第15讲 函数与方程(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第15讲：函数与方程一、课程标准1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．二、基础知识回顾1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系4、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝12x－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A . 0B . 1C . 2D . 3 【答案】B【解析】 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝12，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．故选B . 2、已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5)【答案】B【解析】B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.3、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)【答案】B【解析】B ∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．4、(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )A ．ln x ＝1－xB ．e x＝1xC ．2－x 2＝lg|x |D ．cos x ＝|x |＋1【答案】ABD【解析】 对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合；对于B ，设g (x )＝e x－1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x＝1x 有唯一解，符合；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又H (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时cos x ＝x －1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合．5、若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________． 【答案】4【解析】因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.6、 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】a≥94.【解析】 函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，等价于函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点，或两个零点(包括两个相等的零点)．①当函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点时，由于f(0)＝2>0， ∴只需f(4)＝16－8a ＋2≤0，解得a≥94.7、(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】－1 (0，1)【解析】解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．四、例题选讲考点一 判断零点所在的区间例1、（1）若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)（2）已知函数f(x)＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点为x 0，则x 0所在的区间是(C )A . (0，1)B . (1，2)C . (2，3)D . (3，4) （3）若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13【答案】（1） A （2）C. （3） C【解析】（1） ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.(2)∵f (x )＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭在(0，＋∞)为增函数，又f (1)＝ln1－112⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ln1－2<0， f (2)＝ln2－012⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，f (3)＝ln3－112⎛⎫ ⎪⎝⎭>0， ∴x 0∈(2，3)．（3）令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13，则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.变式： (1)已知函数f (x )＝1x －a 为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)（2）已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．（3）设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________.【答案】（1） C. （2）[5，10)（3） (1，2).【解析】（1）由函数f (x )＝1x －a 为奇函数，可得a ＝0， 则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x .又g (2)＝ln 2－1<0，g (3)＝ln 3－23>0， 所以g (2)·g (3)<0.故函数g (x )的零点所在区间为(2，3). （2）令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)．（3）设f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象如图所示.因为f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－1＝－1<0， f (2)＝8－⎝⎛⎭⎫120＝7>0，所以f (1)·f (2)<0，所以x 0∈(1，2).方法总结：确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考点二 判断零点的个数1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为【答案】 5【解析】：因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．变式1、（1）(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3（2）(2020·惠州质检)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0B.1C.2D.3【答案】（1）C （2）C【解析】（1） 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.（2）由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示.由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.变式2、（1）(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．（2）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是__2__； （3）若函数f (x )＝x －1x ，则函数g (x )＝f (4x )－x 的零点是__12__． 【答案】（1）3（2）2（3）12【解析】（1）如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.(2)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，∴在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又∵f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.(3)∵f (x )＝x －1x ，∴f (4x )－x ＝4x －14x －x ＝－4x 2－4x ＋14x. 令f (4x )－x ＝0，得4x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝12，这是方程g (x )＝0的根，即是函数g (x )的零点，∴函数g (x )＝f (4x )－x 的零点是12.方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考点三 与零点有关的参数的范围例3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，因为f ′(x )＝3x 2－3m ，令f ′(x )＝0，则x 2－m ＝0，若m ≤0，则函数f (x )为增函数，不合题意，故m >0，所以函数f (x )在(－∞，－m )上为增函数，在(－m ，0]上为减函数，即f (x )max ＝f (－m )＝－m m ＋3m m －2＝2m m －2，f (0)＝－2<0，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f (x )max ＝2m m －2>0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，即x 3－3mx －2＝0，显然x ＝0不是它的根，所以3m ＝x 2－2x ，令y ＝x 2－2x (x <0)，则y ′＝2x ＋2x 2＝2（x 3＋1）x 2，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(－1，0)时，y ′>0，此时函数单调递增，故y min ＝3，因此，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m >3，即m >1.变式1、（1）、(2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]（2）、(2019·河北省九校第二次联考)若函数f (x )＝kx －|x －e －x |有两个正实数零点，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1eC ．(0，1)D ．(0，e)【答案】（1）D （2）C【解析】（1）令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得e x (x ＋2)＜0，即x ＜－2，此时f (x )为减函数， 由f ′(x )＞0得e x (x ＋2)＞0，即－2＜x ＜0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1，故选D.（2）令f (x )＝kx －|x －e －x |＝0，得kx ＝|x －e －x|，当x >0时，k ＝⎪⎪⎪⎪x －e －xx ＝⎪⎪⎪⎪1－1x e x ， 令g (x )＝1－1x e x ，x >0，则g ′(x )＝1＋x x 2e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g ⎝⎛⎭⎫12＝1－2e <0，g (1)＝1－1e >0，所以在⎝⎛⎭⎫12，1上存在一个a ，使得g (a )＝0，所以y ＝|g (x )|的图象如图所示．由题意知，直线y ＝k 与y ＝|g (x )|的图象有两个交点，所以0<k <1，故选C.变式2、若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．【答案】⎝⎛⎭⎫14，12【解析】依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象．考点四 零点的综合运用例4、设函数f(x)＝||x x ＋2－ax 2(a ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数y ＝f (x )的零点；(2)当a >0时，求证：函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点； (3)若函数y ＝f (x )有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝||x x ＋2－2x 2，由f (x )＝0，得||x x ＋2－2x 2＝0.当x ≥0时，得xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x －1)＝0，解得x ＝0，或x ＝－2＋62(x ＝－2－62<0舍去)； 当x <0时，得－x x ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x ＋1)＝0(x ≠－2)，解得x ＝－2＋22，或x ＝－2－22. 综上所述，函数y ＝f (x )的零点为0，－2＋62，－2＋22，－2－22. (2)证明：当a >0，且x ∈(0，＋∞)时，由f (x )＝0，得x x ＋2－ax 2＝0，即1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax －1＝0.记g (x )＝ax 2＋2ax －1，则函数y ＝g (x )的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，又g (0)＝－1<0，∴函数y ＝g (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，即函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点． (3)易知x ＝0是函数f (x )的一个零点．当x >0时，由f (x )＝0得，x x ＋2－ax 2＝0，即1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax －1＝0，记g (x )＝ax 2＋2ax －1，由a >0知函数g (x )的图像是开口向上的抛物线，又g (0)＝－1<0，∴函数f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．于是，问题等价于f (x )＝||x x ＋2－ax 2(a >0)在(－∞，0)上有且只有两个不同的零点． 当x <0时，由f (x )＝0得，－xx ＋2－ax 2＝0， 即－1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax ＋1＝0(x ≠－2)，由a >0，得x 2＋2x ＋1a ＝0(x ≠－2)，即x 2＋2x ＝－1a (x ≠－2)．作出函数h (x )＝x 2＋2x (x <0)图像，由图像易得：正数a 必须满足－1<－1a <0，从而有a >1.变式：(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．【答案】： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)【解析】作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y ＝f(x)(x>1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e 3，当k<0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1相切于点(0，2)时，函数y ＝f(x)和y ＝kx＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1<k<0时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f(x)(0<x<1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k<－e 时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当－e <k<－1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．解后反思 方程解的个数的判断，常转化为函数图像公共点个数的判断，在转化的过程中，一般将它转化为一个确定的函数与一个不确定的函数，这样，只需要研究不确定的函数的图像的变化情况就可以得到问题的解．转化时有时也会做一些“技术”上的处理，比如本题可以知方程f(x)＝kx ＋2一定有一个零解，在x≠0时，可以转化为直线y ＝k 与曲线y ＝f （x ）－2x 有三个公共点来处理，这样做的好处是在画出两图像后很容易得到k 的取值范围，但曲线画起来难度增加了．方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法，考查推理论证和运算求解的能力．解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题．五、优化提升与真题演练1、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0【答案】： B【解析】法一：(直接法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．2、(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13 C.12D.1【答案】：C【解析】(1)f (x )＝(x －1)2－1＋a (e x －1＋e 1－x )，则f (2－x )＝(2－x －1)2－1＋a [e 2－x －1＋e 1－(2－x )]＝(1－x )2－1＋a (e x－1＋e 1－x )＝f (x )，即f (x )的图象关于直线x ＝1对称.若f (x )有唯一的零点，则只有f (1)＝0，∴a ＝12. 3、【2019年浙江09】设a ，b ∈R ，函数f （x ）若函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点，则（ ） A ．a ＜﹣1，b ＜0B ．a ＜﹣1，b ＞0C ．a ＞﹣1，b ＜0D ．a ＞﹣1，b ＞0【解答】解：当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ；y ＝f （x ）﹣ax﹣b 最多一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，y ′＝x 2﹣（a +1）x ，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上递增，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多一个零点．不合题意；当a +1＞0，即a ＜﹣1时，令y ′＞0得x ∈[a +1，+∞），函数递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如右图： ∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3．故选：C ．4、【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．5、若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.【答案】：1【解析】令x＋log2(a－2x)＋2＝0，则a－2x＝2－(x＋2).依题意，关于x的方程a＝2x＋2－(x＋2)有解.又2x ＋2－(x ＋2)≥22－2＝1.当且仅当x ＝－1时，等号成立. ∴a ≥1，故a 的最小值为1.6、【2018年浙江15】已知λ∈R ，函数f （x ），当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【解答】解：当λ＝2时函数f （x ），显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．7、(2017南通期末） 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________． 【答案】11【解析】解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，1≤x ≤32，4－2x ， 32<x <2.设x ∈[2n －1,2n)(n ∈N *)，则x2n －1∈[1,2)，又f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ， ①当x2n －1∈⎣⎡⎦⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；②当x2n －1∈⎝⎛⎭⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n )，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n)，所以无解． 综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x ∈[2n －1,2n)时，因为f (x )＝12n －1·f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1.令g (x )＝32x .当x ＝32·2n －1时，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1，所以当x ∈[2n －1,2n )时，x ＝32·2n －1为y ＝2xf (x )－3的一个零点．下面证明：当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．当x ∈[2n －1,3·2n －2]时，y ＝f (x )单调递增，y ＝g (x )单调递减，f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以x ∈[2n －1,3·2n －2]时，有一零点x ＝3·2n －2；当x ∈(3·2n －2,2n)时，y ＝f (x )＝12n －1－12n －1⎝⎛⎭⎫x 2n －2－3，k 1＝f ′(x )＝－122n －3，g (x )＝32x ，k 2＝g ′(x )＝－32x 2∈⎝⎛⎭⎫－13·22n －3，－322n ＋1，所以k 1<k 2.又因为f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 解法3 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝32x 的图像，如图，交点在x 1＝32，x 2＝3，x 3＝6，…，x n ＝3·2n －2处取得．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.。