随机延迟微分方程半隐式Euler方法的T-稳定性

（３）
２
则方程（２）的解是随机渐近稳定的，即对于任意的初值
函数 ψ，有
Ｐ（ｌｉｍ ｜Ｘ （ｔ，ψ）｜＝０）＝１．
ｔ→∞
2 半隐式 Euler 方法的 T-稳定
定义 1 设微分方程（２）是随机渐近稳定的．如果将一种
带有特定驱动项的数值方法应用于方程（２）得到的数值解 Ｘ ｎ 满足 ｜Ｘ ｎ｜→０，（０→∞），则称该数值方法是 Ｔ－ 稳定的．
由 于 初 值 函 数 ψ （ｔ）是 ［－τ，０］上 连 续 函 数 ，因 此 ｜｜ψ｜｜＝
ｓｕｐ－τ≤ｔ≤０｜ψ（ｔ）｜＜∞．这样当 Ｒ ２（ｈ，ａ，ｂ，ｃ）＜１ 时，有 ｌｉｍ ｎ→∞｜Ｘ ｎ｜＝０，即 数值方法是 Ｔ－ 稳定的．
定理 2 假设条件（３）成立．令
ｈ１＝ｍ
ｉｎ｛
１ ｜ａ｜
，－（２ａ＋２｜ｂ｜－ （ａ＋｜ｂ｜）２
ｃ２）｝，
ｈ２＝ｍ
ｉｎ｛
１ ｜ａ｜
，－ｋ＋
姨ｋ２－８（ａ２－ｂ２）｜ｃ｜ ２（ａ２－ｂ２）
｝，
ｈ３＝
－ｋ－
姨ｋ２－８（ａ２－ｂ２）｜ｃ｜ ２（ａ２－ｂ２）
，
其中 ｋ＝２ａ＋２ａ｜ｃ｜ｃ２．
（１）若步长
ｈ≥
ｃ２ ｂ２
百度文库
，且 ｈ＜ｈ１，则应用于半隐式 Ｅ ｕｌｅｒ 方
第 28 卷 第 5 期（下） 2012 年 5 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 5 May 2012
随机延迟微分方程半隐式 Ｅ ｕｌｅｒ方法的 Ｔ－ 稳定性
件和线性增长条件，则方程（１）有唯一强解 Ｘ （ｔ）．即：Ｘ （ｔ）：［－τ，０］ Ｕ ［０，＋∞］→Ｒ ｍ 是满足方程（１）的、可测的、样本连续的、Ｆｔ－ 可 适应的随机过程．
设方程（２）同样满足对方程（１）的全部假定．应用文献［５］中
的推论 ３．２ 于方程（２），可以得到如下结论．
定理 1 如果系数 ａ，ｂ，ｃ 满 ａ＜－｜ｂ｜－ １ ｃ２，
机微分方程的稳定性，将数值方法应用到线性方程中，并对
得到的差分方程进行讨论，为半隐式 Ｍ ｉｌｓｔｅｉｎ 方法 Ｍ Ｓ－ 稳
定与 Ｇ Ｍ Ｓ－ 稳定性条件提供了依据． 文献 ［３］ 运用 Ｅ ｕ－
ｌｅｒ－Ｍ ａｒｕｙａｍ ａ 方法证明了下列线性微分方程
ｄＷ （ｔ）＝［ａＸ （ｔ）＋Ｂ Ｘ （ｔ－τ）］ｄｔ＋ｃＸ （ｔ）ｄＷ （ｔ），ｔ≥０ Ｘ （ｔ）＝ψ（ｔ），ｔ∈［－τ，０］
（２）
是 Ｍ Ｓ－ 稳定的（即均方稳定），其中 ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ ．
在文献［４］中曹婉蓉运用 Ｅ ｕｌｅｒ－Ｍ ａｒｕｙａｍ ａ 方法研究了带
有延迟项的随机微分方程 Ｔ－ 稳定性，通过将带有特定驱动
项的 Ｅ ｕｌｅｒ－Ｍ ａｒｕｙａｍ ａ 方法的应用到线性方程，并对得到的
差分方程进行讨论，得出 Ｔ－ 稳定的条件．这是一种直接针对
样本路径（即轨道）的稳定性．
本文将着重讨论应用于随机延迟微分方程的半隐式
Ｅ ｕｌｅｒ方法的 Ｔ－ 稳定性．
1 解析解渐近稳定的条件
设（Ω，Ｆ，Ｐ）是滤子空间，其中｛Ｆ ｝ｔ ｔ≥０ 为滤子．在方程（１）中， 假设 Ｗ （ｔ），ｔ≥０ 是 Ｆｔ－ 可适应的且独立于 σ－ 代数 Ｆ０ 的维纳 过程．初值函数 ψ（ｔ），ｔ∈［－τ，０］是连续、Ｆ０－ 可测，且满足 Ｅ ｜｜ψ（ｔ） ｜｜２＜∞，其中 ｜｜ψ｜｜ｓｕｐ－τ≤ｔ≤０｜ψ（ｔ）｜，·｜ ｜表示 Ｒ ｍ 空间中向量的范数， Ｅ （·）表示数学期望．如果函数 ｆ，ｇ 充分光滑且满足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ 条
（１）
其中 τ＞０，ψ （ｔ）∈Ｃ （［－τ，０］，Ｒ ｍ），ｆ：Ｒ ＋×Ｒ ｍ ×Ｒ ｍ →Ｒ ｍ，ｇ：Ｒ ＋×
Ｒ ｍ×Ｒ ｍ→Ｒ ｍ×ｄ，Ｗ （ｔ）是 ｄ－ 维标准维纳过程．
运用数值方法来研究随机延迟微分方程的稳定性是十
分有意义的一项工作，但现有文献为数不多．文献［１］及［２］是
运用半隐式 Ｍ ｉｌｓｔｅｉｎ 数值方法研究了某种带有延迟项的随
随机微分方程是一种重要的数学模型，它在随机理论
特别是经济学、金融学等研究领域中有相当广泛的应用．比
较随机延迟微分方程与确定性微分方程模型，前者往往能
够更加真实地模拟出现实中的问题，可以更加准确的描述
系统当前与过去相关形态的变化规律．
本文讨论的随机延迟微分方程具有如下形式：
ｄＸ （ｔ）＝ｆ（ｔ，Ｘ （ｔ），Ｘ （ｔ－τ））ｄｔ＋ｇ（ｔ，Ｘ （ｔ），Ｘ （ｔ－τ）ｄＷ （ｔ），ｔ≥０ Ｘ （ｔ）＝ψ（ｔ），ｔ∈［－τ，０］
孙洁
（西北大学 现代学院，陕西 西安 710130）
摘 要：本文主要研究了带有延迟项的随机微分方程 Euler 方法的 T- 稳定性.通过应用半隐式 Euler 方法对带有特定驱 动项的线性方程的讨论，得出该方法 T- 稳定性的条件.
关键词：随机延迟微分方程；半隐式 Euler 方法；T- 稳定 中图分类号：Ｏ １７５ 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）05- 0007- 02
＝（｜１＋ａｈ｜＋｜ｂｈ＋ｃ姨 ｈ Ｕ ｎ｜）ｍ ａｘ｜Ｘ ｎ｜，｜Ｘ ｎ－ｍ｜
（５）
下面递推不等式（５）．由于随机变量 Ｕ ｎ 服从两点分布，因
此，只需考虑递推不等式 ｎ＋１ 步的一个平均即可．称这个平
均为平均稳定函数，记为 Ｒ （ｈ，ａ，ｂ，ｃ），这里
Ｒ ２（ｈ，ａ，ｂ，ｃ）＝（｜１＋ａｈ｜＋｜ｂｈ＋ｃ姨 ｈ ｜）（｜１＋ａｈ｜＋｜ｂｈ－ｃ姨 ｈ ｜） （６）
Ｘ ｎ≈Ｘ （ｔｎ），当 ｔｎ≤０ 时，Ｘ ｎ＝ψ（ｔｎ）；△Ｗ ｎ＝Ｕ ｎ 姨 ｈ ，这里 Ｐ（Ｕ ｎ＝±１）
－７－
＝１／２，Ｐ 表示概率．
将差分方程（４）变形为
Ｘ ｎ＋１＝（１＋ａｈ）Ｘ ｎ＋（ｂｈ＋ｃ△Ｗ ｎ）Ｘ ｎ－ｍ，则 ｜Ｘ ｎ＋１｜≤（｜１＋ａｈ｜＋｜ｂｈ＋ｃ△Ｗ ｎ｜）ｍ ａｘ｜Ｘ ｎ｜，｜Ｘ ｎ－ｍ｜
选择服从两点分布的随机变量作为驱动过程，则应用
半隐式 Ｅ ｕｌｅｒ方法于方程（２）得到的差分方程具有如下形式：
Ｘ ｎ＋１＝Ｘ ｎ＋（１＋θ）（ａＸ ｎ＋ｂＸ ｎ－ｍ）ｈ＋θ（ａＸ ｎ＋ｂＸ ｎ－ｍ）ｈ＋ｃＸ ｎ－ｍ△Ｗ ｎ， （４） 其中，ｈ＞０ 表示步长，且对于 ｍ ∈Ｚ＋ 满足 τ＝ｍ ｈ；ｔｎ＝ｎｈ，