t⎤⎦
在上为增函数，(
)(2)2
g a m a
==+；
ⅱ）当
a<
时，若
1
t
a
=-∈
，即
2
a<-时，
()
g a m
==
若
1
2
t
a
⎤
=-∈⎦，即
1
22
a
-≤≤-时，
11
()()
2
g a m a
a a
=-=--
若()
1
2,
t
a
=-∈+∞
，即
1
2
a
-<<时，()(2)2
g a m a
==+
综上
1
2,
2
11
(),
222
2
a a
g a a a
a
a
⎧⎛⎫
⎪+>-
⎪
⎪⎝⎭
⎪
⎛⎫
⎪
=---≤≤-
⎪
⎨ ⎪
⎝⎭
⎪
⎪⎛
⎪≤-
⎪⎝⎭
⎩。