北航理论力学部分课件
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北航理论力学-动力学2D
n
M
O
(Fi
( e)
)
rOC
(maO
)
i 1
2mL2 kh tan
h
2mL2 kh tan 0
0
kh 2mL2
FI
2mL2 kh 0
(B)
mg
Asin(0t )
17
§2-2、动量矩定理
问题：滑块置于斜面上，如何确定约束力合力作用线的位置。
C
mg
A: 斜面有摩擦， 滑块处于平衡
C
mg
)
i 1
rAC (maA )
z
4
§2-2、动量矩定理
例：均质杆AB悬挂在加速上升的电梯上，求杆的运动微分方程
解：取杆为研究对象，受力分析与运动分析
FAx FAy
A
FI
C
aA mg
B
AB L
dLrA
dt
n
M
A
(F (e) i
)
i 1
rAC (maA )
z
杆相对A轴的动量矩 外力对A轴之矩 惯性力对A轴之矩
(maA )
xA
m2L 2 sin
m1 m2
9
§2-2、动量矩定理
y FAy
A
o
FAx
3、研究AB杆和小球B，受力分析
4、应用相对动轴A的动量矩定理
x
dLrA
dt
n
M A (Fi(e) ) i 1
rAC (maA )
A
M
杆相对A轴的动量矩
LrA m2L2
B m2xA 外力对A轴之矩
LrA
1 mL2
3
MA
1 2
mgL sin
北航理论力学部分课件
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
•自由体 free body ：可以在空间任意运动的物体
•非自由体 constrained body ：运动受到某些限制的物体
13.10.2023
1
理论力学
非自由体实例
13.10.2023
2
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
一、约束与约束力
•约 束 constraint ：限制物体运动的条件, •约束体 constraint body ：约束非自由体运动的物体,
§1-3 平衡问题的解法
思考题： • 机器人的哪些关节 是柱链接铰 •人手的哪些关节可 简化成柱链接铰
13.10.2023
23
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
米开朗基罗： 石头本身就赋予雕像以生命,我只是把多余的部分敲掉了
哀 悼 基 督 （ 米 开 朗 基 罗
人 体 关 节 的 简 化 模 型
）
科学研究： 客观规律存在于自然界中,在研究问题的过程中,我们要抓住
9
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
北京南站顶棚拱架支座
13.10.2023
10
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B
注意：作用力与反作用力的关系
13.10.2023
F By F Bx
B
F
' By
B
F
' Bx
11
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
13.10.2023
12
理论力学
3、活动铰链支座
例：结构如图所示,不计构件自重,画出AB杆的受力图,
AC
B
§1-3 平衡问题的解法
•自由体 free body ：可以在空间任意运动的物体
•非自由体 constrained body ：运动受到某些限制的物体
13.10.2023
1
理论力学
非自由体实例
13.10.2023
2
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
一、约束与约束力
•约 束 constraint ：限制物体运动的条件, •约束体 constraint body ：约束非自由体运动的物体,
§1-3 平衡问题的解法
思考题： • 机器人的哪些关节 是柱链接铰 •人手的哪些关节可 简化成柱链接铰
13.10.2023
23
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
米开朗基罗： 石头本身就赋予雕像以生命,我只是把多余的部分敲掉了
哀 悼 基 督 （ 米 开 朗 基 罗
人 体 关 节 的 简 化 模 型
）
科学研究： 客观规律存在于自然界中,在研究问题的过程中,我们要抓住
9
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
北京南站顶棚拱架支座
13.10.2023
10
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B
注意：作用力与反作用力的关系
13.10.2023
F By F Bx
B
F
' By
B
F
' Bx
11
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
13.10.2023
12
理论力学
3、活动铰链支座
例：结构如图所示,不计构件自重,画出AB杆的受力图,
AC
B
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch5A
O
vx = x &⎫ ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
2015-10-28
x
加速度
x & & = a x = 0(m/s 2 )
y & & = a y = −10(m/s 2 )
曲率半径 v2 v2 20 ρ= = = m 0 an a cos 30 3
20
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
2、P 点的速度和加速度
2015-10-28 8
理论力学
3、P点的运动轨迹
§5-1 点的运动学
y A P O
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
ϕ
x
l 2 ⎫ xp = R cosθ + L − R2 sin2 θ ⎪ L ⎬ R ⎪ y p = (L − l ) sinθ ⎭ L
消去上述方程中 参数θ可得 P 点 的轨迹方程。
z
&⎫ 解： v x = x ⎪ vy = y &⎬ ⎪ vz = z &⎭
u
v= x &2 + y &2 + z & = R2ω2 + u2 = const &2 = s
2 a= & x y z &2 + & &2 + & &2 = Rω
ωR
ax = & x& ⎫ ⎪ ay = & y &⎬ ⎪ az = & z& ⎭
T’
•曲率(curvature)
北航理论力学第一学期总复习静力学ppt课件
北航理论力学第一学期总复习静 力学
空间任意力系简化及其平衡条件 F , F , , F }{, F M } 对于刚体: { 1 2 n R O
•主矢
•主矩
FR Fi Fi '
M O M i ri Fi
i 1 i 1
n
n
i 1 n
i 1
n
简化的最终结果：① 平衡；②合力；③合 力偶；④力螺旋
B C
L L L
(1)
(2)
C
16
平面桁架内力的计算方法
平面桁架的特点：桁架中的每个杆件均为二力构件或二力杆 1、节点法：以节点为研究对象计算杆件内力的方法 节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系） 2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程 2、截面法：以部分桁架为研究对象计算杆件内力的方法 1
两个力系等效条件:
两个力系的主矢相等、主矩也相等
平衡条件
F 0 ,M 0 R O
二力平衡条件，三力平衡定理，加减平衡力系，力偶性质
二力平衡原理 作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理 作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力共 面；或汇交于一点，或平行。 力偶的等效条件和性质 •两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等 性质一 力偶不能与一个力等效 { F , F ' } { F } R 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面), 而不改变对刚体的作用效应 性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 3 则力偶对刚体的作用效应就不变。
2018/11/15 19
题23：作业习题分析：已知P，M，D，求平衡时的摩擦系数 平衡条件
空间任意力系简化及其平衡条件 F , F , , F }{, F M } 对于刚体: { 1 2 n R O
•主矢
•主矩
FR Fi Fi '
M O M i ri Fi
i 1 i 1
n
n
i 1 n
i 1
n
简化的最终结果：① 平衡；②合力；③合 力偶；④力螺旋
B C
L L L
(1)
(2)
C
16
平面桁架内力的计算方法
平面桁架的特点：桁架中的每个杆件均为二力构件或二力杆 1、节点法：以节点为研究对象计算杆件内力的方法 节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系） 2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程 2、截面法：以部分桁架为研究对象计算杆件内力的方法 1
两个力系等效条件:
两个力系的主矢相等、主矩也相等
平衡条件
F 0 ,M 0 R O
二力平衡条件，三力平衡定理，加减平衡力系，力偶性质
二力平衡原理 作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此 二力等值、反向、共线。
三力平衡定理 作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力共 面；或汇交于一点，或平行。 力偶的等效条件和性质 •两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等 性质一 力偶不能与一个力等效 { F , F ' } { F } R 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面), 而不改变对刚体的作用效应 性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 3 则力偶对刚体的作用效应就不变。
2018/11/15 19
题23：作业习题分析：已知P，M，D，求平衡时的摩擦系数 平衡条件
北航理论力学课件
f min = tan θ
θ ≤ ϕm
θ
2012-9-27
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
三、滚动摩阻（rolling resistance）
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
F
W
F
W
Fs FN
2012-9-27
13
理论力学
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
F
W
W
FR
2012-9-27
16
理论力学
思考题
思考题：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。 P
Fmax FN ϕmax Fmax
W
α FN
α=
2012-9-27
θ
2
不被卡住的条件：ϕmax ≤ α =
f = tan ϕmax ≤ tan
θ
2
θ
2
17
理论力学
理论力学
A
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动， 求地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 的最 小值。 (不计梯子自重, 人重为W ) 解：研究梯子，画受力图 不滑动条件： FB ≤ f s FBN （1）
B
FA
A
FNB
x
∑M
x y
B
=0
F A L AB cos 30 0 − Wx = 0
FN1
W
FN1
W
(a )
FN2
FN2
W
(b ) Fmax( b ) = f sW
Fmax( a ) = f s FN1 + f s FN2 = fs (FN1 + FN2 )
θ ≤ ϕm
θ
2012-9-27
12
理论力学
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
三、滚动摩阻（rolling resistance）
刚体假设： 圆盘为刚体 地面为刚体
F
W
F
W
Fs FN
2012-9-27
13
理论力学
非刚体假设： 圆盘为非刚体 地面为非刚体
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
F
W
W
FR
2012-9-27
16
理论力学
思考题
思考题：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被 卡住，求斧头的楔角θ应满足的关系。 P
Fmax FN ϕmax Fmax
W
α FN
α=
2012-9-27
θ
2
不被卡住的条件：ϕmax ≤ α =
f = tan ϕmax ≤ tan
θ
2
θ
2
17
理论力学
理论力学
A
§2-5 考虑摩擦时物体的平衡
例题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动， 求地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 的最 小值。 (不计梯子自重, 人重为W ) 解：研究梯子，画受力图 不滑动条件： FB ≤ f s FBN （1）
B
FA
A
FNB
x
∑M
x y
B
=0
F A L AB cos 30 0 − Wx = 0
FN1
W
FN1
W
(a )
FN2
FN2
W
(b ) Fmax( b ) = f sW
Fmax( a ) = f s FN1 + f s FN2 = fs (FN1 + FN2 )
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch3A
M
2015-9-30 8 问题：如何解除多余的约束，使其变为静定问题。
静不定系统实例
B
F C
理论力学
3 A
M
§3-1 刚体系的平衡
B 2 B
M
F
2
C
A 方法一： A
M
F C F C F C
9
方法二：
B
方法三：？
2015-9-30
A
M
B
理论力学
二、刚化原理
§3-1 刚体系的平衡
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状 态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。 F F （a） F （b） 应用该原理，可将刚体平衡的基本理论与方法用于 研究刚体系的平衡问题。
按空间分布形式可分为201593025理论力学32桁架桁架的节点工程上把几根直杆连接的地方称为节点工程上把几根直杆连接的地方称为节点201593026理论力学32桁架榫接木桁架节点201593027理论力学32桁架钢桁架节点铆接焊接201593028理论力学32桁架钢筋混凝土桁架节点刚接201593029理论力学32桁架假设1
15
理论力学
例 已知 R, L, W1, G, W2。 求：圆筒保持平衡的条件。
L
§3-3 刚体系的平衡
问题：有几个力作用在圆筒上？ 若研究圆筒，有几个未知量？ 解：1、取两个球为研究对象 FC
G
R
FB
W1
R
θ
W2
O
θ
W2
W1
FA
L − 2R 几何关系： cos θ = 2R
2015-9-30
∑ F = 0 ,→ F ∑M = 0
FB
√
F3
2015-9-30 8 问题：如何解除多余的约束，使其变为静定问题。
静不定系统实例
B
F C
理论力学
3 A
M
§3-1 刚体系的平衡
B 2 B
M
F
2
C
A 方法一： A
M
F C F C F C
9
方法二：
B
方法三：？
2015-9-30
A
M
B
理论力学
二、刚化原理
§3-1 刚体系的平衡
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状 态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。 F F （a） F （b） 应用该原理，可将刚体平衡的基本理论与方法用于 研究刚体系的平衡问题。
按空间分布形式可分为201593025理论力学32桁架桁架的节点工程上把几根直杆连接的地方称为节点工程上把几根直杆连接的地方称为节点201593026理论力学32桁架榫接木桁架节点201593027理论力学32桁架钢桁架节点铆接焊接201593028理论力学32桁架钢筋混凝土桁架节点刚接201593029理论力学32桁架假设1
15
理论力学
例 已知 R, L, W1, G, W2。 求：圆筒保持平衡的条件。
L
§3-3 刚体系的平衡
问题：有几个力作用在圆筒上？ 若研究圆筒，有几个未知量？ 解：1、取两个球为研究对象 FC
G
R
FB
W1
R
θ
W2
O
θ
W2
W1
FA
L − 2R 几何关系： cos θ = 2R
2015-9-30
∑ F = 0 ,→ F ∑M = 0
FB
√
F3
北航理论力学sch2A.ppt
问题的引出
设：共点力系 {F1, F2,, Fn} 作用在质量为 m 的质点上。
n
根据牛顿第二定律有 ma Fi FR
n
i1
结论：力系中 Fi 是反映其作用效应的物理量之一
i 1
F
问题:
AF
A
B
1、如何用数学工具
A
F
B
描述非共点力系对刚
F
体的作用效应?
A F D 2、如何反映力的作
z
Fz
F Fxy
Fxy
od F
2020/1/9
M z dFxy
逆时针＋，顺时针－
8
BUAA
§2-1 力偶系
问题：如果已知：r xi yj zk
如何求力F 对 z 轴之矩
F Fx i Fy j Fzk
z
Fz
F
力对轴之矩计算公式 Fy
k Fx z
Fxy
ij
x
Fy y
M x (F ) yFz zFy
y
MOA(F ) ?
MO (F ) Fbi
MOA(F ) M l
3 Fb 3
11
BUAA
§2-1 力偶系
力偶对刚体的作用
Fx
a
a
a
A
x
F
F F
a
a
BA
F
F
a
B
F
F
a
a
a
A
F
F
F
a
B
2020/1/9
12
BUAA
§2-1 力偶系
三、力偶矩 ( moment of a couple )
北航理论力学部分课件
2 Rx
空间力系
FR y FR z
∑F =∑ F =∑ F
∑ ∑
ix iy
iz
= 0 = 0 = 0
有三个独立的平衡方程
FR = FRx i + FRy j + FRz k = 0
FR =
F
+F
2 Ry
+F
2 Rz
=0
平面力系
FRx = FRy =
F ix = 0 F iy = 0
2010-11-27 8
理论力学
§1 - 0
力学模型与力系
•共点力系 共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。 力作用线汇交于一点的力系。 共点力系 力作用线汇交于一点的力系 F1 F1
Fn
Fn
A
F2
A
F2
若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 共点力系(concurrent coplanar force system)。 共点力系 。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。 间共点力系
§1 - 0
力学模型与力系
•刚 (rigid body)：具有质量，考虑其形状和尺寸大小，其上 刚 ) 具有质量，考虑其形状和尺寸大小， 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。
• 特点：所研究的问题与 特点： 物体的质量和姿态有关， 物体的质量和姿态有关， 其变形可以忽略不计。 其变形可以忽略不计。
空间力系
FR y FR z
∑F =∑ F =∑ F
∑ ∑
ix iy
iz
= 0 = 0 = 0
有三个独立的平衡方程
FR = FRx i + FRy j + FRz k = 0
FR =
F
+F
2 Ry
+F
2 Rz
=0
平面力系
FRx = FRy =
F ix = 0 F iy = 0
2010-11-27 8
理论力学
§1 - 0
力学模型与力系
•共点力系 共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。 力作用线汇交于一点的力系。 共点力系 力作用线汇交于一点的力系 F1 F1
Fn
Fn
A
F2
A
F2
若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面 共点力系(concurrent coplanar force system)。 共点力系 。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空 间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。 间共点力系
§1 - 0
力学模型与力系
•刚 (rigid body)：具有质量，考虑其形状和尺寸大小，其上 刚 ) 具有质量，考虑其形状和尺寸大小， 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。 任意两点间的距离保持不变（或距离变化可以不计）的物体。
• 特点：所研究的问题与 特点： 物体的质量和姿态有关， 物体的质量和姿态有关， 其变形可以忽略不计。 其变形可以忽略不计。
北京航空航天大学本科理论力学习题课动.ppt
dvr dvr dR dt dR dt
dR dt
vr
cos
mvr
cos
dvr dR
mR 2
cos
vrdvr R2dR
v2 r
2R2
C
22
aa 0, ae 2R, aC 2 vr
x': 0 ae arx' aC cos450 y': 0 0 ary' aC sin 450
ar
a2 rx '
a2 ry '
12
习题1－10：求滑块A的加速度绳索的拉力。
v0
s FvA
FN
mg
ma F FN mg
x : mx F cos mg
x
(
x2
2R4x R2)2
mx Fx
15
y’
方法三：求滑块的速度
动点：滑块A
vr
动系：ox’y’,x’轴平行于绳
速度分析
θ
运动分析
va v x’ e
绝对运动： 直线运动 相对运动： 直线运动 牵连运动： 定轴转动
va ve vr ve x vr ( )R
y : 0 ve vr sin x : x va vr cos
动点：圆盘中心O 动系：AB杆
A
AB
运动分析： 绝对运动： 直线运动
v r 300 n ae
相对运动： 直线运动 AB 牵连运动： 定轴转动
y'
aa
o ve Rar va
aB et
速度分析
vr 0,
va ve vr va ve
AB
ve OA
va 2R
加速度分析 aa aet aen ar aC
北京航空航天大学理论力学课件_0绪论
理论力学绪论•什么是力学？•力学是怎样发展的？•理论力学的学习目的•理论力学的研究内容•理论力学的研究方法什么是力学？•力学是研究物体机械运动规律的科学。
•物体的机械运动是指物体的空间位形（位置和形状）随时间的变化。
–移动、转动、流动和变形•力学的研究为揭示自然界中与机械运动有关的规律提供了有效的工具，它也是近代工程技术的重要理论基础之一。
力学的发展始终是和人类社会活动紧密联系的，它的发展与完善推动了科学技术和社会的进步。
力学发展遵循认知规律指导实践并发现或提出新问题理性认识（或深入理性认识）感性认识（或初步理性认识）1、建筑与桥梁建于1056年山西应县木塔早期筒体结构建筑比萨斜塔建于1173－1370年观察竹子的特征竹子的横截面比萨斜塔横截面早期建筑的特点：高度低，跨度小，承载能力低，材料为砖石和木材。
赵州桥建于581－599 年跨度：37. 4m拱高：7m早期拱形结构建筑“敞肩拱”的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”的美誉。
现代筒体结构建筑高度：452米材料：钢筋混凝土吉隆坡双塔大厦建筑物高度增加会产生什么新问题？风载会引起高层建筑物的晃动双塔大厦利用结构阻尼减小塔体的晃动现代大跨度桥梁桥梁跨度增大又会产生什么新问题？美国华盛顿州塔科马悬索桥建造设计风速60m/s破坏时的风速19m/s 建于1940年，桥长853m事后分析引起桥梁振动的原因计算机模拟与仿真地震对建筑物的影响如何减小地震对建筑物的影响？建筑物减震的模拟实验研究美国旧金山国际机场新楼使用了移动地基2、机械手与机器人机械手在工业生产中的应用天津大学研制的医用缝合机械手六足步行机器人步行机器人的应用前景从分析研究人体的行走到双足步行机器人的实现，体现了力学、自动控制和计算机等科学技术的综合应用。
北京理工大学研制力学的发展－车辆与飞机3、车辆与飞机车辆的早期研制与应用早期的农用车辆现代车辆研究提出的要求:舒适、安全、高速、便捷、环保利用计算机分析车辆的动力学问题汽车自动驾驶的实验研究早期直升机—原理的认识现代直升机—科学技术的综合应用社会的发展与进步需要科学技术的不断发展与创新。
北京航空航天大学理论力学2期末总复习PPT
当主动力均为有势力时 设：L＝T-V （拉格朗日函数）
( j 1,2,, k )
d L j dt q
L 0 q j
4
BUAA
当主动力部分为有势力时
总复习
d T j dt q T Q j ( j 1,2,, k ) q j L Q 'j q j
Fi Fix i Fiy j Fiz k
动力学普遍方程 的直角坐标形式
i i m i j m i k FIi m x y z
ri xi i yi j zi k
n n i 1
(F
i 1
n
ix
mi aix )xi ( Fiy mi aiy )yi ( Fiz mi aiz )zi 0
i 1
2
BUAA
总复习
例题：双摆由两个均质杆组成，初始时杆水平，求该瞬
时各杆的角加速度。已知杆的质量为M，杆长为L 解题步骤：
1：确定系统的自由度
2：建立加速度间的关系
3：确定惯性力 4：应用动力学普遍方程 求解
3
BUAA
总复习
设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为： q1 , q2 ,, qk
0 1 2 l0 l
定点运动刚体上点的速度和加速度
r
r r 速 度：v lim t 0 t dv d ( r ) r v a 加速度：
dt
dt
a aR a N
11
BUAA
B点的绝对速度和绝对加速度。
M g M o J z '
Mo M g 0
( j 1,2,, k )
d L j dt q
L 0 q j
4
BUAA
当主动力部分为有势力时
总复习
d T j dt q T Q j ( j 1,2,, k ) q j L Q 'j q j
Fi Fix i Fiy j Fiz k
动力学普遍方程 的直角坐标形式
i i m i j m i k FIi m x y z
ri xi i yi j zi k
n n i 1
(F
i 1
n
ix
mi aix )xi ( Fiy mi aiy )yi ( Fiz mi aiz )zi 0
i 1
2
BUAA
总复习
例题：双摆由两个均质杆组成，初始时杆水平，求该瞬
时各杆的角加速度。已知杆的质量为M，杆长为L 解题步骤：
1：确定系统的自由度
2：建立加速度间的关系
3：确定惯性力 4：应用动力学普遍方程 求解
3
BUAA
总复习
设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为： q1 , q2 ,, qk
0 1 2 l0 l
定点运动刚体上点的速度和加速度
r
r r 速 度：v lim t 0 t dv d ( r ) r v a 加速度：
dt
dt
a aR a N
11
BUAA
B点的绝对速度和绝对加速度。
M g M o J z '
Mo M g 0
北航理论力学第一学期总复习_图文
理和定义。
平衡力系也称为零力系
4
二、空间任意力系简化及其平衡条件
空间任意力系简化
空间任意力系的平衡条件：
平衡
注：正交条件是充分的，不是必要的。 能够给出特殊力系的平衡方程和独立平衡方程的个数。
5
三、刚体系与结构的平衡
•静 定 问 题 ( statically determinate problem): 未知量的数目= 独立平衡方程的数目
•静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目> 独立平衡方程的数目
思考题：确定图示系统是否为静定结构
A
D
A
D
B
B
C
(1)
(2)
C
6
四、虚位移原理 •元功:
等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效 即: 则
问题: 如何求纯滚动圆盘轮心移动S距离时, 力F 所作的功。
y v
Mθ
O
x
14
二、刚体的平面运动 1、基点法
Ax’y’为平移动系，B为动点
2、速度投影法
B A
3、速度瞬心法
M
15
4、平面图形上各点的加速度
B A
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
16
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断出下列结论哪些是正确的：
P
C
O
B
A
24
思考题： 质量为m半径为R的均质圆盘与质量为 m长为4R的均质杆AB固连,放在粗糙的水平面上,杆 的B端用绳索吊起时杆处于水平。确定当绳索被剪 断的瞬时，作用在系统上的力系的主矢方向。
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-ch4A
⎛ ∂C ∂B A⎜ − ⎝ ∂q 2 ∂q3
§4-2 约束及其分类
为完整约束的充分必要条件是：
⎞ ⎛ ∂B ∂A ⎞ − ⎟+C⎜ ⎟≡0 ⎝ ∂ q1 ∂ q 2 ⎠ ⎠
定理*（完整约束的充分必要条件）
⎞ ⎛ ∂A ∂C − ⎟+ B⎜ ⎠ ⎝ ∂ q 3 ∂ q1
&1 + Bq &2 + Cq &3 = 0 中的A、B、C是常数 推论*: 若约束方程: Aq
θ
y
l
A
l
y M
l
θ
B
图 3
θ
y
图 4
ϕ ψ
2015-10-14
B
22
图 2
理论力学
§4-3 广义坐标与自由度
思考题：试确定图示系统的自由度。
A B
C
D
2015-10-14
23
理论力学
微小位移投影定理
定理：刚体在运动过程中，其上任意两点的微小位移 在两点连线上的投影相等。 rAB rB = rA + rAB drA i= A i rAB drB = drA + drAB drB rAB B i • drB = i • drA + i • drAB rA rAB • drAB rB = 0 i • drB = i • drA i • drAB = rAB 1 1 2 O rAB • drAB = d(rAB • rAB) = d(rAB) = 0 rAB = rAB = l 2 2 推论：刚体在运动过程中，若其上任意两点的微小位移共 面且不平行，则该两点微小位移垂线的交点的位移为零。
10
s (ϕ = ) R
理论力学
§4-2 约束及其分类
为完整约束的充分必要条件是：
⎞ ⎛ ∂B ∂A ⎞ − ⎟+C⎜ ⎟≡0 ⎝ ∂ q1 ∂ q 2 ⎠ ⎠
定理*（完整约束的充分必要条件）
⎞ ⎛ ∂A ∂C − ⎟+ B⎜ ⎠ ⎝ ∂ q 3 ∂ q1
&1 + Bq &2 + Cq &3 = 0 中的A、B、C是常数 推论*: 若约束方程: Aq
θ
y
l
A
l
y M
l
θ
B
图 3
θ
y
图 4
ϕ ψ
2015-10-14
B
22
图 2
理论力学
§4-3 广义坐标与自由度
思考题：试确定图示系统的自由度。
A B
C
D
2015-10-14
23
理论力学
微小位移投影定理
定理：刚体在运动过程中，其上任意两点的微小位移 在两点连线上的投影相等。 rAB rB = rA + rAB drA i= A i rAB drB = drA + drAB drB rAB B i • drB = i • drA + i • drAB rA rAB • drAB rB = 0 i • drB = i • drA i • drAB = rAB 1 1 2 O rAB • drAB = d(rAB • rAB) = d(rAB) = 0 rAB = rAB = l 2 2 推论：刚体在运动过程中，若其上任意两点的微小位移共 面且不平行，则该两点微小位移垂线的交点的位移为零。
10
s (ϕ = ) R
理论力学
北京航空航天大学理论力学课件-王琪-习题课I15
B
A
M1 > M 2
2015-10-12 10
BUAA
题14：确定各杆端点约束力的方向 （不计构件自重和所有摩擦）
A
M
M
O
B
2015-10-12
11
BUAA
题15：确定铰链 A、B 处 约束力的方向，不计构件 自重和所有摩擦。
先研究AD杆 再研究整体
A
D
F
B
L L L
2015-10-12
C
12
BUAA
0
AC tan(450 − ϕ m ) = BC tan(450 + ϕ m )
1− tanϕm 1+ tanϕm AC = BC 1+ tanϕm 1− tanϕm
2015-10-12
1− tanϕm BC =± 1+ tanϕm AC
0 < ϕm < 450
tan ϕm1 ≈ 0.224
22
三力汇交有：
O
（AB、BCD、DE）构成的系统相对 OC轴具有几何对称性，且刚体BCD上 作用有一力偶M，不计构件自重。
B
O M
D
B
O M
D
C A
2015-10-12
C E A 瞬态机构不能平衡 G 静定结构 E
28
G
题26: 试确定下图结构中铰链A、B约束力的方向。 注：该结构是25题图1所示系统中增加了一个T字形刚体而构成
BUAA
题22：作业习题分析：已知P，M，D，求平衡时的摩擦系数 方法一 M P
FN 1 FS 1 FN 2
平衡条件
FS 2
无滑动临界条件
∑ ∑ ∑
北京航空航天大学理论力学第一学期总复习.ppt
2019/11/16
M
vM
CV
13
BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
M
vM
CV
13
BUAA
4、平面图形上各点的加速度
aB
aA
aBnA
a
t BA
aBt A AB aBnA AB 2
y
y' aBt A
B
A
aBnA x'
o
aA x
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存
处的静/动摩擦因数均为f。现欲以水平力F 拉动此物体。若F
较小未拉动物体时，根据已知条件 b 能分别求出A，B
两处的静摩擦力。若物体被拉动，则在其运动过程中A，B 两
处的摩擦力 b
相等。
FA
FI
FB
a：一定；
2019/11/16
b：一定不； c：不一定
26
BUAA
基本概念：惯性积、惯量主轴、
中心惯量主轴、动平衡、静平衡
在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
要求：能熟练求解刚体平面运动和点的复合运动的综合 性问题。
2019/11/16
14
BUAA
思考题：半径为 R 的圆盘做平面运动，已知某瞬时圆盘边缘 上两点A、B的加速度a （大小、方向如图所示），试判 断下列结论哪些是正确的：
A：这种运动不存在； B：能求出圆盘的角速度（大小和方向） C：能求出圆盘上任一点的加速度； D：能求出圆盘的角加速度（大小和方向）
dp
dt
Fi(e) maC
miaCi
Fi ( e )
m dvC dt
Fi ( e )
dm dt
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45
450
0
Fmin = sin 65 0 FCC
3、研究CB杆和销钉 、研究 杆和销钉 杆和销钉B
C B
ϕ
FBB
B
400
FBB
x
P
FCC
FAB
300
FCC = FBB
Fx = 0 → Psin300 − FBB sin400 = 0 → FBB ∑
2010-11-27 21
理论力学 ，杆重不计，已知 结构如图所示， 例：结构如图所示 杆重不计，
• 基本方法
– 共点力系的合成及其平衡条件（矢量法、解析法） 共点力系的合成及其平衡条件（矢量法、解析法） – 受力分析：根据约束的类型和特点画受力图 受力分析：
2010-11-27 25
2010-11-27
限制该方向的运动
4
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
柔索约束的实例
2010-11-27 5
理论力学
（二）光滑面约束
§1-3 平衡问题的解法
约束力沿公法线方向指向被约束的物体
公切面 公法线
A C B
FA
FC
FB
假设条件： 假设条件：不计摩擦
6
FN
2010-11-27
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
理论力学
3、活动铰链支座
§1-3 平衡问题的解法
A
A
FA
4、径向轴承
Fy
Fx
2010-11-27 13
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
固定与可动铰链支座的应用
2010-11-27
14
理论力学
（四）光滑球铰链
§1-3 平衡问题的解法
A
FAz
A 人造髋关节
FAx
FAy
2010-11-27
15
理论力学
2010-11-27
23
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
米开朗基罗： 米开朗基罗： 石头本身就赋予雕像以生命，我只是把多余的部分敲掉了” “石头本身就赋予雕像以生命，我只是把多余的部分敲掉了”
哀 悼 基 督 （米 开 朗 基 罗 ） 人 体 关 节 的 简 化 模 型
： ，只是把
2010-11-27
P F3 = sin ϕ
∑F
x
= 0; → − F3 cos ϕ sin θ − F2 = 0
F2 = − F3 cos ϕ sin θ
22
2010-11-27
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
思考题： 思考题： • 机器人的哪些关节 是柱链接铰？ 是柱链接铰？ •人手的哪些关节可 人手的哪些关节可 简化成柱链接铰？ 简化成柱链接铰？
A D C
W
FAy
FAx
A W
2、研究CD杆 研究 杆
B
W
2010-11-27
FD
FC
19
理论力学
W
A
A
§1-3 平衡问题的解法
FAy
4、研究整体
FAx
W
W
A
D C
FD
B W
F
3、研究AB杆 研究 杆
' Ax
C
FBx
W
A
FBy
FC
B C
' FAy
FBy
B
2010-11-27
FBx
研究整体时， 研究整体时，不画物体间的内力
C
FC
W B W D CD杆为二力杆 杆为二力杆
17
W
2010-11-27
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
例：画出AB杆的受力图 画出 杆的受力图
A A C D
FA
C
FD
W
B
W
D B
FB
2010-11-27
18
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
1、研究滑轮
杆和整体受力图， 例：画出滑轮、CD杆、AB杆和整体受力图，不计构建自重。 画出滑轮、 杆 杆和整体受力图 不计构建自重。
2010-11-27 3
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
（一）柔索－绳索、 链条、皮带等 柔索－绳索、 链条、 假设条件： 约束力特点：力沿柔索方向，受拉。 假设条件：不计质量 。 约束力特点：力沿柔索方向，受拉。
限制运动的条件 x 2 + y 2 ≤ L2 约束力的方向与限制物体运动的方向相反 约束力的方向与限制物体运动的方向相反 与限制物体
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
•自由体 自由体(free body)：可以在空间任意运动的物体 自由体 ：
•非自由体 非自由体(constrained body)：运动受到某些限制的物体 非自由体 ：
2010-11-27
1
理论力学
非自由体实例
2010-11-272 Nhomakorabea 理论力学
一、约束与约束力
•约 约
不计摩擦时，齿轮间的约束也属于光滑面约束。 不计摩擦时，齿轮间的约束也属于光滑面约束。
2010-11-27
7
理论力学
（三）光滑圆柱铰链 1、固定铰链支座
固 定 铰 链 简 图
§1-3 平衡问题的解法
A
FAx
FAy
A
2010-11-27 8
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
首都机场二号航站楼顶棚拱架支座
20
理论力学 维持平衡时F 的最小值及其方向。 例：已知物体的重量为P，求：维持平衡时 的最小值及其方向。 已知物体的重量为 ，
、取研究对象： 销钉C B 解：1、取研究对象： 销钉
C
F ϕ
20
D
0
2、受力分析画受力图 、
600
C
650
0
450
A
P
FCC FCD
FCC
FCD
650
F
ϕ
F
Fmin = F (ϕ ) |ϕ = 90
2010-11-27 16
理论力学
二、受力图
§1-3 平衡问题的解法
根据约束的类型画出研究对象的受力图 根据约束的类型画出研究对象的受力图 类型 杆的受力图。 例：结构如图所示，不计构件自重，画出AB杆的受力图。 结构如图所示，不计构件自重，画出 杆的受力图 A C B A B
FAx
A
D FAy C
（五）二力构件/二力杆 二力构件/
§1-3 平衡问题的解法
二力平衡原理：作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必要 二力平衡原理：作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必要 刚体 条件是：此二力等值、反向、 条件是：此二力等值、反向、共线
不计杆件自重
W
W
若刚体上只有两点受力且不计其质量，则该刚体称为二力构件 刚体上只有两点受力且不计其质量，则该刚体称为二力构件 或二力杆。作用力沿两点连线、大小相等、方向相反。 二力杆。作用力沿两点连线、大小相等、方向相反。
2010-11-27
9
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
北京南站顶棚拱架支座
2010-11-27
10
理论力学
2、连接铰链
§1-3 平衡问题的解法
B
FBy
FBx
B
' FBy
' FBx
注意： 注意：作用力与反作用力的关系
2010-11-27
B
11
理论力学
§1-3 平衡问题的解法
2010-11-27
12
杆的内力和绳BD的拉力 力P，求BC杆的内力和绳 的拉力。 杆的内力和绳 的拉力。 z D 研究铰链B 解：研究铰链 A
ϕ
θ
z D
F3
ϕ
C F2 B
y
A x
空 间 力 系
θ
C B
y x
F 1
P
P
∑F
z
= 0; → F3 sin ϕ − P = 0
∑F ∑F ∑F
x y
z
= 0 = 0 = 0
的
问题的 掉了
，我
24
理论力学
• 基本概念
本章主要内容
– 平衡、质点（系）、刚体、自由体、非自由体 平衡、质点（ ）、刚体、自由体、 刚体 – 力系、等效力系、合力、共点力系 力系、等效力系、合力、 – 约束与约束力：柔索、光滑面、光滑柱（球）铰链、 约束与约束力：柔索、光滑面、光滑柱（ 铰链、 二力构件
§1-3 平衡问题的解法
(constraint)：限制物体运动的条件。 ：限制物体运动的条件。
•约束体 约束体(constraint body)：约束非自由体运动的物体。 非自由体运动的物体 约束体 ：约束非自由体运动的物体。 •列车是非自由体 列车是非自由体 •铁轨是约束体 铁轨是约束体 •铁轨作用在车轮 铁轨作用在车轮 上的力为约束力 •约束力 约束力(constraint force)：约束体作用在非自由体上的力。 约束力 ：约束体作用在非自由体上的力。