应用随机过程报告

P{X (n m r) j | X (n m) k}P{| X (n m) k | X (n) i} kI
pi(km) (n) pk(rj ) (n m) kI
(i, j I )
通过对马尔科夫链{X（n),n=0,1,2,…}的 m+r 步转移概率的计算有下面公式成立
与初始状态无关的平稳分布，记 lim Pij (n) ，可以得到如下性质： n 对状态有限的马尔科夫链，如果存在一个正数 m，使对该链状态空间任意的
状态 i、j、 pij (n) 0 ，有
lim P(n) n
这里的π是一随机矩阵，且它的各行元素均相同，即π矩阵中的元素是转移 概率的平稳分布。

j , X(s )

i}

P{X (n )j|X (s )i}P{X (s )i} pij (s , n )pi (s )
i I
i I
其中
Pij (s, n) P{X (n) j | X (s) i}P{X (s) i} pij (s, n) pi(s) 1
关，得到
lim P{X n j} lim pij (n) j
n
n
设马尔科夫链{Xn, n T} 是不可约的，如果 X(n)是正常返的，则该链存在极
限分布，并且其平稳分布是唯一的；如果 X（n）是非周期的，则
lim pij (n) p j 0 n
若 X（n）是具有零常返的或具有非常返的特性，则对于状态空间中的任意
马尔可夫链的研究及其在证券价格预测上的应用
一. 引文
马尔可夫链是一种时间离散、状态离散的随机过程，是预测问题中常用的 一种数学模型。
我们在对实际问题的研究中经常会遇到随时间变化而持续变化的各种过程， 其中一部分的变化过程与过去有着紧密的联系，比如人口增长问题，稳定的人口 增长必定会由一段时间前的人口结构情况所影响；而另一部分的变化过程则与过 去并没有联系，下一步的变化只与现在的变化有关联，比如分子的无规则运动就 是马尔可夫过程的连续化下的情况。
p jj (n) 0 。
n1
n

（2）若状态 j 为常返态，则有 f jj 1 或 p jj (n) ，正常返态有 n1
lim p jj 0 ，零常返态有 lim p jj 0 。
n
n
例如，对于一个非周期、不可约、状态有限的马尔科夫链来说，它是正常返
为详细描述马尔可夫链的概率分布，可以用初始概率P{X(0) = ������0}和条件概 率P{X(n) = ������|X(n − 1) = i}来表示。用������������������(������)来表示当时间为k时，X(k)取值为i的 情况下，在下一个时间k + 1时，X(k + 1)取值为j的概率，称为一步转移概率。 其中：
jI
jI
iI
定义 2.2 在马尔科夫链 X（n）中，如果从 k 时间的 i 状态转移到 k+1 时间
的 j 状态的概率大小与时间 k 无关，用公式表示为
P{X(k 1) j | X(k ) i} pij
则称该链为齐次马尔科夫链。也就是说齐次马尔科夫链的转移概率 pij (s, n) 只取决于时间差 n-s，它与字母 n 和 s 本身的取值大小无关。
若马尔可夫链的状态空间为有限个数状态组成，则所有状态概率组成的列
矩阵记为 p(k) = [������1(k)������2(k) … ������������(k)]������
称为状态概率分布列。根据全概率公式有
������
∑ ������������(������) = 1
������=1
如果马尔可夫链X(n)在s时间处于状态i，在n时间处于状态j的情况下的概率
而在证券市场中，由于政策以及各种信息的干扰，往往两个相同的政策在 不同时间出台后的效果并不一样，甚至可能完全相反，这取决于当前情况下的各 种因素。因此，对于股票价格的预测符合马尔科夫过程的情况。
二. 正文 (一) 马尔可夫过程的基本原理
按照系统的发展，时间可离散化为n = 0,1,2,3 … i, …，对每个系统的状态可 以用随即变量来表示，并且对应一定的概率，称之为状态概率。当系统由某一个 阶段的状态转移到下一个阶段的状态时，在这个转移过程中，存在着转移的概率， 称之为转移概率。如果转移概率只与目前相邻两状态的变化有关，即下阶段的状 态只与现在状态有关，而与过去无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转 移系统过程，成为马尔可夫过程。
有限维马尔可夫链的概率可以用下列算式描述： P{X(0) = ������0, X(1) = ������1, … , X(n − 1) = ������������−1, X(n) = ������������} = P{X(n + 1) = ������|X(0) = ������0, X(1) = ������1, … , X(n − 1) = ������������−1} P{X(0) = ������0, X(1) = ������1, … , X(n − 1) = ������������−1} = P{X(n) = ������|X(n − 1) = ������������−1} … P{X(1) = ������1|X(0) = ������0}P{X(0) = ������0}
到的结果均为 1.
如果马尔科夫链的状态空间是有限的，则称其为有限状态的马尔科夫链，如
果状态空间 I={0,1,2，…}为无限的，则称其为可列状态的马尔科夫链。
因为马尔科夫链的 n（n≥1）步转移概率可记为
p(n) ij
(k
)

P{X (k n)
j|
X (k) i}
说明了马尔科夫链在 k 时间的 i 状态离开运行到 k+1 时间的 j 状态的概率，所以
P������������(������) = ������{X(k + 1) = ������|X(k) = i} 由上述可得一步转移概率������������������(������)具备下面两个性质：
1. ������������������(������) ≥ 0 (������, ������������������)
转移概率具有下面两个性质：
（1)
p(n) ij
(k
)

0
（2)
P(n) ij
(k
)

1
jI
(i, j I ) (i I )
(二) Chapman-Kolmogorov 方程
Chapman 和 A.H.Kolmogorov 分别是英国和苏联的数学家，他们共同研究了
根据马尔科夫链一步转移概率求出它的任意步转移矩阵。我们根据 m 步转移概率
设 P 代表齐次马尔科夫链的一步转移概率 pij 所组成的矩阵，状态空间 I 由 状态{0,1,2，…}所组成，则有
p00 p01 p02
p10 p11 p12
P={ pij }=
p00
p00
p00
pi0 pi1 pi2
由此得到的一步转移概率矩阵 P 的每一个元素是非负的，而且将各行元素相加得
m
步转移概率矩阵，则
C-K
方程
p(mr) ij

p(m) ik
p(r) kj
可以简写
kI
为 p(mr) p(m) p(r)
令 m=r=1，则有 p(2) p(1) p(1) pp ( p)2
再利用数学归纳法可以得到
p(m) p(m1) p(1) ( p)m
用和式表示，则有
定义和全概率公式，得到如下计算过程：
p(mr ij
)
(n)

P{X (n m r)

j|
X (n)
i}
P{X (n m r) j, X (n m) k | X (n) i} kI
P{X (n m r) j, X (n m) k, X (n) i}
的状态 i, j I ，有
lim pij (n) p j 0 n
这说明，对于非周期的正常返马尔科夫链，其转移概率为正的，即该链具有 遍历性。而零常返或非常返马尔科夫链的极限概率为 0，是由于状态空间中状态
个数为无穷，该链可能一直朝着一个方向运动而不返回。因而可以用 lim pij (n) n
p ( 2 ) ij

pik pkj
kI
为了方便起见，就用字母 P 来表示一步转移概率矩阵 P(1) 。
综合上述可知，对于齐次马尔科夫链，m 步转移概率矩阵可以通过一步转移 概率矩阵 P 独自相乘 m 次可以得到，当然也可以通过 C-K 方程求得。
(三) 极限概率与平稳分布
根据遍历性可知，当转移的步数足够大时马尔科夫链的转移概率将达到一个
2. ∑������������������ ������������������(������) = 1 (i ∈ I)
对于马尔可夫链{������(������), n = 0,1,2,3 … … }，假设当时间n = k时，X(k)位于状态
i，将X(k) = i的概率记为������������(������)，称为马尔可夫链的状态概率，有时也写作 P{X(k) = i}。
的值来辨别状态 j 的常返性。 对于状态可列的马尔科夫链，经过长时间转移进入平稳分布后，j 状态的平
均返回时间为其极限概率的倒数，即
i 1/ i 通过以上我们可以得到归纳出判断马尔科夫链中状态 j 特征的准则为：

lim （1）若状态 j 为非常返态，则有 f jj 1 或 p jj (n) ，
称为马尔可夫链的n → s步转移概率，记为������������������(������, ������)，即
同样可以得到
������������������(������, ������) = ������{X(n) = ������|X(s) = i}
p j (n)

p{X (n )
i I
设{������(������), n = 0,1,2,3 … … }是一个状态空间为离散，参数为非负的随机过程， 那么{������(������)}满足 P{X(n + 1) = ������|X(0) = ������0, X(1) = ������1, … , X(n − 1) = ������������−1, X(n) = ������} = P{X(n + 1) = ������|X(n) = ������} 就称{������(������)}为马尔可夫链。
如果马尔科夫链是齐次的，则 C-K 方程可以相应地表示为
p ( m r ) ij

p p (m) (r ) ik kj
kI
(i, j I )
C-K 方程说明，对于步数很高的转移概率可用低步数甚至是可以用一步转移
概率来表示，这就提供了一种计算转移概率的基本方法。
如果用
p(m) 表示

kI
P{X (n) i}
P{X (n m r) j, X (n m) k, X (n) i} P{X (n m) k, X (n) i}
kI
P{X (n m) k, X (n) i}
P{X (n) i}
P{X (n m r) j | X (n m) k, X (n) i}P{| X (n m) k | X (n) i} kI
p ( m r ij
)
(n)

pi(jm) (n) pk(jr) (n m)
kI
(i, j I )
这个公式就是 Chapman-Kolmogorov 方程，也即 C-K 方程，可以简写为
pij (m r) pik (n) pkj (n m) kI
(i, Hale Waihona Puke Baidu I )
结论 1 转移概率矩阵 P 的极限矩阵π满足下列关系
（1） i pij j , i 0,即P iI
（2） i 1 iI
(i I )
而且该极限矩阵π是唯一能满足上述两个关系的矩阵。
结论 2 马尔科夫链 X（n）的极限概率所取的值大小与其起始状态的分布无