北大课上纳什均衡的两个案例

中微补充讲义 （7）

平新乔 （2006年12月17日）

关于纳什均衡的两个案例

二、占优策略与“密封次高价”拍卖机制

拍卖是一种古老且至今仍存在的市场交易方式。从最宽的定义来说，“拍卖”是指将经济资源配置到某一个当事人手中的方式。现实生活中，古董的拍卖、艺术品的拍卖、短期国债的拍卖、海上油矿开采权拍卖、天然气开采权拍卖，到无线频道拍卖、国有企业拍卖等。拍卖形式繁多，而且涉及大宗商品的交易。

“有效”的拍卖机制中涉及到两个概念：（1）有效性：这是指（a ）要让资源经过拍卖配置到对该资源（标的物）评价最高的当事人手里；（2）要使得标的物的卖者得到最优高度收益。（2）机制：机制是指博弈形式（有参与人，有策略集，有博弈规则，有偏好序（支付函数）），该博弈形式让拍卖过程达到有效。

这里只讲“密封次高价拍卖”：

这是指这样一个博弈，有几个竞拍人对一个标的物竞拍，他们同时把自己的“出价”写在纸上装入信封交给卖主，出价最高的竞标者赢得购买权，并按次高价买下标的物。

这里有三个问题：

第一、 为什么要求赢者以“次高价”而不是自己的出价（即最高价）来买下标的物？ 第二、 这里会发生均衡吗？ 第三、 均衡唯一吗？

我们先回答后两个问题，再回答第一个问题。分3点来讲解： 1、 模型 假设：（1）设有几个竞拍人，标的物为1个。

（2）竞拍人i (i=1,…,n) 对标的物的真实评价为i v 。这个i v 是i 独立评判的，不受他人j i ≠对标的物的评价j v 的影响。

（3）几个评估值12{,,...,,}n v v v 按大小排序为：121

...n n v v v

v ->>>>>0

（4）竞拍规则为“密封次高价”：即若竞拍人的竞拍出价（bid price ）

(){()}max i i j j j i

b v b v ≠>则i 赢下标的物，并且只按次高价付款。于是，i 的得益（payoff ）

为i 的消费者剩余： i i j u v b =- 这里，{()}max j j

j

j i

b b v ≠=

，显然j

b

是价格（P=j b ）。

（5）不考虑竞拍成本。因此，如竞拍人j 没有赢下标的物，其得益为零，0j u = （6）若出价出现“平局”，有两个以上的竞拍人出价一样，我们假定按竞拍人的身份排号顺序决定胜者。例如，如1122()()b v b v =，由于1b 下脚标1在2b 下脚标2之前，我们判

定竞拍人1胜出。但这时，由于“次高价”2211()()b v b v =，所以，尽管竞拍人“1”胜出，但“1”的买价等于他自己的出价11()b v 。于是“1”的得益为：111()v b v -。为了简化，记

()i i i b v b =，从而，如在平局时竞拍人“1”胜出，其得益为111u v b =-。

把上述6个假定写成“策略型博弈”，就有以下博弈形式：

（1） 博弈参与人个数为n ，2n ≥

（2） 每个参与人i 的策略集为出价i b 的区间：0(2,3,...,)[0,)j b j n =∀=∈∞ （3） i 的偏好与得益函数为：

i i j u v b =-, 如i 赢下，{}max j j j i b b ≠=（）

=,i i v b i j -如与竞价出现平局，且i

2. 均衡

这个博弈存在许多个均衡。我们这里只讲其中的三个均衡：

（1）1212(,,...)(,,...)n n b b b v v v =，这个一个均衡。

先看这是什么意思。这里，i i b v = 1,2,...i n ∀=表示每个竞拍人i 都是按自己内心对标的物的评价i v 而真实标价的。竞标的结果当然是第1个竞拍人胜出，因为

121

...n n v v v

v ->>>>。胜者“1”的得益为112u v b =-，其他竞拍人得益为零。

我们来证明为什么1212(,,...)(,,...)n n b b b v v v =是一个纳什均衡。理由是：

第一，竞拍人1对于出价“11b v =”是不会产生背离动机的。当11b v =时，

112120u v b v v =-=->。如果11b v >，他固然也会赢下标的物，但不会改变112u v b =-这

个收益水平；如果11b v <，可能会发生121b b v <<的事件，竞拍人就会输掉，得益为零。

第二，别的竞拍人j (j=2,3,…n)也不会有改变j j b v =的动机。j j b v =时，0j u =。如果

j j b v ≠，一种可能是11j b b v ≤=，则j 仍然不会赢，于是得益仍是0j u =；另一种可能是11j b b v >=。这时j 会赢下标的物，但110j j j u v b v v =-=-<，还不如j j b v =时，0

j u =的结果。

（2）121(,,...)(,0,0,...0)n b b b v =也是一个均衡。

在这个结果中，由于“1”以外的所有其他竞拍人都报价为零，从而1110u v v =-=。为什么这也是一个均衡？因为：

第一，“1”无背离动机。如果11b v ≠，但由于1[0,)b ∀∈∞，即使1b =0，“1”也会赢（因为0(2,3,...,)j b j n =∀=，而“1”身份排序在前），且1100u v =-=。所以，11b v ≠不改变11u v =的值，从而“1”无动力背离11b v =的出价。

第二，别的竞拍人j 也无动力改变0j b =这一策略。当0j b >时，或者11j b b v <=，j 仍输，仍是0j u =；当11j b b v >=，j 会赢下，但10j j u v v =-<，反不如0j u =。

（3）1221(,,...)(,,0,...0,0)n b b b v v =同样是一个均衡。

1221(,,...)(,,0,...0,0)n b b b v v =是指竞拍人1只报了12b v =，而竞拍人2报价为21b v =，

使得21b b >，于是“2”赢了，“1”输了。10u =，但2u 也等于零，因为111110u v b v v =-=-=。

为什么这也是一个纳什均衡呢？因为：

第一，“1”不会背离12b v =这一决策。这是由于，如11b v ≥，由于21b v =，从而12b b ≥，“1”肯定会赢，但112110u v b v v =-=-=，这不比12b v =时“1”输掉时有任何改善。如果11b v <，则“1”仍输掉，10u =仍不会改变。

第二，“2”也不会改变21b v =这一策略。为什么？我们知道21b v =时，20u =。如果

22b v >，则“2”仍会赢（ 12b v =），仍有222220u v b v v =-=-=，“2”的收益不会有

丝毫改变；如22b v ≤，则“2”会输掉，使20u =。

第三，任何其他竞拍人j(=3，4，…，n)的策略0j b =不会改变。如果1j b v ≤，则j 会输掉（ j>2，当1j b v =时，与21b v =相比为平局，但“2”胜出。），0j u =；如果1j b v >，j 会赢，但10j j u v v =-<。

上面所举的3个例子里，前2个例子中，是竞拍人1胜，而第三个例子中是竞拍人2胜。读者可以依次举出让竞拍人3，4，…，n 获胜的例子，并且证明它们是均衡。因为，我们到此实质上回答了这一节开头提出的后两个问题：密封次高价拍卖存在均衡，并且均衡不