角平分线的性质定理_图文
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(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明： 在△PDO和△PEO中
C
1
P
2
O
EB
∵OC平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2
∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2
OP=OP ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴PD=PE ∴ ∠PDO= ∠PEO
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A
D
∵点P是∠AOB平分线上的一点
又PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
O
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
P
EB
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
定理的作用： 证明线段相等
EA
如图所示OC是∠AOB
的平分线,P 是OC上任意
O
P
C 一点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不 是角平分线上任一点这个角两 边的距离,所以不一定相等直
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路 距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米， 应建在何处？（比例尺 1：20 000）
OM=ON
O
MC=NC
N
B
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线
.
C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？
CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
1：画一个已知角的角平分线；( 注意作图痕迹和几何语言的表达) 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离 相等． 3：角平分线的性质的应用
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
A
D
思考：由PD=PE能不能 得到PD⊥OA，PE⊥OB
C
？
P·
O
E B
提高与拓展
1、如图，连接角平分仪的 边BD、AC，那么AC与BD 有什么关系？为什么?
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
A
如图：在△ABC中，
F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB
CD
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
仪或量角器）
A
E
N
C
C E
O
M
O
B
wk.baidu.com
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ ，交ＯＢＮ于．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
A
Ｍ Ｃ
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
A
证明:连结MC,NC由作法知: M
C
在△OMC和△ONC中
角平分线的性质定理_图文.ppt
活动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ （对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？
O
B
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD D 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
B
C E
2、证明：
A
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 C
对应边相等） E ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
活动 3
N
根据角平分仪的制作原理怎样
作一个角的平分线？（不用角平分
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
证明： ∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴ CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC
上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E A 求证: PD=PE
D
证明： 在△PDO和△PEO中
C
1
P
2
O
EB
∵OC平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2
∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2
OP=OP ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS)
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴PD=PE ∴ ∠PDO= ∠PEO
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
A
D
∵点P是∠AOB平分线上的一点
又PD⊥OA，PE⊥OB
∴ PD=PE
O
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
P
EB
应用定理的前提条件是：
有角的平分线，有垂直距离
定理的作用： 证明线段相等
EA
如图所示OC是∠AOB
的平分线,P 是OC上任意
O
P
C 一点,问PE=PD?为什么?
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不 是角平分线上任一点这个角两 边的距离,所以不一定相等直
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路 距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米， 应建在何处？（比例尺 1：20 000）
OM=ON
O
MC=NC
N
B
OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线
.
C
1〉平分平角∠AOB
BO
A
D
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
活 动 5 探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？
CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）
1：画一个已知角的角平分线；( 注意作图痕迹和几何语言的表达) 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离 相等． 3：角平分线的性质的应用
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
A
D
思考：由PD=PE能不能 得到PD⊥OA，PE⊥OB
C
？
P·
O
E B
提高与拓展
1、如图，连接角平分仪的 边BD、AC，那么AC与BD 有什么关系？为什么?
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
A
如图：在△ABC中，
F
E
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB
CD
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
仪或量角器）
A
E
N
C
C E
O
M
O
B
wk.baidu.com
M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ ，交ＯＢＮ于．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
A
Ｍ Ｃ
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
A
证明:连结MC,NC由作法知: M
C
在△OMC和△ONC中
角平分线的性质定理_图文.ppt
活动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ （对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？
O
B
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD D 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
B
C E
2、证明：
A
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 C
对应边相等） E ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
活动 3
N
根据角平分仪的制作原理怎样
作一个角的平分线？（不用角平分
DC=DE (因为角的平分线的性质)
再用HL证明.
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角 平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
证明： ∵ AD平分∠CAB
DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴ CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,