一元二次方程根与系数的关系

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一元二次方程的根与系数的关系

韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结韦达（韦达（1540－1603）－）论称为“韦达定理” 论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“ 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
根据一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x 的和与积。方程两根 1，x2的和与积。
2-6x-15=0 （1）x
(2) 2 ( 3 ) 5x-1=4x
2+7x-9=0 3x
根与系数关系小结
对于一元二次方程 x + px + q = 0
2
x 的两根1、x
思
考
从因式分解法可知，方程－从因式分解法可知，方程(x1－x2)(x1－x2)＝0的两根为＝的两根为－ x1和x2，将方程化为 2+pX+q=0的形式，你能看出 1, 将方程化为x 的形式，的形式你能看出x x2与p,q之间的关系吗？之间的关系吗？之间的关系吗

一元二次方程的根与系数的关系

当今教科书指出：一元二次方程的根与系数的关系属选学内容，只供学习有余力的学生学习。

但是一元二次方程的根与系数的关系这个知识点的应用却是相当的广泛，习题的内容之多，题目的形式灵活多样，在中考及平时的考试中所占分值却很重，而大部分同学对这个内容却学得不好。

在此简单讲解一下一元二次方程的根与系数的关系的相关知识及相关应用，望对同学们有所帮助。

一元二次方程的根与系数的关系（以前的教科书叫韦达定理）：如果方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

也就是说，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数与二次项系数的比。

一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式演变过来的，下面是证明的过程：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当判别式△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根，，，故有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

该知识点的使用方法：先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后确定二次项系数、一次项系数及常数项（特别是要注意这些系数的符号），最后再根据根与系数的关系，求出相关值。

一、根与系数的关系的直接应用例1：不解方程，求出2x2+4x=1的两根的和与两根的积。

解：将原方程化为一般形式得：2x2+4x-1=0确定a，b，c的值为a=2，b=4，c=-1于是x1+x2=- c/a=-2，x1x2=c/a=-1/2。

二、根与系数的关系的几种变形例2： x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）x12+x22 （2）| x1-x2| （3）x12+3x22-3x2解：由根与系数关系可知 x1+x2=3/2， x1x2 =-5/2（1） x12+x22=（x1+x2）2 -2x1x2=（2） | x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=√19/2（3）由2x2-3x-5=0可得：2x2-3x=5故：原式= （x12+x22）+（2x22-3x2）= +5 = 12三、由根与系数的关系求字母的值例3：已知关于x的方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。

17.4一元二次方程根与系数的关系

不解方程，求：
（ 1）
x x
2 1
2 2
;
1 1 （2) ; x1 x2
(4)
(3) ( x1 1)(x2 1) ;
x1 x2
.
另外几种常见的求值:
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
4.已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 ，求k的值. 解：由根与系数的关系得 x1+x2=-k， x1x2=k+2 解得：k=4 或k=－2 2-4k-8 ∵ △ = K 又 x 1 2+ x 2 2 = 4 当k=4时， △=-8＜0 2 即(x1+ x2) -2x1x2=4 ∴k=4(舍去） 2 K - 2(k+2）=4 当k=-2时，△=4＞0 2 K -2k-8=0 ∴ k=-2
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
指出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0 (2) 2x2 - 3x +
1 2
x1+x2=2 =0
3 x1+x2= 2
x1x2=-1
1 x 1 x 2= 4
(3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4
2
-3 。的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系1.知识讲解：方程)0(0ax 2≠=++a c bx 的求根公式a ac b b x 242-±-=不仅表示可以由方程的系数a,b,c 决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? 思考从因式分解法可知,方程0))((21=--x x x x (1x ，2x 为已知数)的两根为1x 和2x ,将方程化为02=++q px x 的形式,你能看出1x ，2x 与p,q 之间的关系吗?延展把方程0))((21=--x x x x 的左边展开，化成一般形式，得方程 0)(21212=++-x x x x x x这个方程的二次项系数为1,一次项系数)(21x x p +-=，常数项21x x q =，于是,上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系p x x -=+21 q x x =21再思考一般的一元二次方程02=++c bx ax 中，二次项系数a 未必是1,它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?结论：根据求根公式可知：a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=由此可得 ab a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221， ac a ac b b a ac b b a ac b b x x =---=---∙-+-=22222214)4()(2424 因此，方程的两个根1x ，2x 和系数a,b,c 有如下关系：a b x x -=+21，ac x x =21。

这两条公式叫韦达定理。

2. 典型例题例1：已知方程01832=-+kx x 的一个根式2，求另一个根以及K 的值。

分析：按以往的经验是将x=2带入方程，求出k ，再求解。

但是现在可以用韦达定理进行求解。

解：设方程的两根为1x ，2x ，则1x =2。

由韦达定理可得1x ·2x =-6，∴ 32-=x ，又1321-=-=+k x x∴ k=3.例2：设a ，b 是一元二次方程0732=-+x x 的两个根，求b a a ++42的值。

一元二次方程根与系数的关系

第一讲一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12）第二讲一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝．3.二次函数的三种表示方式：一般式顶点式交点式注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2：已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k 使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

练习1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是．4．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（）Ａ．3或1-Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1 5．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 6．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若,4171221=+x x x x 求k 的值.7．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。

一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0，解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0，（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ，则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值．解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43；（2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。

一元二次方程根与系数的关系

（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5，由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。（2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0，即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1

第8课一元二次方程根与系数的关系

第8课一元二次方程根与系数的关系[考点透视]不解方程，判定两个数是否为已知一元二次方程的两个根；求作以两个已知数为根的一元二次方程；已知两数的和与积，求这两个数；已知一元二次方程的一个根求其另一个根及未知系数；不解方程，求2111x x +.2221x x +.||21x x -等代数式的值（其中1x .2x 为已知一元二次方程的根）；已知方程的两根满足某等量关系，求方程中字母系数的值；证明一元二次方程中系数间的等量关系；讨论一元二次方程根的符号及绝对值的大小. [课前回顾]1.韦达定理：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x .2x ，那,21ab x x -=+ac x x =⋅21，其逆命题也成立. 2.以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 0)(21212=⋅++-x x x x x x .3.21212111x x x x x x +=+；2122122212)(x x x x x x -+=+；212221221214)()(||x x x x x x x x -+=-=- 4.设方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ；①当0.021>⋅>∆x x 两根同号；021>⋅x x 且021>+x x 两根同正号；021>⋅x x 且021<+x x 两根同负号；021<⋅x x 两根异号；021<⋅x x 且021>+x x 两根异号且正根的绝对值较大；002121<+<⋅x x x x 且两根异号且负根的绝对值较大.②当00.02121>+>⋅=∆x x x x 且两正的相等根；002121<+>⋅x x x x 且两负的相等根. [课堂选例]例 1 方程0322=++mx x 的一根是21，求另一根及m 的值. 分析由方程根的定义，将211=x 代入方程中，转化为关于m 的方程，求出m 的值，然后求另一个根；也可用韦达定理直接求另一根.解法一：将211=x 代入原方程，得0321)21(22=++⨯m ，解得7-=m .∴原方程变为03222=+-x x ，解得3,2121==x x . ∴方程的另一根为3，m 的值为-7.解法二：设方程的另一根为2x ，由韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+232122122x m x ，解这个方程组，得⎩⎨⎧-==731m x ∴方程的另一个根为3，m 的值为-7. 例 2 已知关于x 的方程07442=++b bx x有两个相等的实数根，21,y y 是关于y 的方程04)2(2=+-+y b y 的两个根，求以21,y y 为根的一元二次方程.解：关于x 的方程07442=++b bx x 有两个相等的实数根.0744)4(2=⨯⨯-=∆∴b b ，解得7,021==b b .当01=b 时，关于y 的方程化为0422=++y y ，无实数解；当72=b 时，关于y 的方程化为0452=+-y y ，解得1,421==y y . 2,32121=⋅=+∴y y y y ，21,y y 以∴为根的一元二次方程为0232=+-z z .例 3 已知21,x x 是关于x 的一元二次方程01)12(22=++++m x m x 的两个实数根.（1）用含m 的代数式表示2221x x +；（2）当152221=+x x 时，求m 的值.解：（1）由题设,得1),12(22121+=⋅+-=+m x x m x x .2122122212)(x x x x x x -+=+∴，)1(2)]12([222221+-+-=+∴m m x x1422-+=m m .（2）由（1），得151422=-+m m .解这个方程，得2,421=-=m m .检验：当4-=m 时，原方程没有实数根.∴舍去4-=m ，当2=m 时，原方程有实数根. 2=∴m .例4已知关于x 的一元二次方程01)21(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x .2x .（1）求k 的取值范围.（2）当k 为何值时,32||2121-=-+x x x x . 解：（1）由题意⎩⎨⎧>--≠04)21(022k k k ，解得41<k且0≠k .（2）由根与系数的关系得： 221221112kx x k k x x =⋅-=+， 012,41<-∴<k k ， 2212211012k x x k k x x =⋅<-=+∴ 又 32||2121-=⋅-+∴x x x x ，321222-=---kk k ，解得1,3121=-=k k .由①得：31-=k .评注（2）中利用韦达定理判断根的符号，分类去绝对值是解题的突破口. [课堂小结]1.韦达定理是一无二次方程根与系数关系的本质体现，是解决相关问题的基础和出发点；2.使用韦达定理的前提条件是二次项系数0≠a 及判别式0≥∆；3.例2.例3（2）中运用了分类讨论的数学思想，例3（1）中使用了配方法.[课后测评] 一.选择题1.一元二次方程0132=--x x 与032=+-x x 的所有实数根的和等于( ) A ．2B ．-4C ．4D ．32.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程07822=+-x x 的两个根，则这个直角形的斜边长是( )A ．3B ．3C ．6D ．93.已知c b a ,,是ABC ∆的三条边的长，那么方程04)(2=+++cx b a cx 的根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个不相等的正实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．有两个异号的实数根二.填空题4.如果关于x 的方程0722=+-m x x 的两个实数根互为倒数，那么m 的值为.5.如果b a ,是方程012=-+x x 的两个实数根，那么代数式3223b ab b a a +++的值是 .三.解答题6.已知方程012=--x x 的两根为21,x x ，求代数式22211x x 1+的值.7.已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p .q ，且满足关系式⎩⎨⎧=+=++65)1(22pq q p p q p ，求这个一元二次方程.8.已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实数根，且02221=-x x ，求m 的值.9.关于x 的方程①01)1(2=++-mx x n 有两个相等的实数根.（1）求证：关于y 的方程②03222222=+---n m my y m 必有两个不相等的实数根；（2）若方程①的一个根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122+的值.。

高中一元二次方程根与系数的关系

高中一元二次方程根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是由一个未知数的二次多项式所构成的方程。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知系数，a≠0，x是未知数。

在研究一元二次方程根与系数的关系时，我们可以通过求解方程的根来探讨这种关系。

一元二次方程的根可以分为以下几种情况：1. 无实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。

这意味着方程表示的抛物线与x轴没有交点，图像完全位于x 轴的上方或下方。

2. 有两个相等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。

这意味着方程表示的抛物线与x轴有且仅有一个交点，图像与x轴相切。

3. 有两个不等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。

这意味着方程表示的抛物线与x轴有两个交点，图像在x轴上方或下方都有一段。

了解了一元二次方程根的分类情况后，我们可以进一步研究根与系数之间的关系。

下面以常见的三种情况进行讨论：1. 当判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。

这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线位于x轴的上方或下方。

当我们改变系数a的值时，可以发现抛物线的开口方向发生改变，但无论怎样改变a的值，方程仍无实根。

2. 当判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。

这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴相切于一个点。

当我们改变系数b的值时，可以发现抛物线与x轴相切的点发生水平移动，但无论怎样改变b的值，方程仍有两个相等的实根。

3. 当判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。

这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴有两个交点。

当我们改变系数c的值时，可以发现抛物线与x轴的交点发生垂直移动，但无论怎样改变c的值，方程仍有两个不等的实根。

一元二次方程根与系数的关系

b − a
a与c 与之间关系
c a
x 1 x 2 x 1 + x 2 x1 • x 2
x2 + 3x − 4 = 0
x2 − 5x + 6 = 0
2
−4 1 2 3
−3 5
3 − 2
2
−4 6
1 2
−3 5
−4 6
1 2
1 2 x + 3x + 1 = 0 − 2
−1
3 − 2
猜想：猜想：如果一元二次方程 ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 的两个根那么，你可以发现什么结论？分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac = 2a
− 2b = 2a
−b = a
− b + b − 4ac − b − b − 4ac x1 ⋅ x2 = × 2a 2a
2 2
b − b − 4ac = 2 4a 4a
2 2
(
)
4ac 结论：
如果一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
2
的两个根分别是
b x1 + x 2 = − a
x1
那么：、 x 2 ，那么：
c x1 • x2 = a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。一元二次方程
已知 x1 , x 2 是方程 2x2 − 4x −1 = 0 的值。的两个实数根，的两个实数根，求 x12 + x2 2 的值。解：根据根与系数的关系: 根据根与系数的关系:
4 X1+X2 = ___

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系一、课堂目标理解根与系数关系，会用根系关系求参数的值或快速求解含参方程二、知识讲解1. 根与系数的关系（韦达定理）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．一元二次方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数、、决定根的值，而且反应了根与系数间的关系．那么一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？探究1从因式分解法可知，方程（、为已知数）的两根为和，将方程化为一般式后，你能说一说两个根和系数之间的关系吗？探究2探究1是二次项系数为1时，根和系数的关系，现在扩展到一般式（）中，探究根和系数的关系．当，即方程有实数根，由可知，，．因此，方程的两个根，和系数，，有如下关系：，．韦达定理：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．例题1.若关于的一元二次方程的两根为，，则．练习2.方程的解为、，则；．3.已知，是方程的两个实数根，则．2. 根与系数关系的应用．不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；．已知方程的一个根，求方程的另一个根；．与根的判别式相结合，解决一些综合题．【总结】几个重要变形：①；②；③；④．例题4.已知方程的一个根是，则它的另一个根是．5.关于的方程有两个不相等的实数根，，且有，则的值是（）．A.B.C.或D.练习6.已知关于的一元二次方程的一根为，求的值以及方程的另一根．7.一元二次方程的两根为和，则的值是（）．A.B.C.D.8.设关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，若，则的值为．例题（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9.已知、是方程的两个实数根．则：．．．．．．．．（9）．练习（1）（2）10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．求的取值范围；若，求的值．11.己知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是．（1）（2）12.已知方程的两根是，．不解方程，求：．．13.已知一元二次方程（其中为大于的常数）的两个实根为，，求的值．例题14.已知，且，，那么．练习15.已知、是方程的两个根，那么．16.已知，是不相等的实数，且，，求的值．三、出门测17.已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是．18.方程的所有实数根之和是．19.已知关于的方程的两根为和，则，．一元二次方程的根与系数的关系题集【A】20.已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则．21.如果，是方程的两个根，那么；．22.若关于的方程的一个根是．则另一根；．23.若方程的一根为另一根的倍，求，所满足的关系式．24.已知关于的方程，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一根．25.已知关于的方程的两个根为、，若，则．26.求一个一元二次方程，使得它的两根，满足：，．27.若关于的一元二次方程的两个实根互为倒数，则．（1）（2）（3）（4）28.已知、是方程的两根，不解方程求下列代数式的值．（结果用、、表示）．．．．29.已知一元二次方程的两个根为、，则，，，．30.已知，是方程的两个根，那么，．31.已知、是方程的两根，求的值．32.已知，，求的值．33.若，且及，则，.34.设，是方程的两个实数根（），求的值．（1）（2）35.已知关于的一元二次方程．若方程有实数根，求实数的取值范围．若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．（1）（2）36.已知关于的一元二次方程．求证：方程总有实数根．设这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值．（1）（2）37.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．求的取值范围．若，求的值．一元二次方程的根与系数的关系题集【B】38.已知一元二次方程的两根为、，则（）．A.B.C.D.39.一元二次方程的两根为和，则的值是（）．A.B.C.（1）（2）40.已知：关于的方程．若方程总有两个实数根，求的取值范围．若两实数根、满足，求的值．41.若关于的二次方程的两实根互为倒数，则．42.若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（）．A.B.C.D.43.已知关于的方程的两根分别是，，且满足，则的值是．44.已知关于的方程有两个实数根，，那么的取值范围是，若，则的值．（1）（2）（3）（4）（5）（6）45.已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值：．．．．．．46.已知实数，且满足，，则的值为（）．A.C.D.（1）（2）47.已知关于的一元二次方程有两个实数根，．求实数的取值范围．是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由．48.已知，是方程的两个根，求的值为．49.设的两实数根为、，那么以、为两根的一元二次方程是．。

第三讲一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系1、一元二次方程的根的判别式综上所述，一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有：（1）当0>∆时，方程有两个不相等的实数根；（2）当0=∆时，方程有两个相等的实数根；（3）当0<∆时，方程没有实数根。

2、一元二次方程的根与系数的关系如果()002≠=++a c bx ax 的两个根是21x x 、，那么ab x x -=+21，ac x x =⋅21。

[例1]已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根．[例2]设方程22630x x --=，的两个根是12,x x ，求2221x x +、3231x x +、21x x -的值；[练1]若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．[练2]已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．类型三：利用韦达定理和根的判别式，判断方程根的情况[例]当m 取什么实数时，关于x 的方程()()05242=-+-+m x m x 分别有：（1）两个正实数根；（2）一正根和一负根；（3）正根绝对值大于负根绝对值；小知识：利用根的判别式和韦达定理，可以判定方程()002≠=++a c bx ax 的正根、负根情况：（1）方程有两个正根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两正根相等）（2）方程有两个负根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b ；（0=∆时，两负根相等）（3）方程有一正根和一负根⎪⎩⎪⎨⎧<=⋅>-=∆⇔004212a cx x ac b ；此时又可进一步分为三种情况：①021>-=+ab x x 时，正根大于负根的绝对值；②021<-=+ab x x 时，正根小于负根的绝对值；③021=-=+ab x x ，即0=b 时，两根互为相反数。

1元二次方程根与系数的关系公式

1元二次方程根与系数的关系公式一元二次方程啊，这可是中学数学里的一个重要知识点。

咱先来说说一元二次方程一般式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），如果这个方程有两个根$x_1$和$x_2$，那么就有一个神奇的关系，叫根与系数的关系公式，也叫韦达定理。

韦达定理说的是，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$。

可别小看这两个公式，用处大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂。

”我笑了笑，给他举了个例子。

假设我们有个一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，那我们先通过因式分解，得到$(x - 2)(x - 3) = 0$，所以方程的两个根就是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。

那按照韦达定理，$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，而$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$，是不是对上啦？再看$x_1 \times x_2 = 2×3 = 6$，$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$，也没错吧！这个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”韦达定理在解决很多数学问题时都能派上用场。

比如说，已知方程的一个根，求另一个根；或者根据两根的关系，确定方程中的系数等等。

再比如，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 8，两根之积是 15，那我们就能很快写出这个方程$x^2 - 8x + 15 = 0$。

而且啊，韦达定理还能和函数图像结合起来。

一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点，对应的就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。

通过韦达定理，我们能知道两根的和与积，进而对函数的性质有更深入的理解。

在做题的时候，要是能熟练运用韦达定理，那解题速度就能大大提高。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系

则x12＋x22的值是( A．19 B．25
知2－讲
总结
已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母
的值．
（来自《点拨》）
知2－讲
知识点
2 一元二次方程的根与系数关系的应用
1.利用根与系数的关系求值. 【例2】已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，
（来自教材）
知1－讲
总结
一元二次方程根与系数关系的几种常用变形：
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； (3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1； 1 1 x x (4) 1 2 ; x1 x2 x1 x2
（来自《点拨》）
知2－讲
总结
已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知
数的方程，求出待定字母的值．注意检验根的合理
性．
（来自《点拨》）
知2－练
1
(2015·枣庄)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋
n＝0的两实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是( A．－10 ) B．10 C．－6 D．2
2
一元二次方程x2＋kx－3＝0的一个根是x＝1，则另
一个根是(
A．3
)
B．－1 C．－3 D．－2
（来自《典中点》）
1.一元二次方程根与系数的关系；
2．根与系数的关系．
必做：

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系

17.4一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

一元二次方程根与系数的关系

第8课一元二次方程根与系数的关系

高中一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系

第三讲 一元二次方程根与系数的关系

1元二次方程根与系数的关系公式

2.5 一元二次方程的根与系数的关系

第三讲一元二次方程根与系数的关系