练习111(对弧长的曲线积分) - 答案

练习册 111 对弧长的曲线积分（答案）

1、计算⎰+=L y x ds e I 22，其中L 是由圆周()0222>=+a a y x ，直

线x y =和x 轴在第一象限所围扇形的边界。

解：积分曲线L 可以分成直线段OA 、弧段⋂

AB 和直线段OB

（如图所示），分别记作1L ，2L 和3L 。

因为0:1=y L ，a x ≤≤0；⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin cos :2a y a x L ，40πθ≤≤；x y L =:2，a x 220≤≤； 所以⎰⎰⎰⎰++++++==32222212222L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e I ()()⎰⎰⎰+++-++=a x a a x dx e d a a e dx e 22024022011cos sin 01πθθθ

()()224141-+=-++

-=a a a a a e ae e ae e ππ。 2、计算⎰=L ds y I 2，其中L 为摆线的一拱()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=，π20≤≤t 。

解：()()()()()()()dt t a dt t a dt t a t a dt t y t x ds 2

sin 2cos 12sin cos 122222=-=+-='+'=， 所以()()dt t t a dt t a t a ds y I L ⎰⎰⎰⋅-=⋅-==ππ20232022222

sin cos 122sin 2cos 1 ()⎰⎰⎰⎰

=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⋅-=ππππθθ053205320532023sin 1622sin 162sin 82sin cos 12d a t d t a dt t a dt t t a 33205305315

2561325432sin 32sin 16a a d a d a =⨯⨯⨯===⎰⎰ππ

θθθθ。 3、计算()⎰+=L

ds y x I ，其中L 是连接点()0,1和()1,0的直线段。 解：因为1=+y x ，10≤≤x ，

()()()dx dx dx x y ds 2111222=-+='+=，

()2210==+

=

⎰⎰dx ds y x I L 。

4、计算()⎰++=L

ds y x I 322，其中L 是圆周222=+y x 。 解（方法1）：令⎪⎩⎪⎨⎧==t

y t x sin 2cos 2，π20≤≤t ， ()()()()()()dt dt t t dt t y t x ds 2cos 2sin 22222=+-=

'+'=， 所以，()()()πππ20102323202022==+=++=⎰⎰⎰dt dt ds y x I L 。 解（方法2）：

()()()ππ20225532322=⨯⨯==+=++=⎰⎰⎰L L L ds ds ds y x I 。