四种命题的概念
四种命题
逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。
假
练一练
1.判断下列说法是否正确。
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
课 堂 小 结
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛 盾, ∴a能被2整除.
四种命题及其关系
对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 成立 不成立 不成立 P且 q
┐p或┐q 或
P或 q
┐p且┐q 且
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件和 命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 命题的结论的否定和条件的否定， 互为逆否命题。 这两个命题叫做互为逆否命题 这两个命题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否 命 题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题:若 逆否命题 若┐q ,则┐ p 则 原命题: p,则 原命题:若p,则q
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
例: “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0” ≠0， 至少有一个不为0” 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 逆否命题并判断它们的真假。 逆否命题并判断它们的真假。
四种命题
四种命题的相互关系
¬p ¬q
¬q ¬p
一个符号 条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非 Ｐ”。
原命题则 q
逆否命题：若 q 则 p
命题:
原命题： 同位角相等，两直线平行。
逆命题： 两直线平行，同位角相等。
否命题： 同位角不相等，两直线不平行。
真 ___
假 真
假 ___ 假 ___
真
假 ___ 真 ___
假
真 ___ 真 ___
假 假
假 ___
2.四种命题的真假性之间的关系: 逆否命题 它们有相同 (1)两个命题互为_________, 的真假性. 互逆命题 互否命题 或_________, (2)两个命题为_________ 其真假性没有关系. 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真 假性相同.( ) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真 命题也没有.( )
【解析】1.选B.①否命题:若 x+y≠0,则x,y不互为相反数,真 命题.②逆否命题:若a2≤b2,则 a≤b,假命题.③否命题:若x>-3, 则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题: 相等的两个角是对顶角,假命题. 故选B.
2.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0, ∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴方程x2+x-m=0有实数根. ∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数 根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以 “如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆 否命题也为真.
2、分别写出下列各命题 的逆命题、否命题和逆 否命题： （1）正方形的四边相等。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
四种命题
四种命题112四种命题学习目标四种命题的内在联系，能根据一个命题构造它的逆命题、否命题和逆否命题学习过程四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条和结论分别是另一个命题的结论和条，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若，则”，则逆命题为：“ ”(2) 一个命题的条和结论恰好是另一个命题的条的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”（3）一个命题的条和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”练习：下列四个命题：（1）若是正弦函数，则是周期函数；（2）若是周期函数，则是正弦函数；（3）若不是正弦函数，则不是周期函数；（4）若不是周期函数，则不是正弦函数（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例3 命题：“已知、、、是实数，若子，则”写出逆命题、否命题、逆否命题变式：设原命题为“已知、是实数，若是无理数，则、都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（3）奇函数的图像关于原点对称小结这节你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？后作业1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假（1）若都是偶数，则是偶数；（2）若，则方程有实数根2把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等6命题“如果，那么”的逆否命题是（）A如果，那么B如果，那么如果，那么D如果，那么7若ab=0则a=0或b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：8若则a=0且b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：四种命题二时学习目标1四种命题关系图；2四种命题真假关系3，命题的否定与原命题真假关系，否命题及命题的否定形式区别。
四种命题
结 论 3
原命题和逆否题 总是同真同假
观察下列命题的真假，并总结规律。
真 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。 假 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 真 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
结 论 1
原命题的真假和逆命题
的真假没有关系
判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不直。
原命题：若a>b，则ac2>bc2
例如： 原命题： 同位角相等，两直线平行
否命题： 同位角不相等，两直线不平行 总结： 原命题： 若p则q
否命题： 若 p 则 q
3、互为逆否命题
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题
的结论的否定和条件的否定，这两个命题就
叫做互为逆否命题。把其中一个叫做原命题，
则另一个叫做原命题的逆否命题。
原命题： 同位角相等，两直线平行 例如： 逆否命题： 两直线不平行，同位角不相等 总结：原命题： 若p则q 逆否命题： 若 q 则 p
真 真
三边对应不全相等的两个三角形不全等。 真
逆否命题： 不全等的两个三角形三边对应不全相等。真 原命题： 逆命题： 否命题： 若a+b是偶数，则a、b都是偶数。 若a、b都是偶数，则a+b是偶数。 若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数。
四种命题的概念
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四种命题的概念
4、写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假：
（1）若 x2 1，则x 1 （2）对顶角相等； （3）等腰三角形的两腰相等； （4）x2 2x 8 0 的解集为空集。
解：（1）逆命题是：若 x 1，则x2 1
原命题是假命题，逆命题是真命题 （2）逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角
解：逆命题：当 c>0时，若ac>bc，则a>b 否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc，则a≤b
注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时：若a>b，结 论是：ac>bc.
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四种命题的概念
例2、写出命题“若xy=0，则x=0或y=0的逆命题、否命题、逆否命题 解：逆命题：若x=0或y=0，则xy=0
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0 逆否命题：若x≠0或y ≠0，则xy≠0 注意：（1）┓(p或q)=(┓p)且(┓q)
┓(p且q)=(┓p)或(┓q) （2）要写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题关键是要找出原命
原命题是真命题，逆命题是假命题 （3）逆命题是：如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形
是等腰三角形 原命题是真命题，逆命题是真命题
（4）逆命题是：空集是 x2 2x 8 0 的解集
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四种命题的概念
课后小结： 1、四种命题的概念； 2、四种命题的表示方法； 3、能根据原命题写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题。
观察下列两个命题，说出他们的不同之处 （1）同位角相等，两直线平行。 （2）两直线不平行，同位角不相等。
数学中的四种命题
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1,将命题"a>0时,函数 ,将命题" 的值随x值的增 时 函数y=ax+b的值随 值的增 的值随 加而增加"改写成" 则 的形式 的形式, 加而增加"改写成"p则q"的形式,并判断命题的 真假. 真假. 解答:a>0时,若x增加,则函数 增加, 解答 时 增加 则函数y=ax+b的值也随之 的值也随之 增加,它是真命题. 增加,它是真命题.
原结论 是 都是 大于 小于 反设词 不是 不都是 原结论 至少有一个 反设词 一个也没有
至少有两个 至多有一个 至少有n个 至多有(n-1)个 至少有n 至多有( 不大于 个 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 至多有n 至少有( 个 存在某x, 存在某 , 成立
对Байду номын сангаас有x, 存在某x, 对任何x 对所有x, 存在某 , 对任何x, 不成立 成立 不成立
"若p则q"形式的命题 若 则 形式的命题
命题"若整数 是质数 是质数, 是奇数. 命题"若整数a是质数,则a是奇数."具 是奇数 q 的形式. 有"若p则q"的形式. p 则 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的 叫做 通常 我们把这种形式的命题中的p叫做 我们把这种形式的命题中的 命题的条件 叫做命题的结论 条件,q叫做命题的结论. 命题的条件 叫做命题的结论. "若p则q"形式的命题是命题的一种形 则 形式的命题是命题的一种形 式而不是唯一的形式,也可写成 如果p, 也可写成" 式而不是唯一的形式 也可写成"如果 那么q" 只要 就有q"等形式 只要p,就有 等形式. 那么 "只要 就有 等形式. 其中p和 可以是命题也可以不是命题 可以是命题也可以不是命题. 其中 和q可以是命题也可以不是命题
《四种命题》的教学设计
《四种命题》的教学设计任何一种教学都要从设计开始。
教学设计是一种按照指示去实施、完成短期任务的活动，它是一个系统、有秩序并且依据科学原理和方法的活动，它的目的是发挥教学的有效性，通过一定的步骤，逐渐实现预定的教学目标。
和其它教学一样，四种命题也需要一定的教学设计，实现教学目标。
一、四种命题的定义：1、问句陈述命题：这是一种最基本的命题，也称为“否定题”，是指在问句中提出的疑问，要求考生按照是非正误选择。
2、直接表达命题：这种命题只要求考生选择相应的答案，无需写出任何理由。
3、简答命题：这种命题要求考生简单地回答问题，可以有简短的解释，也可以有理由，但也不能过长。
4、分析命题：这种命题要求考生在答题的基础上，进一步分析问题，提出解决方法。
二、四种命题教学设计：1、针对问句陈述命题：在本教学设计上，首先在课前对问句陈述命题进行讲解，介绍此类命题的特点，如果是否定题，要求考生正确选择“正确”或“错误”，如果是肯定题，考生应正确选择是的答案。
接着让考生实践，根据讲解的内容，解答问句陈述命题。
2、针对直接表达命题：首先老师对学生进行直接表达命题的讲解，引导学生正确理解命题的内容，然后在根据老师提出的问题，理解命题的语义，并进行实践，反复锻炼。
3、针对简答命题：在教学中，老师首先对简答命题进行讲解，然后让学生充分利用自己的知识，有理有据地回答问题。
最后，让学生总结和归纳出学习要点，加深印象。
4、针对分析命题：教学活动中，老师首先对分析命题进行讲解，在讲解的过程中，要教会学生弄清问题的细节和特点，然后在根据问题的特点，提出解决方案，最后让学生对解决方案进行综合考虑，给出自己的解决方案。
三、四种命题教学反馈：教学中，学生从听课到实践过程中要及时进行反馈，及时调整学习策略，完善有关教学内容。
1、问句陈述命题：在教学反馈的过程中，要让学生及时反思，对自己掌握了解的情况进行评估，对未理解的地方思考、猜测，课堂上反馈口化，实践层面上利用简单的自测题进行反馈，并及时矫正向正确的方向前进。
命题的四种形式举例
命题的四种形式举例
命题是逻辑学的基本概念，它指的是一个判断（陈述）所表达的观点或命题。
命题可以是直言命题、条件命题、模态命题和复合命题。
下面分别介绍这四种形式的命题，并给出相应的例子。
1.直言命题
直言命题是指直接陈述一个事物的本质或属性的命题。
例如：“所有猫都是哺乳动物。
”这个命题就属于直言命题，因为它直接陈述了猫的本质属性。
2.条件命题
条件命题是指陈述两个命题之间逻辑关系的命题。
条件命题通常由两个部分组成：前件和后件。
前件是条件，后件是结果。
例如：“如果天下雨，那么地会湿。
”这个命题就是一个条件命题，其中“天下雨”是前件，“地会湿”是后件。
3.模态命题
模态命题是指陈述事物的可能性或必然性的命题。
例如：“明天可能会下雨。
”这个命题就是一个模态命题，表达了明天下雨的可能性。
4.复合命题
复合命题是指由多个简单命题组合而成的复杂命题。
复合命题通常由多个子命题组成，每个子命题都是一个简单的判断（陈述）。
例如：“如果天下雨，那么地会湿，但是今天没下雨。
”这个命题就是一个复合命题，它由两个条件命题和一个否定命题组成。
以上就是四种形式的命题及其举例。
在逻辑学中，这些命题形式被广泛用于推理和论证。
四种命题 四种命题间的相互关系
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数 根，假命题．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n ≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的 弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系．
温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
1．下列判断中不正确的是( ) A．命题“若 A∩B＝B，则 A∪B＝A”的逆否命题 为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知 a，b，m∈R，若 am2<bm2，则 a<b”的逆 命题是真命题 D．“若 x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题
解析：A 中，逆否命题“若 A∪B≠A，则 A∩B≠B” 是真命题，正确；B 中，否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题，正确；C 中，逆命题“已知 a，b，m∈R，若 a<b，则 am2<bm2”是假命题．所以 C 错误，符合题意．D 中，因为 x＝1 时，(1－1)2＝0，所以 是假命题，正确．
答案：C
2．命题“若 a＞b，则 2a＞2b－1”的否命题为 ___________________________________________． 解析：否命题为“若¬ p，则¬ q”，则否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b－1”． 答案：“若 a≤b，则 2a≤2b－1”
3．下列命题： ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题； ②“若 k>0，则 x2＋2x－k＝0 有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题； 其中真命题的序号为________． 解析：①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”，真命题；②逆否命题“若 x2＋2x－k＝0 没有实 根，则 k≤0”，因为Δ＝4＋4k<0，所以 k<－1，满足 k
高中数学1.1.2四种命题优秀课件
再见
紧密高考
新课学习
命题方向1 ⇨四种命题的概念
[题目]:写出以下命题的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0； (3)假设a>b，那么ac2>bc2.
规律总结
新课学习
『规律总结』 写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否认原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否认，所得的命题是逆否命 题．
新课学习
否命题
互否命题： 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的___条_件__的_否__认____和___结__论_的__否_认____．我们把这样的两 个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个命题叫做原命题的___否_命__题__． 假设原命题为“假设p，那么q〞，那么其否命题为 “____假_设__¬p_，__那_么__¬q_〞．
新课学习
[标准解答] (1)原命题：假设a是正数，那么a的平方根不等于0； 逆命题：假设a的平方根不等于0，那么a是正数； 否命题：假设a不是正数，那么a的平方根等于0； 逆否命题：假设a的平方根等于0，那么a不是正数； (2)原命题：假设x＝2，那么x2＋x－6＝0； 逆命题：假设x2＋x－6＝0，那么x＝2. 否命题：假设x≠2，那么x2＋x－6≠0； 逆否命题：假设x2＋x－6≠0，那么x≠2. (3)原命题：假设a>b，那么ac2>bc2； 逆命题：假设ac2>bc2，那么a>b； 否命题：假设a≤b，那么ac2≤bc2； 逆否命题：假设ac2≤bc2，那么a≤b.
命题、四种命题及其关系
逆否命题：若一个三角形的角不相等，则这个三角形的边也不相等。 这是真命题。
(3)奇函数的图象关于原点对称 (3)逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数。 这是真命题。 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称。 这是真命题。 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数。 这是真命题。
特称命题 p :
x0 M,p(x0 )
它的否定 p :
x M,p(x)
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
1.1.2 四种命题
(一)命题的特征： (1)是陈述句
(二)命题的结构： 若p，则q
(2)可判真假
题型一：命题的判断(真/假) 题型二：改写命题的结构形式(若p，则q) 题型三：真假命题的应用
p且 q ﹁p或﹁q p或 q
例题：用否定的形式填空： （1）a > 0； a≤0。 （2）a ≥0或b<0； a<0且b≥0。 （3）a、b都是正数；a、b不都是正数。 （4）A是B的子集； A不是B的子集。 结论：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
(1)若a,b都是偶数，则a+b是偶数 真命题 (2)若m>0，则方程x2+x-m=0有实数根. 真命题 (1)逆命题：若a+b是偶数，则a,b都是偶数 假命题
否命题： 若a,b不都是偶数，则a+b不是偶数 假命题 逆否命题： 若a+b不是偶数，则a,b不都是偶数 真命题 (2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，则m>0 否命题： 若m≤0，则方程x2+x-m=0无实数根 逆否命题： 若方程x2+x-m=0无实数根，则m≤0 假命题
四种命题
四种命题1．会判断所给语句是否是命题，并能判断一些简单命题的真假．2．理解命题的逆命题、否命题与逆否命题的含义．3．能分析四种命题的相互关系．1．命题的定义能够判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．命题的结构在数学中，“若p则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．3．四种命题的概念一般地，设“若p则q”为原命题，“若q则p”就叫做原命题的逆命题，“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．4．四种命题的真假性(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．对点讲练命题的判断【例1】下列语句：①2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是________(写出所有正确的序号)．答案②④⑥解析①是命题，能判断真假．②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．③是命题，能作出判断的语句，是一个真命题．④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．⑥不是命题，没有作出判断．变式迁移1判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)一条直线l，不是与平面α平行就是相交；(2)x2＋2x－3<0；A B C；(3)作△ABC≌△'''(4)二次函数的图象太美了！(5)4是集合{1,2,3}中的元素．解(1)直线l与平面α的位置有三种：平行、相交和在平面内，为假，是命题．(2)在x未赋值之前，不能判断其真假，不是命题．(3)祈使句，不是命题．(4)感叹句，不是命题．(5)由于4∉{1,2,3}，所以“4是集合{1,2,3}中的元素”为假，是命题．命题的转换及命题的真假【例2】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．假命题． 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．假命题． 逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题． 反思感悟 分清条件和结论，即可容易的写出各种命题．判断一个命题为假，只需举出一个反例．变式迁移2 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(2)若q <1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根．解 (1)原命题是真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题. 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题．(2)原命题是真命题．逆命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q <1，假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则有q ≥1，真命题．等价命题的应用【例3】 判断命题“已知a 、x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．解 因逆否命题的真假与原命题一致，故判断原命题即可，因此，只须Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0.即4a －7≥0，∴a ≥74>1. 原命题为真，故逆否命题为真．反思感悟 由于互为逆否的命题真假性一致，因此当原命题的真假难判断时，可以判断逆否命题的真假，当否命题的真假难判断时，可以判断逆命题的真假．变式迁移3 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .证明：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 要证明命题不易入手，则证明其逆否命题即可．原命题的逆否命题为“若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．”若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．1．由于互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．因此，四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．课时作业一、填空题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 2解析由a>－3⇒a>－6，但由a>－6⇒a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题．2．下列语句中命题的个数为________．①空集是任何非空集合的真子集．②三角函数是周期函数吗？③若x∈R，则x2＋4x＋7>0.④指数函数的图象真漂亮！答案 2解析①是命题，是真命题．②是疑问句，故不是命题．③是命题，因为Δ＝16－28<0，所以是真命题．④是感叹句，所以不是命题．3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是________．①它的逆命题是真命题；②它的否命题是真命题；③它的逆否命题是假命题；④它的否命题是假命题．答案④4．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是________．答案若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数解析由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．5．有下列四个命题，其中真命题有________．①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．答案①③解析①的逆命题显然成立；②的否命题为“如果三角形不全等，则它们的面积不相等”，由三角形的面积公式可知②的否命题为假命题；③的逆命题中，因方程x2＋2x ＋q＝0有实根，则Δ＝4－4q≥0，即q≤1，故③的逆命题为真命题；④的逆否命题与命题④同真假，④是假命题．6命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是____________________，逆否命题是____________________．答案若A∪B≠B，则A⊆B若A⊆B，则A∪B≠B7．命题“若x、y是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是________________________________．答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数二、解答题8．把命题“正方形的四条边相等”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．9．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．。
四种命题四种命题间相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.重点2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.难点3.利用命题真假的等价性解决简单问题.难点、易错点教材整理1 四种命题阅读教材P4～P6,完成下列问题.1.四种命题的概念一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.2.四种命题的形式原命题：若p,则q.逆命题：若q,则p.否命题：若﹁p,则﹁q.逆否命题：若﹁q,则﹁p.判断正确的打“√”,错误的打“×”1有的命题没有逆命题.2四种命题中,原命题是固定的.3“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.解:1只要原命题确定了,它的逆命题就确定了,故1错.2四种命题中原命题具有相对性,故2错.3“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角,则这两个角不相等”,故3错.答案:1×2×3×教材整理2 四种命题间的相互关系阅读教材P6～P8,完成下列问题.1.四种命题之间的相互关系2.四种命题的真假关系1四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况2四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.判断正确的打“√”,错误的打“×”1对于一个命题的四种命题,可以一个真命题都没有.2两个互逆命题的真假性相同.3命题“若a＞－3,则a＞－6”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数有3个.解:1若原命题为假命题,则其逆否命题为假命题,逆命题和否命题可都为假命题,故1对.2两个互逆命题的真假性无关,故2错.3原命题和逆否命题正确,否命题和逆命题错误,故3错.答案:1√2×3×小组合作探究四种命题的概念例1、写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：1如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面；2如果x＞10,那么x＞0；3当x＝2时,x2＋x－6＝0.根据四种命题的结构写出所求命题.自主解答：1逆命题：如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线. 2逆命题：如果x＞0,那么x＞10；否命题：如果x≤10,那么x≤0；逆否命题：如果x≤0,那么x≤10.3逆命题：如果x2＋x－6＝0,那么x＝2；否命题：如果x≠2,那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0,那么x≠2.1.写出一个命题的其他三种命题的步骤1分析命题的条件和结论；2将命题写成“若p,则q”的形式；3根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.注意：如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注意各命题中的大前提不变.2.常见词语的否定1.1命题“若m＞n,则m－1＞n－2”的逆否命题为________.2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：①正数的平方根不等于0；②若x2＋y2＝0x,y∈R,则x,y全为0.解：1若m－1≤n－2,则m≤n.2①逆命题：若一个数的平方根不等于0,则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数,则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0,则这个数不是正数.②逆命题：若x,y全为0,则x2＋y2＝0x,y∈R；否命题：若x2＋y2≠0x,y∈R,则x,y不全为0；逆否命题：若x,y不全为0,则x2＋y2≠0x,y∈R.四种命题真假的判断例2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,然后判断它们的真假：1正偶数不是素数；2平行于同一条直线的两条直线平行.错误!→错误!→错误!自主解答：1原命题：若一个数是正偶数,则这个数不是素数,是假命题；逆命题：若一个数不是素数,则这个数是正偶数,是假命题；否命题：若一个数不是正偶数,则这个数是素数,是假命题；逆否命题：若一个数是素数,则这个数不是正偶数,是假命题.2原命题：若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行,是真命题.逆命题：若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线,是真命题.否命题：若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行,是真命题.逆否命题：若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线,是真命题.在判断一个命题的真假时,可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论,直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假.再练一题2.下列命题：①“若xy＝1,则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是真命题的是________.解：①“若xy＝1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy＝1”,是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题.所以真命题是①②③.答案：①②③探究共同研讨等价命题的应用探究1 我们学习了四种命题的关系,那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时,该怎么办提示可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.探究2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假,是哪种证明方法的理论基础提示是反证法的理论基础.例3判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集不是空集,则a≥1”的逆否命题的真假.法一：错误!→错误!→错误!→错误!法二：错误!→错误!自主解答法一：原命题的逆否命题：已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集为空集.真假判断如下：∵抛物线y＝x2＋2a＋1x＋a2＋2开口向上,判别式Δ＝2a＋12－4a2＋2＝4a－7,若a<1,则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋2a＋1x＋a2＋2与x轴无交点.所以关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二：先判断原命题的真假.因为a,x为实数,且关于x的不等式x2＋2a＋1x＋a2＋2≤0的解集不是空集,所以Δ＝2a＋12－4a2＋2≥0,即4a－7≥0,解得a≥错误!.因为a≥错误!,所以a≥1,所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法,先写出逆否命题,后判断,如法一；二是间接法,不写逆否命题,从判断原命题的真假证明逆否命题的真假,如法二.再练一题3.证明：已知函数fx是－∞,＋∞上的增函数,a、b∈R,若fa＋fb≥f－a＋f－b,则a＋b≥0.解：原命题的逆否命题为“已知函数fx是－∞,＋∞上的增函数,a,b∈R,若a＋b＜0,则fa＋fb＜f－a＋f－b.”∵当a＋b＜0时,a＜－b,b＜－a,又∵fx在－∞,＋∞上是增函数,∴fa＜f－b,fb＜f－a.∴fa＋fb＜f－a＋f－b,即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.1.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是A.“若一个数是负数,则它的相反数不是正数”B.“若一个数的相反数是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的相反数不是正数”D.“若一个数的相反数不是正数,则它不是负数”解：若原命题记作“若p,则q”,则A为“若p,则﹁q”；B为“若q,则p”；C 为“若﹁p,则﹁q”；D为“若﹁q,则﹁p”.故B正确.答案：B2.命题“如果x2＜1,则－1＜x＜1”的逆否命题是A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤－1B.如果－1＜x＜1,则x2＜1C.如果x＞1或x＜－1,则x2＞1D.如果x≥1或x≤－1,则x2≥1解：“－1＜x＜1”的含义是“x＞－1且x＜1”,故“－1＜x＜1”的否定是“x≥1或x≤－1”,故选D.答案：D3.已知命题：“若x≥0,y≥0,则xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是A.1B.2C.3D.4解：由题意可判断原命题为真命题,故逆否命题也为真命题,其逆命题为“若xy≥0,则x≥0,y≥0”,为假命题,所以否命题也为假命题,故四个命题中,真命题的个数为2.答案：B4.有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0,则x,y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1,则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B,则AB”的逆否命题.其中是真命题的是________填上你认为正确的命题的序号.解：④中由A∩B＝B,应该得出BA,原命题为假命题,所以逆否命题为假命题. 答案：①②③5.判断命题：“若b≤－1,则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.解：利用原命题因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4b2＋b＝－4b,因为b≤－1,所以Δ≥4＞0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.。
高中数学数学命题知识点总结
高中数学数学命题知识点总结一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
真命题：判断为真的语句叫做真命题。
假命题：判断为假的语句叫做假命题。
命题的否定：就是对命题的结论加以否定。
二、四种命题的概念：原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。
一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。
2、一般地，如果既有，又有，就记作。
此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。
2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。
3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。
典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。
四种命题的形式概念
四种命题的形式•概念命题：可以判断真假的语句叫做命题，命题通常用陈述句表示真命题：正确的命题叫做真命题假命题：错误的命题叫做假命题在数学中，常见的命题由条件和结论两部分组成（如：如果三角形的三条边相等，那么这两个三角形全等）命题的证明：1、要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就可以了，这在数学中称为举反例2、确定一个命题是真命题，就必须做出证明，证明若满足命题条件就一定能推出命题的结论一般来说，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么久说由α可以推出β，并用记号“α=>β”表示，读作“α推出β”，换言之，α=>β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题；同理，α≠＞β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题等价命题：如果A 、B 是两个命题，A=>B ，B=>A ，那么A 、B 叫做等价命题，记作A<=>B 。
称A 与B 等价四种命题：（参见下图）若把一个已知命题定义为原命题（由条件和结论组成）把原命题的条件和结论交换，所得到的命题叫做原命题的逆命题把原命题的条件和结论都换成它们的否定形式，所得到的命题是原命题的否命题 （且α的否命题记为 ）把原命题的结论的否定作条件，把条件的否定作结论，所得到的命题是原命题的逆否命题 （值得注意的是，否命题和逆命题也互为逆否命题）四种命题之间的相互关系：（参见上图）一般来说，原命题与逆否命题是同真或同假的，即，原命题与逆否问题是等价命题 （当我们证明某个命题有困难时，就可尝试用证明它的逆否命题来代替证明原命题） Eg.结合初中证明：已知BD 、CE 分别是△ABC 的∠B 、∠C 的角平分线，BD ≠CE 。
求证：AB ≠AC四种命题的真假常用结论：1．原命题为真，它的逆命题不一定为真。
例如：原命题为真：逆命题为假2．原命题为真，它的否命题不一定为真。
例如：原命题为真：否命题为假：3．原命题为真，它的逆否命题一定为真。
四种命题
则a+b≠1.
逆否证法
常用的“结论词”与“反设词”列表如 下： 原结论 原结论
词 至少有 一个 至多有 一个 至少有 n个 至多有 n个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n-1个
词 对所有x 存在某x不成立 成立 对任意x 存在某x成立 不成立 p或 q p且 q 非p且非q
反设词
至少有n+1个
非p或非q
知识要点：
一、四种命题的概念：
原命题： 若 p 则 q . 逆命题： 若 q 则 p . 否命题： 若 p 则 ┐q .
逆否命题：若 ┐ q 则 ┐p.
举例
二、等价性：
1、原命题为真，它的逆否命题一定真；
2、原命题为真，它的逆命题、否命题不
一定真； 3、一个命题与它的逆否命题是等价的.
举例
三、四种命题之间的关系：
6
至少有一个大于0.
例3、已知正实数a、b、c满足
a+b+c=1，在关系式
3(1-a2)≤4(b+c），
3(1-b2)≤4(c+a)， 3(1-c2)≤4(a+b)中，
试证明至少有一个成立.
例4、已知a和b均为正有理数，且 a和
b 都是无理数，证明 a b是无理数.
例5、证明：若a2+2ab+b2+a+b-2≠0，
返回
例2、判断下列命题的真假，并写出它 们的逆命题、否命题、逆否命题. （1）若a＞b，则ac2＞bc2；
（2）若在二次函数y=ax2+bx+c中，
b2-4ac＜0，则该二次函数图象
与x轴有公共点.
返回
例3、判断下列命题的真假：
命题的四种形式
命题的四种形式
（2）改写命题前后的真假性不发生变化。
（3）在将有大前提的命题改写为“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，改后仍作为大前提，不要写在条件p中。
4．四种命题及其关系
(1)四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是
原命题：若p则q
（4）若
一、选择题
1．给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()
A．①B．②C．③D．④．
情感态度与价值观
培养学生自主学的意识，及写作精神。
重点
四种命题之间的关系
难点
四种命题之间的关系
教具
导学
过程
一、阅读教材完成以下内容
1．命题的定义
用语言、符号或式子表达的，可以叫做命题.
注意：（1）命题定义的要点：一.能判断真假二.陈述句
（2）科学测想也是命题，因为随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它的真假.例如“在2012年前，将有人类登上火星”等
2.命题的真假
判断为真的语句叫做，判断为假的语句叫做.
注意：（1）一个命题要么是真命题，要么是假命题。
2）要判断一个命题是真命题，需进行论证，而要判断一个命题是假命题，只需即可
3.命题的结构
命题的一般形式为“若p则q”,也可写成“如果p那么q”，“只要p就有q”等形式。P叫做命题的条件，q叫做命题的结论。
逆命题：若q则p
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论是：ac>bc.
四种命题的概念
3a 3 3、设原命题是“若a 0，则 4a 4
”的相关命题如下，在题后面的
括号里注明它是这一命题的什么命题：
3a 3 （ 1 ）若a 0, 则 （ 4a 4 3a 3 （2）若 , 则a 0 （ 4a 4 3a 3 （3）若 ，则a 0 （ 4a 4
四种命题的概念
例2、写出命题“若xy=0，则x=0或y=0的逆命题、否命题、逆否命题 解：逆命题：若x=0或y=0，则xy=0 否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0 逆否命题：若x≠0或y ≠0，则xy≠0 注意：（1）┓(p或q)=(┓p)且(┓q) ┓(p且q)=(┓p)或(┓q)
（2）要写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题关键是要找出原命 题的条件p和结论q
原命题：同位角相等，两直线平行。
条件（题设）：同位角相等。 结论：两直线平行 它的逆命题：两直线平行，同位角相等。
原命题：同位角不相等，两直线不平行。
它的逆命题：两直线不平行，同位角不相等。
四种命题的概念
二、新知识：四种命题的概念： 1、原命题：通常把所给定的一个命题叫做原命题，如果用p和q分别表示
四种命题的概念
例1、把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题 及逆否命题. （1）负数的平方是正数； （2）正方形的四条边相等.
解：（1）原命题可以写成: 若一个数是负数，则它的平方是正数;
逆命题：若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题：若一个数不是负数,则它的平方不是正数; 逆否命题：若一个数的平方不是正数,则它不是负数; （2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; 逆命题：若一个四边形的四条边相等,则它是正方形; 否命题：若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
原命题的条件和结论，
则原命题可表示为：若p则q. 2、逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命 题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个 命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 原命题的逆命题 原命题的逆命题可表示为：若q则p. 观察下列两个命题，说出他们的不同之处
否命题 逆命题
） ） ）
逆否命题
四种命题的概念
4、写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假：
（1）若
x 2 1，则x 1来自（2）对顶角相等；（3）等腰三角形的两腰相等； （4）x 2
解：（1）逆命题是：若 原命题是假命题，逆命题是真命题
2 x 8 0 的解集为空集。 x 1，则x 2 1
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）同位角不相等，两直线不平行。
四种命题的概念
3、互否命题 ：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的 否定和结论的否定。 否命题的形式可以写成：若非p则非q 其中：“非”字可以用符号“﹃”代替 即“若非p则非q”可以写成：若﹃p ，则﹃q 观察下列两个命题，说出他们的不同之处 （1）同位角相等，两直线平行。 （2）两直线不平行，同位角不相等。 4、逆否命题：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否 定和条件的否定。 逆否命题的形式可表示为：若非q则非p 或 若﹃q，则﹃p
四种命题的概念
学习目标： 1、理解四种命题的概念；
2、掌握四种命题的表示方法；
3、能根据原命题写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题
四种命题的概念
一、复习回顾： 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命 题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个 命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 原命题的逆命题。 例如：
四种命题的概念
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
解：逆命题：若ab=0，则a=0 否命题：若a≠0，则ab≠0 逆否命题：若ab≠0，则a≠0 2、设原命题是“当 c>0时，若a>b，则ac>bc“写出它的逆命题、否命题与 逆否命题。 解：逆命题：当 c>0时，若ac>bc，则a>b 否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc，则a≤b 注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时：若a>b，结
（2）逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角 原命题是真命题，逆命题是假命题 （3）逆命题是：如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形 是等腰三角形 原命题是真命题，逆命题是真命题 （4）逆命题是：空集是
x 2 2 x 8 0 的解集
四种命题的概念
课后小结： 1、四种命题的概念； 2、四种命题的表示方法； 3、能根据原命题写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题。