对数函数及其性质

2.2.2对数函数及其性质（一）

教学目标

（一） 教学知识点 1． 对数函数的概念；

2． 对数函数的图象与性质． （二） 能力训练要求

1． 理解对数函数的概念；

2． 掌握对数函数的图象、性质； 3． 培养学生数形结合的意识． （三）德育渗透目标

1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题；

3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．

教学重点

对数函数的图象、性质．

教学难点

对数函数的图象与指数函数的关系．

教学过程

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

b N N a a b =⇔=log

2、 )10(≠>=a a a y x

且的图象和性质． a ＞1

0＜a ＜1

图 象

性 质

(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即x =0时，y =1 （4）在 R 上是增函数 （4）在R 上是减函数

3、 我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个

数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y =x

2表示．

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1

万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是y x 2log =.

如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是x y 2log =. 引出新课--对数函数． 二、新授内容： 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 例1． 求下列函数的定义域：

（1）2

log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．

分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域（0，+∞）求解．

解：（1）由2

x >0得0≠x ,∴函数2log x y a =的定义域是{}0|≠x x ；

（2）由04>-x 得4

>-x 得-33<

∴函数)9(log 2

x y a -=的定义域是{}33|<<-x x ．

2．对数函数的图象：

通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 2

1log =的图象：

思考：x y 2log =与x y 2

1log =的图象有什么关系？

3． 练习：教材第73页练习第1题．

1.画出函数y =3log x 及y =x 3

1log 的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.

解：相同性质：两图象都位于y 轴右方，都经过点（1，0）， 这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x =1,y =0. 不同性质：y =3log x 的图象是上升的曲线，y =x 3

1log 的图象

是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数， 后者在（0，+∞）上是减函数.

1

1

1

1

4．对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．

a ＞1

0＜a ＜1

图 象

1

1

1

1

性 质

定义域：（0，+∞） 值域：R

过点（1，0），即当x =1时，y =0 )1,0(∈x 时 0y

)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0

在（0，+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函数

三、讲解范例：

例2．比较下列各组数中两个值的大小：

⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 解：⑴考查对数函数x y 2log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是5.8log 4.3log 22<．

⑵考查对数函数x y 3.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是7.2log 8.1log 3.03.0>．

小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：

①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小． ⑶当1>a 时，x y a log =在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log 1.5log a a <； 当10<． 小结2：分类讨论的思想．

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．

四、练习1。（P73、2）求下列函数的定义域：

（1）y =3log (1-x ) (2)y =

x 2log 1 (3)y =x

311

log 7-

x y 3log )4(= （5)416(log 2x y -= （6）)3(log 1x y x -=-

解：（1）由1-x ＞0得x ＜1 ∴所求函数定义域为{x |x ＜1}；

(2)由2log x ≠0，得x ≠1，又x ＞0 ∴所求函数定义域为{x |x ＞0且x ≠1}；

(3)由31,0310311

>⎪⎩⎪

⎨⎧≠->-x x x 得 ∴所求函数定义域为{x |x ＜31}；

(4)由⎩⎨

⎧≥>⎩⎨⎧≥>10

,0log 03x x x x 得 ∴x ≥1 ∴所求函数定义域为{x |x ≥1}. 练习2、 函数)1,0(2

)1(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点（ ）

3、已知函数)1,0()1(log ≠>+=a a x y a 的定义域与值域都是[0，1]， 求a 的值。（因时间而定，选讲）

五、课堂小结

⑴对数函数定义、图象、性质；

⑵对数的定义， 指数式与对数式互换； ⑶比较两个数的大小． 六、课后作业：

1．阅读教材第70～72页；

2. 《习案》P191～192面。

2.2.2 对数函数及其性质（二）

教学目标

1.教学知识点

1． 对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小； ４．对数形式的复合函数的定义域、值域； ５．对数形式的复合函数的单调性． 2.能力训练要求

4． 掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；

３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域； 5．掌握对数形式的复合函数的单调性； 6．培养学生的数学应用意识． 3.德育渗透目标

1．用联系的观点分析问题、解决问题； ２．认识事物之间的相互转化．

教学重点