角平分线的性质定理_图文
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角平分线的判定ppt课件
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD ^ OA PE ^ OB
\ PDO PEO 90
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
P E
B
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
\ AOP BOP （全等三角形的对应角相等）
\ 点P在 AOB 角的平分线上4
角平分线的判定的几何语言描述：
DA
∵ PD ^ OA
PE ^ OB
O
P
PD= PE
\OP 是 两A边O的B距的离平相分等线的（点到，一在个这角个的角的E平分线B 上）
5
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D
∵ OP 是 AOB 的平分线
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2_（__A_D_是__∠__B_A_C_的__角__平_分__线__）___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
1
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
证明线段相等时不必再证全等
A D
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD ^ OA PE ^ OB
\ PDO PEO 90
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边）
PD = PE （ 已 知 ）
P E
B
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL）
\ AOP BOP （全等三角形的对应角相等）
\ 点P在 AOB 角的平分线上4
角平分线的判定的几何语言描述：
DA
∵ PD ^ OA
PE ^ OB
O
P
PD= PE
\OP 是 两A边O的B距的离平相分等线的（点到，一在个这角个的角的E平分线B 上）
5
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D
∵ OP 是 AOB 的平分线
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2_（__A_D_是__∠__B_A_C_的__角__平_分__线__）___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
1
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
证明线段相等时不必再证全等
A D
P到OA的距离
C 角平分线上的点
P
O
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
角平分线的性质定理及其逆定理
提示：过点 分别向 分别向△ 三边作垂线， 提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角 三边作垂线 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。
2 .在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点， 边的中点， 在 中 ∠ ， 为 边的中点 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 ，F。求证： ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是E， 。求证： 的平分线上。 点D在∠A的平分线上。 在 的平分线上
A
B E
H
C G
P
图2
已知：如图3， ⊥ ， ⊥ ， ＝ 例3 已知：如图 ，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝ PC，D是AP上 一点 ， 是 上 求证： 求证：∠BDP＝∠CDP ＝
A
D B C
P 图3
尺规作角的平分线 步骤一：以点 为圆心 为圆心， 步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画 弧与角的两边分别交于A， 两点 两点。 弧，弧与角的两边分别交于 ，B两点。
步骤二：分别以点 ， 为圆心 以固定长(大 为圆心， 步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长 大 长的一半)为半径画弧 于AB长的一半 为半径画弧，两弧交于点 长的一半 为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线 就是∠ 步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的 ， 就是 的 平分线。 平分线。
练习 1 .已知：如图，△ABC的角平分线 已知： 的角平分线BM，CN相 已知 如图， 的角平分线 ， 相 交于点P。求证， 到三条边AB， ， 的 交于点 。求证，点P到三条边 ，BC，CA的 到三条边 距离相等。 距离相等。
已知：如图1， 的角平分线BM、CN 例1 已知：如图 ，△ABC的角平分线 的角平分线 、 相交于点P. 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边
角平分线性质定理及逆定理课件
在三角形性质研究中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理研究三角形中的角平分线与中线、高线之间的关系，或者利用逆定理证明三角形中的角 平分线与边的关系。
在实际问题中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理解决土地划分、道路规划 等实际问题，或者利用逆定理解决建筑结构、机械设计等实 际问题。
PART 05
习题与解答
REPORTING
WENKU DESIGN
习题部分
题目1
已知△ABC中，AD是∠BAC的角 平分线，AD交边BC于D，E、F
分别是AB、AC上的点，且 ∠DEF=∠BAD。求证：DE=DF。
题目2
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且BD=CD。求证： AB=AC。
题目3
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且AB=AC，AD=CD。求
逆定理的证明
证明方法一
利用相似三角形的性质，通过相 似三角形的边长比例关系证明。
证明方法二
利用余弦定理，通过余弦值之比 等于边长之比的平方证明。
逆定理的应用
01
02
03
应用一
在几何证明中，可以利用 角平分线逆定理来证明一 些与角平分线相关的几何 性质。
应用二
在三角形中，可以利用角 平分线逆定理来找到角的 平分线，进而确定其他边 的长度或角度。
如果一条射线上的点到角的两边距离相等，那么该射线就是 该角的角平分线。
PART 02
角平分线逆定理
REPORTING
WENKU DESIGN
逆定理的表述
• 角平分线逆定理：在三角形中，如果一条角的平分线与另两边 相交，则与平分线相对的两边之比等于这两边所夹的角平分线 形成的两个小三角形非夹角之比。
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
角平分线课件PPT
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
角平分线性质课件(公开课)-图文
C 3处
D 4处
l2
l3
N
M
P
B
G
C
巩固
4.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD 与∠C的外角平分线CE相交于点P。 求证：点P在∠A的平分线上。
D C
P
A
BG
巩固
5.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相 交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，
要求它到这三条公路的距离相等，则可
供选择的地址有( )
A 1处
l1
B 2处
O
A D
C P
EB
巩固
2.如图，要在S区建一个集贸市场，使 它到公路，铁路距离相等，离公路与 铁路的交叉处500米。这个集贸市场应 建于何处(在图上标出它的位置，比例尺 为1：20000)？
公路
S
铁路
范例
例1.已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥
AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。
D C
P
A
BE
探究
如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E ，请问：点P的位置有什么特殊性吗？
猜测： 点P在∠AOB的平分线上
O
你能证明你的猜测吗？
A D
P EB
归纳 角的平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
A D
P
O
EB
OP是∠AOB的平分线。
新授
几何语言描述：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB 且PD= PE， ∴ OC平∠AOB
角平分线性质课件(公开课)_图文.ppt
复习
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距 离相等。
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仪或量角器）
A
E
N
C
C E
O
M
O
B
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ ，交ＯＢＮ于．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
A
Ｍ Ｃ
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
A
证明:连结MC,NC由作法知: M
C
在△OMC和△ONC中
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴PD=PE ∴ ∠PDO= ∠PEO
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A
D
∵点P是∠AOB平分线上的一点
又PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
O
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
P
EB
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
定理的作用： 证明线段相等
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
A
如图：在△ABC中，
F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB
CD
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
角平分线的性质定理_图文.ppt
活动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ （对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？
O
B
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD D 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
A
D
思考：由PD=PE能不能 得到PD⊥OA，PE⊥OB
C
？
P·
O
E B
提高与拓展
1、如图，连接角平分仪的 边BD、AC，那么AC与BD 有什么关系？为什么?
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明： 在△PDO和△PEO中
C
1
P
2
O
EB
∵OC平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2
∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2
OP=OP ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)
OM=ON
O
MC=NC
N
B
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线
.
C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？
B
C E
2、证明：
A
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 C
对应边相等） E ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
活动 3
N
根据角平分仪的制作原理怎样
作一个角的平分线？（不用角平分
CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
1：画一个已知角的角平分线；( 注意作图痕迹和几何语言的表达) 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离 相等． 3：角平分线的性质的应用
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
证明： ∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴ CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
EA
如图所示OC是∠AOB
的平分线,P 是OC上任意
O
P
C 一点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不 是角平分线上任一点这个角两 边的距离,所以不一定相等直
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路 距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米， 应建在何处？（比例尺 1：20 000）