数学：1.3.2等比数列中项教案 (北师大必修5)

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1.3.2等比数列复习课件

若 a,G,b 成等比数列，则 G叫作 a 与 b 的等比中项 G2 ab
知识梳理
2．等比数列有关公式
（1）等比数列的通项公式 an a1qn 1 (a1 0, q 0),
（2）等比数列前n项和公式
na1，
q1
Sn
a1(1 qn ) a1 anq , q 1
1q
1q
知识梳理
3.等比数列的单调性
3．一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，求前3n项的和． 4．等比数列中，若正整数 m, n, p, q满足 m n p , q
试比较 am an与ap aq 的大小关系．
a1q8 0, a1 q,
由2(an
an 2 )
5an
得
1
an 0, 2(1 q2 ) 5q，
因为数列单调递增 a1 2, q
2an (1 q2 ) 5qan， q 1 ,或q 2， 2 2，
an 2 2n 1 2n.
（3）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1, a8 a6 2a4，
求 a6的值. 解设公比为 q, 则a8
求公比 q 的值;
（2）单调递增的等比数列 an 中，且 a52
a10 , 2(an
an
）
2
5an 1,
求通项公式 an ;
（3）在各项均为正数的等比数列 an 中，若 a2 1, a8 a6 2a4，
求 a6的值.
练习一
（1）已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，且 a3 7, S3 21,
北师大版高中数学必修5 第一章数列
§3.2 等比数列（复习课）
知识梳理
1．等比数列有关定义
（1）等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都

2021-2022学年北师大版必修5 1.3.1 等比数列教案

等比数列定义教学设计学科：数学课程：北师大版必修5第一章§3等比数列适用对象：高中生一、教学目标1．知识与技能：通过实例理解等比数列的概念；２．过程与方法：通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；３．情态与价值：感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活。

二、教学重、难点重点：等比数列的定义难点：等比数列的概念三、学法与教学用具学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；教学用具：多媒体四、教学设想首先创设情境，从具体三个实例引入新课，得到三组数列；通过观察、归纳得出等比数列的定义；例题稳固；练习。

〔五〕教学过程Ⅰ.课题导入1.[创设情景]①观看兰州拉面短视频，得出一个数列来表示拉面根数的数列【1，2，4，8，16，…】②折叠一张纸，观看纸张层数的变化，能得写出一个数列来表示纸张层数的数列【1，2，4，8，16，…】③?庄子?中有这样的论述“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

〞意思是说“一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完〞。

如果把“一尺之锤〞看成单位“1〞，那么“日取其半〞每天剩下的局部得到一个数列【1，，，，，…】2.[探索研究]问题：【多媒体展示问题】〔1〕、仔细观察一下以上①、②、③三个数列有什么共同特征？该叫什么数列呢？【共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。

即具有等比关系】（2）、如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，由以上三个数列的共同特征得出等比数列的定义。

Ⅱ.讲授新课1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示〔q ≠0〕，即：q ≠0。

用数学符号表示为：)n 2,0(1+-∈≥≠=N n q q a a n n且定义作用：判断数列是不是等比数列等比数列定义要注意：1°“从第二项起〞与“前一项〞之比为常数(q)，那么｛a n ｝成等比数列,公比为q 〔,q ≠0〕；2° 隐含：任一项；3° q= 1时，{a n }为常数。

北师大版高中必修5《等比数列》教案

北师大版高中必修5《等比数列》教案《北师大版高中必修5《等比数列》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！3.4.1等比数列教案课题：3.4.1等比数列(一)教学目标教学知识点等比数列的定义.等比数列的通项公式.能力训练要求掌握等比数列的定义.理解等比数列的通项公式及推导.德育渗透目标培养学生的发现意识.提高学生的逻辑推理能力.增强学生的应用意识.教学重点等比数列的定义及通项公式.教学难点灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题.教学方法比较式教学法采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.教学过程Ⅰ 复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容1、等差数列定义：an-an-1=d(n≥2)(d为常数)a+b22、等差数列性质：①若a、A、b成等差数列，则A=②若m+n=p+q，则，am+ an= ap+ aq,③Sk ，S2k - S3k，S2k…成等差数列.3、等差数列的前n项和公式：Ⅱ 新课讲授下面我们来看这样几个数列，有何时共特点?1，2，4，8，16，…，263 ;①5，25，125，625，…; ②1418121，- ，，- ，…; ③仔细观察数列，寻其共同特点：数列①：;数列②:数列③:共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点)1、定义12等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即：an ：an-1= q(q≠0)数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。

总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意公差①“d”可为0，②公比“q”不可为0.2、等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得a2= a1qa3= a2q=( a1q)q= a1q2a4= a3q=( a2q)q=( (a1q)q)q= a1q3……an= an-1q= a1qn-1(a4，q≠0)，n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式可得：(n-1)个等式①②a2a1= qa3a2= qn-1n-1a na n-1……若将上述n-1个等式相乘，便可得：即: an = a1qn-1(n≥2)当n=1时，左=a1，右=a1，所以等式成立.∴等比数列通项公式为： an= a1qn-1(a1，q≠0)写出数列①②③的通公式.数列①: an=1×2n-1(a1，q≠0)数列②: an=5×5n-1=5n(a1，q≠0)数列③: an=与等差数列比较,两者均可用归纳法求得通项公式.或者, 等差数列是将由定义得到的n-1个式子相“加”，便可求得通项公式;而等比数列则需将由定义行到的n-1个式子相“乘”，方可求得通项公式.[例1]一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q，= q②÷①得：③③代入①得：∴∴答：这个数列的第1项与第2项分别是评析：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅳ课堂练习课本P128练习1、2，Ⅴ课时小结：本节为要学习了等比数列的定义，即：.等比数列的通项公式：an= a1qn-1(n≥2)及推导过程.Ⅵ课后作业(一)课本P129 习题3.9 1(二)1、预习内容：课本P127～P1282、预习提纲：⑴什么是等比中项?⑵等比数列有哪些性质?③怎样应用等比数列的定义式、通项公式以有重要性质解决一些相关问题.北师大版高中必修5《等比数列》教案这篇文章共5020字。

1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)

1 q＝或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一：根据条件设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组方法二：根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析：方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝＝3，② 1－q ① 由，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝－ 1－q 1－q a1q161－q4 ＝＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e，则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2

北师大版必修5高中数学1.3等比数列导学案(二)

高中数学 1.3等比数列导学案北师大版必修5【学习目标】个性笔记1.在等差数列的基础上，通过类比的方法复述等比数列的定义；2．利用上述的定义、公式能判断一个数列是否为等比数列，并能确定其公比；3.记住等比数列的通项公式，能类比等差数列通项公式的推导方法推导等比数列的通项公式。

【学习重点】等比数列的定义和通项公式。

【学法指导】通过类比等差数列的知识研究等比数列的定义和通项公式。

【使用说明】．．．．．．1．请同学们认真阅读课本21-----23页内容，规范完成导学案上的内容，用红笔做好疑难标记。

2．该学案分为AB三个层次，其中A,B每个同学都必须完成；C为拓展延伸，供学有余力的同学选作。

3．在课堂上联系课本知识和已学过的知识，小组合作、讨论完成导学案上的内容；组长负责，拿出讨论结果，准备展示、点评。

【学习过程】一、基础学习1. 自主阅读课本第21页至23页内容，思考：（1）等比数列的定义是什么？焦点词语有哪些？（用红笔画出来）（2）类比等差数列的定义，请你用数学符号表示出等比数列的定义。

（3）定义的作用是什么？2．自主阅读课本第22页至23页内容，思考：（1）等比数列的通项公式是？怎样推导？除了课本的方法，你还有没有其他的方法进行推导？（请类比等差数列推导方法，即等差数列用“累加法”，想一想，等比数列用什么方法？请你动手推导，将你所用到的方法写在下面的空白处。

）（2）它的作用是什么？(B)【探究二】（1）已知等比数列的第2项与第3项分别是10与20，求这个数列的第1项与第4项。

（2）已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n .. （思路点拨：结合知识点2完成）【探究三】(C)+11{}3a 2 4.(1){}12n n n n a a a a ==-已知数列满足，且求证：是等比数列。

（2）-13是否是这个数列中的项？如果是，是第几项？(请参照结合课本24也例3，写出详细规范的解答过程，相信你一定能做到。

2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和

=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·��(��12+��); 当 q≠1 时,Sn=��1��11-��-��1��+db1·��((11--��)��2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若��63=3,则��96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵��63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴��96 = 73.故选 B.
答案:4-��2+��4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和

高中数学 1.3.1.2 等比数列的性质同步课件北师大版必修5

仍为等比数列，例如am,a2m,a3m也为等比数列.
第九页，共39页。
(3)数列{λan}(λ≠0)，{｜an｜}皆为等比数列，公比分别为q和｜
q｜.
一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的
k次幂.
例如(lìrú)，以q为公比的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比
数列，公比为
∴第4个数为12q-6.∴6+6q+12q-6=12,解得
q 故2 .所求的4个数为9,6,4,2.
方法3(fāngfǎ)二：设后3个数分别为4-d,4,4+d,则第1个数1（为4 d）2,
由题意
解得4-d=6.∴d=-2.故所求的4个数为49，6，4，
1（4 d）2（4 d）4 216,
4.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程(fāngchéng)3x2-2x6=0的两根，则a4·a7=_________. 【解析】a4a7=a1a10=-2. 答案：-2
第三十八页，共39页。
5.已知实数(shìshù)a,b,c成等差数列，a+1,b+1,c+4成等比数列，且a+b+c=15,求a,b,c. 【解析】∵a,b,c成等差数列，设公差为d，又a+b+c=15. ∴b=5,∴a+1=6-d,c+4=9+d, 又a+1,b+1,c+4成等比数列， ∴(a+1)(c+4)=(b+1)2,即（6-d)(9+d)=62, ∴d=3或d=-6,∴a,b,c分别为2,5,8或11,5,-1.
2.
4
第二十页，共39页。
【误区警示】在解决本题时注意审题，要求的是三个正数，所以解出d=-10时需要舍去，不要忽视条件，导致(dǎozhì)错误.

高中数学北师大版必修五《等比数列》课件

2•四1,级1,1，…，1；
• 五级
31, 2, 4,8,12,16, 20；
4 a, a2 , a3,……，an.
2024/11/14
5
单击此处编辑母版标题样式
q • 单击此问处题编提辑出母：版已如文知何本一写样个出等式它比的数通列项的公首式项？ a1和公比，
• 二级
q a • 首三级项是 • 四级
• 二级
• 三级
a , q, n, a ①• 四级 • 1五级
四个元素中可知三求一 n
②涉及多个已知条件时，可根据通项公式列方程组解决.
2024/11/14
8
单击此处编辑母版标题样式 16
●
14
（1）an 2n1 ：1，
2，4，8，16，…
5 4.
（2）an
1 2
n1
：1,
1 2
,
1 4
,
1 8
11
单击作此业：处课编本P辑30 ，母A版组1标，2题，3样，4式，6
• 单击（1此）“处生编态辑中国母，版绿色文中本国样”是式中国梦的重要组成部分。目前我国森林覆盖面积约
• 二级占国土面积的12%，处于较低水平，估计到2030年森林面积要在现有基础上
• 三翻级一番（即到达24%），生态环境明显改良。要实现上述目标，从2013年到•20四3级•0年五森级林覆盖面积年平均增长率至少要为多少？
8
• 单击此处7 编辑●母版●文●本样●式 ● ● ● ● ● ●
• 二级 6
• 三级
•45四级• 五等级比数列的图象4
3 （4）an 1 n1 ：1，-1，1，-1，1，-1，
2 1，…
1●
●
●

北师大版必修5数学1.3.1等比数列2

. 48 C. 60 D. 72
2、在等比数列中，，，那么（）.
A.±4 B. 4 C. 2 D. 8
3、若－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)＝（）.
A．8 B．－8 C．±8 D．
高二年级上学期数学学科导学稿
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间2周
集体备课
个人空间
1、课题：1.3.1等比数列（第二课时）
2、学习目标
1、由指数函数的单调性，会分析等比数列的单调性；
2、能发现实际情境中的等比关系，并使用相关知识解决。
重点：等比数列的定义和通项公式
难点：在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能灵活使用这些公式解决相对应的实际问题
三、教学过程
【自主预习】阅读教材23—25页
1、⑴ 等比数列的定义：
⑵ 等比数列的通项公式：
⑶ 等比中项的概念：
（4）重要推广公式：
2、等比数列的单调性：见24页表1-4
【合作探究】
例1、见24页例3。
练习：已知数列{ }中，lg ，试用定义证明数列{ }是等比数列。
例2、见24页例4。
【检测训练】
4、在各项都为正数的等比数列中， 9，
则log3 + log3 +…+log3 .
5、已知等差数列的公差d≠0，且，，成等比数列，求 .
6、在等比数列中， =64，，求的值。
反思栏

2018年高中数学第一章数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时数列求和习题课北师大版必修5

(2)令{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n（n2＋1）＋1211－－1212n＝n（n2＋1）＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
(2)由第一问知，an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n（1＋22n－1）＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
如果一个数列的通项公式可写成 cn＝an±bn 的形式，而数列{an}， {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可采用分组转化法求和．
3.已知 an＝3nn，求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：Sn＝13＋322＋333＋…＋n3－n－11＋3nn， 13Sn＝312＋323＋…＋n－3n 1＋3nn＋1，两式相减得 23Sn＝13＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1
＝1311－－1331n－3nn＋1 ＝12－2×1 3n－3nn＋1，所以 Sn＝34－4×13n－1－2×n3n＝34－24n×＋33n .
规范解答
数列求和
(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n， {bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝（（abn＋n＋12））n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意知，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当 n＝1 时，a1＝S1＝11，
【解】 (1)设{an}的公比为 q，由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2. 又 an>0，解得：a1＝2，q＝2，所以 an＝2n.

2020_2021学年高中数学第一章数列3等比数列第2课时等比数列的性质学案(含解析)北师大版必修5

第2课时等比数列的性质Q情景引入ing jing yin ru1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道这是一个等比数列，那么，等比数列中，有什么特殊的性质呢？X新知导学in zhi dao xue1．等比数列的性质：(1)通项公式的推广：a n＝a m·q n－m (m、n∈N＋)．(2)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是等比数列，公比为q .(3)若{a n}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N＋，则a m·a n＝a p·a q .(4)若等比数列{a n}的公比为q，则{1a n }是以1q为公比的等比数列．(5)一组等比数列{a n}中，下标成等差数列的项构成等比数列 .(6)若{a n}与{b n}均为等比数列，则{a n b n}为等比数列 .(7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为q m .(8){a n}是等差数列，c是正数，则数列{ca n}是等比数列．(9){a n}是等比数列，且a n>0，则{log a a n}(a>0，a≠1)是等差数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或aq，a，aq.(2)若四个数成等比数列，可设 a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设a q 3，a q，aq ，aq 3. Y 预习自测u xi zi ce1．在等比数列{a n }中，若 a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( A ) A ．4 B ．32 C ．169D ．3[解析] 解法一：∵a 6＝a 3·q 3， ∴a 3·q 3＝6.a 9＝a 6·q 3，∴q 3＝96＝32.∴a 3＝6q 3＝6×23＝4.解法二：由等比数列的性质，得a 26＝a 3·a 9， ∴36＝9a 3，∴a 3＝4.2．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( D ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．40[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2， ∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.3．如果数列{a n }是等比数列，那么( A ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列[解析] 数列{a 2n }是等比数列，公比为q 2，故选A ． 4．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 9＝9，则a 5＝ 3 . [解析] 由a 25＝a 1·a 9，∴a 25＝9，∴a 5＝±3. 而a 1、a 9均为正值，故a 5也为正值，∴a 5＝3.5．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 12＝ 567 . [解析] 解法一：可知a 4、a 6、a 8、a 10、a 12成等比数列．其公比为 a 6a 4＝217＝3，所以a 12＝a 4·35－1＝7×34＝567.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 6a 4＝q 2＝3. ∴a 12＝a 4·q 8＝7×34＝567.解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝7，a 6＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝7，a 1q 5＝21，两式相比得q 2＝3.∴a 12＝a 1·q 11＝(a 1·q 5)·q 6＝a 6·(q 2)3＝21×33＝567.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨运用等比数列性质解题例题1 在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10.[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q ，再求a 10. [解析] 解法一：设公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 5＝162，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝23q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23q ＝－3.∴a 10＝a 1q 9＝23×39＝13 122或a 10＝a 1q 9＝－23×(－3)9＝13 122.解法二：∵a 6＝a 2q 4，∴q 4＝a 6a 2＝1622＝81，∴a 10＝a 6q 4＝162×81＝13 122.解法三：在等比数列中，由a 26＝a 2·a 10得a 10＝a 26a 2＝16222＝13 122.『规律总结』比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．〔跟踪练习1〕(1)若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( A ) A ．－12B ．12C ．±12D ．14(2)若等比数列{a n } 的各项均为正数，且a 10·a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .[解析] (1)∵1，a 1，a 2,4成等差数列， 3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0， ∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. (2)因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20) ＝ln(a 10·a 11)10＝10ln(a 10·a 11) ＝10·lne 5＝50.命题方向2 ⇨对称法设未知项例题2 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．[解析] 设四个数为2a q －a 、aq、a 、aq ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q ＝162aq－a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8q ＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.『规律总结』 (1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a 、q 表示四个数，也可以据前三个成等差，用a 、d 表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x ，则第二个数为16x ，则第一个数为32x－x ，最后一个数为x 316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x 的方程x 316·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x ＝－128，解之得x ＝±8，则更简捷．〔跟踪练习2〕有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为多少．[解析] 解法一：设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9.d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16. 当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16. 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.解法三：设四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由条件有⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋12－y ，12－y2＝y ·16－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16，或15,9,3,1.命题方向3 ⇨有关等比数列的开放探究题例题3 已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }定义为b n ＝1n[lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n －1＋lg(ka n )]，是否存在实数k ，使得数列{b n }为等差数列？并证明你的结论．[分析] 先利用数列{a n }是等比数列，求出数列{b n }的通项公式，再求b n ＋1－b n ，看使它成为常数的条件是什么？[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1，b n ＝1n[lg a 1＋lg(a 1q )＋lg(a 1q 2)＋…＋lg(ka 1q n －1)]，解得b n ＝1n [n lg a 1＋12n (n －1)lg q ＋lg k ]＝lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ，∴b n ＋1－b n ＝[lg a 1＋12n lg q ＋1n ＋1lg k ]－[lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ]＝12lg q －1n n ＋1lg k . 要使数列{b n }为等差数列，只需k ＝1，故存在实数k ＝1，使得数列{b n }成为等差数列．『规律总结』除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条件入手，找到解决问题的突破口．下面的性质要熟悉：①若{a n }是等差数列，c 是正数，则数列{ca n }是等比数列；②若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0，a ≠1)是等差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化．〔跟踪练习3〕在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝1，且a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求数列{a n }的公差d 和数列{b n }的公比q ；(2)是否存在常数a ，b 使得对一切正整数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q1＋7d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝6d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1d ＝0(舍去)．(2)假设存在a ，b 使得a n ＝log a b n ＋b 成立，即有1＋5(n －1)＝log a 6n －1＋b .整理，得(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0. ∵a n ＝log a b n ＋b 对一切正整数n 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧5－log a 6＝04＋b －log a 6＝0，∴a ＝56，b ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为134，求这个等比数列的公比．[误解] 设这四个数为aq －3，aq －1，aq ，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3q －3＝1，①aq －1＋aq ＋aq 3＝134.②由①得a ＝q ，把a ＝q 代入②并整理，得4q 4＋4q 2－3＝0，解得q 2＝12或q 2＝－32(舍去)，故所求的公比为12.[辨析] 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q 2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误．[正解] 设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝1，①aq ＋aq 2＋aq 3＝134.②由①得a ＝q －1，把a ＝q －1代入②并整理，得4q 2＋4q －3＝0，解得q ＝12或q ＝－32，故所求公比为12或－32.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu等比数列的性质⎩⎪⎨⎪⎧等比数列的性质等比数列中的设项方法与技巧等差数列与等比数列的综合应用。

高中数学 3.1等比数列教案北师大版必修5

1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
｛｝成等比数列 =q（ ,q≠0）
2隐含：任一项
“ ≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件．
3q= 1时，{an}为常数。
2.等比数列的通项公式1:
由等比数列的定义，有：
；
；
；
…………………
3.等比数列的通项公式2:
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
③1，20，，，，…
④ ，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： =q（q≠0）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式．
Ⅴ.课后作业
课本P60习题A组1、2题
教学反思
课题
§1.3.1等比数列
课型
新授课
课时
备课时间
教学目标
知识与技能
掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法
通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系
情Байду номын сангаас态度与价值观
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】

高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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数学：1.1.2等比数列性质教案 (北师大5)

(1）5，－15，45，……；(2)1。2，2。4，4。8，……；（3），……；（4) ……。
2.（1）一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.
解：由题意得a9= ,q=－
∵a9=a1q8，∴ ，
∴aபைடு நூலகம்=2916
答：它的第1项为2916。
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例4、在等比数列中，，求的值。
解：因是等比数列,所以是等比数列,
所以
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备注
四。练习（掌握，应用)
1、下列命题中：(1）常数列既是等差数列又是等比数列；
（2)若｛an｝是等差数列，则{3－2an}也是等差数列；
(3）若｛an｝是等比数列，则｛an+an+1}也是等比数列;
②当时，
则（常数),所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
由①②得,数列为等比数列,且公比为。
三．应用举例:(理解、巩固）
例1．1）在等比数列｛an}中，已知
2)在等比数列{bn}中，b4＝3，求该数列的前7项之积。
例2在等比数例中，求
例3等比数列｛an｝的各项均为正数，且 ,求
的值
解：由 , ，
因成等比数列，其公比为 ,所以问题转化为: 求的值.
因为得，所以或，于是。
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备注
五．课堂小结
（1）等比数列的性质1、性质2 性质3内容及推导方法归纳。
（2）等比数列三性质的探寻，我们是通过类比等差联想到等比，猜想在等比数列中可能存在的性质规律。然后先从简单的等比数列加以验证,再推出一般式，并加以严格的逻辑证明。这个过程所用的类比、联想、猜想、从特殊到一般，最后给予证明得出结论的想法和方法,我们称为数学思想方法.是解决问题、科学发现、探究自然的一种重要的思维方法和手段.它无处不体现在我们解决问题的思维过程中，希望大家今后留心思考，对提高你们的学习能力及分析解决问题的能力将有极大的帮助。