一元二次方程根与系数的关系

方程
两个根
x1 x2
x2 3x 4 0 4 1
两根 之和
两根 之积
a与b 之间 关系
x1 x2
x1
•
x2
b a
3 4 3
a与c 之间 关系
c
a
4
x2 5x 6 0 2 3 5
65
6
源自文库
2x2 3x 1 0 1
2
1
3 2
1 3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根
2.已知一元二次方程的 3x2 x 6 两根 分别为 x1, x2，则：x1 x2 __ x1 x2 __
3.已知一元二次方程的 3x2 9x m 0
的一个根为1 ，则方程的另一根为___， m=___：
4.已知一元二次方程的 x2 px q 0 两
根分别为 -2 和 1 ，则：p =__ ; q=__
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
2、设 x1 、 x2是方程2x2 4x 3 0的根利用
根与系数的 关系，求下列各式的值：
(1).x1 1x2 1
(2). x2 x1 x1 x2
返回
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. x2 2x 15 0 2. x2 6x 4 0
3. 2x2 3x 5 0 4. 3x2 7x 0
5. 2x2 5
1.已知一元二次方程的 x2 2x 1 0两 根分别为 x1, x2，则：x1 x2 __ x1 x2 __
③∵方程一根为0, ∴两根之积2m10 m 且 10, ∴ m时 ,1方程有一根为零.2
2
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
例1.
不解方程，求方程 2x2 3x 1 0 的 两根的平方和、倒数和。
二、典型例题
例题1：已知方程 1 x2＝2x＋1的两根为
x1,x2，
2
不解方程，求下列各式的值。
（1）（x1－x2）2
x2 x1 （3） x1 x2
（2）x13x2＋x1x23
2.方程 x2 3kx 2k 1 0 的两根互
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 b2 4ac 0时，才
能应用根与系数的关系.
请同学们在课后通过以下几道题检测 自己对本节知识的掌握情况：
2b 2a
b a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2
b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 ，那么：
b x1 x2 a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
4、已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
补充规律：
两根均为负的条件： X1+X2
且X1X2
。
两根均为正的条件： X1+X2
且X1X2
。
两根一正一负的条件： X1+X2
且X1X2
。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0
分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
求证： x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
1.已知一元二次方程的 3x2 9x m 0
的一个根为1 ，则方程的另一根为___， m=___：
2、已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1， 求它的另一个根和m的值。
例2.
已知方程 kx2 (2k 1)x k 2 0 的
两根为 x1 、 x2 ， 且 x12 x22 3 ，求 k的值。
(1X1-X12)2=
x1 x2
； ；
x2 x1 x1 x2
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_ 1X2= __1_4
已知 x1, x2 是方程 2x2 4x 1 0 的两个实数根，求 x12 x22 的值。
解： 根据根与系数的关系:
x1
x2
2, x1
x2
1 2
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
22 2( 1) 5 2
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2x2 3x 1 0
分别是 x1 、x2
所以：x1 • x2 2
即：
x2
3 5
由于 x1 x2 2
得：k=-7
，其中
x2
6 5
( 3) 5
x1
k 5
2
。
答：方程的另一个根是
3 5
，k=-7
例题2：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 两个不相等的实数根
b2 4ac 0 两个相等的实数根
0 没有实数根
填写下表：
P36 第6题
P38 第11、12题
本堂课结束了，望同学 们勤于思考，学有所获。
Goodbye! See you next time!
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3
1
x1 x2 2 , x1 x2 2
1∵x1 x2 2 x12 2x1x2 x22
3
2
2
1
13
2 2 4
2 1 1 x1 x2 3 1 3
x1 x2 x1x2 2 2
返回
例6 方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时, 方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？ 方程的一根为零？
解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数
∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.
( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
1. 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2 kx 6 0 的两个根
为倒数，求k的值。
解：设方程的两根分别为 x1 和 x2 ，
则：x1 • x2 2k 1 而方程的两根互为倒数 即： x1 • x2 1 所以：2k 1 1 得： k 1
基 设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
础
X1+X2 = ___
X1X2 = ____，
练 习
X12+X22 =