数理方程第四章 格林函数法
数理方程第四章
1 在区域 K 内直到边界上，v 可任意求导。 r
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n
2 2
1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r 代替第二格林公式中的 . 则我们有
lim u( x, y, z ) 0,
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续, 在 内 1 P , Q , R C C 有一阶连续偏导数，即
两式相减, 得
2 2
第二格林公式
v u ( u v v u)dV ( u v )dS n n
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质：
1) 牛曼内问题有解的必要条件
设 u 是以 为边界的区域 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 中取 u 为上述调和函数, 取 v 1, 有
3）调和函数的积分表达式
所谓调和函数的积分表达式 , 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。 构造辅助函数
1 v r
1
x x0 y y0 z z0
2u 2u 2u 2 2 0 2 x y z
它描述了稳恒状态下的物理现象。 拉普拉斯方程 u 0的连续解，也叫调和 函数。
4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
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4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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第4章格林函数法
第四章格林函数法
西安理工大学应用数学系
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dΩ= ∫∫ (Pcosα + Qcos β + Rcosγ )dS Ω Γ
的外法线方向。 其中n = {cosα, cos β, cosγ } 是 Γ 的外法线方向。 公式： 是有界区域， （2）第一 ）第一Green公式：设 Ω是有界区域， Γ 是其边界曲面且 公式 足够光滑， 足够光滑，u(x, y, z), v(x, y, z) 及其一阶偏导数在 Ω+Γ 上连 内有二阶连续偏导数， 续，在 Ω 内有二阶连续偏导数，则
从而得证
1 u(M0 ) = − 4π
∂ 1 1 ∂u(M) ∫∫ [u(M) ∂n (rMM ) − rMM ∂n ]dS Γ 0 0
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4 调和函数的基本性质 性质1： 内为调和函数， 性质 ：设 u(x, y, z) 在有界区域 Ω 内为调和函数，且在Ω+Γ 上有一阶连续偏导数， 上有一阶连续偏导数，则 ∂u ∫∫ ∂n dS = 0 Γ 证：令 v ≡1 将 u, v代入第二 代入第二Green公式即可。 公式即可。 公式即可 (x, y, z) ∈Ω 推论1： 推论 ：诺伊曼问题 ∆u = 0, ∂u ∂n = f Γ
选 v ，使 v = Γ
1 4π rMM0
，则（3）式变成 ）
Γ
称为Green函数 函数 称为
∂v 1 ∂ 1 u(M0 ) = ∫∫ u[ − ( )]dS ∂n 4π ∂n rMM0 Γ ∂ 1 = − ∫∫ u ( − v)dS ∂n 4π rMM0 Γ 1 −v 4πrMM0
（4）
令 G(M, M ) = 0 则（4）式表示为 ）
格林函数.pdf
第4章 格林函数在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看,一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数.4.1δ函数几何学中的点是没有大小的,它仅仅表示空间的一个位置,因此物理学中的质点、点电荷等点源无法用几何中的点来表示.那么,我们用数学语言如何描述这类具有实际背景的点源呢?考虑一根长为l 的直线,其上任一点的坐标⎦⎤⎢⎣⎡−∈2,2l l x .若总电量为Q 的电荷均匀分布在直线上,则直线上的电荷分布的线密度)(x ρ是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=2,2,0)(l x lQ lx x ρ (4.1.1) 由定积分的性质可知x x Q d )(∫+∞∞−=ρ (4.1.2)若将上述线段无限缩小,或者说令0→l ,则我们得到了一个物理上常用的点源—点电荷.此时,电荷分布密度用)(0x ρ表示,同时式(4.1.1)变为⎩⎨⎧=∞≠=0,,0)(0x x x ρ (4.1.3) 而此时,电量仍为Q ,则式(4.1.2)仍然成立.为了理解上的方便,我们修改一下问题的叙述:去电量1=Q ,线段长度为ε2,则密度分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=εεεδεx x x ,21,0)(且1d )(d )(===∫∫−+∞∞−εεεεδδx x x x Q由此可见)(x εδ是偶函数,则由积分第一中值定理可得)()(d )()(d )()(εξεξδξδεε<<−==∫∫+∞∞−+∞∞−f x x f x x f x当0→ε时,我们有了新的结果,我们将它定义为δ函数. 我们称符合下述2个条件的函数为δ函数⎩⎨⎧≠=∞=0,00,)(x x x δ (4.1.4)且∫+∞∞−=1d )(x x δ (4.1.5)由极限理论可知,)(x δ是偶函数.∫∫+∞∞−+∞∞−→→===)0(d )()(d )()(lim )(lim 00f x x f x x x f x f δδξεεε (4.1.6))(x δ不是通常意义下的函数,它用来描述集中分布这种常见而又特殊的一类现象的数学工具.δ函数不局限于描述点电荷的分布密度,它可以用来描述任意点量的密度.借助于δ函数,我们可以方便地描述各类点源的分布情况.如电量Q 的点电荷的分布函数为)()(0x Q x δρ=.例1 设有一条张紧静止的无穷长的细弦,其线密度为1=ρ若在0=x 点,在很短的时间内,用大小为F 的力敲一下,使获得的冲量1=∆⋅t F .问弦上的初始速度v 是怎样的?解 若0≠x ,由于时间非常短,扰动尚未传动,所以0=v ;而在0=x 上有∞=v .此外,由于敲打前弦是静止的,所以弦上的动量是1=∆⋅t F ,即∫∫+∞∞−+∞∞−==⋅1d )()(d x x v x v x ρ故初速度)()(x x v δ=.例2 设有一根温度为C 0o度的导热杆,其线密度为ρ,比热为c ,现用火焰在0=x 处以极短的时间烤一下,传给杆的热量为Q ,请分析一下开始一瞬间杆上的温度)(x T 的分布?解 在刚开始一瞬间,我们有⎩⎨⎧=∞≠=0,,0)(x x x T且∫+∞∞−=Q x x T c d )(ρ所以有)()(x c Qx T δρ=通过以上两个例题,我们对)(x δ有了进一步的认识.如果将坐标平移0x ,即集中量出现在点0x x =处,则有⎩⎨⎧=∞≠=−000,,0)(x x x x x x δ且∫+∞∞−=−1d )(0x x x δ这样，我们可以得到δ函数的一个重要性质)(d )(00x f x x x ∫+∞∞−=−δ或者说⎩⎨⎧><<<=−∫bx a x bx a x x x ba0000,0,1d )(或δ⎩⎨⎧><<<=−∫b x a x bx a x f x x x x f b a00000,0),(d )()(或δ4.2 无界域中的格林函数在第1章中,我们推导出了静电场的电势分布u 满足泊松方程ρε1222222−=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u (4.2.1)式中,ρ是电荷密度,所占区域为Ω,0r 是Ω中任意一个点.如果不考虑其他因素的影响,对于无界空间中的电势u ,可以利用定积分中的微元法的思想求出来.有库仑定律知,位于0r 点的一个正的单位电荷,在无界空间中点r 处产生的电势是041),(r r r r G −=π (4.2.2)则以0r 为中心的小体积Ωd 在r 处产生的电势为Ω=d )(),(d 00r r r G u ρ因此,在r 处产生的电势为∫∫ΩΩΩ−==d 4)(d )(00r r r u r u πρ为了表述上的方便, 0r 处的体积微元Ωd 以后用0d r 表示,则有∫Ω−=000d 4)()(r r r r r u πρ这样,我们没有直接求解方程,而是通过寻找微元,利用积分的方式求出了方程的解.而点源产生的电势),(0r r G 称为泊松方程式(4.2.1)在无界空间中的格林函数,利用它,我们求出了泊松方程在无界空间的解.无界空间中的格林函数又叫做方程的基本解,因此式(4.2.2)又称为泊松方程的基本解.有时也称它为相应的齐次方程(即拉普拉斯方程)的基本解,记为).,(00r r G基本解式(4.2.2)是密度为0ρ的点源在空间产生的电势,因此它在空间除了0r r =点以外,满足方程001ρε−=∆G而在0r r =点有奇异性.由于格林函数是点源函数,因此在空间某一点有奇异性. 在一般的数学物理方程中,我们需要考虑的是满足一定边界条件和初始条件的解,因此相应的格林函数就比刚才所提到的要复杂.在这种情况下,一个点源所产生的场,同时要受到边界条件及初始条件的影响,而这些影响的本身也是待定的. 例如,在一个接地的导体空腔内的点0P 处放置一个正的单位点电荷(如图4-1),则在点P 处的电势不仅是点电荷本身所产生的场41r r −π,并且还要加上这个点电荷在导体内壁上感应电荷所产生的场.而感应电荷在导体内壁上的分布是未知的,我们只知道在边界上电势为零(接地).因此,在一般情况下,格林函数是一个点源在一定的边界条件和(或)初始条件下所产生的场.通过格林函数,我们可以求得任意分布的源所产生的场.4.3 格林公式 有界域上的格林函数为了进一步探讨利用格林公式函数求解数学物理方程,我们先来推出一个重要工具—格林公式,它是曲面积分中高斯公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界域,),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在Γ+Ω上是连续的,在Ω内具有一阶连续偏导数,则有如下的高斯公式∫∫∑++=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ΩS z n R y n Q x n P z R y Q x P d )],cos(),cos(),cos([d (4.3.1) 式中,Ωd 是体积元素;n 是曲面Γ的外法向量;S d 是Γ上的面积元素.设函数),,(),,,(z y x v z y x u 在Γ+Ω上一阶偏导数连续,在Ω内二阶偏导数连续,则在式(4.3.1)中,令z vR yv u Q x v uP ∂∂=∂∂=∂∂=,,则有∫∫∫∫∫∫ΓΩΩΩΩΩ∂∂=Ω⋅+Ω∆=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+Ω∆=Ω⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂S nvuv u v u z v z u y v y u x v x u v u z R y Q x P d d grad grad d )(d d )(d 或表示为Ω⋅−∂∂=Ω∆∫∫∫ΩΓΩd grad grad d d )(v u S nvuv u (4.3.2)式(4.3.2)称为格林第一公式.在式(4.3.2)中,交换v u ,的位置，则有Ω⋅−∂∂=Ω∆∫∫∫ΩΓΩd grad grad d d )(v u S nuvu v (4.3.3)式(4.3.2)减式(4.3.3)得∫∫ΓΩ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=Ω∆−∆S n u v n vu u v v u d d ][ (4.3.4) 式(4.3.4)称为格林第二公式.下面,我们以泊松方程第一类边值问题为例,进一步阐明格林函数的概念.⎪⎩⎪⎨⎧=−=∆Γ)6.3.4()5.3.4(1f u u ε式中, f 是在区域Ω上的边界Γ上给定的函数.在介绍格林函数之前,我们要引进空间的δ函数来表示点源的密度分布,有)()()()(0000z z y y x x r r −−−=−δδδδ⎩⎨⎧=∞≠=−000,,0)(r r r r r r δ )),,((1d )(00000Ω∈=−∫Ωz y x r r r r δ∫Ω=−)(d )()(00r f r r f r r δ用),(0r r G 表示位于0r 点的单位强度的正点源在第一类边界条件下产生的场,则),(0r r G 作为r 的函数满足⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)8.3.4(0)7.3.4()(1),(00G r r r r G δε以),(0r r G 乘式(4.3.5),)(r u 乘式(4.3.7),二式相减后在Ω上对r 积分,以r d 表示r 点处的体积微元,有∫∫∫ΩΩΩ−+−=∆−∆r r r r u r G r G u u G d )()(1d 1d )(0δερε利用格林第二公式及δ函数的性质,有)9.3.4(d ),()(d )(),(d ),()(d )(),(d ),()()(),(d )(),()(00000000∫∫∫∫∫∫ΓΩΓΩΓΩ∂∂−=∂∂−=⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂+=S nr r G r f r r r r G S nr r G r u r r r r G S n r r G r u n r u r r G r r r r G r u ερερερ但这个表达式中所表示的意义与我们的初衷相矛盾.),(0r r G 表示的是位于0r 点的点源在r 点产生的场.但我们能证明),(),(00r r G r r G =,这样,式(4.3.9)可以改写成)10.3.4(d ),()(d )(),(d ),()(d )(),()(0000000000∫∫∫∫ΓΩΓΩ∂∂−=∂∂−=S nr r G r f r r r r G Snr r G r f r r r r G r u ερερ这样,式(4.3.1)的物理诠释就很清楚了:右方第一个体积分代表在区域Ω中体分布源)(0r ρ在r 点产生的场的总和,第二个面积分则表示了在边界上的源所产生的场. 下面我们来证明),(),(00r r G r r G =,由式(4.3.7)及式(4.3.8),我们有⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)12.3.4(0),()11.3.4()(1),(111r r G r r r r G δε⎪⎩⎪⎨⎧=−−=∆Γ)14.3.4(0),()13.3.4()(1),(222r r G r r r r G δε×),(2r r G 是式(4.3.11)—×),(1r r G 式(4.3.13),有)(),()(),()],(),(),(),([21122112r r r r G r r r r G r r G r r G r r G r r G −−−==∆−∆δδε两侧同时对r 积分,有∫∫ΩΩ−−−=∆−∆rr r r r G r r r r G r r r G r r G r r G r r G d )(),()(),(d )],(),(),(),([21122112δδε根据格林公式第二公式及δ函数的性质,有),(),(d ),(),(),(),(12212112r r G r r G S n r r G r r G n r r G r r G −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−∂∂∫Γε 则根据式(4.3.12)及式(4.3.14),有0),(),(),(),(2112=∂∂−∂∂Γnr r G r r G nr r G r r G 所以),(),(1221r r G r r G =这种性质在物理学中称为倒易性,如图4-2所示,即位于1r 点的点源,在一定的边界情况下,在2r 点产生的场等于位于2r 点的同样强度的点源,在相同的边界情况下在1r 点产生的场.我们称这种现象为格林函数的对称性.应当说明，在得式(4.3.9)时,我们利用格林公式把重积分化为曲面积分时,这要求G ∆(及u ∆)在积分区域Ω内连续为前提,由式(4.3.7)可明显看到G ∆不连续,这样的推导请参阅谷超豪等著《数学物理方程》(第二版).4.4 格林函数的应用在第1章里,我们从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布推出了三维拉普拉斯方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u作为描述稳定或平衡等状态的方程,它与初始状态无关,因而不能提初始条件.对于边界条件,常见的是如下两种现象.第一边值问题 在空间),,(z y x 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ,要找这样的函数),,(z y x u ,它在闭区域Γ+Ω上连续,且满足⎩⎨⎧==∆Γf u u 0第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题,或简称为狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解,即具有二阶连续偏导数,并且满足拉普拉斯方程的连续函数,称为调和函数.因此, 狄氏问题也可以这样叙述:在区域Ω内找一个调和函数,它在边界Γ上的值是已知的.第二边值问题 在空间在空间),,(z y x 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ,要找这样的函数),,(z y x u ,它在闭区域Γ+Ω上连续,且满足⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∆Γf nuu 0 式中,n 是曲面Γ的外法向矢量.第二边值问题也称为诺依曼(Neumann)问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些条件,在区域内部求解拉普拉斯方程,这样的问题称为内问题.在应用中,我们还会碰上另一类现象,如确定某物体外部的稳恒温度场时,就归结为在区域Ω的外部求调和函数u 使之满足边界条件f u =Γ,这里Γ是区域Ω的边界,f 表示物体表面的温度分布.这样的问题称为拉普拉斯方程的外问题. 限于篇幅,本书仅讨论如何利用格林函数求解狄利克莱问题⎩⎨⎧==∆Γ)2.4.4()1.4.4(0fu u至于其他的问题,求解的思考方法是想像的,可查阅相关的书籍.由式(4.4.1)知源的分布密度函数0=ρ,所以上节给出的求解公式就变为∫Τ∂∂−=S nr r G r f r u d ),()()(00 (r 在曲面Γ上) 或∫Τ∂∂−=S nr r G r f r u d ),()()(00 (0r 在曲面Γ上) (4.4.3) 此处介电常数1=ε. 这样,对一个由曲面Γ围成的区域Ω来说,只要求出了格林函数),(0r r G ，则这个区域内狄氏问题的解就可以由式(4.4.3)求出.实际上,求解边值问题式(4.3.7)—式(4.3.8)是很困难的,因此有必要对格林函数),(0r r G 作进一步的剖析.在本章中,我们定义了方程的基本解),(00r r G ,它满足方程式(4.3.7))(),(000r r r r G −−=∆δ但不满足边界条件式(4.3.8).于是我们设)(),(),(000r V r r G r r G +=代入式(4.3.7)及边界条件式(4.3.8),则有⎩⎨⎧−==∆ΓΓ00G V V这样,只要找到满足边界条件ΓΓ−=0G V的调和函数V ,那么就可以由基本解得到格林函数),(0r r G .事实上,当区域的边界具有特殊的对称性时,格林函数是用镜像法(静电源像法)求得的.所谓静像法,就是在区域Ω外找出点0M 关于边界Γ的像点(对称点)1M ,然后在1M 上放置适当的负电荷,由它所产生的负电位与点0M 处单位电荷产生的电位在曲面Γ上相互抵消.此时,放置在0M ,1M 两点处的电荷所形成的电场在Ω内的电位就是所要求的格林函数.下面,我们以寻求半空间、球域的格林函数为例来说明镜像法的具体应用.例3 求解上半空间0>z 内的狄利克莱问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<−∞=>=∂∂+∂∂+∂∂=)5.4.4(),(0)4.4.4()0(00222222y x u z z uy u xu z解 先求出格林函数),(0r r G .为此在上半空间0>z 中任意一点),,(0000z y x r 处置一单位正电荷,在点0x 关于平面0=z 的对称点),,(0001z y x r −处置一单位负电荷,如图4-3所示.由它们所形成的静电场的电势在平面0=z 上恰好为零.因此上半空间的格林函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=1001141),(r r r r r r G π(4.4.6)为了利用式(4.4.3)求解问题式(4.4.4),式(4.4.5)需要计算边界曲面上的nG∂∂值.由于在平面0=z 上的外法线方向是Oz 轴的负向,所以)7.4.4(])()[(210])()()[(])()()[(4123220200232020200232020200000z y y x x z z z z y y x x z z z z y y x x z z z G nG z z +−+−−==⎪⎭⎪⎬⎫++++++−⎪⎩⎪⎨⎧−+−+−−=∂∂−=∂∂=ππ则定解问题式(4.4.4),式(4.4.5)的解为∫∫+∞∞−+∞∞−+−+−=ηξηξηξπd d ])()[(),(21),,(23222z y x zf z y x u (4.4.8)用同样的方法，我们可以求出球域上的格林函数,并给出球域内的狄利克莱问题的解.设有一球心在原点,半径为R 的球面Γ.在球内任取一点),,(0000z y x r ，在0Or 的延长线上截取线段1Or ,令00ρ=Or ,11ρ=Or ,使210R =⋅ρρ,这样的点1r 称为点0r 关于球面Γ的反演点(或对称点),如图4-4所示.我们在点0r 处放置一单位正电荷,在点1r 处放置一q 单位的负电荷,通过选择恰当的q 值,使得这两个点电荷所产生的电势在球面Γ为零.即P r qP r 10441ππ=或 Pr P r q 01=式中,P 为球面Γ上任意一点.由于三角形△P Or 1与△P Or 0在点O 处有公共角,且夹这个角的两条边成比例1ρρRR=,因此这两个三角形相似.于是得到01ρRP r P r =因此ρRq =即只要在点1r 处放ρR单位的负电荷,则由0r 及1r 处点源产生的电势在球面上为零,这样,球域内的格林函数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=10001141),(r r R r r r r G ρπ(4.4.9) 式中,r 为球域内任意一点,记0ρ=Or .下面,我们利用格林函数来求解球域内的狄利克莱问题⎩⎨⎧==∆Γf u u 0Ω∈),,(z y x 由式(4.3.9)得(介电常数)1=εS nr r G r f r u d ),()()(00∫Γ∂∂−=因此,我们要计算Γ∂∂n G,由 γρρρρcos 21102200−+=−r rγρρρρcos 21112211−+=−r r012ρρ⋅=R式中,γ是向量0Or 与Or 的夹角.所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+−−−+=40222002200cos 21cos 2141),(R M M G γρρρρργρρρρπ在球面Γ上 2302022022340222002202302020)cos 2(41)cos 2()cos ()cos 2(cos 41γρρρπργρρρργρργρρρργρρπρρR R R R RR R R R RG G −+−−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−+−−==∂∂=ΓΓ∂∂ 所以狄氏问题的解为S f R R R R r u d )cos 2(41)(23022220∫∫Γ−+−=γρρρπ (4.4.10)为了方便解释物理现象,我们也可以利用格林函数的倒易性,求出球内任一点r 处的电势)(r u .在球面上应用球坐标系,上式变为∫∫−+−=ππθϕϕγρρρθϕπθϕρ202302222000d d sin )cos 2(),,(4),(R R R R f Ru (4.4.11)式中, ),(000θϕρ是点0r 的坐标;),,(θϕR 是球面Γ上点P 的坐标;γcos 是向量0Or 与OP 的余弦.因为向量0Or 与Or 的方向余弦分别是)cos ,sin sin ,sin (cos )cos ,sin sin ,sin (cos 00000ϕϕθϕθϕϕθϕθi所以可得)cos(sin sin cos cos )cos cos sin (sin sin sin cos cos cos 0000000θθϕϕϕϕθϕθθϕϕϕϕγ−+=++=式(4.4.10)及式(4.4.11)称为球的泊松公式.例4 设有一半径为R 的均匀球,球心在坐标原点,上半球面的温度保持为C o0,下半球面的温度保持为C o2,求:(1) 球内温度的稳定分布; (2) 球内z 轴上温度的分布; (3) 球心的温度.解 这个问题的数学描述为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<=<=∆=πϕππϕρρ2,220,0)(0R u R u由泊松公式,球内任一点),(0θϕρ处的温度为∫∫∫∫−+−=−+−=ππππθϕϕγρρρπθϕϕγρρρθϕπθϕρ2023020220220023020222000d d sin )cos 2(2d d sin )cos 2(),,(4),(R R R R R R R R f Ru若只考虑z 轴上的温度,即00=ϕ(上半轴)或πϕ=1(下半轴), 可知:当00=ϕ时,ϕγcos cos =,则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−===⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−=−+−=∫∫2020202210202022202230222200112)cos 2(d d sin )cos 2(2),0,(ρρρρπϕπϕϕρρρρθϕϕϕρρρρπθρπππR R R R R R R R R R R Ru当πϕ=0时ϕγcos cos −=,故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−−=202002020011),,(ρρρρθπρR R R u 当00→ρ时,应用洛必达法则有1),,(lim )0,0,0(00000==→θϕρρu u即球心温度为C o1。
4格林函数法
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
04第四章格林函数法
（1）
西安理工大学应用数学系
u u 但在边界上， 未知，不能用上述公式求解，必须消去 n n
为此，引入Green函数的概念。
取 u, v 均为区域 内的调和函数，且在 上有一阶连续 的偏导数，则由第二Green公式，有
v u (u n v n )dS 0
西安理工大学应用数学系
P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u
（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
（3）
西安理工大学应用数学系
选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成
称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
第四章格林函数法2
转化为求v满足：
2 v 0, in ; 1 . v 4 r MM 0
注1.格林函数法的优点:
格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此， 只要求得某个区域的格林函数G ( M , M 0 ) C1()，就能一劳永 逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。
P R O
M1
rM1P 1 q q , 4 rM 0 P 4 rM1P rM 0 P 其中P是球面上任一点.
M0
在OM 0 P, OPM1有公共角M1OP，且0 1 R ，即
2
0
R
=
R
1
,
OM 0 OP 也即 = ，故OM 0 P与 OPM1相似。从而 OP OM1
2 2 ( u v v u)dV ( u
v u v )dS n n
取u, v为内的调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则
1 u(M 0 ) 4 与调和函数的积分表达式相加
1 1 u ) u ( dS rMM 0 n n rMM 0
2 v 0，inD 其中v满足： 1 v 2 ln D rMM 0
D
2u 2u x 2 y 2 0, y 0, 上半平面内的狄氏问题： u f ( x), x y 0 y0 f ( x) u ( x0 , y0 ) dx 2 2 ( x x0 ) y0
令
则
1 G( M , M 0 ) v, 4 rMM 0
G G u ( M 0 ) u ( M ) dS f (M ) dS . n n
其中G(M , M 0 )称为Laplace方程的格林函数。
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为: 在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的 在以原点为中心的同一球面的 值为常数。 的函数:u=u(r)。 值为常数。u 仅为半径 r 的函数 。
(
)
两式相减, 两式相减 得
2 2
第二格林公式
∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 1) 纽曼内问题有解的必要条件 内的调和函数, 设 u 是以 Γ 为边界的区域 Ω 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, Ω + Γ上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 为上述调和函数 调和函数, 中取 u 为上述调和函数,取 v ≡ 1, 有
第四章 拉氏方程的格林函数法
第四章 拉氏方程的格林函数法● 前面几章，介绍了几种求解PDE 定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
● 本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。
首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么提出的。
§4 .1 拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。
研究最多的就是前面两种。
1）第一边值问题 边界条件为:f u =Γ,要求的解)()(02ΩΩ∈C C u ，既u 在区域Ω上连续，在Ω上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上与f 吻合。
Γ+Ω=Ω，Γ为边界；称第一边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。
通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2）第二边值问题 边界条件为:f n u =∂∂Γ,要求的解)()(12ΩΩ∈C C u ，既u 在区域Ω上有一阶连续导数，在Ω上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。
称第二边值问题为牛曼（Neumann ）问题，简称牛氏问题。
前面两种边值问题都是在Ω内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。
另外，有这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域之外的温度分布情况，这就归结为在区域Ω外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
1,1,01222=++=>=∆=r u z r x r r u易知r u u /1,1==都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时0lim =∞→u r二维问题通常假定解有界。
3）狄氏外问题 （略） 4）牛氏外问题 （略）§4.2 格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式，我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,
u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV
(u
v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则
(u
v n
v
u )dS n
P Q R
(
x
y
z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
(
P x
Q y
R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )
1
4
(u(M )
n
(1) r
1 r
第四章格林函数法1
注1：当M 0取在区域之外或边界上，可用同样的方法导出公式
4 u ( M 0 ), 1 1 u [u ( ) ]dS 2 u ( M 0 ), n r r n 0,
M 0在内； M 0在上； M 0在外。
注2：若u不是调和函数,即2u F，只要u C 2 () C1 ()， 我们可以得到类似公式
u u ds ds n n r R D
sin Rd 4 R 0 0 4
2
由牛曼内问题有解的必要条件知该问题无解。
3）平均值公式
定理3：设函数u(M )在区域内调和，M 0 ( x0 , y0 , z0 )为其中 任一点，a是以M 0为中心，以a为半径且完全落在内部 的球面，则下面平均值公式成立 1 u(M 0 ) udS 2 4 a a
P Q R ( ) dV Pdydz Qdzdx Rdxdy (1) x y z 其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式：
P Q R ( ) dv x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
取u为调和函数，并假定且在上有一阶连续偏导数，v 1/ r则有
1 1 u r (u )dS 0 n r n
1 1 1 r r 注意到：在球面 上， 2 n r
1 1 r 因此可得 u dS 2 n 其中u
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1). 调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其 在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在 内任一点的值。
4第四章格林函数法
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
数学物理方程第四章 格林函数法
为边界的有界连通区域，u(x, y, z)在 上有连续
的一阶偏导数，在 内调和，定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点M 0到变点 M (x, y, z) 距离： 则有
u(M0 )
1
4
1 [ r
u n
u
(1)]ds n r
(2.9)
故不提初始条件!只给出边界条件就可以. 下面看边界条件的提法.
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题）
设方程（1.1）的空间变量(x, y, z) ， 为 R3的开区域。如果
u(x, y, z)满足方程（1.1），且在 边界 上直接给定了u(x, y, z)
的具体函数形式 f (x, y, z)，即
u(x, y, z) f (x, y, z)
（1.2）
则称问题（1.1）~（1.2）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷
（Dirichlet）问题，u(x, y, z) 为此问题的解。
2u 2u 2u
u
x 2
y 2
z 2
0
u( x, y,z) f ( x, y,z),
u, v互 换
v
u v u v u v
( uv )dV
u
n
ds
(
x
x
y
y
z
z
)dV
(2.2)
u
u v u v u v
(vu)dV
v
n
ds
(
x
x
y
y
z
格林函数法
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
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G(M , M 0 ) 0, M M 0 , z 0 G z0 0
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HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放 置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。 这两个电荷在区域中形成的电位就是所要求的格林函数。
0
其通解为：V (r) c1 ln r c2, (r 0, c1, c2 为任意常数)。
若取
c1
1, c2
0,
则得到特解
V0 (r)
ln
1,
r
称此解为二维
Laplace方程的基本解.
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第4章格林函数法
4.1.2 格林公式
由高斯公式
P cos(n,
v(M ) 0, M
v
1
4 rMM0
(4.2.8)
称由函数v确定的格林函数为第一边值问题的格林函数。
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第4章格林函数法
4.2.2 格林函数的性质
1. 格林函数 G(M , M 0 ) 在除去点 M M 0 外处处满足
Laplace方程，当 M M 0 时， G(M , M 0 ) ,
dS
(4.2.3)
选择调和函数v满足
1 v
4 rMM0
,于是有：
u(M0)
u ( 1 v)dS
n 4rMM0
(4.2.4)
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第4章格林函数法
记
G(M , M0)
1
4 rMM0
v
(4.2.5)
则有
u(M
0
)
u
Gds n
(4.2.6)
称 G(M , M 0 ) 为Laplace方程的格林函数。若G(M , M 0 ) 存在
由于调和函数有积分表示:
u
(M
0
)
1
4
u(M )
(
1
)
1
u(M
)
dS
(4.2.1)
n rMM0 rMM0 n
又因为Dirichlet边值问题uu 0,fx , 的解唯一,故希望
将此问题的解用积分表示出来。但由于在积分表达示中，u
在边界上的值虽然已知,而 u 在边界上的值却不知道.那么, n
u
SR
(
M
1
)ds
u(M1)
这与平均值性质矛盾。由于 R 的任意性，则在球 kR 中
恒有 u u(M1 ) .任取 N ,在 中作连结 M 1 ， N 两
点的折线 L ，记L到 的边界 的最小距离为 d，以M 1
为中心，小于d 的数为半径在 内作求 K1 ，则在 K1上
u(M ) u(M1 ) 。设 M 2 是 K1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
第4章格林函数法
4.3 格林函数的应用 用镜象法求特殊区域上的函数。
4.3.1 上半空间内的Green函数及Dirichlet问题
求解上半空间 z 0 内的Dirichlet问题
uxx uyy uzz 0, z 0 u z0 f (x, y), x, y
（4.3.1）
先求上半空间 z 0 内的Green函数 G(M , M 0 )，即求解问题
HUST 数学物理方程与特殊函数
第四章
第4章格林函数法
格林函数法
分离变量法主要适用于求解各种有界问题，而 傅立叶变换法则主要适用于求解各种无界问题， 这两种方法所得到的解一般分别为无穷级数和 无穷积分的形式。格林函数法给出的解则是有 限的积分形式，十分便于理论分析和研究。
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性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
(uv
vu)dV
(u
v n
v
u )dS n
调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
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第4章格林函数法
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1
1
rMM0
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
除在 M0 点外处处满足三维Laplace方程u 0，于是有
定理：若函数 u 在 上有一阶连续偏导数，且在
内调和，则
u
(M
0
)
1
4
u(M )
(
1 )
1
u(M
)
dS
n rMM0 rMM0 n
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
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第4章格林函数法
思考：Laplace方程Neumann问题有解的必要条件是什么？
u
0, u n
|
f.
udS n
f
dS
0.
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和，
M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径
令P u
x) Q cos(n, y)
v ,Q u v ,
R
R cos(n,
u v
z)
d
S
P
x
Q y
R z
,则得到格林第一公式：
dV
x
y
z
uvdV
(
u x
v x
u y
v y
u z
v )dV z
u
vdS n
vudV
( u x
v x
u y
v y
u z
v )dV z
v
udS n
将以上两公式相减，得到格林第二公式：
能因否为作,此为时边的界解条已件经加是上唯一un的了|.那的么值只呢有？想显办然法这去是掉行不un通的|，
为此，引入格林函数的概念。
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第4章格林函数法
格林函数的物理背景
原点处点电荷电量 0 ，点电荷密度 0 r
M (x, y, z) 处点电位u(M ) 1
上有
n
(1) r
1 r2
1 a2
，所以
1
u(M 0 ) 4a2
udS.
a
上式称为调和函数的球面平均值公式。
性质3 (极值原理) 设函数 u(x, y, z) 在区域 内调和，
它在 上连续且不为常数，则它的最大值与最小值
只能在边界上达到。
推论1 设在 内有 u 0, v 0;u, v 在
上连续且在边界 上有 u v，则在 内有 u v.
推论2
Dirichlet问题uu0,f
(
(x, y, z x, y, z)
)
的解是唯一的。
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证明： （ 反证法）假设 u 在 内某点 M 1 达到最大值，
如图4.1 , 以 M 1 为中心，任意长 R 为半径作球 k R ,使
的球面，此球完全落在区域 的内部，则有
1
u(M 0 ) 4a2
udS
a
证明： 由调和函数的积分表示：
1
u(M 0 ) 4
a
u
n
(1) r
1 r
u n
dS
及由性质1，有
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1 u
1 u
dS
dS 0
a r n
a a n
又因为，在a
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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4.2 格林函数
1
其阶数与 相同。
rMM0
2. 在边界上，格林函数恒等于零：G(M , M
3. 在区域 内成立不等式：0 G(M , M0
（用极值原理证明）
0
)
)
0.
1
4rMM0
4. G(M1, M2 ) G(M2, M1) （由格林第二公式证明）
5.
G n
dSM
1
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第4章格林函数法
格林函数又称为点源函数或影响函数。顾名思
义，它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条
件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的
场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林
函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数法以 统一的方式处理各类数学物理方程，既可以研究常微 分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又 可以研究无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广 泛。这一章，我们主要介绍用格林函数求解拉普拉斯