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二元一次方程培优

二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案

知识点：

1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。

2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）

无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成⎩⎨⎧=

=y x 的形式。

5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。

（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。主要步骤：

变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。

代入——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。

变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。

加减——消去一个元。

求解——分别求出两个未知数的值。

写解——写出方程组的解。

（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

① 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。

②

找：找出能够表示题意两个相等关系。 ③

列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。 ④ 解：解这个方程组，求出两个未知数的值。

⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。

6、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222

111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2

12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2

12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当

2121b b a a ≠（即01221≠-b a b a ）时，方程组有唯一的解 7、方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

8、求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

练习题：

1、已知代数式b a b a y x y x +---23132

1与是同类项，那么a= ，b= 。 2、已知n m n m y x y x +-2

12-31与是同类项，那么()2013m n -=_______。 3、解下列方程组：

⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x ()()⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--23

221314y x y y x ⎩⎨⎧=+=+603520112013603720132011y x y x 4、已知24,328.

a b a b +=⎧⎨+=⎩则a b += 。

5、关于x 的方程组⎩

⎨⎧=+=n my x m x y -3的解是⎩⎨⎧==11y x ，则 |m-n| 的值是 。 6、已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩

⎨⎧=-=+110ay bx by ax 的解，则b a -3的算术平方根为 。 7、已知方程组⎩⎨⎧-=-=+2013

4332k y x k y x 的解x ，y 满足方程5x-y=3，求k 的值是 。 8、选择一组n m ，值使方程组⎩

⎨⎧=+=+n y mx y x 275 （1）有无数多解，（2）无解，（3）有唯一的解。 9、a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+31

35y x a y x 的解是正数？

10、a 取哪些正整数值，方程组⎩

⎨⎧=--=+a y x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？ 11、要使方程组⎩⎨⎧=-=+1

2y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？ 12、已知关于x y 、的方程组2647

x ay x y -=⎧⎨+=⎩有整数解,即x y 、都是整数,a 是正整数，求a 的值。 13、m 取何整数值时，方程组⎩

⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？ 14、若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222

222522310x y z x y z

+---的值。 应用题：

一、数字问题.例1、一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数。

二、利润问题.例2、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

三、配套问题.例3、某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

四、行程问题.例4、在某条高速公路上依次排列着A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米。分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度