浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目与答案)

1.（本题满分15 分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三

角形。E,F ,O分别为PA, PB, PC 的中点，AC 16, PA PC 10 。

（I ）设 C 是OC 的中点，证明：PC // 平面BOE ；

（II ）证明：在ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA , OB 的距

离。

z

y

x

2.如图，在棱长为 1 的正方体ABCD －A1B1C1D1 中，P 是侧棱CC1 上的一点，CP=m ，

（Ⅰ）试确定m，使得直线AP 与平面BDB 1D1 所成角的正切值为 3 2 ；

（Ⅱ）在线段A1C1 上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q 在平面APD 1 上的射影

垂直于AP，并证明你的结论。

3. 如图甲，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，E，D 分别为AB 、AC 靠近B、C 的三等分

点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面

AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。

（I）求证BC⊥平面AFG ；

（II）求二面角B－AE －D 的余弦值．

.

4 在如图所示的几何体中，EA 平面ABC，DB 平面ABC，AC BC ，AC BC BD 2AE ，M是AB的中点．

（1）求证：CM EM ；

D

（2）求CM与平面CDE所成的角

E

C

A

M

B

4.如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BCF CEF ，AD 3，E F 2．

90

D

（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；

A

C （Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角 A EF C 的大小为60 ？

B

F E

（第18 题）

2

5.如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF= FD 4.沿直

3

线EF 将AEF 翻折成A' EF , 使平面A' EF 平面BEF.

（I）求二面角A' FD C 的余弦值；

（II ）点M ，N 分别在线段FD，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使 C

与A' 重合，求线段FM 的长.

6.如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

7.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为 2 3的菱形，

∠BAD=120 °，且PA⊥平面ABCD ，PA= 2 6 , M ，N 分别为PB,PD 的中点。

（1）证明：MN ∥平面ABCD ；

（2）过点 A 作AQ ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q 的平面角的余弦值。

8.如图，在四面体 A BCD 中，AD 平面BCD ，

BC CD ，AD 2 ，BD 2 2 ．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ 3QC ．

（Ⅰ）证明：PQ / / 平面BCD ；

（Ⅱ）若二面角 C BM D 的大小为60 ，求BDC 的大小．

9.如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE 平面ABCD ，AD / / BC ，AB 2，DE EF 1．

E

o BAD 60 ，

（1）求证：BC / /EF ；

（2）求三棱锥 B DEF 的体积．

F

D

C

B

A

（第16 题图）

10.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，已知CA CB 1 ，AA1 2 ，o

BCA 90 ．

（1）求异面直线B A 与CB1夹角的余弦值；

1 C1

B1

（2）求二面角B AB C 平面角的余弦值．

1

A1

C

B

A

（第22 题图）

12( 本小题14 分) 在等腰梯形ABCD 中，AD / / BC ，

1

AD BC ，ABC 60 ，N 是BC 2

的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D （如图）．

C

（1）求证：AC 平面ABC ；

（2）求证： C N / / 平面ADD ；

（3）求二面角 A C N C 的余弦值．

D

A D

B N C

13. （本题满分14 分）如图，在四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD// BC，∠ADC =90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上

的点，PA=PD=2，BC= 1

2

AD =1，CD= 3 ．

（）求证：平面⊥平面；I PQB PAD

P

（II ）若二面角M- BQ- C 为30°，设PM =tMC ，M

试确定t 的值

D

Q

C

A B