线性系统1
线性系统理论-郑大钟(第二版)
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性
动态系统的分类
从机制的角度 1.连续变量动态系C统 VDS 从特性的角度 1.线性系统
2.离散事件动态系D统 EDS
2.非线性系统
从作用时间 1.连续时间系统 连续系统按其参数 1.集中参数系:属 统有穷维系统 类型的角度 2.离散时间系统 的空间分布类型 2分 . 布参数系:属 统于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
复频率域描述即传递函数描述
g(s)u y( (s s) )snb n a 1 n s n 1 s1 n 1 b 1s a 1sb 0a 0 (2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不
线性系统
线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。
若表征系统的数学描述为L 系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷
线性系统理论1数学基础
T 1 T 2 T T n
我们称 a a a 为关于基 e1 , e2 , , en 的坐标。若 向量 e , e , , e 构成 R n 的另一组基，则有
1.6
广义Sylvester矩阵
AV BW VF 其中: A R W C
r n nn
(1.6.1)
nr
,BR
;V C
nn
,
; F 为n价的Jordan矩阵当取 .
定W 阵, 并令C BW , 则上式化为 常规的Sylvester矩阵方程 : AV VF C (1.6.2)
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关联的Jordan块的个数.
矩阵某特征值的代数重数:
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关所有的Jordan块的阶数之和.
命题1.5.1 设A R 构如上述.记
n n
,其Jordan矩阵的结
i =max pi1 pi2 piq ,i=1,2, ,l
v1 v 2 v n v 1 v P 2 v n
v Rn ，有
e , e , , e n 和基 e1 , e 2 , , e n 之间的坐标 我们称 P 为基 1 2
1.4有理分式矩阵及其互质分解
1.4.1 互质多项式矩阵
1.4.2 有理分式矩阵的互质分解
1.4.3 矩阵(sI A) B的右既约分解
1
W ( s ) ( sI A) B N ( s ) D ( s )的求取: 第一步:利用算法1.3.1求取幺模矩阵P ( s ) 和Q ( s )满足 : P ( s ) sI A B Q(s) 0 I 第二步 : 将幺模阵Q ( s )做如下分块 : Q11 ( s ) Q12 ( s ) Q( s) Q21 ( s ) Q22 ( s ) 其中, Q11 ( s ) R nr [ s ], Q21 ( s ) R r r [ s ]. 第三步 : 取 N ( s ) Q11 ( s ), D ( s ) Q21 ( s ) 则N ( s )与D ( s )满足右既约分解式 W ( s ) ( sI A) 1 B N ( s ) D 1 ( s )。
线性系统的性质
三、因果系统与非因果系统
因果系统：在激励信号作用之前系统不产生响应。 否则为非因果系统。 见图2。
图2
➢ 阅读与思考
2-5
第2讲 线性系统的性质
一、线性系统与非线性系统
若f1( t ) y1( t )，f2( t ) y2( t ) 则对于任意常数a1和a2，有 a1 f1( t ) + a2 f2( t ) a1 y1( t ) + a2 y2( t ) 则为线性系统。
非线性系统不满足上述齐次性和可加性。
二、时不变系统与时变系统
时不变系统：系统的元件参数不随时间变化； 或系统的方程为常系数的。 否则为时变系统。
时不变性：
若f(t)y(t) 则 f ( t t0 ) y ( t t0 )
见图1。
2-3
图1 时不变特性示意图
线性时不变系统（LTI）： 系统既是线性的，又是时不变的； 或系统的方程为线性常系数微分方程。
2-1
线性系统的特性：
• 微分特性：若f ( t ) y( t )，则 f (t) y(t)
•
积分特性：若f (
t
)
y( t )，则
t
0
f ( )d
t
0 y( )d
• 频率保持性：信号通过线性系统后不会产生新的
频率分量。 尽管各频率分量的
线性系统理论第三章(1)
第三章 线性时不变系统的标准形与最小阶实现把系统动态方程化为等价的简单而典型的形式，对于揭示系统代数结构的本质特征，以及系统的分析与设计将会带来很大的方便，因此利用等价变换化系统动态方程为标准形的问题成为线性系统理论中的一个重要课题。
在第一章中已经指出，动态方程等价变换的矩阵P 是由状态空间基底的选取来决定的。
因此常把构造P 阵的问题化为选取状态空间适当基底的问题来讨论。
由于所给的条件不同和选取基底的方法不同，从而可以得到各种不同形式的标准形。
在实际实用中，常是根据所研究问题的需要而决定采用什么样的标准形。
本章所介绍的几种标准形，是以后讨论极点配置和观测器设计等问题时要用到的。
实现问题，也是线性系统理论的重要课题之一。
这是因为：状态空间方法在系统设计和计算上都是以动态方程为基础的，为了应用这些方法，我们需要把传递函数阵用动态方程予以实现，特别是在有些实际问题中，由于系统物理过程比较复杂，通过分析的方法来建立它的动态方程十分困难，甚至不可能，这时可能采取途径之一就是先确定输入输出间的传递函数阵，然后根据传递函数阵来确定系统的动态方程。
其次，复杂系统的设计往往希望能在模拟计算机或数字计算机上仿真，以便在构成物理系统之前就能检查它的特性，系统的动态方程描述则比较便于仿真，例如在模拟机上指定积分器的输出作为变量，就很容易仿真系统。
在实际应用中，动态方程实现也提供了运算放大器电路综合传递函数的一个方法。
每一个可实现的传递函数阵，可以有无限多个实现。
我们感兴趣的是这些实现中维数最小的实现，即最小阶实现。
在实用中，最小阶实现在网络综合和系统仿真时，所用到的元件和积分器最少，从经济和灵敏度的角度来看是必要的。
关于有理函数阵的最小阶实现问题，定理2—20及定理2—21是基本的，本章则着重于构成最小阶实现的方法。
§3—1系统的标准形关于等价变换 等价变换的关系A PAPB PBC CP 11,,--===其中P 为坐标变换阵，即有x Px =。
线性系统理论第一章(习题)
若 li 是 A 的特征值，试证 [1 li li 2 li n -1 ]T 是属于 li 的特征向量。 1—2 若 li 是 A 的一个特征值，试证 f (li ) 是矩阵函数 f (A) 的一个特征值。 1—3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式
é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 1 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 1 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û
y =
t
ò0 g(t - t )u(t )d t
若脉冲响应 g 由图 1—12(a)给定。试问，由图 1—12(b)所示的输入而激励的输出为何？ g(t) 1 1 (a) 图 1—12 脉冲响应和输入作用 1—12 试求图 1—13 所示系统的动态方程式(略)
29
u(t) 1 2 t 1 2 (b) t
n >m
试证，给定初始状态 x(m ) = x0 下，时刻 n 的状态为 x(n )=F(n, m )x(0) 。若 A 与 n 无关，则
F(n, m ) 为何？
1—27 证明 x(n + 1) = A(n )x(n ) + B(n )u(n ) 的解为
n -1
x(n ) = F(n, m )x(m ) +
1 ù ú s+3ú 5s + 1 úú s + 2 úû
的实现，并画出其模拟图。 1—25 设{ A , B , C , D }和{ A , B , C , D }是两个线性时不变系统，其维数不一定相同。证明当 且仅当
线性系统理论全
稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质
自动控制原理-线性系统的根轨迹法1
16
规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
17
规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。
线性系统理论
线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。
线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。
在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。
一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。
当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。
当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。
当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。
线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。
其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。
换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。
另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。
这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。
除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。
二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。
下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。
1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。
例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。
我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。
这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。
这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。
2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。
它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。
在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。
这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。
控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。
线性系统理论(最终) -1
第1章线性系统的数学描述建立起系统中各变量间的数学关系和变换关系，是系统分析与综合的前提条件。
由于分析方法或解决问题的目的不同，描述系统行为的数学方程也有所不同。
在线性系统时域理论中所使用的数学描述可分为两大类，即系统的输入-输出描述和系统的状态空间描述。
系统的输入-输出描述又称为外部描述，他是通过建立系统的输入和输出之间的数学关系来描述系统特性的。
在经典线性系统控制理论中的传递函数和微分方程都属于系统的外部描述。
系统的状态空间描述又称为内部描述，它选用能够完善描述系统行为的被称为状态的内部变量，通过建立状态和系统的输入以及输出之间的数学关系，来描述系统行为的。
系统的外部描述不是对系统的全部特性的描述，而状态空间描述是对系统行为的完善描述。
本章首先论述系统的外部描述，接着着重讨论系统的内部描述。
线性系统的状态空间描述是分析和综合线性系统的基础，在此给出线性系统状态空间的概念、组成方法、基本性质、描述特性和变换等，这些概念和结论对于后面的各章的讨论是不可缺少的。
1.1线性系统的输入-输出描述系统的输入－输出描述揭示了系统的输入和输出之间的某种数学关系。
在建立系统输入—输出描述时，可以假设系统的内部特性是完全未知的，即将系统看作一个“黑箱”。
向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相应的输出，根据这些输入－输出数据，可以确定出系统的输入和输出之间的数学关系。
在图1-1所示的系统中，外部对系统施加的作用或激励称为系统的输入变量，系统对外部的影响则称为系统的输出变量。
假设系统有p 个输入，q 个输出，分别用12,,p u u u ⋅⋅⋅和12,,,q y y y ⋅⋅⋅来表示，或记为向量的形式：12[]Tp u u u =⋅⋅⋅u ，12[]T q y y y =⋅⋅⋅y ，称u 、y 为系统的外部变量，其中"T"表示向量的转置。
图1-1系统的外部描述如果系统只有一个输入和一个输出(p 1,1)q ==，则称系统为单变量系统，用符号SISO 表示；当系统的输入量或输出量多于一个时．则称其为多变量系统，用符号MIMO 表示。
第二章线性系统的状态空间描述1
第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。
（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。
（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。
）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。
记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。
引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。
从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。
其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。
与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。
5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。
例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。
第1章 线性系统概论
能源与动力学院
第一章 线性系统概论
12
1.6 发展历程
早期(-1868) 早期(
中国古代：西汉指南车，东汉天文仪、计时器、 中国古代：西汉指南车，东汉天文仪、计时器、浑天仪 古希腊： 古希腊：水钟 [1624]熔炉温度调节器 Cornelis Drebbel [1624]熔炉温度调节器 [1746]家用供水水位浮球调节器 W. Salmon [1746]家用供水水位浮球调节器 [1758]蒸汽机水位浮球调节器 J. Brindley [1758]蒸汽机水位浮球调节器 抽水马桶专利[1775], Crapper改进 抽水马桶专利[1775], Thomas Crapper改进 Watt[1769]蒸汽机和飞球速度调节器 James Watt[1769]蒸汽机和飞球速度调节器
若初始条件为零， 若初始条件为零，则
dn L n f (t ) = s n F ( s ) dt
能源与动力学院 第一章 线性系统概论
24
4. 中值定理
f (∞) = lim sF ( s )
s→0
5. 初始值定理
f (0 + ) = lim f (t ) = lim sF ( s )
s −3 s +1 4 或F (s) = = − 2 2 (s + 1) + 1 (s + 1) + 1 (s + 1)2 + 1
能源与动力学院
第一章 线性系统概论
28
2.
F(s)有重极点, p1为 F(s)有重极点,设p1为r重极点 有重极点
B(s) F (s) = ( s + p1 ) r ( s + pr +1 )...( s + pn ) a1 a2 ar = + + ... + r r −1 ( s + p1 ) ( s + p1 ) s + p1 an ar +1 + + ... + s + pr +1 s + pn a1 r −1 − p1t a2 r −2 f (t ) = t + t + ... + ar e (r − 2)! (r − 1)! − pn t − pr +1t + ar +1e + ... + an e
线性系统理论(第1章)
在模拟结构图中常用积分器、放大器、反相器、加法 器等基本元件，它们的表示方式分别如图1.2.3所示。
第1章 控制系统的状态空间描述
A(t)，B(t)，C(t)和D(t)分别定义在（，）上t的 连续函数矩阵，被统称为该系统的状态空间描述的参数矩 阵，简称状态参数矩阵。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
矩阵A(t)反映了系统的许多重要特性，如稳定性等，因此 常称矩阵A(t)为系统的特征矩阵，为系统矩阵（状态阵）； 矩阵B(t)称为输入矩阵；矩阵C(t)称为输出矩阵；矩阵D(t) 称为耦合阵（前馈矩阵）。
,xn (t)}
独立状态变量的个数即系统微分方程的阶次n。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
对于如下系统：
y(n) (t) an1 y(n1) (t)
a1
y(t)
a0
y(t)
b u(n1) n1
(t)
b1u(t) b0u(t)
其中y是系统的输出，u是系统的输入。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的， 用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制 理论的那些方法。
现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信 系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理 论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管 理、生态系统、经济系统等的研究中。
内部的状态信息并加以利用；一阶微分方程组比高阶微分
线性系统原理及应用
线性系统原理及应用线性系统原理及应用线性系统是一类重要的数学模型，其原理基于线性方程组的理论，在工程、物理、经济等领域有广泛的应用。
本文将介绍线性系统的基本原理，并讨论其在不同领域中的应用。
一、线性系统的原理线性系统是指满足线性性质的系统，其特点是符合叠加原理和比例原理。
1. 叠加原理：对于任意输入信号，线性系统的输出等于各个输入信号分别作用于系统时的输出之和。
即系统对于输入信号的响应是可相加的。
数学表示为：y(t) = k1*x1(t) + k2*x2(t) + ... + kn*xn(t)，其中y(t)为系统的输出，x1(t)、x2(t)、...、xn(t)为不同的输入信号，k1、k2、...、kn为对应的系数。
2. 比例原理：线性系统对于输入信号的放大或缩小会使得输出信号也按相同的比例放大或缩小。
即系统对于输入信号的响应是可比例的。
数学表示为：y(t) = a*x(t)，其中y(t)为系统的输出，x(t)为输入信号，a为比例系数。
线性系统满足叠加原理和比例原理的特性，可使其在分析和处理复杂问题时更加灵活和方便。
二、线性系统的应用线性系统在各个领域中都有广泛的应用，以下将分别介绍其在工程、物理和经济领域的应用。
1. 工程领域的应用线性系统在工程领域中广泛应用于控制系统、通信系统、信号处理等方面。
在控制系统中，线性系统被用于描述系统的动态特性和稳定性，通过对系统输入信号和输出信号的分析和处理，实现对系统的控制和稳定。
在通信系统中，线性系统被用于信号传输和调制解调过程的分析和设计，通过对信号的处理和传输，实现高质量的通信。
在信号处理中，线性系统被用于对信号进行滤波、降噪、增强等处理，提高信号的质量和可靠性。
2. 物理领域的应用在物理领域中，线性系统被广泛应用于描述和分析力学、电磁学、声学等问题。
在力学中，线性系统被用于描述刚体和弹性体的振动特性、动力学过程和结构响应等问题。
在电磁学中，线性系统被用于描述电路元件、天线、传感器等的电特性、电磁场分布和辐射特性等问题。
线性系统理论主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程
线性系统理论一、主要内容本课程是一门信息科学的专业基础课程，阐述分析和综合线性多变量系统的理论、方法和工程上的实用性，本理论在控制技术、计算方法和信号处理等领域有着广泛的应用。
1、系统、系统模型，线性系统理论基本内容2、状态、状态空间，状态和状态空间的数学描述，连续变量动态的状态空间描述，系统输入输出描述与状态空间描述的关系，LTI系统的特征结构，状态方程的约当规范型，系统状态方程与传递函数矩阵的关系，组合系统的状态空间描述3、连续时间LTI系统的运动分析，状态转移矩阵和脉冲响应矩阵，连续时间LTV系统的运动分析，连续时间LTI系统的时间离散化，离散时间线性系统的运动分析4、线性系统的能控性和能观测性，连续时间LTI系统的能控性和能观测性判据，离散时间线性系统的能控性和能观测性判据5、对偶系统和对偶性原理，时间离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件，能控和能观测规范型，连续时间LTI系统的结构分解6、系统外部和内部稳定性，李亚普诺夫稳定的基本概念，李亚普诺夫第二方法的主要定理，连续时间线性系统的状态运动稳定性判据，离散时间线性系统的状态运动稳定性判据7、系统综合问题，状态反馈和输出反馈，状态重构和状态观测器，降维状态观测器，状态观测器状态反馈系统的等价性问题二、线性系统及其研究的对象一般说来，许多物理系统在其工作点的附近都可以近似地用一个有限维的线性系统来描述，这不仅是由于线性系统便于从数学上进行处理，更为重要的，它可以在相当广泛的范围内反映系统在工作点附近的本质。
因此，线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统，不是物理系统。
控制理论发展到今天，包括了众多的分支，如最优控制，鲁棒控制，自适应控制等。
但可以毫不夸张地说，线性系统的理论几乎是所有现代控制理论分支的基础，也是其它相关学科如通讯理论等的基础。
三、研究线性系统的基本工具研究有限维线性系统的基本工具是线性代数或矩阵论。
用线性代数的基本理论来处理系统与控制理论中的问题，往往易于把握住问题的核心而得到理论上深刻的结果。
控制工程第二章线性系统的数学描述1
3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
北航硕士研究生线性系统课件1
线性系统 论 线性系统理论(Linear System Theory)程鹏 教授 编写北京航空航天大学内部讲义参考书：一、矩阵方面： 1.(日)须田信英等，曹长修译 信英等 曹 修 ： 《自动控制中的矩阵理论》 科学出版社 1979 2 黄琳 ： 2.黄琳 《系统与控制理论中的线性代数》, 科学出版社 1984 3 韩京清，许可康 ，何关钰： 3.韩京清，许可康 《线性系统理论的代数基础》，辽宁科技出版社1987二、线性系统理论方面： 1. T.KAILATH：Linear Systems 1985年有中译本，李清泉等译：凯拉斯： 年有中译本 李清泉等译：凯拉斯：《线性系 统》。
2. C.T.CHEN: Linear System Theory and Design (王纪文、毛剑琴等译 王纪文 毛剑琴等译)： 《线性系统理论与设计》，1988年中译本 3. 郑大钟： 《线性系统理论》 清华大学出版社，1992 其余见篇末文献。
课程的地位与目的本课程是控制科学与工程一级学科研究生的公共学 位课和专业基础课。
通过本课程学习，要求学生掌握线性系统的 一般概念和分析研究线性系统的一般方法，为进一 步学习其它控制理论奠定坚实的基础。
步学习其它控制理论奠定坚实的基础 本课程理论性强，用到较多数学工具，因此， 对培养学生的抽象思维、逻辑思维，提高学生运 用数学知识处理控制问题的能力具有重要作用。
一、控制论产生的背景社会背景现代社会的生产和管理对于高度自动化水平的需要社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更 能把科学推向前进。
—— 恩格斯直接原因二战期间，维纳参加了火炮控制和电子计算机的研制工作。
1943年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了 年，维纳、毕格罗和罗森勃吕特三人共同发表了《 《行为、 目的和目的论》 目的和目的论 》，首先提出了“控制论”这个概念，第一次把 只属于生物的有目的的行为赋予机器 阐明了控制论的基本思 只属于生物的有目的的行为赋予机器，阐明了控制论的基本思 想。
线性系统理论_1
第一篇线性系统理论尽管任何实际系统都含有非线性因素，但在一定条件下，许多实际系统可用线性模型充分地加以描述，加之在数学上处理线性系统又较为方便，因此线性控制系统理论在控制工程学科领域中占有重要地位，是应用最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制等现代控制理论及构造各类现代控制系统的基础．众所周知，经典线性控制系统理论以传递函数为主要数学工具，侧重研究系统外部特性，这种方法在分析设计单变量系统时卓有成效，但随着航空航天、工业过程控制等高技术的发展，系统越来越复杂，需要分析与设计多变量系统。
5O年代末、60年代初，学者卡尔曼等人将古典力学中的状态、状态空间概念加以发展与推广，用来描述多变量控制系统，并深刻揭示了用状态空间描述的系统的内部结构特性，如可控性与可观测性，从而奠定了现代线性控制系统的理论基础。
在此基础上形成了适于多变量系统的状态反馈、输出反馈等新的反馈设计方法，以实现系统闭环极点的任意配置、消除或抑制扰动、稳定并精确地跟踪、解除或削弱交叉耦合影响，达到满足系统的各项动、静态性能指标要求。
本篇将系统介绍现代线性系统理论的基本内容。
第一章介绍状态空间分析法一般理论，主要介绍定常连续、时变连续、离散系统状态空间数学模型的建立及其解的特性．第二章介绍系统以状态空间描述后内部结构特性（含稳定性、可控性、可观测性）的分析方法，详细论证了定常系统各种结构特性的判别准则，对时变系统情况只作简介；其中应用李雅普诺夫理论所作的稳定性分析只限于线性系统。
第三章着重介绍用状态反馈实现闭环极点任意配置的系统综合方法。
第一章状态空间分析法经典控制理论中基于传递函数建立起来的如频率特性、根轨迹等一整套图解分析设计方法，对单输入-单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地应用。
- 1 -- 2 -由于60年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，需处理多输入-多输出、时变、非线性等方面的问题，加之数字计算机技术的卓越成果，有可能对这些复杂系统进行分析设计和实时控制，于是推动了状态空间分析设计方法的形成和发展．运用状态空间描述系统，是现代控制理论的重要标志，它弥补了用传递函数描述系统的许多不足之处，诸如传递函数对于处在系统内部的中间变量不便描述，甚至对某些中间变量还不能够描述，忽略了初始条件的影响。
第1章 线性系统的状态空间描述(2)
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 0 ⋮ b = ⋮ 0 1 β 0 −an−1
C = [1 0 ⋯ 0]
状态变量结构图
例1 设
y
(3)
+ 5 ɺɺ+ 8 y+ 6 y = 3u y ɺ
求（A 求（A，B，C，D）
( n −1)
z
(n)
+ an−1 z
ɺ + ⋯ + a1 z + a0 z = u
y(s) z(s)
= β n −1 s
n −1
+ ⋯ + β 1s + β 0
y = β n −1 z
选取状态变量
( n −1 )
ɺ + ⋯ + β1z + β 0 z
ɺ x1 = z , x 2 = z , x3 = ɺɺ, ⋯ , x n = z z
其中h0 , h1 ,⋯ , hn −1是n个待定系数
ɺ y ɺ 求 出 y , ɺɺ , ⋯ , y ( n − 1 ) ⇐ 由 x i 及 u , u , ⋯ 表 示
即：
x1 = y − h0u ⇒ y = x1 + h0u
ɺ ɺ ɺ ɺ x2 = y − h0u − h1u ⇒ y = x2 + h0u + h1u
+⋯+ hn−1u
xn = y
( n−1)
− h0u
( n−1)
( n−1)
− h1u
( n−2)
−⋯− hn−1u
( n−2)
⇒ y
= xn + h0u
( n−1)
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主讲教师: 黎 明 E-Mail: limingneu@ 单 位：中国海洋大学 工程学院
2012-3-24
2012-3-24
教材及参考书
教材
郑大钟，线性系统理论(第2版)，北京：清华大学出版社&Springer， 2002.
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线性系统理论 建模与系统辨识 最优滤波理论 最优控制理论 自适应控制
2012-3-24
经典控制理论与现代控制理论
经典控制理论 研究对象 研究方法 研究工具 分析方法 设计方法 其他 现代控制理论
2012-3-24
经典控制理论与现代控制理论
经典控制理论 研究对象 单输入单输出系统(SISO) 高阶微分方程 研究方法 传递函数法(外部描述) 研究工具 拉普拉斯变换 分析方法 频域(复域),频率响应和根轨 迹法 设计方法 PID控制和校正网络 其他
2012-3-24
系统建模
确定需要反映和研究的主要系统属性，并在 此基础上定义它们的定量关系。 时间域模型：微分方程或差分方程，适合于 线性时变和时不变系统。 频域模型：传递函数和频率响应，只适合于 时不变系统。
2012-3-24
建立数学模型的途径
机理建模 利用“物理学定律”或“广义物理学定律”， 对系统的各个变量和各个参量间，建立起对 应的数学方程，其特点是物理概念清楚，物 理意义明确，但只适合于较简单的系统。 系统辨识 通过分析一定机理下的输入输出数据，建立 系统变量关系的数学方程。
2012-3-24
本课程学习范围
线性时不变系统分析与控制问题 主要在时间域讲授。
2012-3-24
动态系统的数学描述
内部描述（白箱描述） 建立在系统内部机理为已知的前提下。
输入 状态(微分方程、差分方程)
状态
输出(代数方程)
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动态系统的数学描述
外部描述(黑箱描述、输入输出描述) 它是建立在系统的内部机理未知的前提之上 的。
输入 输出(微分方程、差分方程)
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内部描述和外部描述之间的关系
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线性系统
基本特征是其模型方程具有线性属性即满足 叠加原理。
系统模型 非零常数 (线性算子)
任意输入
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几点说明
严格性 对叠加原理的限制：有限项； 简便性：可以用比较成熟和简单的数学工具； 现实性：严格的说一切实际系统都是非线性 系统，但很大一部分实际系统，其主要关系 特征在一定范围内可以足够精确地用线性系 统来近似表示。
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控制理论的研究对象
系统 动态系统 线性系统 系统模型
线性系统
动态系统
系统
系统模型
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系统控制理论的研究对象——系统
系统：从系统控制理论的角度，通常将系统 定义为由相互关联和相互制约的若干“部分” 所组成的具有特定功能的“整体”。 系统的状态由描述系统行为特征的变量来表 示。 随着时间的推移系统会不断地变化，导致系 统状态和演化进程发生变化的主要因素包括 外部因素、内部因素、以及人为的控制。
2012-3-24
Siemens 企业级自动化解决方案
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动态系统
定义：就是运动状态按照确定规律或者确定统计规 律随时间演化的一类系统，也成为动力学系统。 动态系统的行为由其各类变量之间的关系来表征。
输入变量：如控制、投入、扰动等
系统的变量
内部状态变量组
输出变量：如响应等
2012-3-24
2012-3-24
研究对象：SISO，MIMO，LTI，LTV 主要数学基础：线性代数、泛函分析。。。 数学模型：微分、差分状态方程 分析和综合控制系统的主要方法是建立状态 空间法的基础上。
2012-3-24
线性系统理论的主要学派
状态空间法： R.E.Kalman，1960 线性系统的几何理论： W.M.Wonham 1970’s,《线性多变量控制： 一种几何方法》 线性系统的代数理论 R.E.Kalman,1960’s 线性系统的多变量频域方法 H.H.Rosenbrock, A.G.J.MacFalance
分布参数系统
线性系统
非线性系统
集中参数系统
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分布参数系统 线性系统 非线性系统
集中参数系统
2012-3-24
动态系统的分类
连续时间系统 Continuous time systems 从作用时间的角度 离散时间系统 Discrete time systems (包括一个重要的分支：数据采样系统 Data-sampled systems)
2012-3-24
动态系统的分类
线性系统 (Linear lystem) 非线性系统 (Nonlinear system) 从特性的角度 分布参数系统 (Distributed Parameter systems) 集中参数系统 (Lumped parameter systems)
2012-3-24
参考书
陈啟宗 著，王纪文，杜正秋，毛剑琴译，线性系统理论与设计， 北京：科学出版社，1988。 Chen Chi-Tsong, Linear system theory and design, New York: Holt, Rinehart and Winston, 1984.
2012-3-24
回顾：现代控制理论的五个分支
既定关系 精确的、 唯一的
内部描述
外部描述
不是唯一的 实现理论
2012-3-24
动态系统的分类
连续变量动态系统： Continuous variable dynamic systems, (CVDS) 从机制的角度 离散事件动态系统 Discrete dynamic systems, (DEDS)
2012-3-24
几点说明
实际系统可否按照线性系统处理的判断问题。 没有普适的标准，具体问题具体分析； 需要综合考虑系统本身的因素和系统所研究 的问题的因素。
2012-3-24
线性系统的分类
线性时不变系统 Linear time-invariant systems (LTIs) 线性系统分类 线性时变系统
经典线性系统理论 形成于20世纪30-40年代； 三项标志性理论成果： 1932 H.Nyquist提出反馈放大器稳定性结 果； 1940’s Bode引入了Bode图 1948 W.R.Evans提出根轨迹法。
2012-3-24
研究对象：单输入单输出时不变系统 主要数学基础：傅立叶变换和拉普拉斯变换。 数学模型：传递函数和频率响应 分析和综合控制系统的主要方法是频率响应 法和根轨迹法。 主要设计手段：作图和工程近似相结合；
2012-3-24
经典控制理论特点和局限性
特点：物理概念清晰，研究思路直观，方法 简便实用，易于工程技术人员所掌握和采用。 局限性：一般难于有效的分析多输入多输出 (MIMO)线性系统。 难以对系统内部的结构进行更为深刻的揭示。
2012-3-24
现代线性系统理论
1960年前后开始了经典理论到现代理论 的过渡； 标志性成果：R.E.Kalman将状态空间法 引入到系统控制理论中，并在此基础上引 入了对研究系统结构和控制具有基本意义 的能控性和能观侧性的概念。 60-70年代发展成了基于状态空间描述的 分析与综合线性系统的状态空间法。
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系统建模的准则
寻求简单性和精度之间的折衷。
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线性系统理论的基本概貌
线性系统理论的主要内容； 线性系统理论的发展过程； 线性控制理论的主要学派；
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线性系统理论的主要内容
线性系统理论着重于研究线性系统状态的运 动规律和改变这种运动规律的可能性和方法， 以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能 间的确定的和定量的关系。 分析问题(Analysis)：研究系统运动规律的 问题； 综合问题(Synthesis)：研究改变系统运动 规律的可能性和方法的问题。
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反馈控制系统
设定值 偏差 控制器输出 操纵变量
f
被控 扰动 变量
x
e = x-z + -
p 控制器 执行器
q 被控对象
y
z 测量值
检测仪表或变送器
2012-3-24
系统的基本特征
整体性： 强调系统在结构上的整体性； 突出系统行为和功能由整体所决定； 抽象性： 是现实物理系统的抽象，在一般意义下进行研究， 使得其理论和方法具有普适性； 相对性： “系统”和“部分”是相对的，系统可以进一步分 为小系统、系统、大系统、巨系统。
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系统的分析和综合
线性系统的分析理论： 1)定量分析:求解系统数学方程的解； 2)定性分析: 结构特性：稳定性、能控、能观、互 质等； 线性系统的综合理论： 1)可综合性问题； 2)综合算法； 3)综合得到的控制系统在工程实现中出现的理论性 问题。
2012-3-24
线性系统理论的发展过程
Linear time-varying systems
2012-3-24
系统模型
系统建模，即建立系统模型，在系统控制理 论中具有基本的重要性。 建模的目的在于深入和定量地揭示系统行为 的规律性和因果性。
2012-3-24
系统模型的作用
进行仿真的需要 用于预测 对系统进行综合或设计控制器的需要
Hale Waihona Puke 2012-3-24模型类型的多样性
不是所有的系统都有可能采用数学模型来表 征。 按照系统的不同类型和不同情况，系统描述 的类型呈现出很大的多样性和差异性。 有的只能采用语言、数据、图表或计算机程 序来描述，有的则可以采用逻辑关系、映射 关系或数学方程关系。