数列极限与函数极限

0 0 0
例 5 计算 lim sin 2 x . x→0 → 解 令 u = 2x , 则函数 y = sin 2 x 可视为由
如果一个数列没有极限, 就称该数列是发散 发散的 如果一个数列没有极限 就称该数列是发散的. 常读作: 趋于无穷大时, 注: 记号xn → a( n → ∞ ) 常读作 当 n 趋于无穷大时
xn 趋于 a .
下列各数列是否收敛, 若收敛, 例1 下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出 其收敛于何值. 其收敛于何值
数列的极限 按 一定次序排列的无穷多个数
x1 , x2 ,L, xn ,L
称为无穷数列, 简称数列 数列. 称为无穷数列 简称数列 可简记为{xn }. 其中的每 个数称为数列的项, xn 称为通项 一般项 称为通项 一般项). 通项(一般项 个数称为数列的项 数列可看作数轴上一个动点, 注: (1) 数列可看作数轴上一个动点 它在数轴上 依次取值
lim f ( x ) = A 或 f ( x ) → A)( x → x0 ). x→ x
0
试根据定义说明下列结论: 例5 试根据定义说明下列结论:
(1) x→ x x = x0 ; lim
0
( 2) x→ x C = C (C为常数 ). lim
0
显然, 解 (1) 当自变量 x 趋于 x0 时, 显然, 函数 y = x 也趋于 x0 , 故
n +1
} 无休止地反复
取1、 1 两个数, 而不会无限接近于任何一个确 − 两个数,
定的常数, 故该数列是发散的; 定的常数, 故该数列是发散的; (4) 数列 n − 1 即为
n 1 , 2 , 3 ,L , n − 1 ,L 0, 2 3 4 n 易见, 易见, 当 n 无限增大时, n − 1 无限接近于 1 , 无限增大时, n 故该数列收敛于 1 .
x − 4 = lim ( x − 4)( x + 5 + 3) lim x →4 x + 5 − 3 x→4 ( x + 5 − 3)( x + 5 + 3) ( x − 4)( x + 5 + 3) = lim x →4 x−4 = lim( x + 5 + 3) x →4
= lim x + 5 + 3 = 6. x →4
0
lim f ( x ) = lim f ( x ) A.
− x → x0 + x → x0
x, 例 6 设 f ( x) = − x + 1,
解 因为
x →0 x →0 x→0 x→0
x≥0 , 求 lim f ( x ). x→0 → x<0
lim f ( x ) = lim ( − x + 1) = 1, − −
lim f ( x ) = lim x = 0. + +
x →0
即有
lim f ( x ) ≠ lim f ( x ), − +
x →0
不存在. 所以 lim f ( x ) 不存在 x→0 →
内容小结 1. 数列的极限 数列极限的定义 2. 函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 函数的左极限与右极限
求 lim x→3
2
=
2⋅ 3 − 9 = 9. 2 5 ⋅ 3 − 7 ⋅ 3 − 2 22
2
x2 − 1 . 例 3 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
分子和分母的极限都是零. 解 x → 1时, 分子和分母的极限都是零. 此 时应先约去不为零的无穷小因子 x − 1 后再求 极限. 极限.
x→2 x→2 x→2 x→2
= (lim x ) − 3 lim x + lim 5 x→2 x→2 x→2
2
= 22 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3
注：设 f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + L + an , 则有
lim f ( x ) = a0 ( lim x )n + a1 ( lim x )n−1 + L + an x→ x → x→ x x→ x
lim x = x0 ; x→ x
0
(2) 当自变量 x 趋于 x0 时, 函数 y = C 始终取相 同的值 C , 故
x → x0
lim C = C .
函数的左极限与右极限 从左侧(或右侧 或右侧)趋于 当自变量 x 从左侧 或右侧 趋于 x0 时, 函数 f ( x ) 处的左极限 趋于常数 A , 则称 A 为 f ( x ) 在点 x0 处的左极限 (或右极限), 记为 或右极限
0
0
0
= a0 x + a1 x
n 0
n −1 0
+ L + an
= f ( x0 ).
2x − 9 . 例2 5 x2 − 7 x − 2 2 lim( 2 x − 9) 2 x→3 解 lim 2 x − 9 = 2 x→3 5 x 2 − 7 x − 2 lim(5 x − 7 x − 2) x→3
{ }
函数极限的引入 的函数: 数列可看作自变量为正整数 n 的函数 x n = f (n), 数列 {x n } 的极限为 a , 即: 当自变量 n 取正整数 且无限增大 ( n → ∞ ) 时, 对应的函数值 f (n) 无限 接近数 a . 若将数列极限概念中自变量 n 和函数 值 f (n) 的特殊性撇开,可以由此引出函数极限的 的特殊性撇开 可以由此引出函数极限的
解 (2)
1, 1 , 1 ,L, 1 ,L 2 3 n 1 易见, 易见, 当 n 无限增大时, 也无限接近0,故该 无限增大时, 也无限接近 , n 数列收敛于 0 ; ( −1)n+1 } 即为 解 (3) 数列
{
1,−1,1,−1,L, ( −1) n+1 ,L
易见, 无限增大时, 易见, 当 n 无限增大时, {( −1)
( )
例3
讨论极限 limsin( x )
x →∞
的图形（见下图）易知： 观察函数 y = sin( x ) 的图形（见下图）易知
无限增大时， 当自变量 x 的绝对值 | x |无限增大时，对应的 在区间[ 1,1]上振荡 上振荡， 函数值 y 在区间[-1,1]上振荡，不接近任何 常数 不存在. 所以极限 limsin( x ) 不存在. x →∞
数列 数列{
}
一般概念: 的某个变化过程中,如果对 一般概念 在自变量 x 的某个变化过程中 如果对 应的函数值 f ( x ) 无限接近于某个确定的数 A, 则 的极限. A 就称为 x 在该变化过程中函数 f ( x ) 的极限 显然, 显然 极限 A 是与自变量 x 的变化过程密切相关
自变量趋向无穷大时函数的极限 定义2 的绝对值无限增大时， 定义2 如果当 x 的绝对值无限增大时，函数 f ( x ) 无限接近于常数 A ，则称常数 A 为函数 f ( x ) 当
lim f ( x ) = xlim f ( x ) = A x →+∞ →−∞
例2
求极限 lim 1 + 1 .
x →∞
( x)
1 的绝对值无限增大时， 无限接近于0 解 因为当 x 的绝对值无限增大时， 无限接近于0 x
即函数 1 + 1 无限接近于常数1, 无限接近于常数1,
x
所以
1 =1 lim 1 + x →∞ x
例4 讨论极限 limarctan x x →∞
y→π 解 当 x → +∞ 时， 2 y → −π 当 x → −∞ 时， 2
不存在. 所以 limarctan x 不存在. x →∞
自变量趋向有限值时函数的极限 即 现在研究自变量 x 无限接近有限值 x0 (即 x → x0 ) 的变化趋势. 时, 函数 f ( x ) 的变化趋势 定义3 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某一去心领域内有 定义 定义. 定义 如果当 x → x0 ( x ≠ x0 ) 时, 函数 f ( x ) 无限接 近于常数 A, 则称常数 A 为函数 f (x) 当 x → x0 时的极限. 时的极限 记作
x → ∞ 时的极限，记作 时的极限，
lim f ( x ) = A 或 f ( x ) → A ( x → ∞ ) x →∞
如果在上述定义中， 如果在上述定义中，限制 x 只取正无穷或负无 穷即有
lim f ( x ) = A 或 xlim f ( x ) = A x →+∞ →−∞
则称常数 A为函数f ( x ) 当 x → −∞ 或 x → +∞ 时的极取限. 时的极取限. 注意到 x → ∞意味着同时考虑 x → −∞ 与 x → +∞ 可以得到下面的定理 定理1 定理1 极限 lim f ( x ) = A 的充分必要条件是 x →∞
( 2){ 1 }; ( 3){( −1) n+1 };(4) n − 1 . n n n 解 (1) 数列 { 2 }即为
(1){2 n };
{
}
2,4,8,L,2 n ,L
易见, 无限增大时, 也无限增大, 易见, 当 n 无限增大时, 2 n 也无限增大, 故该 数列是发散的; 数列是发散的;
lim f ( x ) = A 或 lim f ( x ) = A x→ x x→ x
− 0 + 0
左极限和右极限的示意图. 左极限和右极限x → x0+ 与 x → x0− , 注意到
可以得到下面的定理: 可以得到下面的定理
定理2 定理 极限 lim f ( x ) = A 的充分必要条件是 x→ x
0 0
lim f [ g ( x )] = u→u f ( u) = A. lim x→ x → →
定理2表明 表明: 满足该定理的条件, 注:定理 表明 若函数 f (u)和 g ( x )满足该定理的条件
lim 则作代换 u = g ( x ), 可把求x→ x f [ g( x )]化为求 → lim f ( u), 其中 u0 = lim g ( x ). u→ u → x→ x →
极限运算法则 定理 设 lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B , 则 (1) lim[ f ( x ) ± g ( x )] = A ± B; (2) lim[ f ( x ) ⋅ g ( x )] = A ⋅ B;
f ( x) A (3) lim = , 其中 B ≠ 0. g( x ) B 推论1 存在, 为常数, 推论 如果 lim f ( x )存在, 而 C 为常数, 则 lim[Cf ( x )] = C lim f ( x ).
x1 , x2 ,L, xn ,L; xn = f (n).
(2) 数列可看作自变量为正整数 n 的函数 的函数:
{ 定义1 定义 设有数列 xn } 与常数 a , 如果当 n 无限增
大时, 大时 xn 无限接近于 a , 则称常数 a 为数列 {xn }收 敛于 a, 记为
lim xn = a , 或 xn → a ( n → ∞ ). n→∞
常数因子可以提到极限记号外面. 即: 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 存在, 是正整数, 推论 如果 lim f ( x )存在, 而 n 是正整数, 则
lim[ f ( x )] = [lim f ( x )] .
n n
例1 求 lim( x 2 − 3 x + 5).
x→2
解 lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5
定理2(复合函数的极限运算法则 定理 复合函数的极限运算法则) 复合函数的极限运算法则 设函数 y = f [ g ( x )] 是由函数 y = f (u) 与函数
且在 x0 的某去心邻域内有 g ( x ) ≠ u0 , 则
0 0
u = g ( x )复合而成, 若 复合而成, lim g ( x ) = u0 , u→u f ( u) = A, lim x→ x
x − 1 = lim ( x + 1)( x − 1) lim 2 消去零因子法 x →1 x + 2 x − 3 x →1 ( x + 3)( x − 1)
2
x +1 = 1. = lim x →1 x + 3 2
例 4 计算 lim x →4
x−4 . x+5−3
解 当 x → 4 时, ( x + 5 → 0), 不能直接使用商的极限运算法则. 不能直接使用商的极限运算法则. 但可采用分母有理化消去分母中趋于零的因子. 但可采用分母有理化消去分母中趋于零的因子.