清华大学2016年微积分A期中考试A卷
【清华】2013年大一下微积分A2期中样卷答案
14. 设 F (x) 2x esin(xy)dy ，则 F(x) x
答案： F (x) 2x y cos(xy)esin(xy)dy 2esin(2x2 ) esin x2 x
。
。 。 。
1 ey
11
e1
15. 交换积分次序： dy f (x, y)dx = dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy 。
证毕。
2 . （ 8 分 ） 设 f (u) 是 连 续 函 数 ， 证 明 ：
D (x, y) x y 1 。
1
f (x y)d f (u)du ， 其 中
D
1
x y u
证：做变换
x
y
v
……………………………………………………………………..3 分
3. 设函数 f (u, v) 可微，函数 z z(x, y) 由方程 f (x y z, x2 y2 z2 ) 0 确定，则偏
导数 z x
。答案： fu 2xfv fu 2zf v
4. 函数 x 2 2 y 2 3z 2 在点 (1,1,1) 处函数值递增最快的方向为
x y z 0
7.
y
y(x), z z(x)
为由方程组 xຫໍສະໝຸດ 2y2
z2
1
确定的隐函数，
y
z
，则
dy
。答案： dy z x
dx
dx z y
8. 函数 f (x, y) x y 在点 (x, y) (1,1) 处带 Peano 余项的二阶 Taylor 展式为
2016-2017海淀高三期中练习数学理科试题及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2016.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则 A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是A. ()f x 是偶函数B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
清华大学微积分A(1)期中考试样题
一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。
21 3. 31 4。
34 5. 1 6．第一类间断点 7。
()dx x x x ln 1+ 8。
22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。
0 10。
11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。
13 13。
0 14。
)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。
…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。
…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。
2015-2016第一学期微积分IV期末试卷答案(A卷)
一、求下列数列的极限（每题5分，共10分）：1.21lim(1)n n n -→∞+解：2222111lim(1)lim[(1)][lim(1)]n n n n n n e n n n----→∞→∞→∞+=+=+=2.2222lim()123n n n n nn n n n n→∞+++⋅⋅⋅++++ 解：222222221231n n n n n n n n n n n n n n ≤+++⋅⋅⋅≤++++++ ， 又2222211lim lim 1,lim lim 111111n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞====++++ 所以由夹逼准则知，2222lim()1123n n n n nn n n n n→∞+++⋅⋅⋅=++++二、求下列函数的极限：（每小题5分,共20分）.1. x →解：23x →==厦门大学《微积分IV 》课程期末试卷试卷类型：（A 卷） 考试日期 2016.01.122. 2211lim x x x x→--解：221111lim lim 2x x x x x x x →→-+==-或者用洛必达法则，2211122lim lim 22121x x x x x x x →→-===---3.30lim sin x x x x →-解：3200036limlim lim 6sin 1cos sin x x x x x xx x x x→→→===--4. lim )x x x →+∞解：lim )limlimlimx x x x x x →+∞===12==。
三、求函数的微分或导数：（每小题5分,共20分）1. 已知2sin y x x =，求dy .解：2(2sin cos )dydy dx x x x x dx dx==+2.已知sin xy x =，求y '. 解：y '=22(sin )()sin cos sin x x x x x x xx x''⋅--=3.已知32cos (1)y x =-，求(1)y '解：22222223cos (1)[cos(1)]3cos (1)(sin(1))(1)y x x x x x '''=-⋅-=-⋅--⋅-2222223cos (1)sin(1)(2)6cos (1)sin(1)x x x x x x =--⋅-⋅-=⋅-⋅-所以222(1)61cos (11)sin(11)0y '=⋅⋅-⋅-=4. 设()y y x =由方程y e xy e +=所确定，求(0)y '.解：方程ye xy e +=两边对x 求导，得0y e y y x y ''++⋅=，从而y y y e x -'=+，又(0)1y =，因此(0)(0)1(0)0y y y e e-'==-+。
清华 微积分A期中考试
3.
设数列{an
}
满足条件
lim
n
a2n
a,
lim
n
a2 n 1
b ，求极限 lim a1 a2 n
an n
。
4．用极限的“
”定义直接验证 lim x2
1 x2 1
1 3
。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
1.（8 分）设 0 x 1 ，证明不等式 (1 x)ln 2 (1 x) x2 。
4.
n
设 an
k 1
1 n2 k
，极限
lim
n
an
1
1
n
5.
设 a,b
均为正数， lim
n
an
2b n 31来自6. lim(1 cos x)ln x
。
x0
。 。
7. x 0 时， 1 tan x 1 sin x 无穷小的阶为
。
8.
函数
f
(x)
x2 1 x 1
,
x 1 在 x 1处间断点的类型为
2, x 1
9.
设
f
(x)
1 ex x
x 0 ，则 f (0)
。
1 x 0
10.
设
f
可导，函数 y
f
dx (sin x) 存在可导的反函数，则
dy
11.
函数
y
y( x)
由参数方程
x
y
t t
sin t cos t
给出，其微分
dy
。
。 。
12. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 100) ，则 f '(0)
第一学期第二次微积分期中考试参考答案
北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《微积分》第二次期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、()()ln 101.arcsin x x x+<<<证明：设()()ln 1f x x x =-+，则()00f =。
又因为()()'11001f x x xx x =+=<<<所以01x <<时，()()ln 10,f x x x =-+<()ln 1.arcsin x x+< 二、设0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解，求k 的范围。
解：设()()2110f x kx x x =+->，则()'32.f x k x=-（1）0k <时，()()()'0,,0,f f f x +=+∞+∞=-∞<所以0x >时方程211kx x +=有且仅有一个解；（2）0k =时，显然0x >时方程211kx x+=有且仅有一个解； （3）0k >时，()()0,,f f +=+∞+∞=+∞当x ⎛∈ ⎝时，()'0,f x <当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0,f x >所以1f =为其最小值，只有当其为零时方程211kx x +=有且仅有一个解；此时得k = 总之，k 的范围为(]23,0.⎧⎫⎪⎪-∞⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 三、设函数32,1x y x =-求（1）y 的定义域；（2）y 的单调区间和极值，图形的凹凸区间及拐点；（3）y 图形的渐近线方程。
解：（1）y 的定义域为 1.x ≠± （2）()()()()222'"2322323,.11x x xx y y xx-+==--所以(,-∞为单增区间，()1-为单减区间，()1,1-为单减区间，(为单减区间，)+∞为单增区间。
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1）Jensen不等式:设)(x f 为],[b a 上的下凸函数,则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλ ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλ ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk ==λ时，就是AG 不等式。
（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11.（4）Holder 不等式:设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k ,则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。
（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。
（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。
微积分试卷及规范标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A │< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
2016清华附中等三校联考高二(下)期中数学(文)含答案
2016清华附中等三校联考高二（下）期中数学（文科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
）1．（4分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x| D．y=﹣x2+13．（4分）用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数4．（4分）“a＞2”是“对数函数f（x）=log a x为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）函数f（x）=的值域为（）A．（e，+∞）B．（﹣∞，e）C．（﹣∞，﹣e） D．（﹣e，+∞）6．（4分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．（4分）若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．78．（4分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…x n，使得==…=，则n的取值范围为（）A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}9．（4分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，，则函数y=f（x）在[2，4]上的大致图象是（）A．B．C．D．10．（4分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）= ．12．（5分）已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a= ．13．（5分）观察下列不等式：=1，=，=，=3，=，…，依此规律，第n个等式为．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是．15．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么当x＜0时，f（x）= ，不等式f（x+2）＜5的解集是．16．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，对称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N．边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是．（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N=17，L=10，则S= （用数值作答）．三、解答题（共4小题，满分50分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数学方法论 试卷(A)—答案
试卷 （2015 -2016 学年度 第二学期）（考试日期 ：2016 年 月 日）课程名称 ： 数学方法论 试卷类型：（开卷）A 卷 学院 数学与统计学院、敬文书院 专 业 数学与应用数学（S ） 班级 学号 姓 名 成绩一、填空题（每题2分，共20分）1.公理方法经历了具体的公理体系，抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段.2.数学证明必须遵循的规则有：论题必须明确，论题应当保持同一，论据必须可靠，论据不能依赖于论题，证明必须遵守推理规则.3.数学解题中运用分类方法的原则是：不重复、不遗漏，标准同一，按层次逐步划分.4.20世纪下半叶，美籍匈牙利数学教育家乔治·波利亚提出的四种解题模式分别是：双轨迹模式，笛卡尔模式和递推模式、叠加模式.5.联想的三个基本法则为：类似联想法则，相反联想法则，接近联想法则.6.《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
7.数学证明的功用：核实命题，理解命题，发现命题.8.化归是数学解题中的重要思想方法，有效化归应遵循的三个原则是：熟悉化和模型化，简单化和具体化，特殊化和一般化.9.变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分.注意：装订线外，勿写答案；装 订 线10.数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势.二、判断题（每题2分，共10分.若表述正确请在括号内划√，否则划 ×） （ √ ）1．在边长为1的正方形内任意放置五个点，则其中必有两点，这两点之间的距离不大于.22（ √ ）2.同一数学对象，若选取不同的标准，可以得到不同的分类. （ × ）3.抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系. （ √ ）4.贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想. （ √ ）5.演绎的根本特点就是当它的前提为真时，结论必然为真.三、单项选择题（每题2分，共20分）1.《周髀算经》和（ A ）是我国古代两部重要的数学著作.A .《九章算术》B .《孙子算经》C .《墨经》D .《算数书》2.中国数学史上最先完成勾股定理证实的数学家是( B ).A .周公后人荣方和陈子B .三国时期赵爽C .西汉的张苍、耿寿昌D .魏晋南北朝时期的刘徽3.根据伽罗华的理论，能够用求根公式作出一般性解决的高次方程最多是(B )次方程.A . 三次B .四次C .五次D .二次4.下列关于反证法的认识，错误的是( D ).A .反证法是一种间接证明命题的方法B .反证法的逻辑依据之一是排中律C .反证法的逻辑依据之一是矛盾律D .反证法就是证明一个命题的逆否命题5.凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间有关系2=-+E F V ，此公式叫(D ).A .笛卡尔公式B .牛顿公式C .莱布尼茨公式D .欧拉公式6.设{}n a 为数列，对于“存在正数M ，对任意正数n ，有n a M ≤”的否定（即数列{}n a 无界）是 （ C ）.A .存在正数M ，存在正整数n ，使得n a M >B .存在正数M ，对任意正整数n ，使得n a M >C .对任意正数M ，存在正整数n ，使得n a M >D .对任意正数M ，以及任意正整数n ，使得n a M >7.下面选项中，哪一项不属于设置公理的基本要求（A ）.A .矛盾性B . 相容性C .独立性D .完备性8.数学解题的目的和价值有:知识基础性,方法技能性和（ D ）.A .观念性B . 意识性C .综合性D .观念意识性9.被誉为中国人工智能之父，在几何定理的机器证实取得重大突破，并获得首届国家最高科学技术奖的数学家是（ B ）.A .张景中B .吴文俊C .华罗庚D .陈景润10.下列命题正确的是（ C ）.A .若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B .若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C .若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D .若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行四、简答题（每题8分，共16分）1.为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？ 答题要点：①因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)
(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求 ， ． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为 ， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以 ． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（ ）设函数 由方程 确定，求 ． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r
2016-2017年北京市清华附中高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2016-2017学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择1．（3分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．2．（3分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程为（）A．2x﹣y+2=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．2x+y+2=0 D．2x+y﹣2=03．（3分）直线kx﹣y+1=3k，当实数k的取值变化时，所有直线都通过定点（）A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1）4．（3分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）经过点（10，﹣4），且倾斜角的余弦值为的直线方程是（）A．y=（x﹣10）+4 B．y=（x﹣10）﹣4 C．y=（x﹣10）﹣4D．y=（x﹣10）+46．（3分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5）B．[7，+∞）C．[5，7） D．（﹣∞，5）∪[7，+∞）7．（3分）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，动点P 在椭圆上，当△PF1F2面积最大时，的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．48．（3分）点P在椭圆C：上运动，若存在过P 的直线l与椭圆C 交于另一点A，且直线l与直线x=4交于B点，满足|P A|=|P B|或|P A|=|AB|，则称点P 为“H 点”．那么下列结论正确的是（）A．椭圆C 上的所有点都是“H 点”B．椭圆C 上仅有有限个点是“H 点”C．椭圆C 上的所有点都不是“H 点”D．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”二、填空9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为S，则S的面积为；若A、B为S内的两个点，则|AB|的最大值为．10．（3分）已知△ABC 的三边所在直线的方程为l AB：x+y﹣8=0，l BC：x﹣2y﹣5=0，l AC：3x﹣y=0，则△ABC 的外接圆圆心坐标为．11．（3分）已知过点A（1，0 ）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N 两个不同点，则k的取值范围是．12．（3分）设F1、F2为椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，则d1⋅d2的值为．13．（3分）已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣2）两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是．14．（3分）已知椭圆（a＞b＞0），M，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线P M、P N 的斜率分别为k1、k2，若|k1k 2|=，则椭圆的离心率为．三、解答15．已知函数f （x）=2sin x（cos x﹣sin x）．（1）求函数f （x）的单调递减区间．（2）当0＜x＜π时，求f （x）的最大值及相应的x值．16．已知公比为q的等比数列{a n}（n∈N∗）中，a2=2，前三项之和为7．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若0＜q＜1，设数列{b n}满足b n=a1⋅a2⋅⋅⋅a n，n∈N∗，求使0＜b n＜1成立的n的最小值．17．已知△ABC 的顶点A（0，1），A B边上的中线C D所在直线方程为2x﹣2y ﹣1=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为y=0．（1）求△ABC 的顶点B、C 的坐标．（2）若圆M 经过点A、B，且直线y=﹣4与圆M 相切，求圆心M 的坐标．18．已知函数f （x）=ax3+x2+5．（1）当a=﹣3时，求函数f （x）的单调区间和极值点．（2）若函数f （x）在区间（﹣2，0）上至少有一个极值点，求实数a的取值范围．19．椭圆（a＞b＞0），点A为左顶点，点B为上顶点，直线AB的斜率为，又直线y=k（x﹣1）经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将|MN|表示为k的函数；（Ⅲ）线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，又点Q（1，0），求证：为定值．20．已知集合M 是非空数集，且满足三个条件：①∀x∈M，∀y∈M，恒有x﹣y∈M；②∀x∈M （x≠0），恒有∈M；③1∈M．（1）求证：∀x∈M，∀y∈M，恒有x+y∈M．（2）求证：当x≠0且x≠﹣1时，若x∈M，则必有∈M（3）求证：∀x∈M，∀y∈M，恒有xy∈M．2016-2017学年北京市清华附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择1．（3分）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，椭圆的离心率，故选：D．2．（3分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程为（）A．2x﹣y+2=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．2x+y+2=0 D．2x+y﹣2=0【解答】解：设与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，把（1，0）代入2x+y+m=0，可得2+m=0，解得m=﹣2．所求直线方程为：2x+y﹣2=0．故选：D．3．（3分）直线kx﹣y+1=3k，当实数k的取值变化时，所有直线都通过定点（）A．（3，1） B．（2，1） C．（1，1） D．（0，1）【解答】解：直线kx﹣y+1=3k，即为k（x﹣3）+（1﹣y）=0，由x﹣3=0，且1﹣y=0，解得x=3，且y=1，则直线恒过定点（3，1）．故选：A．4．（3分）“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在椭圆的方程中，a=5，b=4，则c=3，则椭圆的离心率e==，即必要性成立，反之不一定成立，则“椭圆的离心率为”是“椭圆的方程为”的必要不充分条件，故选：B．5．（3分）经过点（10，﹣4），且倾斜角的余弦值为的直线方程是（）A．y=（x﹣10）+4 B．y=（x﹣10）﹣4 C．y=（x﹣10）﹣4D．y=（x﹣10）+4【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则cosθ=，则倾斜角为钝角，则sinθ=，即直线的斜率k=tanθ==﹣，∵直线过点（10，﹣4），∴直线的方程为y+4=﹣（x﹣10），即y=﹣（x﹣10）﹣4．故选：C．6．（3分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5）B．[7，+∞）C．[5，7） D．（﹣∞，5）∪[7，+∞）【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5≤a＜7故选：C．7．（3分）设F1、F2为椭圆的左、右焦点，动点P 在椭圆上，当△PF1F2面积最大时，的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：由F1（﹣1，0），F2（1，0），当P位于短轴的端点时△PF1F2面积最大时，则P（0，），或P（0，﹣），则=（﹣1，﹣）（1，﹣）=﹣1+3=2，或=（﹣1，）（1，）=﹣1+3=2，∴的值等于2，故选：C．8．（3分）点P在椭圆C：上运动，若存在过P 的直线l与椭圆C 交于另一点A，且直线l与直线x=4交于B点，满足|P A|=|P B|或|P A|=|AB|，则称点P 为“H 点”．那么下列结论正确的是（）A．椭圆C 上的所有点都是“H 点”B．椭圆C 上仅有有限个点是“H 点”C．椭圆C 上的所有点都不是“H 点”D．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点”【解答】解：由题意，P、A的位置关系对称，于是不妨设﹣2≤x P＜x A≤2，（此时PA=AB）．由相似三角形，2|4﹣x A|=|4﹣x P|即：x P=2x A﹣4…①设PA：y=kx+m，联立，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，x A x P=…②∵△＞0，4k2＞m2﹣1…③联立①②③，得x A2﹣2x A＜，而0＜＜2即x A2﹣2x A＜2即1﹣≤x A≤2，而当x A＜1时，x P=2x A﹣4＜﹣2，故此时不存在H点又因为P的位置可以和A互换（互换后即|PA|=|PB|），所以H点的横坐标取值为[﹣2，0]U[1，2]，故选：D．二、填空9．（3分）设不等式组所表示的平面区域为S，则S的面积为16；若A、B为S内的两个点，则|AB|的最大值为．【解答】解：原不等式组可以化为，画出对应的平面区域图形如图所示的阴影部分．它是一个直角梯形，且坐标依次为E（2，0），F（2，3），C（﹣2，3），D（﹣2，﹣2）．故梯形面积为×4×（3+5）=16；显然在平面区域内，D、F两点距离最大为，即|AB|的最大值为．故答案为：16；．10．（3分）已知△ABC 的三边所在直线的方程为l AB：x+y﹣8=0，l BC：x﹣2y﹣5=0，l AC：3x﹣y=0，则△ABC 的外接圆圆心坐标为（2，1）．【解答】解：联立，解得A（2，6），联立，解得B（7，1），联立，解得C（﹣1，﹣3）．∴AB的中点坐标为（），AB的垂直平分线方程为：y﹣=1×（x﹣），即x﹣y﹣1=0．BC的中点坐标为（3，﹣1），BC的垂直平分线方程为：y+1=﹣2（x﹣3），即2x+y ﹣5=0．联立，解得．∴△ABC 的外接圆圆心坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．11．（3分）已知过点A（1，0 ）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N 两个不同点，则k的取值范围是（，+∞）．【解答】解：过点A（1，0 ）且斜率为k的直线l的方程为：y=k（x﹣1），∵过点A（1，0 ）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N 两个不同点，∴圆心C（2，3）到直线l的距离：d==＜1，解得k＞．∴k的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．12．（3分）设F1、F2为椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，则d1⋅d2的值为9．【解答】解：由椭圆，得a2=25，b2=9，∴．则F1（﹣4，0），F2（4，0），∵直线l：，由点到直线的距离公式可得d1=，d2=，则d1•d2=×=9，故答案为：9．13．（3分）已知l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣2）两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是y=﹣x+．【解答】解：过A，B两点的直线的斜率k==3，若两平行直线间的距离最大值，满足平行直线和AB垂直，即直线l1的斜率k=﹣，则直线l1的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即y=﹣x+，故答案为：y=﹣x+14．（3分）已知椭圆（a＞b＞0），M，N 是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，且直线P M、P N 的斜率分别为k1、k2，若|k1k 2|=，则椭圆的离心率为．【解答】解：由题意可设M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（s，t），∵P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，可得，，两式相减可得，∴k1•k2==﹣，结合|k1k 2|=，得，即a2=9b2，∵b2=a2﹣c2，∴a2=9（a2﹣c2），解得8a2=9c2，得c=，∴椭圆的离心率e=．故答案为：三、解答15．已知函数f （x）=2sin x（cos x﹣sin x）．（1）求函数f （x）的单调递减区间．（2）当0＜x＜π时，求f （x）的最大值及相应的x值．【解答】解：（1）由f （x）=2sin x（cos x﹣sin x）=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x），=sin2x+cos2x﹣1，．=sin（2x+）﹣1，令2kπ+＜2x+＜2kπ+，k∈Z．解得：+kπ＜x＜+kπ，k∈Z．∴函数f （x）的单调递减区间[+kπ，+kπ]，k∈Z，（2）∵0＜x＜π，∴＜2x+＜，∴当2x+=，即x=时，f（x）有最大值﹣1；当x=时，f （x）取得最大值．16．已知公比为q的等比数列{a n}（n∈N∗）中，a2=2，前三项之和为7．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）若0＜q＜1，设数列{b n}满足b n=a1⋅a2⋅⋅⋅a n，n∈N∗，求使0＜b n＜1成立的n的最小值．【解答】解：（1）∵公比为q的等比数列{a n}（n∈N∗）中，a2=2，前三项之和为7．∴=7，化为：2q2﹣5q+2=0，解得q=或2．∴=或2n﹣1．即或；（2）由0＜q＜1，取q=，．∴数列{b n}满足b n=a1⋅a2⋅⋅⋅a n=••…•====．由0＜b n＜1，即0＜＜1，解得＜0，解得n＞5．使0＜b n＜1成立的n的最小值为6．17．已知△ABC 的顶点A（0，1），A B边上的中线C D所在直线方程为2x﹣2y ﹣1=0，AC 边上的高BH 所在直线方程为y=0．（1）求△ABC 的顶点B、C 的坐标．（2）若圆M 经过点A、B，且直线y=﹣4与圆M 相切，求圆心M 的坐标．【解答】解：（1）∵AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，∴直线AC的方程为：x=0，又直线CD的方程为：2x﹣2y﹣1=0，联立，解得x=0 y=﹣，∴C（0，﹣），设B（b，0），则AB的中点D（，），代入方程2x﹣2y﹣1=0，解得b=2，所以B（2，0）．（2）∵A（0，1），B（2，0），圆M 经过点A、B，且直线y=﹣4与圆M 相切，设圆心M（a，b），∴，解得或．∴M点坐标为（0，﹣）或（20，）．18．已知函数f （x）=ax3+x2+5．（1）当a=﹣3时，求函数f （x）的单调区间和极值点．（2）若函数f （x）在区间（﹣2，0）上至少有一个极值点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=﹣3时，f（x）=﹣x3+x2+5，则f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞或x＜0，故f （x 的单调递增区间为（0，），递减区间为（﹣∞，0）和（，+∞）．f （x）的极大值为f （）=，极小值为f （0）=5．（2）f′（x）=ax2+2x=x（ax+2），①a＜0时，x=﹣＞0，则函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（﹣，+∞）；单调增区间为[0，﹣]；显然函数f （x）在区间（﹣2，0）上没有极值点，故有f′（2）•f′（3）＜0，即（12﹣4a+3）（27﹣6a+3）＜0，②当a=0时，f（x）=x2+5，显然函数f （x）在区间（﹣2，0）上没有极值点，③a＞0时，x=﹣＜0，f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，0）递减，在（0，+∞）递增，故若f（x）在区间（﹣2，0）内至少有一个极值点，则﹣＜﹣2，解得：a＜1，综上：a∈（0，1）．19．椭圆（a＞b＞0），点A为左顶点，点B为上顶点，直线AB的斜率为，又直线y=k（x﹣1）经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）将|MN|表示为k的函数；（Ⅲ）线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，又点Q（1，0），求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：如图，∵直线AB的斜率为，∴，又直线y=k（x﹣1）经过椭圆C的一个焦点，∴交点F（1，0）．则，解得a2=4，b2=3．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）解：联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．∴|MN|===．（Ⅲ）证明：线段MN的中点的横坐标为，纵坐标为．∴线段MN的垂直平分线方程为，取y=0，得，∴P（），则|PQ|=．则=为定值．20．已知集合M 是非空数集，且满足三个条件：①∀x∈M，∀y∈M，恒有x﹣y∈M；②∀x∈M （x≠0），恒有∈M；③1∈M．（1）求证：∀x∈M，∀y∈M，恒有x+y∈M．（2）求证：当x≠0且x≠﹣1时，若x∈M，则必有∈M （3）求证：∀x∈M，∀y∈M，恒有xy∈M．【解答】（1）证明：因为：∀x∈M，∀y∈M 恒有x﹣y∈M所以令x=y，则有x﹣y=0∈M即0∈M．若x、y∈M，令x=0，则0﹣y∈M，即﹣y∈M．所以x﹣（﹣y）∈M，即x+y∈M．①∀x∈M，∀y∈M，恒有x﹣y∈M是成立的．（2）证明：当x≠0且x≠﹣1时，若x∈M，则恒有∈M．∵∀x∈M，∀y∈M，恒有x﹣y∈M，x+y∈M，令y=1．对∀x∈M，有x+1∈M，若x+1∈M，则∈M．则﹣=∈M即，当x≠0且x≠﹣1时，若x∈M，则必有∈M．（3）证明，由（2）知，当x≠0，x≠﹣1时，若x∈M，则∈M．又∵∀x∈M，有∈M．∴x（x+1）∈M，又∵∀x∈M，∀∈M，有x﹣y∈M，所以x（x+1）﹣x=x2∈M即x∈M，必有x2∈M．又x∈M时，∈M，所以+=∈M，则必有∈M．所以由x∈M，x2∈M，∈M，x+y∈M，知：（x+y）2∈M，x2∈M，y2∈M，∈M，∈M，所以﹣=xy∈M，所以，对∀x∈M，∀y∈M，恒有xy∈M．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
微积分A2016上(A)期末解答
北京理工大学2016级《微积分A 》第一学期期末试题解答及评分标准2016年1月18日一、每小题4分，共20分1. 3ln ；2.22x a -； 3. 2-32；4. C x x x ++-sin cos ；5. ).2(22C x ex +- 二、1 2030303cos 1lim sin lim cos sin lim xxx x x x x x x x x x -=-=-→→→ 3分 61=5分 2 方程两边同时对x 求导，得：)1)(cos(dxdyy x dx dy e y++=， 3分 解得：dx y x e y x dy y )cos()cos(+-+=5分3⎰⎰⎰-+-=-2121222)()(dx x x dx x x dx x x 2分1)23()32(21231032=-+-=xx x x 5分 4 令：y x u +=，则1-=dxdudx dy 2分 代入原方程，得：12+=u dxdu解得：c x u +=arctan 4分 代入，c x y x +=+)arctan(通解为：x c x y -+=)tan( 5分三、由条件知：012lim 2=--+-∞→xb ax x xx x 得 2)1(2l i m 2=+-=∞→xx xx a x 3分 3212l i m 2-=-+-=∞→x x xx b x 6分四、（1）设x x x f sin )(-=则0)0(=f ，0cos 1)(≥-='x x f )0(>x 2分 所以)(x f 是单调增加函数，则有 ,0)0()(=>f x f 即当0>x 时，有x xsin > 3分（2）由（1）知，对自然数n ，有1sin +=>n n n x x x又 1sin 01<=<+n n x x ，所以 {}n x 单调有界必有极限， 5分设a x n n =∞→lim 则有a a sin = 0=a 6分 五、定义域0≠x3)2(4x x y +-='，2 01-=='x y 得；4)3(8xx y +='' ，3 02-==''x y 得。
2016~2017学年北京海淀区高三上学期理科期中数学试卷及答案(1)
（2） 求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间．
17.
已知函数f
(x)
=
，函数 3
x − 9x
g (x)
=
． 2
3x + a
（1） 已知直线l是曲线y = f 在 (x) (0, f (0))处的切线，且l与曲线y = g (x)相切，求a的值；
康 （2） 若方程f (x) = g (x)有三个不同实数解，求实数a的取值范围． 智
B. a > c > b D. c > b > a
6.
设a，⃗ b是⃗ 两个向量，则“∣∣a⃗ +
b∣∣⃗
>
”是“ ∣∣a⃗ − b∣∣⃗
a⃗ ⋅
b⃗ >
0”的（
）．
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.
已知函数f
(x)
=
4 cos x
+
sin2x，下列结论中错误的是（
20. 已知数列{an}是无穷数列，满足lg an+1 = （ |lg an − lg an−1| n = 2，3，4，⋯）．
（1） 若a1 = ， 2 a2 = 3，求a3，a4，a5；
（2）
求证：“数列{an}中存在ak（k
∈
）使得 ∗
N
lg ak
=
0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件；
（2）最小正周期是π
f (x)的单调递增区间为[kπ −
π , kπ +
（ ） π ]
k∈Z
6
3
17. 【答案】（1）a = 27
微积分试卷及答案4套
微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。
2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。
3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。
4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。
5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。
6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。
7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。
8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。
9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。
二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。
2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。
上海大学2015--2016学年春季学期《微积分3》试卷(A卷)
2015 ~ 2016学年春季学期《微积分3》试卷(A 卷)一. 单项选择题(5小题, 每小题3分, 共15分)1. 下列级数中条件收敛的是( ).A.12(1)n n n∞=-∑B. 12(1)1nn n n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑C.121(1)ln n n n∞-=-∑D.11(1)!nn n n n ∞-=-∑ 2. 设10(1,2,3,)n a n n<<=, 则下列级数中肯定收敛的是( ).A. ∑∞=1n naB.∑∞=-1)1(n n naC. ∑∞=2ln n n naD.∑∞=22ln n nn a3. 已知π,0π,()0,π0.x x f x x -≤≤⎧=⎨-≤<⎩ 则()f x 的傅立叶级数在0x =处收敛于( ). A.π2B. πC. π2-D. π-4. 微分方程32y xy x '=+是( ).A. 齐次方程 B . 线性非齐次方程 C. 变量可分离方程 D. 全微分方程 5. 若方程0)(=+'y x p y 的一个特解为x y 2cos =, 则该方程满足初值条件2)0(=y 的特解为( ). A. cos22x +B. cos21x +C. 2cos xD. 2cos2x二. 填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)6. 设幂级数20(1)nn n a x ∞=-∑在点2=x 处条件收敛, 则其收敛域为 .7. 幂级数∑∞=-+12)3(2n nnnx n 的收敛半径为 . 8. 幂级数211ln 2nn n x n n∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑的收敛域为 . 9. 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为 . 10. 设22123,3e xy x y x -=+=++是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解, 且相应齐次方程的一个解为x y =3, 则该二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 .三. 计算题(5小题, 每小题6分, 共30分)11. (6分)判别级数111(e 1)n n n -∞=-的敛散性. 若收敛, 则说明是绝对收敛还是条件收敛. 12. (6分)判别级数1!(0)n nn a n a n ∞=⋅>∑的敛散性. 13. (6分) 将函数f x x x()=--14在x 01=处展开成幂级数, 并求(2016)(1)f.14. (6分)求幂级数121(1)(21)n nn x n n -∞=--∑在开区间(1,1)-内的和函数().S x 15. (6分)设1,01,()0,1 2.x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩试将()f x 展开为余弦级数.四. 计算题(4小题, 每小题6分, 共24分)16. (6分)求微分方程0xy y '+-=的满足初值条件49x y ==的特解. 17. (6分)求微分方程22()01y y y'''+=-的通解. 18. (6分)求微分方程x x y y cos +=+''的通解. 19. (6分)求微分方程2220x y xy y '''-+=的通解.五. 综合题(2小题, 每小题8分, 共16分)20. (8分)设)(x f 有二阶连续导数, 并满足方程0()(1)d 1x f x f t t =-+⎰, 求)(x f .21. (8分)已知函数)(x y y =满足等式y x y +=', 且1)0(=y , 试讨论级数1111n y n n ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 的敛散性.。