2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第28讲

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高考总复习（文、理）
4 探究 1：已知函数 y＝ ＋9x， x (1)若 x＞0 时，当 x＝________时，函数有最________值________；
2 (2)若 x∈(0，]时， x＝________时， 当 函数有最________值________； 5 (3)若 x∈[4，＋∞)时，当 x＝________时，函数有最________值 ________．
∴当 x＝4 时，ymin＝37. ∴若 x∈[4，＋∞)，当 x＝4 时，函数有最小值为 37.
2 答案：(1) 小 12 3
2 (2) 5
小
68 (3)4 5
小 37
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高考总复习（文、理）
a 点评：此题考查函数 f(x)＝ ＋bx(a＞0，b＞0，x＞0)最值的求法．可 x 用算术平均数与几何平均数定理求解，但必须保证等号取到．若等号取 a 不到，可用其单调性求最值．函数 f(x)＝ ＋bx，在 x∈(0, x 减，在[ a ，＋∞)上单调递增． b a )上单调递 b
格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请 说明理由． [分析] 列出函数表达式，用均值不等式或单调性或导数法求解．
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高考总复习（文、理）
[解析] (1)设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨，由 题意知，面粉的保管等其他费用为 3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋„＋6×1]＝9x(x＋1)． 设平均每天所支付的总费用为 y1 元， [9xx＋1＋900] 则 y1＝ ＋1800×6 x 900 ＝ ＋9x＋10809≥2 x 900 · 9x＋10809＝10989. x
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高考总复习（文、理）
类型二
利用基本不等式求最值
解题准备：在运用基本不等式证明不等式或求最值时，注意掌握
“凑”(凑项、凑因式)的技巧，其目的一是创造一个应用重要不等式的
情境；二是找使等号成立的条件．
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高考总复习（文、理）
5 1 【典例 2】 (1)已知 x< ，求函数 y＝4x－2＋ 的最大值； 4 4x－5 a b (2)设 a、 是正常数， y∈R ， ＋ ＝1， x＋y 的最小值是多少？ b x、 则 x y
【典例 1】 已知 a，b，c∈R，求证： (1) a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)； (2)a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
a2＋b2 a＋b2 ， [证明] (1)∵ ≥ 2 2 a2＋b2 |a＋b| a＋b 2 ∴ ≥ ≥ ，即 a2＋b2≥ (a＋b)， 2 2 2 2 2 2 2 2 同理 b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (c＋a)， 2 2
) 1 3 · ＝2 a a3 1 cosx· ＝2 cosx
4 C．若 x＜0，则 x＋ ≤2 x
4 x·＝4 x
a － ≤－2 b
b b a D．若 a，b∈R，且 ab＜0，则 ＋ ＝－ －a＋ a b b a － · － ＝－2 a b
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高考总复习（文、理）
1 解析：A 中 3与 a3 未必均为正，论证错误； a 1 B 中，当 x＞0 时，cosx 与 同样也未必为正，论证错误； cosx C 中，当 x＜0 时，
4 4 x＋ ＝－－x＋－x ≤－2 x 4 － －x· x ＝－4，论证错误；
2 2
三式相加得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
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高考总复习（文、理）
(2)∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2， ∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2，
＋
(3)已知 a、b 为实常数，求函数 y＝(x－a)2＋(x－b)2 的最小值．
5 [解析] (1)∵x< ，∴5－4x>0， 4
1 1 y＝4x－2＋ ＝－5－4x＋5－4x＋3≤－2＋3＝1. 4x－5
1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，上式等号成立．故当 x＝1 时， 5－4x ymax＝1.
答案：D
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高考总复习（文、理）
3．设 a、b∈R ，且 a＋b＝4，则有( A. 1 1 ≥ ab 2 1 1 B. ＋ ≥1 a b 1 1 D. 2 ≥ a ＋b2 4
＋
)
C. ab≥2
1 1 ＋ 解析：由 a，b∈R ，且 a＋b＝4 得 2 ab≤4⇔ ab≤2， ≥ ，又 ab 4
1 1 1 1 1 由 2 ≤ ＝ ，即 2 ≤ .由此可知，A，C，D 都不正 4 4 a ＋b2 a ＋b2 a＋b 2 2 确，则只有 B 正确，故选 B.
b a b a D 中 与 均为负，转化为－ 与－ 均为正，可利用基本不等式，故 a b a b 选 D.
答案：D
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高考总复习（文、理）
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高考总复习（文、理）
类型一
利用基本不等式证明不等式
解题准备：证明不等式时应根据求证两端的结构，合理选择重要
不等式及其变形不等式．
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高考总复习（文、理）
高考总复习（文、理）
4．利用两个定理求最大、最小值问题 (1)x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)，那么当 x＝y 时 x＋y 有最小值 2 P. (2)x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，那么当 x＝y 时 xy 有最大值 S2 . 4
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高考总复习（文、理）
考点陪练
x 1.函数 f(x)＝ 的最大值为( x＋1 A. 2 5 B. 1 2 )
2 C. 2
D.1
解析：将解析式整理，得 y＝
1 1 x＋ x
，利用均值不等式求得 f(x)的
1 最大值为 . 2 答案：B
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高考总复习（文、理）
2．0＜a＜1,0＜b＜1，a≠b，下列各数中最大的是( A．a2＋b2 C．2ab B.2 ab D.a＋b
)
解析：∵a，b∈R，且 a≠b， 则 a2＋b2＞2ab，a＋b＞2 ab. 又 0＜a＜1,0＜b＜1，∴a2＜a，b2＜b，∴a2＋b2＜a＋b. (本题也可以用特殊值法)．
分析：用算术平均数与几何平均数定理可求得(1)，而求(2)，(3)时 ，必须使用函数单调性，不能用算术平均数与几何平均数定理，因为“
＝”取不到．
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高考总复习（文、理）
4 解析：(1)∵x＞0，∴y＝ ＋9x≥12 x 4 2 (当且仅当 ＝9x，即 x＝ 时，取“＝”号)． x 3 2 ∴当 x＝ 时，函数 y 有最小值为 12. 3
2 2 2 2
a－b2 . 2 a＋b 当且仅当 x－a＝b－x，即 x＝ 时，上式等号成立． 2 a＋b a－b2 ∴当 x＝ 时，ymin＝ . 2 2
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高考总复习（文、理）
[点评]
(1)因为 4x－5<0，所以首先要“调整”符号；又(4x－
1 2)· 不是常数，所以要对 4x－2 进行拆(添)项“配凑”． 4x－5 a b (2)注意到 ＋ ＝1，将 x＋y 乘以 1 后数值大小不变，可转化成基本 x y 不等式． (3)从函数解析式的特点看，本题可以化为关于 x 的二次函数，再通 过配方求最小值(留给读者去完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值， m2＋n2 m＋n2 更简捷． 则用变形不等式 ≥ 2 2
又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2， c2a2＋a2b2≥2a2bc， ∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)， 即a2b2＋b2c2＋c2a2≥ab2c＋abc2＋a2bc
＝abc(a＋b＋c)．
综上得，a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
900 当且仅当 9x＝ ，即 x＝10 时取等号． x 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉， 才能使平均每天所支付的总费用 最少．
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高考总复习（文、理）
(2)∵不少于 210 吨， 每天用面粉 6 吨， ∴至少每隔 35 天购买一次面 粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x≥35)天购买一次面粉． 平均每天支付的总费用为 y2 元，则 1 y2＝ [9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90 x ＝ 900 ＋9x＋9729(x≥35)． x
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高考总复习（文、理）
a b (2)∵a，b 为正常数，x、y∈R 且 ＋ ＝1， x y
＋
a b ay bx ∴(x＋y)＝(x＋y)x ＋ y＝a＋b＋ x ＋ y ≥a＋b＋2
ab
故(x＋y)min＝a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2. [x－a＋b－x] 2 (3)∵y＝(x－a) ＋(x－b) ＝(x－a) ＋(b－x) ≥ ＝ 2
第二十八讲 算术平均数与几何平均数
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高考总复习（文、理）
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高考总复习（文、理）
回归课本 1.基本不等式 设 a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)，要认识到 a 和 b 代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量式，应用 广泛． 2．均值不等式 a＋b 设 a，b∈(0，＋∞)，则 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，不等式取等 2 号．它的证明要能从②中得出，既是对②中 a，b 的灵活变式，又具有自 身特点，a，b∈(0，＋∞)．
答案：B
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高考总复习（文、理）
a2 b2 4． 0<x<1， b 都为大于零的常数，则 ＋ 设 a， 的最小值为( x 1－x A．(a－b)2 C．a2b2
答案：B
)
B.(a＋b)2 D.a2
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高考总复习（文、理）
5．下列推理过程正确的是( 1 A．若 a∈R，则 3＋a3≥2 a B．若 x＞0，则 cosx＋ 1 ≥2 cosx
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高考总复习（文、理）
a2＋b2 a＋b [点评] a2＋b2≥2ab(a，b∈R)可变形为 ab≤ ； ≥ ab(a， 2 2 b∈R )可变形为
＋
a＋b2 等．同时要从整体上把握重要不等式，如： ab≤ 2
a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R” 的灵活运用．本题先局部运用重要不等式，然后用不等式的性质，通过 不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式． 这种证明方法在证明这 类轮换对称不等式时具有一定的普遍性．
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高考总复习（文、理）
【典例3】
某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨
，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3
元，购面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少？
(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价
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高考总复习（文、理）
类型三
利用均值不等式解实际问题
解题准备：1.应用均值不等式解决实际问题时，关键是如何把等量
关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，要审清题意，找出相应
关系，利用均值不等式解决有关最优化问题． 2．基本步骤是：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等
式关系；④作出问题结论．
第3页Βιβλιοθήκη 高考总复习（文、理）3. 灵活变式 a＋b2 (1)a2＋b2≥ ； 2 a2＋b2 (2)ab≤ ； 2
a＋b2 ； (3)ab≤ 2 a＋b2 a2＋b2 ≤ (4) ； 2 2
(5)(a＋b)2≥4ab. 当且仅当 a＝b 时各式中等号成立．
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2 4 (2)∵y＝ ＋9x 在 x∈0，3上单调递减， x
在
2 x∈3，＋∞上单调递增，
2 68 ∴当 x＝ 时，ymin＝ ， 5 5 故
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2 x∈0，5，当
2 68 x＝ 时，函数有最小值为 ， 5 5
高考总复习（文、理）
2 4 (3)y＝ ＋9x，在 x∈3，＋∞上单调递增， x