求一元函数极限的若干种方法.

求一元函数极限（含数列）的若干种方法内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理论基础。

我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。

因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。

其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。

本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。

归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。

并列举了大量的实例加以说明。

关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则A number of ways to seek a function limit (including the number of columns)Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit.The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate.Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule目录1 综述 (1)1.1引言 (1)1.2极限的定义 (1)1.3极限问题的类型和方法概述 (1)2 常见的极限求解方法 (2)2.1运用极限的定义证明（估计法） (2)2.2利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限 (3)2.3用两个重要的极限来求函数的极限 (6)2.4利用变量替换求极限 (7)2.5利用迫敛性来求极限 (8)2.6利用洛比达法则求函数的极限 (8)2.7利用泰勒公式求极限 (13)2.8利用微分中值定理和积分中值定理求极限 (14)2.9利用积分定义求极限 (14)2.10求极限其他常用方法 (17)3结论 (17)参考文献 (18)求一元函数极限（含数列）的若干种方法1综述1.1 引言极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用。

因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题。

求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法。

众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握。

本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓读者的思路，起到抛砖引玉的作用。

1.2极限定义数列极限定义：设{}n x 为实数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时有n ε<∣x -a∣则称数列{}n x 收敛于a ，定数a 称为数列{}n x 的极限，并记作lim n x x a →∞=或()n x a n →→∞。

一元函数极限定义：设()f x 是一个一元实值函数，如果对于任意给定的ε>0，存在正数X ，使得对于适合不等式x X >的一切x ，所对应的函数值()f x 都满足不等式.()f x A ε-<││,则称数A 为函数()f x 当x →+∞时的极限，记作 f(x)→A(x→+∞).1.3极限问题的类型和方法概述首先我们将微积分中的极限问题粗略的归结为四种形式： 1、简单的确定式极限2、常见的未定式极限，主要包括以下几种类型：00型，∞∞型，∞⋅∞型，0⋅∞型，1∞型，00型，0∞型等七种形式。

3、n 项和数列的极限，是指通项1nn k k x a ==∑本身就是n 项的和，而其项数又随着n 无限增加。

4、其他形式的极限每一种形式的极限问题都有它相对常规性的求解方法。

如简单的确定式极限，可应用极限四则运算法则以及函数的连续性理论来求解；而常见的未定式极限则可采用等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒公式法等手段求解；对于n 项和数列的极限，一般会采用夹逼定理、级数理论等方法。

当然，在求解极限时，方法的选择并不完全拘泥于极限的形式，可以灵活处理，多种方法交叉使用。

2常见的极限求解方法极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限是从以下两方面着手。

1：考察所给函数是否存在极限。

2：若函数存在极限，则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

2.1运用极限的定义证明（估计法） 2.1.1N ε-方法：要点：要证lim n n x A →∞=,按定义：0,0N ε∀>∃>，当n N >时，有n x A ε-<，就是要根据ε找N ，一般有三种方法：1、（等价代换法求最小的N ） 0ε∀>，将绝对值不等式n x A ε-<做等价代替，解出()n N ε>，然后令()N N ε=,则n N >时，有n x A ε-<2、（放大法）又是n x A ε-<很难解出n,只好将表达式n x A -简化、放大，使之成为n 的一个新函数（记为()H n ）： ()n x A H n -≤。

于是，要n x A ε-<，只要()H n ε<即可。

解不等式()H n ε<，求得()n N ε>，于是令()N N ε=,则n N >时，有n x A ε-<。

3、（分步法）有时n x A -特别复杂，无法进行放大简化。

只有假定n 已足够大，例如已大过某个数1N ,我们发现1n N >时，n x A -可简化放大成()H n ，即()n x A H n -≤，于是解不等式()H n ε<，求得()n N ε>，则令{}1max (),N N N ε=,则n N >时，有n x A ε-<。

对函数极限lim ()x af x A →=有类似的εδ-方法例1:用N ε-方法求证1n =解：（放大法）0ε∀>1ε<（此时解出n 有困难），记1α= （设法寻找不等式将α放大），此式可改写为：22(1)(1)1(1)1 (22)n n n n n n n n ααααα-++=+=++++≥ 得01)n α<<≤=>。

至此要αε<，只要ε<，即241n ε>+。

故令241N ε=+，则n N >1αε=<。

例2：设lim (n n x A →∞=有限数）,试证12x (i)nx x x A n→∞++=解：（分步法）当A 为有限数时，1212......n nX A X A X A x x x A n n-+-+-++-≤因lim n n x A →∞=, 故110,0,2n N n N x A εε∀>∃>>-<时，.从而1121...n .2N X A X A X AN nn ε-+-+--≤+上式 注意这里12...n X A X A X A -+-+-已为定数，因而20N ∃>,当2n N >时112 (2)N X A X A X Anε-+-+-<于是12max{,}N N N =,则n N >时，121x (2222)n x x n N A n n εεεεε++--<+<+=注：1对于例2，+-A =∞∞或时结论仍成立。

当A =∞时结论不成立2例2表明{x }n 收敛，则前n 项的算术平均值必也收敛，且极限值不变。

此题用Stolz 公式（详见P12补充）证明会变得十分简洁。

因lim (n n x A →∞=有限数），所以12x (i)lim 1n n n n x x xA n→∞→∞++==2.2利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限 2.2.1 等价无穷小量代换 所谓等价无穷小量即()f x 和()g x 是无穷小量且0()lim1()x x f x g x →=。

称()f x 与()g x 是0x x →时的等价无穷小量，记作0()()()f x g x x x →。

定理1：设函数(),(),()f x g x h x 在00()u x 内有定义，且有()f x ~()g x .0()x x → ① 若0lim ()(),x x f x g x A →=则0lim ()()x x g x h x A →=② 若()lim,()x x h x B f x →=则0()lim ()x x h x B g x →=证明： ①0()lim ()()limlim ()()1()x x x x x x g x g x h x f x h x A A f x →→→=⋅=⋅= ②可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限。