§15-7,8 波函数 一维定态问题

说明 E: 粒子能量 ;
——一维定态薛定谔方程
(x): 定态波函数，描写的粒子的状态—定态。
定态特点: 概率密度在空间上的分布稳定.
§15.8 一维无限深方势阱中的粒子
势能函数 U (x) = 0 0≤x≤a

U( x )
U (x) = ∞
x<0或x>a
0 > x 或 x > a 区域∵U (x) = ∞
STM的横向分辨率已达 0.1nm ，纵向分辨达0.01nm , STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
48个Fe原子形成 “量子围栏”， 围栏中的电子形成驻波。
（扫描隧道显微镜）
* Ψ r , t 是Ψ r , t 共轭复数
2 Ψ r , t 称为粒子概率分布函数或称概率密度
在时刻 t、空间 r 点处，体积元 dV 中发现微观
粒子的概率为
2 Ψ r , t dV
• 波函数应满足的条件
1. 自然条件：单值、有限和连续
2. 归一化条件 粒子出现在dV 体积内的概率为
( x ) 2 / a sin(x / a ) 0 x a
求发现粒子的概率为最大的位置．
解：先求粒子的位置概率密度
( x ) ( 2 / a ) sin2 ( x / a ) ( 2 / 2a )[1 cos(2x / a )]
2
当 cos(2x / a ) 1 时， ( x ) 有最大值．
E3 32 E1
E2 22 E1
当n很大时, 量子概率分 布就接近经 典分布
E1
0
波函数
a
x
0
a
例：一维无限深方势阱中粒子的波函数 n ( x ) 的概率。
2 2 nx ), 解：概率密度为: n ( x ) sin ( a a
2
试求粒子处于n=3的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒子
i ( pr Et )
爱因斯坦为了解释光子（光量子）的波粒二象性， 把光波的强度解释为光子出现的概率密度。 光强 I A
2
I 0
2
光强大的地方，光子数目多
波函数的物理意义：某一时刻，在空间某点附近发 现实物粒子的概率正比于粒子波函数绝对值的平方。
2 * r , t Ψ r , t Ψ r , t 02 Ψ
§15-7 波函数
薛定谔方程
薛定谔（Schrödinger 1887–1961） 奥地利物理学家。概率 波动力学的创始人，提 出描述微观粒子运动的 薛定谔方程。1933年获 诺贝尔物理学奖。
微观粒子具有波粒二象性，其运动不能 用经典的坐标、动量、轨道等概念来精确描述。 经典力学中描述宏观物体运动的基本方 程是牛顿第二定律，对微观粒子不能适用。 为此要寻找能够反映微观粒子波粒二象 性、并能描述其运动方程，这个方程就是 薛定谔方程。
一、波函数 薛定谔方程的解，描述微观粒子运动状态物理量。
沿x方向传播平面简谐波波函数
x y( x , t ) A cos t A cos 2 π(t x ) u
用复数形式表示 对于微观粒子，
y( x , t ) Ae
i 2 π (t x / )
3. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函 数为：
( x)
1 3x cos 2a a
( - a≤x≤a )
那么粒子在x = 5a/6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a)． (C) 1 / 2a (B) 1/a． (D) 1 / a 答案A
4. 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
x < 0 区域∵U (x) = ∞ 0 < x < a 区域∵ U (x) = 0
∞ U
Ｅ
0
令
a
x
x > a 区域∵ U (x) =U0
令:
根据波函数的连续、有界条件则D=0。
粒 子 的 波 函 数 和 概 率 密 度
0
2.势垒穿透
经典理论： 1.E >U0的粒子， 能越过。 U0
例3：设质量为m 的微观粒子处在宽为a 的一维无限深 方势阱中,求：(1)粒子在 0< x < a/4 区间中出现的概 率, 并对n = 1 和n =的情况算出概率值。(2) 在哪些
量子态上, a/4 处的概率密度最大? 解：(1) 概率密度 n ( x) 2 2 sin 2 nx a a 粒子在 0< x < a/4 区间中出现的概率
。
的位置为
1 x a 2
1 x a 4
3 x a 4
二、薛定谔方程
经典粒子： 牛顿动力学方程 牛顿运动定律 写出粒子运动方程 微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典 的坐标、动量、轨道等概念来精确描述，应用薛定 谔方程进行描述。
1. 自由粒子的薛定谔方程 自由粒子波函数：
Ψ ( x, t ) = Ψ 0e
i ( px- Et ) h
对波函数偏微分得： - ih ¶ Ψ ( x, t ) = EΨ ( x, t ) ¶t
p2 E= 2m
¶ 2Ψ ( x, t ) - h2 = p 2Ψ ( x, t ) ¶ x2
由
2. 在势场中粒子的薛定谔方程 对处于保守力场U(x, t) 中的粒子：
p2 E= + U ( x, t ) 2m
0
a
x
0 < x < a 区域， U (x) = 0定态薛定谔方程为
令:
根据波函数的连续性:
——能量量子化，
能级，量子数
归一化后:
2.粒子在势阱内出现概率密度分布
经典观点： 粒子在0到a范围内出现概率处处相等。 2 2 2 ( n x) 2 Ψ ( x) sin 量子观点： Ψ (x) a a
U
势
2.E <U0的粒子，不能越过。
量子理论：
垒
1.E > U0 的粒子，也存在被 弹回的概率 —— 反射波。 2.E < U0 的粒子，也可能 越过势垒到达另一区— — 隧道效应。
O
a
隧道效应
3.越过势垒的概率与下式成正比：
扫描隧道显微镜(STM)
原理： 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离极 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定，针尖在垂直于样 品方向的变化，就反映出样 品表面情况。
2
在0≤x≤a范围内可得
2x / a
1 x a 2
5.在一维无限深方势阱中，求得粒子的波函数， 2 nx i ( x) sin( ), (0 x a ) 则当 a a
粒子处于 1 ( n 1) 时，发现粒子概率最大的位置
为
； 2 ( n 2) 时，发现粒子概率最大
P n ( x) dx
2 a 4 0 a 4 0
1 1 n 2 2 nx sin sin dx 4 2 n 2 a a
a
n 1
P 1
n
9 100 25 P2 100
0
2 2 nx n ( x) sin a a
2
0
a
（2）a/4 处的概率密度
2 2 n a 2 2 n a n ( ) sin ( ) sin 4 a a 4 a 4
E h, h P
沿 x 轴运动、能量 E、动量 p 的自由粒子对应 的平面物质波波函数应为
Ψ ( x , t ) Ψ 0e
Байду номын сангаас
i ( Et px )
若粒子为三维自由运动，波函数可表示为
Ψ (r , t ) Ψ 0 e
i ( pr Et )
Ψ (r , t ) Ψ 0 e
单值、有限、连续 ( r , t ) 须满足的条件是____________
其归一化条件是

2
d xd yd z 1 ．
2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则 粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D2倍． (C) 增大D倍． (B) 增大2D倍． (D) 不变． 答案D
2 Ψ ( r , t ) dV
粒子在空间各点的概率总和应为 l，

Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV 1
*
( — 全空间 )
1.设描述微观粒子运动的波函数为 ( r , t ) ，则 *
粒子在t时刻在(x，y，z)处出现的概率密度 表示________________ ；
拉普拉斯算符
2 2 2 x y z
2 2 2 2
薛定谔方程又写为
Ψ 2 Ψ U ( x, y, z, t )Ψ i 2m t
2
薛定谔方程描述非相对论实物粒子在势场中的状 态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。
3.一维定态不含时薛定谔方程 U 与 t 无关，U=U(x)，用分离变量法得：
n 1,2,3,
2 nx sin( ), a a
粒子处于n=3的状态时，在x=0到x=a/3之间找到粒
子的概率:

a/3
0
n ( x ) dx
2
a/3
0
2 2 3x sin ( )dx , a a
a 3 0
1 a/3 6x 1 a 6x (1 cos )dx ( x sin ) 0 a a a 6 a a 6 1 a a 3) 1 ( sin 3 a 3 6 a
薛定谔方程变为
2 2 i Ψ ( x, t ) [ U ( x, t )]Ψ ( x, t ) 2 t 2m x
推广到三维势场中：
Ψ Ψ Ψ Ψ ( 2 2 2 ) U ( x, y, z, t )Ψ i 2m x y z t
2 2 2 2
2
极大值对应
n sin 1 4 n (2k 1) 4 2
n = 2，6，10，· 等量子态。 · ·
二、势垒穿透*
1. “半无限深方势阱”中的粒子。势阱的势能函数： 势能函数 U ( x ) = ∞ x < 0 （Ⅰ区 ） U ( x ) = 0 0≤ x ≤ a （Ⅱ区） Uo U ( x ) = U0 x > a （Ⅲ区）