苏教版数学高二- 选修2-2导学案 2.3《数学归纳法》(2)

2.3 数学归纳法 导学案（2）

教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力；

2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤；

3．抽象思维和概括能力进一步得到提高。

教学重点、难点

重点 借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与

正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。

难点

1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根

据归纳假设作出证明；

2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

教学过程

一、复习回顾

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：

（1） （归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立;

（2）

（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+时 命题也成立 。--------------数学归纳法

二、例题剖析

例题1、用数学归纳法证明：3n 5()n n N ++∈能被6整除

证明：

（1）当n=1时，3

n 5n +=6能被6整除，命题成立；

（2）假设当n=k (1)k ≥时命题成立，即3n 5()n n N ++∈能被6整除 那么，当n=k+1时，

3323(1)5(1)33155(k 5)3(1)6k k k k k k k k k +++=+++++=++++

由归纳假设3n 5()n n N ++∈能被6整除，而(1)k k +是偶数，故3(1)k k +能够被6整

除，从而3

(1)5(1)k k +++能够被6整除，因此，当1n k =+时命题成立。

由（1）（2）知，命题对一切正整数成立，即任意的+∈N n 均成立，即3n 5()n n N ++∈能被6整除。

特别提示：数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一

定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件。

例2 已知数列 1111,,,,,1×44×77×10(3n -2)(3n +1)

计算1234S ,S ,S ,S ，根据计算的结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

解：当n =1时，111s =

=1×44

当n =1时，2112s =s +=4×77

当n =1时，3213s =s +=7×1010

当n =1时，4314s =s +=10×1313 n n 猜想：s =3n +1 例3、是否存在常数a b 、，使得等式22

2212n 1335

(2n-1)(21)2

an n n bn ++++=⋅⋅⋅++对一切正整数n 都成立，并证明你的结论。 点拨：对这种类型的题目,一般先利用n 的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证

明它对一切正整数n 都成立。

解:令n=1,2,并整理得311{,{.10324

a b a a b b -=-=∴-=-= 以下用数学归纳法证明：2222*12().1335(21)(21)42

n n n n N n n n +++⋯+=∈⋅⋅-++ (1)当n=1时,由上面解法知结论正确。

(2)假设当n=k 时结论正确，即：222212k k +k ++…+=.1335(2k -1)(2k +1)4k +2

则当n=k+1时，

2222

222

22212k (k +1)++…++1335(2k 1)(2k +1)(2k +1)(2k +3)

k +k (k +1)k(k +1)(2k +3)+2(k +1)=+=4k +2(2k +1)(2k +3)2(2k +1)(2k +3)(k +1)(2k +3k +2k +2)(k +1)(2k +1)(k +2)==2(2k +1)(2k +3)2(2k +1)(2k +3)

k +3k +2(k +1)+(k +1)==4k +64(k +.1)+2

故当n=k+1时，结论也正确。

根据(1)、(2)知，对一切正整数n ，结论正确。

例4 比较 2n 与 n 2 (n ∈N*)的大小

解：当n=1时，2n =2，n 2=1，2n >n 2

当n=2时，2n =4，n 2=4，2n >n 22

当n=3时，2n =8，n 2=9，2n >n 2

当n=4时，2n =16，n 2=16，2n >n 2

当n=5时，2n =32，n 2=25，2n >n 2

当n=6时，2n =64，n 2=36，2n >n 22

猜想当n≥5时，2n >n 22(证明略)

三、课堂练习

练习1、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n -1 (n ∈N*)

证明：

(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。

(2)假设当n=k 时等式成立，就是1+2+22+…+2k-1=2k -1

那么，1+2+22+…+2k-1+2k =2k -1+ 2k=2×2k -1=2k+1-1

这就是说，当n=k+1时，等式也成立。

因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n ∈N*都成立。

练习2．下面是某同学用数学归纳法证明命题

1111223(1)1n n n n +++=•••++的过程。你认为他的证法正确吗?为什么?

(1).当n=1时,左边= 11122=•，右边= 11112

=+