圆周运动经典例题

设ω=3rad/s时两绳拉力分别为FAC和FBC，则有：
FACsin30°＋FBCsin45°＝m ·Lsin30°·ω2 FACcos30°＋FBCcos45°＝mg 将数据代入上面两式解得
FAC＝0.27N FBC＝1.09N
例12、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向 放置着两个用细线相连的小物体A、B，它们的质量均为 m，它们到转轴距离分别为rA=20 cm，rB=30 cm，A、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：（g 取10 m/s2）
P
F
解：（1）绳子迅速放松后质点P沿切线做匀 速直线运动。如图所示，质点做匀速直线运 动的距离为： S b2 a2
做匀速直线运动速度大小为 v a
所以质点由半径a到b所需的时间为 t S b2 a2
v a
（2）绳子绷直的瞬间，质点的法向 速度V2变为0，此后质点以切向速度V1 作半径为b的匀速圆周运动。
向下
B
vB
vA
A
例5、如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个 质量为m的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度 ω做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的 最大压力和最小压力的数值之差为多少？
【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点
时受杆的拉力F1及重力作用，如图甲所示，此时F1>mg。当小铁 块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力F2（或向上的支持力 F2），如图所示： 【解析】对铁块，由牛顿第二定律得：
fm=0.4mg=mrBω02
解 得 ：0
4g 3.65rad / s 3
（2）当A即将开始滑动时，A、B都达到最大静
摩擦力
对A:
0.4mg -T =mrAω2
对B:
T + 0.4mg =mrBω2
解 得 ：0
8g 4rad / s 5
两式整理得：2T 2 3mgT 2m2 g 2 0
解得：T 2mg
例11、如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上 面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴的夹角分别为30°与 45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当 角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
1、竖直平面内的圆周运动 （1）无支持物模型
临界条件：小球恰能过最高点
mg mv02 r
v0 gr
A、能过最高点的条件： v gr
B 、不能过最高点的条件：v gr
实际是球还没到最高点时就脱离了轨道
思考:小球在竖直平面的运动情况?
（2）有支持物模型 临界条件： 小球恰能到最高点：v=0；
解：先求出弹力为0 时的速率v0
mg m v2 r
v0 rg 2.25m/ s
(1) v1=1m/s < v0 球应受到内壁向上的支持力N1
mg

N1

m
v12 r
(2) v2=4m/s > v0
mg

N2

m
v22 r
N1 1.6(N)
球应受到外壁向下的弹力力N2
N2 4.4(N)
由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别为：
(1) 对内壁1.6N向下的压力 (2)对外壁4.4N向上的压力.
m A
O
m A
mg N2 O
例4、 如图，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直面内
转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的小球A和B，
球心到轴O的距离分别为O=0.8m，BO=0.2m。已知
A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B球对
（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度0； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度；
（3）当A物体即将滑动时，烧断细线， A、B状态如何？
（1）3.65 rad/s （2）4 rad/s （3）A随圆盘一起匀速转动，B离心运动
解：（1）圆盘转动角速度达到ω0时，圆盘对B的 摩擦力达到最大静摩擦力fm
（1）6 rad/s （2）6 m
R
h
v
例10、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿 竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°。一条长为L 的绳（质量不计），一端固定在圆锥体顶点O处，另一 端栓着一个质量为m的小物体（可视为质点）。小物体 以速率V 绕轴线做水平匀速圆周运动。 求： O
⑴当 v gl / 6 时,绳对物体的拉力。
若瓶子在最高点的速度为6m/s
N
则瓶子对水的压力为
v2 N m mg 3(N )
G
R
绳子受到的拉力为：T (m M ) v2 (m M )g 15(N )
R
例3、用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管 径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点直 径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运 动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球 对管壁的作用力。 取g=10m/s2 ，求： (1) A的速率 为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。
Y方向：T cos N sin mg X方向：T sin N cos mv2 / l sin
解得：T 2 mg 3
N T
mg
（2）当 v 3gl / 6 3gl / 6 时，锥面对物
体无支持力，物体已离开锥面高，设α表示绳
与轴线之间的夹角。
Y方向： T cos mg X方向： T sin mv2 / l sin

fm

M
2 2
r
解得： 6.5(rad / s)
故范围是：2.9弧度/秒≤ ≤ 6.5弧度/秒。
例8、如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量 为M的质点P，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板 与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为 a、角速度为ω的匀速圆周运动.若绳子迅速放松至某一长 度b而拉紧，质点就能在以半径为b的圆周上做匀速圆周 运动. 求：（1）质点由半径a到b所需的时间， （2）质点在半径为b的圆周上运动的角速度。
杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
解: 两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同，由此
可知：
vA=4m/s时vB=1m/s 对A球：FA-mg=mvA2/OA 解出：FA=30N，于是A球对细杆的力大小为30N，方 向向下
对B球：设杆对球的作用力向下，则FB+mg=mvB2/OB
解出：FB=-5N，于是B球对细杆的力大小为5N，方向
M O
r
m
解：当具有最小值时，M有向圆心运动 趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心 方向相反，且等于最大静摩擦力2牛。
M rO
隔离M有：T fm M12r
m
解得： 2.9(rad / s)
当具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心， 大小也为2牛。
隔离M有：T
轻杆无弹力时：v gr
a、当v=0时，N=mg
b、当0＜v＜ gr 时，支持力N, 0＜N＜mg
mg – N = m v 2 r
c、当v= gr 时，N=0
d、当v＞ gr 时，拉力T
T + mg =
v2 m
r
例1、如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球， 另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动， 设小球在最高点的速度为v,
⑵当 v 3gl / 2 时，求绳
300
对物体的拉力。
解：物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持 力为0，设此时线速度为V0。
Y方向： T cos mg
T
X方向：T sin mv02 / l sin
解得：v0 3gl / 6
mg
（1）当 v gl / 6 3gl / 6 时，锥面对物 体有支持力。
分析：当角速度ω很小时，AC和
A
BC与轴的夹角都很小，BC并不张 紧。当ω逐渐增大使AC绳与轴成
B 30°
30°时，BC才被拉直（这是一个
45°
临界状态），但BC绳中的张力仍
C
然为零。
解：① 当角速度ω为最小值ω1时，TBC=0， 则有： TACcos30°＝mg TACsin30°＝m ·Lsin30°·ω12
甲：F1-mg=mω2r
百度文库
①
乙：F2+mg=mω2r(或mg-F2=mω2r)
②
由①②两式得： F1±F2=2mω2r.
由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为：
2mω2r.
铁块转至最高点时，电动机对地面的压力FN最小为： FN=Mg±F2，其中M为电动机的质量. 电动机对地面的最大压力为：F′N=Mg+F1 故：FN′-FN=F1±F2=2mω2r
例6、如图所示，水平转台上放着A、B、C三物，质量 分别为2m、m、m，离转轴距离分别为R、R、2R，与 转台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的
是（
）
A．若三物均未滑动，C物向心加速度最大
B．若三物均未滑动，B物受摩擦力最大
C．转速增加，A物比B物先滑动
D．转速增加，C物先滑动
例7、细绳一端系着质量M=0.6千克的物体，静止在水 平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3千克的物体 ，M与圆孔距离为0.2米，并知M和水平面的最大静摩擦 力为2牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在 什么范围m会处于静止状态？(g取10米/秒2)
则（
）
A.v的最小值为 gL
B.v若增大，向心力也增大
C.当v由 gL 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大
D.当v由0逐渐增大时，杆对球的弹力先减小后增大
例2、杂技演员表演“水流星”，使装有水的瓶子在
竖直平面内做半径为0.9 m的圆周运动，若瓶内盛有100
g水，瓶的质量为400 g，当瓶运动到最高点时，瓶口向
下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为
m/s,
若瓶子在最高点的速度为6m/s则瓶子对水的压力为
N，绳子受到的
v
拉力为______N。
N mg
解： 在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底
对它的压力和重力的合力为向心力。
v
mg N m v2 r
而压力只能：N 0
所以水不流出的条件是：v gr 3m/ s
将已知条件代入上式解得
ω1＝2.4 rad/s
② 当角速度ω为最大值ω2时，TAC＝0，则有： TBCcos45°＝mg TBCsin45°＝m ·Lsin30°·ω22
将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16 rad/s
所以，当ω满足 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s时，AC、 BC两绳始终张紧。
sin a v1 而： v1 b
bv
v a
b V
θ a
所以： a 2
b2
例9、如图所示，一个人用长为l=1m，只能承受Tm=46N 拉力的绳子，拴着一质量为m=1kg的小球，在竖直平面 内做圆周运动。已知圆心O离地面高h=6m，转动中小球 在最低点时绳子断了。 （1）绳子断时小球运动的角速度多大？ （2）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？