2020年上海市高考数学模拟试题

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2020年上海市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)

2020年上海市高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={1,2，3，4，5，6}，A ={1,2，3，4}，B ={3,4，5，6}，则B ∩∁U A( )A. {5,6}B. {3,4，5，6}C. {1,2，5，6}D. ⌀2. 设i 为虚数单位，则|1−i|=( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ̂=0.6x +1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A. 66%B. 67%C. 79%D. 84%4. 设a =log 2e ，b =ln2，c =log 1213，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <b <a5. 在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. −12B. 12C. −√32 D. √326. 函数f(x)=e −x −e xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.7. 公元960年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面。

北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。

1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11至14世纪出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选两部至少有一部不是杨辉著作的概率为( )A. 35B. 710C. 45D. 9108. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A. s >12B. s >35C. s >710D. s >459. 要得到函数y =sin(2x +π6)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移π12个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度10. 在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7=( )A. 10B. 18C. 20D. 2811. 已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点、右顶点，点B(0,b)满足FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 1+√32 D. 1+√5212. 已知函数f(x)=e x ，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，下列关于f(x)的性质：①(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0； ②y =f(x)不存在反函数；③f(x1)+f(x2)<2f(x1+x2)；2④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根，其中正确的是()A. ①②B. ①④C. ①③D. ③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x3−ln(2x−1)在点(1,1)处的切线方程为__________．14.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2018，a2+a4=−2a3，则S2019=______．15.三棱锥S−ABC的顶点都在同一球面上，且SA=AC=SB=BC=2√2，SC=4，则该球的体积为______ ．16.抛物线y2=8x的焦点为F，点A(6,3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长的最小值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.第一次大考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科．班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311(1)请完成2×2列联表参考公式和临界值表K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)根据列联表的数据能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系？18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−c=2bcos C．+B)的值；(1)求sin(A+C2(2)若b=√3，求c−a的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.设函数f(x)=x3+ax2+4x+1在x=−2时取得极值．(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)在区间[−3,0]上的最值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√22)，且焦距为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点P(−2,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点G(0,−12)，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP ：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C 交于O ，P 两点，射线OQ ：θ2=α+π2与直线l 交于Q 点，若△OPQ 的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23. 已知正实数x ，y ，z 满足x +y +z =3xyz ，求xy +yz +zx 的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，A={1,2，3，4}，B={3,4，5，6}，∴∁U A={5,6}，则B∩∁U A={5,6}，故选：A．由全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：|1−i|=√12+(−1)2=√2．故选：B．直接利用复数的模的求法求解即可．本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．3.答案：D解析：本题考查线性回归方程，基础题．把x=5代入回归直线方程可求出人均消费额，进而可求人均消费额占人均工资收入的百分比．解：∵y与x具有线性相关关系，满足回归方程y=0.6x+1.2，该城市居民人均工资水平为x=5，∴可以估计该市的职工人均消费额y=0.6×5+1.2=4.2，=84%，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为4.25故选D．4.答案：B解析：【试题解析】解：∵c =log 23>log 2e =a >1>ln2=b ． ∴b <a <c ．故选：B ．利用指数对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：∵△ABC 中，AB =AC =1，BC =√3， ∴cosA =AB 2+AC 2−BC 22⋅AB⋅AC=1+1−32×1×1=−12，∴A =120°，∴向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1×1×cos120°1=−12，故选：A ．根据余弦定理求出角A 的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．本题主要考查向量投影的计算，根据定义转化向量数量积是解决本题的关键．6.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断解：函数f(x)=e −x −e xx 2，可得：f(−x)=e x −e −xx =−e −x −e xx =−f(x)，则函数f(x)是奇函数，排除A ；∵f(1)=e −1−e 1<0，故排除B ，C故选：D ．解析：本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．利用列举法即可求出结果．解：由题意5部专著中有3部是杨辉所著，标号为a ，b ，c ，另外两部分别标号为x ，y ，从5部专注中选择2部的基本事件有：(a,b ),(a,c ),(a,x ),(a,y ),(b,c ),(b,x ),(b,y ),(c,x ),(c,y )，(x,y)共有10个，所选2部专著至少有一部不是杨辉著作包含的基本事件有： (a,x ),(a,y ),(b,x ),(b,y ),(c,x ),(c,y )，(x,y)共有7个，所以所选两部至少有一部不是杨辉著作的概率为710．故选B ．8.答案：C解析：本题考查程序框图，考查计算能力，属基础题．解：程序框图的执行过程如下： s =1，k =9； s =910,k =8； s =910×89=810,k =7；s =810×78=710,k =6，循环结束，故可填入的条件为s >710．故选C ．9.答案：A解析：解：将函数y =sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y =sin2(x +π12)=sin(2x +π6)的图象，根据函数y =Asin(ωx +⌀)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +⌀)的图象变换规律，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题．根据等差数列性质可得：3a 5+a 7=2(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)，即可得到结论．解：由等差数列的性质得：3a 5+a 7=2a 5+(a 5+a 7)=2a 5+(2a 6)=2(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)=20，故选：C ．11.答案：D解析：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a 和c 的关系．根据题意判断出FB ⊥AB ，利用勾股定理求得a 和c 关系，整理成关于e 的方程求得双曲线的离心率．解：∵FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴FB ⊥AB ，∴|FB|2+|AB|2=|FA|2，即c 2+b 2+a 2+b 2=(a +c)2，整理得c 2−a 2−ac =0，即有e 2−e −1=0，求得e =1±√52(舍负) ∴e =1+√52，故选：D ．12.答案：B解析：解：函数f(x)=e x，函数是单调增函数，如果x1，x2∈R，且x1≠x2，①(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0；说明函数是增函数，满足题意，∴①正确；②y=f(x)不存在反函数；函数有反函数函数必须是单调函数，∴②不正确；)的函数是凸函数，而f(x)=e x是凹函数；∴③不正确；③具有性质f(x1)+f(x2)<2f(x1+x22④方程f(x)=x2，即e x=x2，函数f(x)=e x，g(x)=x2.在(0,+∞)上没有交点，就是说分没有实数根，∴④正确．综上正确的结果为：①④．故选：B．利用函数的单调性判断①的正误；通过函数具有反函数的性质判断②的正误；利用函数的凹凸性判断③的正误；函数的零点判断④的正误．本题考查函数的基本性质的应用，函数的单调性、反函数函数的凹凸性以及函数的零点，基本知识考查．13.答案：x−y=0解析：本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．解：∵y=f(x)=x3−ln(2x−1)，∴f′(x)=3x2−2，当x=1时，f′(1)=3−2=1，得切线的斜率1，所以k=1;2x−1所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：y−1=1(x−1)，即x−y=0．故答案为x−y=0．14.答案：2018解析：根据等比数列的性质求解S n，即可求解S2019的值本题主要考查等比数列的应用，等比数列前n项和的求法，属于基础题．解：由题意，a1=2018，a2+a4=−2a3，即2018q+2018q3=−2×2018q2．解得：q=−1．那么S n=a1(1−q n)1−q则S2019=2018(1+1)1+1=2018．故答案为：201815.答案：323π解析：解：由题意，SA=AC=SB=BC=2√2，SC=4，所以AC2+SA2=SC2，BC2+SB2=SC2，SC是两个截面圆SAC与SCB的直径，所以SC是球的直径，球的半径为2，所以球的体积为43π⋅23=323π．故答案为：323π．通过已知条件，判断SC为球的直径，求出球的半径，即可求解球的体积．本题考查球与球的内接多面体关系，球的体积的求法，推出球的直径是解题的关键，考查计算能力．16.答案：13解析：本题主要考查圆锥曲线，可根据抛物线准线方程求出焦点的坐标，再根据三角形PAF的周长为PF+ FA+PA．因为抛物线方程为y2=8x，所以2p=8，p=4，所以该抛物线的焦点坐标为(p2,0)，则F(2,0)，该抛物线准线方程为x=−p2=−2，三角形PAF的周长为C=PF+ FA+PA因为．A(6,3)，F(2,0)，所以FA=√(6−2)2+(3−0)2=5，所以C=PF+PA+5．因为根据抛物线定义，P点到准线x=−2的距离等于PF，则若求周长C最小值，即求P点到准线r=−2的距离与P4长度之和的最小值，观察可知，当P点为过A点作y轴垂线与抛物线的交点时，P点到准线x=−2的距离加PA长度之和最小为6+2=8.所以周长最小值为8+5=13.故答案为13．17.答案：解：(1)由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为311．∴两个班优秀的人数=311×110=30，∴乙班优秀的人数=30−10=20，甲班非优秀的人数=110−(10+20+30)=50．即可完成表格．优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110(2)K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(c+a)(b+d)=110×(10×30−20×50)230×80×50×60≈7.486>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关系．解析：本题考查了列联表、独立性检验．(1)由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为311，可得两个班优秀的人数，乙班优秀的人数=30−10=20，甲班非优秀的人数=110−(10+20+30)=50.即可完成表格．(2)根据列联表中的数据可得：K2，和临界值表比对后即可得到答案．18.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a−c=2bcosC=a2+b2−c22ab×2b，整理可得，a2+c2−b2=ac，cosB=a2+c2−b22ac =12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB=√32，所以asinA =csinC=bsinB=2，从而a=2sin A，c=2sin C．所以c−a=2sinC−2sinA=2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)．因为A+C=2π3，所以0<A<2π3，从而−π3<π3−A<π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c−a的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)f ′(x)=3x 2+2ax +4，因为f(x)在x =−2处取得极值，所以f ′(−2)=0，解得a =4，当a =4时，f ′(x)=3x 2+8x +4，令f ′(x)=0，得x =−2 或x =−23，当x <−2时，f ′(x)>0，f(x)在上单调递增，当−2<x <−23时，f ′(x)<0，f(x)在(−2,−23)上单调递减，当x >−23时，f ′(x)>0，f(x)在上单调递增，所以当a =4时，f(x)在x =−2取得极大值． (2)由(1)可列表得由表可知，在[−3,0]上，当x =−2时函数f(x)取得极大值f(−2)=1，当x =−23时函数f(x)取得极小值f(−23)=−527，又由于f(−3)=−2，f(0)=1，所以函数f(x)在[−3,0]上的最大值是1，最小值是−2．解析：本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力． (1)求出函数的导数，利用函数的极值点，列出方程即可求出a 的值；(2)利用导函数，判断函数的单调性，然后求解极值以及端点值，即可得到函数的最值．21.答案：解：(1)由2c =2得c =1，a 2=b 2+c 2=b 2+1，已知椭圆C ：x 2a+y 2b =1(a >b >0)过点(1,√22)，则1b 2+1+12b 2=1，解得：b 2=1，a 2=2， ∴椭圆的标准方程为：x 22+y 2=1；(2)由题意可知设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为y =k(x +2)，联立方程{y =k(x +2)x 22+y 2=1, 整理得：(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−2=0，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，AB 的中点M(x 0,y 0)，则x 1+x 2=−8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，则y 1+y 2=k(x 1+2)+k(x 2+2)=4k1+2k 2， △=(8k 2)2−4(1+2k 2)(8k 2−2)>0，解得：−√22<k <√22，则x 0=−4k 21+2k 2，y 0=2k1+2k 2，由|GA|=|GB|，则GM ⊥AB ，则k GM=y0+12x0=2k1+2k2+12−4k21+2k2=−1k，(k≠0)，解得：k=2−√22或k=2+√22(舍)，当k=0时，显然满足题意；∴直线l的方程为：y=2−√22(x+2)或y=0．解析：(1)由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)将直线代入椭圆方程，由△>0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)直线l的参数方程是{x=ty=t+1(t为参数)，转换为直角坐标方程为：x−y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是为参数)，转换为直角坐标方程为：(x−2)2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S△OPQ=12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，所以|OP|=4cosπ4=2√2．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：因为x+y+z=3xyz，所以1xy +1yz+1zx=3，又因为(xy+yz+zx)⋅(1xy +1yz+1zx)≥(1+1+1)2=9，所以xy+yz+zx≥3，当且仅当x=y=z=1时取等号，所以xy+yz+zx的最小值为3．解析：本题考查柯西不等式的应用，考查考生的运算求解能力以及等价转化思想．属中档题．利用柯西不等式求解即可．。

2020年上海市高考数学模拟试卷6套(附答案解析)

高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半，则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%，可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0，可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ），，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一二三总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是（）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线：，过点作直线，使与有且仅有一个公共点，则满足上述条件的直线共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ．的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。

上海市2020〖人教版〗高考数学模拟试卷文科

上海市2020年〖人教版〗高考数学模拟试卷文科创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=.2.（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为.3.（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=.4.（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=.5.（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=.6.（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=.7.（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=.8.（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为.9.（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为.10.（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.11.（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.12.（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为.13.（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是.14.（4分）已知函数f（x）=sinx.若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为.二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C.＜D.＞17.（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A. B. C. D.18.（5分）设 P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A.﹣1B.﹣C.1D.2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小.20.（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由.21.（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q 地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地.（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由.22.（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S.（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变.23.（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*.（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且.参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}.【分析】由A与B，找出两集合的交集即可.【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π .【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期.【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π.【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题.3.（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=.【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出.【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=.∴z=.故答案为：.【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题.4.（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）= ﹣.【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求.【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=.∴.故答案为：.【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题.5.（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 .【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可.【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16.【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键.6.（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 .【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值.【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4.【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题.7.（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 .【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论.【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2.故答案为：2.【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.8.（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2 .【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可.【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2.经过验证：x=1不满足条件，舍去.∴x=2.故答案为：2.【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题.9.（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3 .【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大.由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3.【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法.10.（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）.【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案.【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120.【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算.11.（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于 240 （结果用数值表示）.【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求.【解答】解：由（2x+）6，得=.由6﹣3r=0，得r=2.∴常数项等于.故答案为：240.【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题.12.（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为.【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程.【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为.故答案为：.【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.13.（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是 3+.【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可.【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+.故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d （r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）.14.（4分）已知函数f（x）=sinx.若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为 8 .【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值.【解答】解：∵y=sinx对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f （x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8.故答案为：8.【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j （i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max ﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题.二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可.【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键.16.（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A.（x+8）（x2+2x+3）＜2B.x+8＜2（x2+2x+3）C.＜D.＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论.【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B.【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题.17.（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O 逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A. B. C. D.【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可.【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D.【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键.18.（5分）设 P n（x n，y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（）A.﹣1B.﹣C.1D.2【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出.【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1.∴=﹣1.故选：A.【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小.【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积.根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC.【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos.【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角.20.（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由.【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断.【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数.（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增.【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.21.（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q 地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地.（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由.【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；（2）求出t2=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可.【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3.【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法.22.（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S.（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变.【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值.【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=.所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=.方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=.综上所述，m=﹣，S=.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题.23.（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*.（1）若b n=3n+5，且a1=1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即a n0≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且.【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围.【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1，∴，∴.∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得.∴λ∈（）.②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件.③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值.综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件.【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

2020届上海市高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)(精品)

普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2020年上海市高考数学模拟试卷和答案(2)(4月份)

2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）若集合A＝{x|y＝，x∈R}，B＝{x||x|≤1，x∈R}，则A ∩B＝．2．（4分）若函数，，则f（x）+g（x）＝．3．（4分）若sinα＝且α是第二象限角，则＝．4．（4分）若函数f（x）＝（x≥0）的反函数是f﹣1（x），则不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为．5．（4分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是单调递减的，且f（1）＝0，则使f（x）＜0的x的取值范围是．6．（4分）已知f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．7．（5分）设P是曲线（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D，若在其12条棱中随机地取3条，则这三条棱两两是异面直线的概率是（结果用最简分数表示）9．（5分）若函数最大值记为g（t），则函数g（t）的最小值为．10．（5分）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记m i＝•（i＝1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．11．（5分）设函数f（x）＝（其中a＞0，a≠1），若不等式f（x）≤3的解集为（﹣∞，3]，则实数a的取值范围为．12．（5分）已知n∈N*，从集合{1，2，3，…，n}中选出k（k∈N，k ≥2）个数j1，j2，…，j k，使之同时满足下面两个条件：①1≤j1＜j2＜…j k≤n；②j i+1﹣j i≥m（i＝1，2，…，k﹣1），则称数组（j1，j2，…j k）为从n个元素中选出k个元素且限距为m的组合，其组合数记为．例如根据集合{1，2，3}可得．给定集合{1，2，3，4，5，6，7}，可得＝．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．3π+4D．2π+4 14．（5分）过抛物线y2＝8x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（）A．有且只有一条B．有两条C．有无穷多条D．必不存在15．（5分）若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要16．（5分）对于正实数α，记Mα是满足下列条件的函数f（x）构成的集合：对于任意的实数x1，x2∈R且x1＜x2，都有﹣α（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α（x2﹣x1）成立．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2，则f（x）•g（x）∈B．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2且g（x）≠0，则∈C．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2，则f（x）+g（x）∈D．若f（x）∈M α1，g（x）∈Mα2且α1＞α2，则f（x）﹣g（x）∈三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在锐角△ABC中，sinA＝sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若＝12，求△ABC的面积．18．（14分）某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24πcm，高为30cm，圆锥的母线长为20cm．（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？19．（14分）某企业参加A项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元．根据现实的需要，从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润10（a﹣）万元（a＞0），A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%．（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围．20．（16分）教材曾有介绍：圆x2+y2＝r2上的点（x0，y0）处的切线方程为，我们将其结论推广：椭圆＝1（a＞b＞0）上的点（x0，y0）处的切线方程为，在解本题时可以直接应用，已知：直线x﹣y+＝0与椭圆E：＝1（a＞1）有且只有一个公共点；（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M（2，m），当m变化时，求△OAB面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点M（2，m）作直线l与该椭圆E 交于C、D两点，在线段CD上存在点N，使成立，试问：点N是否在直线AB上，请说明理由．21．（18分）已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝a n•a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）设数列{b n}满足：b n＝，且（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）＝，求正整数k的值；（3）若m、k均为正整数，且m≥2，k＜m．在数列{c k}中，c1＝1，＝，求c1+c2+…+c m．2020年上海市高考数学模拟试卷（2）（4月份）答案与解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y＝，得到x﹣1≥0，解得：x≥1，即A＝{x|x≥1}，由B中不等式变形得：﹣1≤x≤1，即B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝{1}，故答案为：{1}．2．【分析】容易求出f（x），g（x）的定义域，求交集便可得出f（x）+g（x）的定义域，并可求得f（x）+g（x）＝．【解答】解：；解得，0≤x≤1；∴（0≤x≤1）．故答案为：．3．【分析】由θ是第二象限角，及sinθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ的值，进而确定出tanθ的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan 的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝﹣，∴tanα＝＝﹣，即3tan2﹣8tan﹣3＝0，解得：tan＝﹣（不合题意，舍去．因为α是第二象限角，是第一象限或第三象限角，tan＞0）或tan＝3，则tan（）＝＝＝．则＝2．故答案为：2．4．【分析】由y＝f（x）＝（x≥0），求出f﹣1（x）＝x3，x≥0，由此能求出不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集．【解答】解：设y＝f（x）＝（x≥0），则x＝y3，x，y互换，得f﹣1（x）＝x3，x≥0，∵f﹣1（x）＞f（x），∴，∴x9＞x，∴x8＞1，解得x＞1．∴不等式f﹣1（x）＞f（x）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．5．【分析】根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，得当x＜0时，f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，0），再根据函数为偶函数在（0，+∞）上为增函数，得到当f（x）＜0＝f（1）时，0＜x＜1，最后结合f（0）＝﹣f（0）＝0，得到x的取值范围．【解答】解：首先，当x＜0时，根据f（x）在（﹣∞，0]上是单调递减的所以f（x）＜0＝f（﹣1），可得﹣1＜x＜0又∵偶函数图象关于y轴对称∴在（﹣∞，0]上是单调递减的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数因为f（1）＝0，所以当f（x）＜0时，0＜x＜1而f（0）＝﹣f（0）＝0所以使f（x）＜0的x的取值范围是（﹣1，1）故答案为：（﹣1，1）6．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω•≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）＝2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．7．【分析】由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P （x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【解答】解：曲线（θ为参数），即有，由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），可得，代入曲线方程，可得2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，即为8x2﹣4y2＝1．故答案为：8x2﹣4y2＝1．8．【分析】正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，先求出基本事件总数，再求出这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这三条棱两两是异面直线的概率．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D，在其12条棱中随机地取3条，基本事件总数n＝＝220，这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数m＝8，∴这三条棱两两是异面直线的概率是p＝＝＝．故答案为：．9．【分析】化简sinx+＝sinx+3+﹣3，从而可得0≤sinx+3+﹣3≤，区间[0，]的中点值为，故讨论t与的大小，从而求得g（t）＝f max（x）＝，从而求值．【解答】解：∵sinx+＝sinx+3+﹣3，∵﹣1≤sinx≤1，∴2≤sinx+3≤4，∴3≤sinx+3+≤，∴0≤sinx+3+﹣3≤，∴g（t）＝f max（x）＝，∴当t＝时，函数g（t）有最小值为；故答案为；．10．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i＝6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B 3C3的方程为y＝﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i＝6，即有m i＝•＝3x i+y i＝（x i+y i）＝18，则m1+m2+…+m10＝18×10＝180．故答案为：180．11．【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【解答】解：a＞0，且a≠1，设函数f（x）＝，若不等式f（x）≤3的解集是（﹣∞，3]，当x≥1时，|x2﹣2x|≤3，可得﹣3≤x2﹣2x≤3，解得1≤x≤3；当x＜1，即x∈（﹣∞，1）时，a x≤3，不等式恒成立可得1＜a≤3．综上可得1＜a≤3．∴实数a的取值范围为：（1，3]．故答案为：（1，3]．12．【分析】由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【解答】解：由题意得即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故＝4+1+5＝10，故答案为：10．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【分析】由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个半圆柱．∴该几何体的表面积＝π×12+π×1×2+2×2＝4+3π．故选：C．14．【分析】设出AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），若l无斜率，则l方程为x＝2，显然不符合题意．若l有斜率，设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），联立方程组，消元得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，∴．故选：B．15．【分析】设z＝x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，可得|z|，充分性不成立；反之成立．【解答】解：设z＝x+yi，由|x|≤1，|y|≤1，则|z|＝，故充分性不成立；由，则x2+y2≤1，所以|x|≤1，|y|＜1，即必要性成立．故选：B．16．【分析】由题意知，从而求得．【解答】解：对于﹣α1（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜α1（x2﹣x1），即有，令，则﹣α＜k＜α，若，即有﹣α1＜k f＜α1，﹣α2＜k g＜α2，所以﹣α1﹣α2＜k f+k g＜α1+α2，则有，故选：C．三、解答题（共5小题，满分76分）17．【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出＝，从而可由得出，这样即可得到A＝；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，＝＝＝＝；又A为锐角；∴；（2）；∴；∴＝．18．【分析】（1）笼具的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积；（2）求出笼具的表面积即可，笼具的表面积包括圆柱的侧面，上底面和圆锥的侧面．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h 1，则2πr＝24π，解得r＝12cm．h1＝cm．∴笼具的体积V＝πr2h﹣＝π×（122×30﹣×122×16）＝3552π≈11158.9cm3．（2）圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720cm2，圆柱的底面积S2＝πr2＝144πcm2，圆锥的侧面积为πrl＝240πcm2．故笼具的表面积S＝S1+S2+S3＝1104πcm2．故制造50个这样的笼具总造价为：元．答：这种笼具的体积约为11158.9cm3，生产50个笼具需要元．19．【分析】（1）根据题意，列出不等式10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，求解即可；（2）求出x的范围，得出不等式10（a﹣）x≤10（1000﹣x）（1+0.2x%），整理可得a≤++1恒成立，根据x的范围，可知在定义域内函数为减函数，当x＝400时，函数取得最小值．【解答】解：设调出x人参加B项目从事售后服务工作（1）由题意得：10（1000﹣x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2﹣500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0＜x≤400，从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a﹣）x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1000﹣x）（1+x）万元，则10（a﹣）x≤10（1000﹣x）（1+0.2x%）所以ax﹣≤1000+2x﹣x﹣x2，所以ax≤+1000+x，即a≤++1恒成立，因为0＜x≤400，∴++1≥++1＝5.1，所以a≤5.1，又a＞0，所以0＜a≤5.1，即a的取值范围为（0，5.1]．20．【分析】（1）将直线y＝x+代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y＝2，l2：x2x+2y2y＝2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y＝k（x ﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2＝2，运用韦达定理，由题意可得，可得＝，求得N的坐标，代入切点弦AB 的方程，计算即可判断．【解答】解：（1）将直线y＝x+代入椭圆方程x2+a2y2＝a2，可得（1+a2）x2+2a2x+2a2＝0，由直线和椭圆相切，可得△＝12a4﹣4（1+a2）•2a2＝0，解得a＝（由a＞1）；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线l1：x1x+2y1y＝2，l2：x2x+2y2y＝2，由l1与l2交于点M（2，m），可得2x1+2my1＝2，2x2+2my2＝2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my＝2，即为x+my＝1，原点到直线AB的距离为d＝，由消去x，可得（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，y1+y2＝，y1y2＝﹣，可得|AB|＝•＝•＝，可得△OAB的面积S＝d|AB|＝•，设t＝（t≥1），S＝＝≤，当且仅当t＝1即m＝0时，S取得最大值；（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），N（x0，y0），由直线y＝k（x﹣2）+m代入椭圆方程x2+2y2＝2，可得（1+2k2）x2+4k（m﹣2k）x+2（m﹣2k）2﹣2＝0，即有x3+x4＝﹣，x3x4＝，由线段CD上存在点N，使成立，可得＝，化为x0＝，代入韦达定理，化简可得x0＝，y0＝k（x0﹣2）+m＝k（﹣2）+m＝，由x0+my0＝+＝＝1．即有N在直线AB上．21．【分析】（1）通过S n＝a n a n+1，利用a n+1＝S n+1﹣S n整理得a n+2﹣a n＝2，进而可知数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n＝，进而可知b n b n+1＝•，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过＝及a n＝n分别计算出、、、的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【解答】（1）证明：∵S n＝a n a n+1，∴a n+1＝S n+1﹣S n＝a n+1a n+2﹣a n a n+1，整理得：a n+2﹣a n＝2，又∵a1＝1，a2＝＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝n，即数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n＝＝2n﹣2（n+1）＝，∴b n b n+1＝•＝•，∴b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1＝（++…+）＝••＝•（1﹣），又∵（b k b k+1+b k+1b k+2+…+b n b n+1）＝，即•＝，解得：k＝2；（3）解：∵c1＝1，＝，a n＝n，∴＝，＝（﹣1）•（m＞k，m≥2），∴c2＝＝（﹣1），c3＝•＝（﹣1）2，c4＝••＝（﹣1）3•＝（﹣1）3••，…c k＝（﹣1）k﹣1••，显然当m＝1时满足上式，即c m＝（﹣1）m﹣1••，∴c1+c2+…+c m＝[﹣+…+（﹣1）m﹣1•]＝[]＝•＝．。

上海市2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)

C．若命题“非 p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题
D．命题“若 a2 b2 0 ，则 ab 0 ”的逆命题是真命题
6. 三个数 60.7 ,0.76 , log 0. 7 6 的大小顺序是
A. 0.7 6 log 0.7 6 6 0.7
B.
0.7 6 6 0.7 log 0.7 6
）
1
A. 4
B. 2
4
C.
D.
3
9. 函数 y= 2 x sin2 x 的图象可能是
A.
B.
C.
D.
10. 已知双曲线
x2 C : a2
y2 b2
1（ a
0,b
0 ）的焦距为 4，其与抛物线 E : y2
点， O 为坐标原点，若 OAB 为正三角形，则 C 的离心率为
3 x 交于 A, B 两 3
在 PCA 中，由余弦定理得，
PA 2 PC 2 AC 2 2PC AC COS30 16 12 2 4 2 3
3 4 , PA 2
2
PA2 AC 2 PC 2 , PA AC .
又 BD AC O, PA 平面 ABCD
(2) 由 PM 2, 可知点 M 到平面 PBD 的距离是点 C 到平面 PBD 的距离的 2 ,
5
参考答案
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7. B 8.B 9. D 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13.
x
R， x2
1 x
0 14.
4
1
15.
15 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16.
23
2

2020届上海市高考模拟数学试题(解析版)

【详解】
由题意得：，解得，
设渐近线，则，所以 ,
又因为，故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用，较简单.解答时，注意数形结合，利用几何法求解.
8．某学校高三年级有、两个自习教室，甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为________.
2020届上海市高考模拟数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，到点和直线：距离相等的点的轨迹是（）
A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线
【答案】A
【解析】根据已知判断点A是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项.
【详解】
由题意，点在直线上，即动点到点A的距离与动点到直线的距离相等，
【详解】
因为，，
所以，
故答案为： .
【点睛】
本题考查对数不等式等比数列的前项和为，且满足，则 ______．
【答案】
【解析】先由行列式的计算求得，再根据数列的前n项与通项的关系求得，由等比数列的定义可求得答案.
【详解】
因为，所以，所以，，，又因为数列是等比数列，所以，即，解得，
所以，解得，
又由，解得，
所以， .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了三角函数值的计算，以及函数的单调性与对称性的应用，根据三角函数的符号，求得函数的单调性与对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于较难题.
二、填空题
5．已知集合，，则 ______．
【答案】
【解析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A、B，再根据交集定义求得结果.

【精品高考数学】[2020年上海高考仿真模拟卷-数学]+答案

2020年上海高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =I __ ． 2.已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-__ ． 3. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球概率是23，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球概率是__ ． 4. 已知直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，则12l l ⊥的充要条件是__ ．5.设n 的二项展开式中各项系数之和为M ，二项式之和为N ，若2960M N -=；则二项展开式中xy 的系数是__ ．6.已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ¹，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为__ ．7.设函数()f x 与函数()tan arcsin g x x x =+有相同的奇偶性和单调性，若112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则不等式0(1)1f x ≤-≤的解集为__ ．8. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤--≤≥⎧⎪⎨⎪⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>倍，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，记123m k k k =，则m 的取值范围为__ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v，则实数k 的取值范围是__ ．11.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是__ ．12.设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =__ ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④14. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>15. 在直角坐标系中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图像上，那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与,B A 为同一对).函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有( ) A ．1对B ．3对C ．5对D ．7对16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B 到直线()310x y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.（1）求PA 与底面ABCD 所成角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的体积及侧面积.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数()12f x x ax =-++ （1）若1a =，解不等式()5f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ） 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M到2F 21，21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}{},n n a b 分别满足：111,2+=-=n n a a a ，其中111,2+=-=n nb b b ，其中n *∈N ，设数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T .（1）若数列{}{},n n a b 为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，则称{}n c 为“k 坠点数列”（Ⅰ）若数列{}n a 为“6坠点数列"，求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 为“5坠点数列”，是否存在“p 坠点数列”{}n a ，使得1m m S T +=，若存在，求正整数m 的最大值；若不存在，说明理由.2020年上海高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =I __ ．【解析】11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，{}112222{|112,}x x x x x x Z -+=<<∈=-<+<∈=Z ， {|21,}{1,0}x x x Z -<<∈=-，所以M N =I }1{-．2.已知复数z 在复平面内对应点是()12-，，i 为虚数单位，则21z z +=-__ ．【解析】依题意12z i =-，故原式()()()()32232463122242i i i i i i i i --+====+--. 3. 一个袋子里装有大小相同的黑球和白球共6个，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球概率是23，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球概率是__ ．【解析】由题意可知黑球和白球分别有4个，2个，从袋中任意摸出2个球，所有的取法共有2615C =种，而取出的两个球均为白球的取法有221C =种，取出的两个球只有一个白球的取法有11248C C =种，所以至少得到1个白球概率为183155P +==.所以答案应填：35． 4. 已知直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，则12l l ⊥的充要条件是__ ．【解析】因为直线1l ：10ax y ++=与直线2l ：()210x a y +-+=，且12l l ⊥，所以()1120a a ⨯+⨯-=，即1a =；当1a =时，直线1l ：10x y ++=与直线2l ：10x y -+=，很显然垂直；所以12l l ⊥的充要条件是1a =. 故答案为：1a =.5.设n 的二项展开式中各项系数之和为M ，二项式之和为N ，若2960M N -=；则二项展开式中xy 的系数是__ ．【解析】根据题意令1x y ==，则4n M =，∵2,n n =∴2429605n n M N n -=-=⇒=；设n 的二项展开式的通项公式为1553322155(3)3k k k k kkk k T C xy C xy --+==；令51,1332k k k -==⇒=，∴xy 的系数是3353270C =． 6.已知函数()()sin 01f x x x π=<<，若a b ¹，且()()f a f b =，则41a b+的最小值为__ ．【解析】由条件知函数()()sin 01f x x x π=<<，()()f a f b =，则两者是轴对称的关系，故得到1a b a b πππ+=⇒+= ，41414()()5549.b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 等号成立的条件为：4,2.b aa b a b== 故答案为9. 7.设函数()f x 与函数()tan arcsin g x x x =+有相同的奇偶性和单调性，若112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则不等式0(1)1f x ≤-≤的解集为__ ．【解析】∵[1,1]x ∈-且()tan arcsin g x x x =+，∴()()g x g x -=-，∴函数()g x 是奇函数，∵tan y x =与arcsin y x =在区间[1,1]-上是增函数，∴()g x 在区间[1,1]-上是增函数， ∴()f x 在[1,1]-上的奇函数且在区间[1,1]-上是增函数，∵112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又∵(0)0f =，∴1(0)(1)2f f x f ⎛⎫≤-≤⎪⎝⎭，又∵()f x 在区间[1,1]-上是增函数， ∴1012x ≤-≤，即312x ≤≤，∴所求不等式的解集为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤--≤≥⎧⎪⎨⎪⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是__ ．【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示的阴影部分区域，由图可知：不等式14ax y ≤+≤在阴影部分区域恒成立，令z ax y =+可知0a ≥，因为当0a ≥，且当1,0x y ==时，00z ax y a a =+=+=<不能使得14ax y ≤+≤恒成立；由0a ≥得z ax y =+在点()1,0处取得最小值，即min z ax y a =+=，在点()2,1处取得最大值，即max 21z ax y a =+=+，所以有1214a a ≥⎧⎨+≤⎩解得312a ≤≤．9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的3倍，A ，B 为左，右顶点，点P 为双曲线C 在第一象限的任意一点，点O 为坐标原点，若直线PA ，PB ，PO 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，记123m k k k =，则m 的取值范围为__ ．【解析】双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的3倍，所以23,22c cb a a a===，双曲线的渐近线方程为2y x =±，所以302k <<， (),P x y 为双曲线C 在第一象限的任意一点，22221x y a b-=，212222y y y k k x a x a x a=⋅==+-- ()1230,22m k k k =∈.故答案为：()0,2210.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1l ：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线2l ：2y kx =+上存在P 满足1PA PC +=u u u v u u u v，则实数k 的取值范围是__ ．【解析】因为曲线()32f x x x =+及直线1l ：y mx =的图像都关于原点对称，所以B为原点，且B 为AC 中点，所以2PA PC PB u u u r u u u r u u u r+= ，因为直线2l ：2y kx =+上存在P满足1PA PC +=u u u v u u u v ，即21PB =u u u r ，所以直线上存在点到原点的距离为12，得12≤，解得k ≤k ≥ 11.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是__ ．【解析】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==，当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=．故答案为：912.设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =__ ．【解析】由题得，()2111212221x x xf x =-=-++是单调递增函数，则复合函数()f x C +（其中为任意常数）也单调递增.设()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，则()g x 为单调递增函数.又{}n a 是公差为2的等差数列，则()()()()()101010101010101010101010210092()221009g a f a f a f a f a f a =-⨯++-++++++⨯L L ，整理得()()()()1010122019...0g a f a f a f a =+++=，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点.而()()()()()210092100922()g x f x f x f x f x f x =-⨯++⨯++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ，又()()212121102122122121x x x x x x x f x f x --=+--+-=-+=++++，则()()()()()0210092100922(0)0g f f f f f =-⨯+⨯++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 由1010a 是()0g x =的唯一零点，可知10100a =，可得()1009101122 4.a a =-⨯=- 故答案为：4-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④【解析】对于①，若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误；对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误；对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确；故选：D14. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（）A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ，故275s <．选A ． 15. 在直角坐标系中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图像上，那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与,B A 为同一对).函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有 ( ) A ．1对B ．3对C ．5对D ．7对【解析】因为7log ,0y x x =>关于原点对称的函数解析式为()7log ,0y x x =--<，所以函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点的组数，就是cos,02y x x π=≤与为()7y log ,0x x =--<图像交点个数，同一坐标系内，画出y cos,02x x π=≤与()7log ,0y x x =--<图像，如图，由图像可知，两个图像的交点个数有5个，7,0()2log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图像上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈u u u u v u u u u v ，设,n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由22n n n OA OB ⋅=-u u u u v u u u u v ，得2cos 2n n n n n A OB ⋅⋅∠=-，120n n A OB ∴∠=o.设线段n n A B 的中点n C ，则2n n OC =，n C ∴在圆2224n x y +=上，n n A B到直线()10x n n ++=的距离之和等于点n C 到该直线的距离的两倍，点n C 到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆2224n x y +=的圆心(0,0)到直线()10x n n ++=的距离为()12n n d +==，()212222n n n n a n n+⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦，211111222n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，1231111n n S a a a a ∴=+++⋅⋅⋅+=1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭.34m ∴≥.故选：B. 三、解答题（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.（1）求PA 与底面ABCD 所成角的大小；（2）求四棱锥P ABCD -的体积及侧面积.【解析】（1）如图所示：取AB 的中点E ，连接PE ，则PE ⊥平面ABCD ，连接AE ，则PAE ∠是PA 与底面ABCD 所成角；在等腰三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====， ∴5PE =，又22AE =，∴510tan 422PAE ∠==;∴PA 与底面ABCD 所成角为10arctan（2）∵PE ⊥平面ABCD ，在Rt PAE V 中，由,,⊥⊥⋂=AD PE AD DC PE DC E ；所以AD ⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥.依题意，在等腰三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====，在Rt PED V 中，225PE PD DE =-=，∴四棱锥P ABCD -的体积为18542533V =⨯⨯⨯=. 过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴AB PE ⊥.∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E ⋂=， ∴AB ⊥平面PEF .∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥.依题意得2EF AD ==.在Rt PEF △中，223PF PE EF =+=，∴PAB △的面积为162S AB PF =⋅⋅=.,,PAD PBC PCD V V V 的面积分别为3,3,25，所以侧面积的大小为633251225+++=+.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数()12f x x ax =-++ （1）若1a =，解不等式()5f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，求a的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++，当1x ≤时，()5f x <即为125x x -++<，即35<恒成立；当1x >时，()5f x <即为125x x -++<，即24x <，解得2x <，此时12x <<；综上，不等式的解集为(,2)-∞；（2）(1)1,1()(1)3,1a x x f x a x x ++≥⎧=⎨-+<⎩，要使()f x 有最小值，则1010a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得11a -≤≤，方程2()21f x x x =-++即为21221x ax x x -++=-++，显然0x =不是方程的根，故21,[1,)21123,(,0)(0,1)x x x x x a x x x x -∈+∞⎧-+---⎪==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩，令 1,[1,)()23,(,0)(0,1)x x g x x x x -∈+∞⎧⎪=⎨--+∈-∞⋃⎪⎩，当0x <时，223()32230x x x x--+=-++≥+>- 作出()g x 的图像如下，结合11a -≤≤及函数图像可知，要使方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，则[1,0)a ∈-．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ.（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ=︒，求建筑BC 的高度；（2）当游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角θ为45︒时，拍摄效果最好.若在伦敦眼上可以拍摄到效果最好的照片，求建筑BC 的最低高度.（说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135m ）【解析】（1）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，30BDC θ∠==︒，此时12AD AB ==，即45ABD ∠=︒，所以105BCD ∠=︒.在等腰三角形ABD 中，122BD =.由正弦定理得sin105sin 30BD BC =︒︒，所以12212312622BC ==-+⨯. 所以建筑BC 的高度为12312-（单位：10m ）.（2）设建筑BC 的高度为h （单位：10m ），建立如图所示的直角坐标系，圆22:(6)36M x y +-=，由正弦定理可知2sin 45h R =︒，所以R =，即PBC ∆的外接圆的半径为R =. 由图可知PBC ∆的外接圆的圆心坐标为12,22h h ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以点P 在圆222:12,12222h h h N x y x ⎛⎫⎛⎫-++-=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，而点P 又在圆22:(6)36M x y +-=上，所以66≤≤+，解得24(324(377h -+≤≤.答：建筑BC 10m ）时，可以拍摄到效果最好的照片.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M到2F 1，1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，椭圆C 上一动点M 到2F 的最近距离为1，最远距离为1，可得22211a c a a c b c ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+-=⎩⎪，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211k k kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k xk x k +-+-=∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BP y x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．数列{}{},n n a b 分别满足：111,2+=-=n n a a a ，其中111,2+=-=n nb b b ，其中n *∈N ，设数列{}{},n n a b 前n 项和分别为,n n S T .（1）若数列{}{},n n a b 为递增数列，求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：存在唯一的正整数k （2k ≥），使得1k k c c -<，则称{}n c 为“k 坠点数列”（Ⅰ）若数列{}n a 为“6坠点数列"，求n S ；（Ⅱ）若数列{}n b 为“5坠点数列”，是否存在“p 坠点数列”{}n a ，使得1m m S T +=，若存在，求正整数m 的最大值；若不存在，说明理由.【解析】（1）Q 数列{}n a ，{}n b 都为递增数列，∴由递推式可得12n n a a +-=，2122b b =-=，212n n b b ++=，*n N ∈，则数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 从第二项起构成等比数列．21n a n ∴=-，11,12,2n n n b n --=⎧=⎨≥⎩；（2）（Ⅰ）Q 数列{}n a 满足：存在唯一的正整数5k =，使得1k k a a -<，且1|2|n n a a +-=， ∴数列{}n a 必为1,3,5,7,5,7,9,11,⋯，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，故22,4416,5n n n S n n n ⎧≤=⎨-+≥⎩；（Ⅱ）1||2n nb b +=Q ，即12n n b b +=±，1||2n n b -∴=，而数列{}n b 为“q 坠点数列”且11b =-， ∴数列{}n b 中有且只有两个负项．假设存在正整数m ，使得1m m S T +=，显然1m ≠，且m T 为奇数，而{}n a 中各项均为奇数，m ∴必为偶数．由2113(21)(1)m S m m +++⋯++=+…，当q m >时，211242223m m m m T --=-+++⋯++=-，当6m ≥时，223(1)m m ->+，故不存在正整数m 使得1m m S T +=；当q m =时，121122(2)30m m m T --=-++⋯++-=-<，显然不存在正整数m 使得1m m S T +=；当q m <时，13211()122(2)223m m m m m min T ----∴=-++⋯++-+=-．当1223(1)m m --<+，才存在正整数m 使得1m m S T +=；即6m ≤．当6m =时，6q <，构造：{}n a 为1,3,1,3,5,7,9，⋯，{}n b 为1,2,4,8,16,32,64,--L ，此时3p =，5q =．6max m ∴=，对应的3p =，5q =．。

2020年上海市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)

2020年上海市高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是( )A. [−7π12,5π12] B. [−7π12,−π12] C. [−π12,7π12] D. [−π12,5π12]2. 设a ∈R ，则|a|>1是1|a|<1的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知2x >21−x ，则x 的取值范围是( )A. RB. x <12C. ⌀D. x >124. 抛物线y 2=2px(p >0)与直线2x +y +a =0交于A ，B 两点，其中A(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|的值为( )A. 3√5B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={x|−2≤x ≤3}，B ={y|y =x 2+2}，则A ∩B = ______ ．6. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．7. 在(x −2x )8展开式中，常数项是______ ． 8. 已知函数f(x)={g(x),x >0,2x +1,x ≤0是R 上的奇函数，则g(3)=_______．9. 已知实数x ，y 满足2x −y =4，则4x+(12)y的最小值为__________．10. 已知幂函数f(x)存在反函数，且反函数f −1(x)过点(2,4)，则f(x)的解析式是______． 11. 已知函数f(x)=x 2，则△x →0limf(1+△x)−f(1)△x=______．12. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5−5S 3=5，则a 4=________．13.若f(x)=x+ax−1在x≥3时有最小值4，则a=______ ．14.设双曲线y29−x2a=1的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为_______．15.如图，一张矩形白纸ABCD，AB=10，AD=10√2，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是______(写出所有正确命题的序号)①当平面ABE//平面CDF时，AC//平面BFDE②当平面ABE//平面CDF时，AE//CD③当A、C重合于点P时，PG⊥PD④当A、C重合于点P时，三棱锥P−DEF的外接球的表面积为150π16.已知函数f(x)=x2−ax+a2(a>0)，x∈[0,1]，则f(x)的最小值g(a)的最大值为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=√2，∠ACB=90∘.AA1=2，D为AB的中点．(Ⅰ)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值；(Ⅱ)求直线BB1与平面B1CD所成角的正弦．18.临近年终，郑州一蔬菜加工点分析市场发现：当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本为20万元，当月产量为15吨时，月总成本最低且为17.5万元．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价位每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润，并求出最大利润．(ω>0)的最小正周期为3π.在△ABC中，若f(C)=1，且19.已知函数f(x)=√3sinωx−2sin2ωx22sin2B=cosB+cos(A−C)，求sin A的值．20.在双曲线C：x2a2−y2b2=1中，过焦点垂直于实轴的弦长为2√33，焦点到一条渐近线的距离为1，(1)求该双曲线的方程；(2)若直线L：y=kx+m(m≠0,k≠0)与双曲线C交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．21.(本小题满分14分)(1)证明：当a>2时，√a+2+√a−2<2√a；(2)已知x，y∈R+，且x+y>2，求证：与中至少有一个小于2．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，属于中档题．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；再利用正弦函数的增区间，求得函数f(x)的一个单调递增区间．解：由函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象可得A=2，14⋅2πω=2π3−5π12，∴ω=2．再根据五点法作图可得2⋅5π12+φ=π2，∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x−π3).令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，求得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，可得函数的增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z，当k=0时，f(x)的一个单调递增区间是[−π12,5π12]，故选D．2.答案：C解析：解：根据倒数的性质可知：若|a|>1，则0<1|a|<1成立．若1|a|<1，则|a|>1成立．故|a|>1是1|a|<1的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．3.答案：D解析：本题考查指数函数的图像与性质.属基础题．解：因为2x>21−x，所以x>1−x，．所以x>12故选D ．4.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系的应用，属于基础题．根据已知及抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系的计算，求出|FA|+|FB|的值．解：把点A(1,2)代入直线2x+y+a=0，可得2+2+a=0，解得a=−4.把点A(1,2)代入y2=2px，可得4=2p，解得p=2．联立直线与抛物线的方程并化简，可得x2−5x+4=0，解得x=1或x=4，所以|FA|+|FB|=1+ 4+1+1=7.故选D．5.答案：{x|2≤x≤3}解析：先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A={x|−2≤x≤3}，B={y|y=x2+2}={y|y≥2}，∴A∩B={x|2≤x≤3}．故答案为{x|2≤x≤3}．6.答案：23解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 3人排成一排共有6种排法，其中甲、乙相邻的情况有4种，由此能求出甲乙相邻的概率．解：甲、乙、丙三人随机地站成一排，共有甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙；乙、甲、丙；丙、甲、乙；丙、乙、甲共4种排法，故P =46=23．故答案为23．7.答案：1120解析：解：(x −2x )8展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅(−2)r ⋅x 8−2r ，令8−2r =0，求得r =4，故常数项是(−2)4⋅C 84=1120，故答案为：1120．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.答案：5解析：本题考查函数的奇偶性，由已知得g(3)=f(3)=−f(−3)求解即可．解：因为f(x)是R 上的奇函数，所以g(3)=f(3)=−f(−3)=−[2×(−3)+1]=5．故答案为5．9.答案：8解析：本题考查了指数运算和利用基本不等式求最值的应用，属于简单题．由题意4x+(12)y=22x +2−y ≥2√22x ·2−y =2√22x−y ，结合2x −y =4即可得解．解：由题意，4x +(12)y=22x +2−y ≥2√22x ·2−y =2√22x−y =8，当且仅当22x =2−y ，即x =1，y =−2时等号成立．即函数的最小值是8．故答案为8．10.答案：f(x)=√x解析：解：∵函数f(x)的反函数f−1(x)过点(2,4)，∴原函数y=f(x)过点(4,2)．．设f(x)=xα，则2=4α，解得α=12∴好f(x)=√x．故答案为：f(x)=√x．利用互为反函数的性质和幂函数的定义即可得出．本题考查了互为反函数的性质和幂函数的定义，属于基础题．11.答案：2解析：本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念及性质的合理运用．先求出f′(x)，由于，能求出结果．解：∵f′(x)=2x，∴f′(1)=2，，故答案为：2．12.答案：13n(n−1)d，解析：解：∵S n=na1+12∴S5=5a1+10d，S3=3a1+3d，∴6S5−5S3=30a1+60d−(15a1+15d)，=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4=5，解得a4=1．3故答案为：13 ．根据等差数列的前n 项和的公式表示出S 5和S 3，然后把S 5和S 3的式子代入到6S 5−5S 3=5中合并后，利用等差数列的通项公式即可求出a 4的值．此题要求学生灵活运用等差数列的通项公式及前n 项和的公式，是一道中档题．13.答案：2解析：解：∵f(x)=x +ax−1，∴f ′(x)=1−a(x−1)2=x 2−2x+1−a (x−1)2，分子的△=4−4(1−a)=4a ．当a ≤0时，△≤0，x ≥3时f′(x)>0，∴函数f(x)单调递增，∴当x =3时，函数f(x)有最小值4，∴3+a2=4，解得a =2，与a ≤0矛盾，应舍去；当a >0时，△>0，令f′(x)=0，解得x =2±2√a2=1±√a ，∴f ′(x)=[x−(1+√a)][x−(1−√a)](x−1)2.∵x ≥3，∴x −(1−√a)=x −1+√a >2．①当1+√a ≤3即0<a ≤4时，函数f(x)在x ≥3时单调递增，∴当x =3时，函数f(x)有最小值4，∴3+a2=4，解得a =2，满足条件；②当1+√a >3即a >4时，令f′(x)=0，解得x =1+√a ，可知当x =1+√a 时，函数f(x)有最小值4，∴1+√a 1+√a−1=4，解得a =94<4，不满足条件，应舍去．综上可得：只有当a =2时，满足条件．故答案为：2．由f(x)=x +ax−1，可得f ′(x)=1−a(x−1)2=x 2−2x+1−a (x−1)2，分子的△=4−4(1−a)=4a.对a 分类讨论：当a ≤0时，0<a ≤4时，a >4时，再利用导数与函数的单调性极值最值的关系即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．14.答案：4解析：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是正确求出双曲线的渐近线方程，属于基础题．由双曲线y 29−x 2a=1可知其渐近线方程为3x ±√ay =0，从而可求出a 的值解：由双曲线y29−x2a=1可得其渐近线方程为3x±√ay=0，因为双曲线y29−x2a=1的渐近线方程为3x±2y=0，所以√a=2，所以a=4，故答案为4．15.答案：①④解析：解：当平面ABE//平面CDF时，如图，由已知矩形ABCD中，AB=10，AD=10√2，E，F分别为AD，BC的中点，可得AC⊥BE，AC⊥DF，且求得AG=GH=CH=10√33．则BE⊥平面AGH，DF⊥平面CHG，由BE//DF，可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，∵平面平面ABE//平面CDF，∴AG//CH，又AG=CH，可得四边形AGHC为平行四边形，则AC//GH，可得AC//平面BFDE，故①正确；假设AE//CD，则四边形AEDC为平面图形，而GH//AC，可得GH//ED，即四边形GHDE为平行四边形，可得GH=ED，与GH≠DE矛盾，∴假设错误，故②错误；当A、C重合于点P时，如图，PG=10√33，PD=GD=10，不满足PG2+PD2=GD2，∴PG与PD不垂直，故③错误；在三棱锥P−DEF中，PE=PF=5√2，EF=10，∴△EPF为直角三角形，PE=ED=5√2，PD=10，∴△PED为直角三角形，而△FPD为直角三角形，∴由补形法可知，三棱锥P−DEF外接球的直径为√PF2+PE2+ED2=√150，则三棱锥P−DEF的外接球的表面积为4π×(√1502)2=150π，故④正确．∴命题正确的是①④．故答案为：①④．由题意分两类画出图形，利用线面平行的判定和性质判断①；利用反证法说明②错误；求出线段长度，根据不满足勾股定理说明③错误；求出三棱锥中的直角三角形，利用补形法求得外接球的表面积判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，关键是明确折叠问题中折叠前后的变量与不变量，是中档题．16.答案：14解析：函数f(x)=(x−a2)2+a2−a24，x∈[0,1],当0<a2≤1时，f(x)的最小值g(a)=f(a2)=a2−a24.当a2>1时，f(x)的最小值g(a)=f(1)=1−a2.故f(x)的最小值，g(a)max=g(1)=14.17.答案：解：(Ⅰ)设CB1∩BC1=E由DE//AC1，∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CDE中，DE=12AC1=12√AC2+CC12=√62，CE=12B1C=12√BC2+BB12=√62，CD=12AB=12√AC2+BC2=1，cos∠CED=CE2+DE2−CD22×CE×DE =32+32−12×√62×√62=23，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为23；(Ⅱ)设点B到平面B1CD的距离为h，由等体积法知：三棱锥B1—BCD的体积为V=13×(12×1×1)×2=13×(12×1×√5)ℎ⇒ℎ=2√55，．解析：本题考查异面直线所成角、线面角的求法，属于中档题．(Ⅰ)设CB1∩BC1=E，由DE//AC1，∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CDE中使用余弦定理即可求解．(Ⅱ)设点B到平面B1CD的距离为h，由等体积法求出h是关键．18.答案：解：(1)由题意可设：y=a(x−15)2+17.5(a∈R,a≠0)，将x=10，y=20代入上式得：20=25a+17.5，解得a=110，∴y=110(x−15)2+17.5(10≤x≤25)．(2)设利润为Q(x)，则Q(x)=1.6x−y=1.6x−(110x2−3x+40)=−110(x−23)2+12.9，(10≤x≤25)，因为x=23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获得最大利润12.9万元．解析：本题考查了二次函数的单调性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由题意可设：y=a(x−15)2+17.5(a∈R,a≠0)，将x=10，y=20代入上式解出即可得出．(2)设利润为Q(x)，则Q(x)=1.6x −y =1.6x −(110x 2−3x +40)=−110(x −23)2+12.9，(10≤x ≤25)，利用二次函数的单调性即可得出． 19.答案：解：f (x)=√3sin(ωx)−2⋅1−cos(ωx)2=√3sin(ωx)+cos(ωx)−1=2sin(ωx +π6)−1…(2分) 依题意函数f(x)的最小正周期为3π，即2πω=3π，解得ω=23，所以f(x)=2sin(23x +π6)−1.…(4分) 由f(C)=2sin(2C 3+π6)−1及f(C)=1，得sin(2C 3+π6)=1，…(6分)∵0<C <π，∴π6<2C 3+π6<5π6， ∴2C 3+π6=π2，解得C =π2，…(8分) 在Rt △ABC 中，∵A +B =π2，2sin 2B =cosB +cos(A −C)，∴2cos 2A −sinA −sinA =0，∴sin 2A +sinA −1=0，解得sinA =−1±√52，…(11分) ∵0<sinA <1，∴sinA =√5−12 …(12分)解析：利用倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简，根据周期公式求出函数的解析式是解决本题的关键．20.答案：解：(1)由题意，得2b 2a =2√33，√a 2+b 2=1，解得：a =√3，b =1，∴所求双曲线方程为x 23−y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立直线L ：y =kx +m(m ≠0,k ≠0)与双曲线，得(1−3k 2)x 2−6kmx −3(m 2+1)=0， △>0，化简，得m 2+1−3k 2>0，∴x 1+x 2=6km 1−3k 2，x 1x 2=−3(m 2+1)1−3k 2， ∵以AB 为直径的圆过双曲线的右顶点M(√3,0)，∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x1−√3)(x2−√3)+y1y2=0，即(k2+1)x1x2+(km−√3)(x1+x2)+m2+3=0，整理，得m2+3√3km+6k2=0，∴m=−√3k或m=−2√3k，当m=−√3k时，L的方程为y=k(x−√3)，直线过定点(√3,0)，与已知矛盾；当m=−2√3k时，L的方程为y=k(x−2√3)，直线过定点(2√3,0)；∴直线L过定点，定点坐标为(2√3,0)．解析：(1)利用过焦点垂直于实轴的弦长为2√33，焦点到一条渐近线的距离为1，建立方程，求出a，b，即可求该双曲线的方程；(2)联立直线L：y=kx+m(m≠0,k≠0)与双曲线，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M(√3,0)，即可证明直线L过定点，并求出该定点的坐标．本题考查双曲线的性质与方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(1)要证√a+2+√a−2<2√a，只要证(√a+2+√a−2)2<(2√a)2，只要证2a+2√a2−4<4a，只要证√a2−4<a，由于a>2，只要证a2−4<a2，最后一个不等式成立，所以√a+2+√a−2<2√a(2)假设1+xy 与1+yx均不小于2，即1+xy≥2，1+yx≥2∴1+x≥2y，1+y≥2x.将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y>2矛盾，故1+xy与1+yx中至少有一个小于2.解析：本题主要考查证明中的分析法与反证法证明，属于一般题．(1)根据题中所给条件，利用分析法即可证出结论．(2)根据题中所给条件，利用反证即可证出结论．。

2020年上海市高考数学模拟试卷(含解析)

2020年上海市高考数学模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 若a >0，b >0，且a +b =4，则下列不等式中恒成立的是( )A. 1ab >12B. 1a +1b ≤1C. √ab ≥2D. 1a 2+b 2≤182. 直线y =2x +1的参数方程可以是( )A. {x =t 2y =2t 2+1B. {x =2t −1y =4t +1 C. {x =t −1y =2t −1D. {x =sinθy =2sinθ+13. 已知平面α//平面β，它们之间的距离为d ，直线a ⊂α，则在β内与直线a 相距为2d 的直线有( )A. 1条B. 2条C. 无数条D. 不存在4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)<f(x)+f(a)；命题q 1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立；命题q 2:f(x)单调递增，存在x 0<0使得f(x 0)=0，则下列说法正确的是( )A. 只有q 1是p 的充分条件B. 只有q 2是p 的充分条件C. q 1，q 2都是p 的充分条件D. q 1，q 2都不是p 的充分条件二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B = ．6. 计算：n →∞lim3n−1n+2=______ 7. 若复数z 满足i ⋅z =1+2i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为_____________． 8. 函数f(x)=x 2(x ≤−1)的反函数是f −1(x)= ______ ． 9. 已知实数x ，y 满足{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,则z =x −y 的最大值为________． 10. 已知矩阵[a 31a]的逆矩阵是[a−3−1a]，则正实数a =______ ．11. 一组数据20，30，40，50，50，60，70，80的平均数、中位数、众数分别为a ，b ，c ，则a +c −2b的值为．12. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1+a 4+a 7=0，则S6a 5的值为______ 13. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________(用数字作答)．14. 已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右焦点F(c,0)关于直线y =bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是15. 已知函数f(x)=x |x −1|−a,x ∈R 有三个零点x 1、x 2、x 3，则实数a 的取值范围是；x 1+x 2+x 3的取值范围是．16. 在平面内，已知AB ⊥AC ，且DB =DC =2,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若1≤DP ≤2，则DA 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. (1)在△ABC 中，AB =2，BC =32，∠ABC =120°，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是多少？(2)已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD =AC =1.求EF 的长度．18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx −2sin 2ωx(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求ω的值及f(x)的单调减区间；(2)若f(x 0)=15，x 0∈[−π12,π4]，求f(x 0+π6)的值．19.一般情况下，桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，会造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度小于40辆/千米时，车流速度为40千米/小时．研究表明：当40≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(Ⅰ)当0≤x≤200，求函数v(x)的表达式；(Ⅱ)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上不同于顶点的任意一点，若直线PA、PB的斜率之积为12．(Ⅰ)求双曲线C的离心率e；(Ⅱ)若过点P作斜率为k(k≠±ba)的直线l，使得l与双曲线C有且仅有一个公共点，F1，F2分别为双曲线的两个焦点，记直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，问是否存在实数λ使得1k1+1k2=λk．21.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，(a n+1)⋅(a n+1+1)=6(S n+n)，n∈N∗．n∈N∗．(1)求数列{a n}通项公式；(2)若对于∀n∈N∗都有S n≤n(3n+1)成立求实数a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于基础题．利用特殊值法即可解答．解：取a =1，b =3，可验证A 、B 、C 均不正确． 2(a 2+b 2)⩾(a +b )2，当a =b =2时，等号成立，即可得0<1a 2+b 2⩽18，则D 正确．故选D ．2.答案：C解析：解：∵y =2x +1，∴y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，可得{x =t −1y =2t −1(t 为参数)，即为直线y =2x +1的参数方程．故选C ．由已知y =2x =1，可化为点斜式方程：y +1=2(x +1)，令x +1=t ，则y +1=2t ，即可化为直线的参数方程．本题考查了把直线的普通方程化为参数方程，其关键是把直线的普通方程写成点斜式方程．3.答案：B解析：解：∵平面α//平面β，它们之间的距离为d ，∴若平面α内的直线和β内的直线b 为异面直线时，a ，b 直线的距离为d ，不满足条件， ∴a//b ，在直线a 上任取一点A ，作AO 在平面β的射影O ，过O 作OC ⊥b 于C ，连结AC ，则AO =d ，AC =2d ，∴OC=√3d∴满足条件的直线共有2条．故选：B．根据平行直线的距离公式进行判断即可．本题主要考查空间直线距离的判断，要求熟练掌握面面平行的性质，比较基础．4.答案：C解析：本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．对于命题q1：当a>0时，结合f(x)单调递减，可推出f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a)，命题q1是命题p的充分条件．对于命题q2：当a=x0<0时，f(a)=f(x0)=0，结合f(x)单调递增，推出f(x+a)< f(x)，进而f(x+a)<f(x)+f(a)，命题q2是命题p的充分条件．解：对于命题q1：当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时，当a>0时，此时x+a>x，又因为f(x)单调递减，所以f(x+a)<f(x)又因为f(x)>0恒成立时，所以f(x)<f(x)+f(a)，所以f(x+a)<f(x)+f(a)，所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f(x)单调递增，存在x0<0使得f(x0)=0，当a=x0<0时，此时x+a<x，f(a)=f(x0)=0，又因为f(x)单调递增，所以f(x +a)<f(x)，所以f(x +a)<f(x)+f(a)，所以命题p 2⇒命题p ，所以q 1，q 2都是p 的充分条件，故选：C ．5.答案：{2,4}解析：此题考查交集及其运算，属于基础题．根据交集的运算法则计算即可．解：已知集合A ={1,2,4},B ={2,3,4,5}，则A ∩B ={2,4}．故答案是{2,4}．6.答案：3解析：解：n →∞lim3n−1n+2=3−01+0=3．故答案为：3．直接利用数列的极限的运算法则求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基础题．7.答案：√5解析：本题考查复数的运算以及复数模的计算，属于基础题．由已知求出z ，然后利用模的计算公式求解即可．解：因为i ⋅z =1+2i ，所以z =1+2i i=−i(1+2i)−i·i=2−i ，所以|z|=√22+(−1)2=√5，故答案为√5．8.答案：−√x ，x ≥1解析：解：∵函数f(x)=y =x 2(x ≤−1)， ∴x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)=−√x ，x ≥1．故答案为：−√x ，x ≥1．先求出x =−√y ，y ≥1，x ，y 互换，得反函数f −1(x)．本题考查反函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数性质的合理运用．9.答案：2解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约束条件{y ≥4x,x +2y +6≥0,y ≤4,作出可行域如图：由z =x −y 可得y =x −z ，平移直线y =x −z ，当直线经B 点时，在y 轴上截距最小，z 有最大值，由{y =4x x +2y +6=0可得B(−23,−83)，所以z =x −y 的最大值为−23+83=2，故答案为2．10.答案：2解析：本题考查矩阵与逆矩阵的运算，是基础题．根据矩阵与其自身的逆矩阵的乘积为单位矩阵，然后运用矩阵乘积公式得到答案．解：[a 31a ][a −3−1a ]=[1001]，由矩阵乘积公式得，[a 2−300a 2−3]=[1001]，所以a 2−3=1，a 2=4，a =±2．又因为题目中说明了a 是正实数，故答案为a =2．11.答案：0解析：根据所给数据，分别计算平均数、中位数、众数，即可得到结果．解：由题意，平均数为a =20+30+40+50+50+60+70+808=50，中位数b =50+502=50，众数c =50，所以a +c −2b =0．故答案为0．12.答案：−3解析：本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题．由a 1+a 4+a 7=0，可得3(a 1+3d )=0，即a 1=−3d ≠0，则S 6a 5=6a 1+6×52d a 1+4d=6×(−3)+15−3+4=−3．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 1+a 4+a 7=0，得3(a 1+3d )=0。

2020年上海市高考数学模拟试卷(2)

2020年上海市高考数学模拟试卷（2）一．填空题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知实数集合{1，2，3，x }的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x ＝． 2．（5分）limn→∞2n 23n 2+1= ．3．（5分）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于M ，N 两点．若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，则|MN |＝． 4．（5分）（x 2+x ）（x ﹣2）4的展开式中，x 3的系数为．5．（5分）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且a m−1−a m 2+a m+1=1，S 2m ﹣1＝11，则m ＝．6．（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为．7．（5分）函数y ＝sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是．8．（5分）设实数x 、y 满足条件{x +y −4≤0x −y ≥0y ≥1，则z ＝（x ﹣3）2+（y ﹣2）2的最小值为．9．（5分）棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E ﹣BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E ﹣BCD 的内切球半径为． 10．（5分）在△ABC 中，已知（a ﹣c ）（sin A +sin C ）＝（a ﹣b ）sin B ，则角C ＝． 11．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且x +3y ＝xy ，若t 2+t ＜x +3y 恒成立，则实数t 的取值范围是 12．（5分）已知函数f （x ）＝2lnx ﹣1，g （x ）＝a |x ﹣m |，若存在实数a ＞0使y ＝f （x ）﹣g （x ）在（1e ，e ）上有2个零点，则m 的取值范围为．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足z （1+i ）＝1﹣i ，则复数z 的共轭复数在复平面上对应的点为（） A ．（﹣1，0）B ．（0，﹣1）C ．（1，0）D ．（0，1）14．（5分）“m ∈{1，2}“是“lnm ＜1”成立的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．（5分）如图所示的程序框图，输出S 的值为（）A ．299−23B ．2100−23C ．2101−23D ．2102−2316．（5分）如图，已知F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →⋅OB →=3（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△BFO 面积之差的最小值是（）A ．2B ．3C ．3√5D ．√10三．解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上．（1）若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成的角的大小；（2）是否存在点P ，使得直线MP 与平面ABC 所成角的大小为π6，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．18．（14分）王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC ，将点A 翻折后恰好落在边BC 上的点F 处，折痕为DE ，设BD ＝x ，BF ＝y ．（1）求x 、y 满足的关系式；（2）求x 的取值范围．19．（16分）数列{a n }是首项为1，公差不为0的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列；数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝2，S n+1=23S n +1（n ∈N *）．（Ⅰ）求a n ，b n ；（Ⅱ）若c n ＝a n •b n ，且数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜9． 20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是焦距的2倍，且过点(−1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P （x ，y ）为椭圆C 上的动点，F 为椭圆C 的右焦点，A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P ′满足PP ′→=（4﹣x ，0）． ①证明：|PP′→||PF →|为定值；②设Q 是直线l ：x ＝4上的动点，直线AQ 、BQ 分别另交椭圆C 于M 、N 两点，求|MF |+|NF |的最小值．21．（14分）设函数f （x ）＝ax 2+b ，其中a ，b 是实数．（Ⅰ）若ab ＞0，且函数f [f （x ）]的最小值为2，求b 的取值范围；（Ⅱ）求实数a ，b 满足的条件，使得对任意满足xy ＝l 的实数x ，y ，都有f （x ）+f （y ）≥f （x ）f （y ）成立．2020年上海市高考数学模拟试卷（2）参考答案与试题解析一．填空题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知实数集合{1，2，3，x }的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x ＝ ﹣3 ．【解答】解：因为实数集合{1，2，3，x }的最大元素等于该集合的所有元素之和，所以1+2+3+x ＝x （无解）或者1+2+3+x ＝3，解之得x ＝﹣3．故答案为﹣3． 2．（5分）limn→∞2n 23n 2+1= 23．【解答】解：lim n→∞2n 23n 2+1=lim n→∞23+1n 2=23．故答案为：23．3．（5分）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于M ，N 两点．若OM →•ON →=12，其中O 为坐标原点，则|MN |＝ 2 ．【解答】解：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将y ＝kx +1代入方程（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1，整理得：（1+k 2）x 2﹣4（1+k ）x +7＝0， ∴x 1+x 2=4(1+k)1+k2，x 1x 2=71+k2，y 1y 2＝（kx 1+1）（kx 2+1）＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1， ∴OM →•ON →=x 1x 2+y 1y 2＝（1+k 2）x 1x 2+k （x 1+x 2）+1=4k(1+k)1+k2+8，由题设可得4k(1+k)1+k 2+8=12，解得k ＝1，∴l 的方程为y ＝x +1，∴圆心C （2，3）在l 上，∴|MN |＝2．故答案为：2．4．（5分）（x 2+x ）（x ﹣2）4的展开式中，x 3的系数为 ﹣8 ．【解答】解：因为（x 2+x ）（x ﹣2）4＝（x 2+x ）[C 40⋅x 4+C 41⋅x 3⋅(−2)+C 42⋅x 2⋅(−2)2+C 43⋅x ⋅(−2)3+C 44⋅(−2)4]，故x 3的系数为C 43⋅(−2)3+C 42⋅(−2)2=−8．故答案为：﹣8．5．（5分）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且a m−1−a m 2+a m+1=1，S 2m ﹣1＝11，则m ＝ 6 ．【解答】解：依题意，a m ﹣1+a m +1＝2a m ，由a m−1−a m 2+a m+1=1，可得 2a m −a m 2=1，整理，得a m 2−2a m +1＝0，解得a m ＝1． S 2m ﹣1=(2m−1)(a 1+a 2m−1)2=(2m−1)⋅2a m2=（2m ﹣1）•2a m ＝2m ﹣1，∵S 2m ﹣1＝11，∴2m ﹣1＝11，解得m ＝6．故答案为：6．6．（5分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率为23．【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，基本事件总数n =C 32=3，甲被选中包含的基本事件个数m =C 11C 21=2，则甲被选中的概率为P =m n =23．故答案为：23．7．（5分）函数y ＝sin 2（2x ）﹣1的最小正周期是 π2．【解答】解∵y ＝sin 2（2x ）﹣1=1−cos4x 2−1=−cos4x 2−12． ∴T =2π4=π2．故答案为：π2．8．（5分）设实数x 、y 满足条件{x +y −4≤0x −y ≥0y ≥1，则z ＝（x ﹣3）2+（y ﹣2）2的最小值为 12．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则z 的几何意义为区域内点P 到点D （3，2）的距离平方．由图象可知，当过点D 作直线x +y ﹣4＝0的垂线时，此时DP 最小，|DP |=√1+1=√22，则z ＝|DP |2=12，故答案为：12．9．（5分）棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E ﹣BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E ﹣BCD 的内切球半径为3√2−√612a ．【解答】解：∵棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E ﹣BCD 的底面重合，由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， ∴多面体ABCDE 的外接球即正四面体ABCD 的外接球，且其外接球的直径为AE ，由题意得正四面体ABCD 的高为√63a ，外接球的半径为√64a ，设正三棱锥E ﹣BCD 的高为h ， ∵AE =√62a =√63a +ℎ，∴h =√66a ，∵底面△BCD 的边长为a ，∴EB ＝EC ＝ED =√22a ，则正三棱锥E ﹣BCD 的三条侧棱两两垂直，由题意得正棱锥E ﹣BCD 的表面积S =3+√34a 2，体积V E ﹣BCD =13×12×√22a ×√22a ×√22a =√224a 3，设正三棱锥E ﹣BCD 的内切球的半径为r ，由13S ⋅r =√224a 3，得r =3√2−√612a ．故答案为：3√2−√612a ． 10．（5分）在△ABC 中，已知（a ﹣c ）（sin A +sin C ）＝（a ﹣b ）sin B ，则角C ＝ π3．【解答】解：∵由正弦定理化简（a ﹣c ）（sin A +sin C ）＝（a ﹣b ）sin B ，得：（a ﹣c ）（a +c ）＝b （a ﹣b ），整理得：a 2﹣c 2＝ab ﹣b 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab=12， ∵C 为三角形内角， ∴C =π3．故答案为：π3．11．（5分）已知x ＞0，y ＞0，且x +3y ＝xy ，若t 2+t ＜x +3y 恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣4，3）【解答】解：∵x ＞0，y ＞0，且x +3y ＝xy ，∴1y +3x=1，∴x +3y =(x +3y)(1y +3x )=6+x y +9y x ≥6+2√x y ⋅9y x=12 当且仅当xy =9y x，即x ＝6，y ＝2时取等号，∴x +3y 的最小值为12．∵t 2+t ＜x +3y 恒成立，∴t 2+t ＜（x +3y ）min ， ∴t 2+t ＜12，∴﹣4＜t ＜3， ∴t 的取值范围为（﹣4，3）．故答案为：（﹣4，3）．12．（5分）已知函数f （x ）＝2lnx ﹣1，g （x ）＝a |x ﹣m |，若存在实数a ＞0使y ＝f （x ）﹣g （x ）在（1e，e ）上有2个零点，则m 的取值范围为（e2，e ）．【解答】解：令f （x ）＝2lnx ﹣1＝0得x =√e ，且在（1e，e ）上递增．对于g （x ）＝a |x ﹣m |，函数图象关于x ＝m 对称，且开口向上． ①当m ≥e 时，显然只有一个交点，不符题意（图①）；②当√e ≤m ＜e 时，总能找到a ，使得两函数有两个交点（图②）；③当m ＜√e 时，y ＝g （x ）的图象的右半部分至多与y ＝f （x ）在x 轴上方的图象产生两个交点．此时只需研究g （x ）＝a （x ﹣m ）与y ＝f （x ）的图象即可．事实上，此时过点（m ，0）做y ＝f （x ）的切线，只要是切点落在（√e ，e ）内即可（图③）．设切点为（x 0，2lnx 0﹣1），且k =2x 0，所以切线方程为：y −(2lnx 0−1)=2x 0(x −x 0)，将（m ，0）代入整理得：m =32x 0−x 0lnx 0，x 0∈(√e ，e)， ∵m ′=12−lnx 0，令m ′=0得x 0=√e ，易知x ＞√e 时，m ′＜0，故m =32x 0−x 0lnx 0在(√e ，e)递减． ∴f(e)＜m ＜f(√e)，即e2＜m ＜√e ．综上可知，当m ∈(e 2，e)时，存在实数a ＞0使y ＝f （x ）﹣g （x ）在（1e ，e ）上有2个零点．故答案为：（e2，e ）二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z（1+i）＝1﹣i，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（0，1）【解答】解：由z（1+i）＝1﹣i，得z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，z=i∴复数z的共轭复数在复平面上对应的点为（0，1），故选：D．14．（5分）“m∈{1，2}“是“lnm＜1”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：lnm＜1⇔0＜m＜e，∵{1，2}⫋（0，e），∴m∈{1，2}“是“lnm＜1”成立的充分非必要条件，故选：A．15．（5分）如图所示的程序框图，输出S的值为（）A ．299−23B ．2100−23C ．2101−23D ．2102−23【解答】解：通过分析知该算法是求和2cos π+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π，由于2cos π+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π＝﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)−2−(−2)×21001−(−2)=2101−23．故选：C ．16．（5分）如图，已知F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →⋅OB →=3（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△BFO 面积之差的最小值是（）A ．2B ．3C ．3√5D ．√10【解答】解：设直线AB 的方程为：x ＝ty +m ，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 与x 轴的交点为M （m ，0），由{x =ty +m y 2=2x ，得y 2﹣2ty ﹣2m ＝0，根据韦达定理有y 1•y 2＝﹣2m ，y 1+y 2＝2t ， ∵OA →⋅OB →=3，∴x 1•x 2+y 1•y 2＝3，结合y 12＝2x 1及y 22＝2x 2，得（y 1•y 2）2+4y 1•y 2﹣12＝0， ∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1•y 2＝﹣6，故m ＝3． S △ABO =12×3×(y 1−y 2)， S △BFO =12×12×(−y 2)，∴△ABO 与△BFO 面积之差：S △ABO ﹣S △BFO =12×3×(y 1−y 2)−12×12×(−y 2) =32y 1−54y 2=32y 1+152y 1≥2√32y 1×152y 1=3√5．当且仅当32y 1=152y 1时，取等号．故△ABO 与△BFO 面积之差的最小值是3√5．故选：C ．三．解答题（共5小题，满分70分）17．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上．（1）若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成的角的大小；（2）是否存在点P ，使得直线MP 与平面ABC 所成角的大小为π6，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2， AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，P 是线段A 1B 的中点， ∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， M （1，1，0），A 1（0，0，2），P （1，0，1）， MP →=（0，﹣1，1），AC →=（0，2，0），设直线MP 与直线AC 所成的角为θ，则cos θ=|MP →⋅AC →||MP →|⋅|AC →|=√2⋅2=√22，∴θ=π4，∴直线MP 与直线AC 所成的角为π4．（2）假设存在点P （a ，b ，c ），BP →=λBA 1→，（0≤λ≤1），使得直线MP 与平面ABC 所成角的大小为π6，则（a ﹣2，b ，c ）＝（﹣2λ，0，2λ），解得P （2﹣2λ，0，2λ）， MP →=（1﹣2λ，﹣1，2λ），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1）， ∵直线MP 与平面ABC 所成角的大小为π6，∴sin π6=|MP →⋅n →||MP →|⋅|n →|=√(1−2λ)2+1+4λ2，由0≤λ≤1，解得λ=√5−14．∴BP =√5−14×√4+4=√10−√22．∴存在点P ，使得直线MP 与平面ABC 所成角的大小为π6，线段BP 的长度为√10−√22．18．（14分）王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC ，将点A 翻折后恰好落在边BC 上的点F 处，折痕为DE ，设BD ＝x ，BF ＝y ．（1）求x 、y 满足的关系式；（2）求x 的取值范围．【解答】解：（1）如图连接DF ，由点A 翻折后恰好落在边BC 上的点F 处，折痕为DE ，可得DE 垂直平分AF ，则AD ＝DF ，由等边三角形ABC 的边长为1，且BD ＝x ，可得AD ＝1﹣x ，DF ＝1﹣x ，在△BDF 中，∠B ＝60°，由余弦定理可得DF 2＝BD 2+BF 2﹣2BD •BF •cos B 即（1﹣x ）2＝x 2+y 2﹣2xy •12，化简可得y 2﹣xy +2x ﹣1＝0，即x 、y 满足的关系式为y 2﹣xy +2x ﹣1＝0；（2）由（1）可得y 2﹣xy +2x ﹣1＝0，解得x =y 2−1y−2，设y ﹣2＝t ，由0＜y ＜1，可得﹣2＜t ＜﹣1，则y ＝t +2，x =(t+2)2−1t =t +3t +4＝4﹣（﹣t +3−t ）≤4﹣2√−t ⋅3−t=4﹣2√3，当且仅当t ═−√3，即y ＝2−√3∈（0，1），等号成立，则x 的取值范围是（0，4﹣2√3]．19．（16分）数列{a n }是首项为1，公差不为0的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列；数列{b n }的前n 项和为S n ，且b 1＝2，S n+1=23S n +1（n ∈N *）．（Ⅰ）求a n ，b n ；（Ⅱ）若c n ＝a n •b n ，且数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜9．【解答】（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d （d ≠0），由a 1，a 2，a 5成等比数列，得（1+d ）2＝1×（1+4d ），解得d ＝0（舍去）或d ＝2．则a n ＝2n ﹣1．∵b 1＝2，S n+1=23S n +1，当n ＝1时，b 1+b 2=23b 1+1，解得b 2=13；当n ≥2时，S n =23S n−1+1，有S n+1−S n =23(S n −S n−1)，即b n+1=23b n （n ≥2），又b 2≠23b 1，则b n ={2，n =113⋅(23)n−2，n ≥2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得c n ={2，n =12n−13⋅(23)n−2，n ≥2．则T n =2+33⋅1+53⋅23+⋯+2n−33⋅(23)n−3+2n−13⋅(23)n−2，两边乘以23，得23T n =43+1⋅23+53⋅(23)2+⋯+2n−33⋅(23)n−2+2n−13⋅(23)n−1．两式相减得13T n =3−43+23[23+(23)2+⋯+(23)n−2]−2n−13⋅(23)n−1=53+(23)2[1−(23)n−2]1−23−2n−13⋅(23)n−1=3−2n+53⋅(23)n−1． ∴T n =9−(2n +5)⋅(23)n−1＜9得证． 20．（14分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是焦距的2倍，且过点(−1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P （x ，y ）为椭圆C 上的动点，F 为椭圆C 的右焦点，A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P ′满足PP ′→=（4﹣x ，0）． ①证明：|PP′→||PF →|为定值；②设Q 是直线l ：x ＝4上的动点，直线AQ 、BQ 分别另交椭圆C 于M 、N 两点，求|MF |+|NF |的最小值．【解答】解：（1）由题意可得a ＝2c ，1a 2+94b 2=1，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0），F （1，0），①因为P （x ，y ）为椭圆C 上的动点，点P ′满足PP ′→=（4﹣x ，0），所以x 24+y 23=1；所以|PP ′→|＝|4﹣x | |PF →|=√(x −1)2+y 2=√(x −1)2+3(1−x 24)=√14x 2−2x +4=12√(x −4)2=12|x ﹣4|，所以：|PP′→||PF →|=|4−x|12⋅|4−x|=2，所以可证|PP′→||PF →|为定值2．②由题意设Q （4，t ），所以k AQ =t 4+2=t 6，所以直线AQ 的方程为：y =t6（x +2），联立直线AQ 与椭圆的方程：{y =t6(x +2)3x 2+4y 2−12=0整理可得：（27+t 2）x 2+4t 2+4t 2﹣108，所以﹣2•x M =4t 2−10827+t 2，所以x M =−2t 2+5427+t 2，同理k BQ =t 4−2=t 2，所以直线BQ 的方程：y =t2（x ﹣2）， {y =t2(x −2)3x 2+4y 2−12=0整理可得：（3+t 2）x 2﹣4t 2x +4t 2﹣12＝0，所以2x N =4t 2−123+t 2，所以x N =2t 2−63+t 2，因为x ＝4为右准线，所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率e =12，可得：|MF |+|NF |=12（4﹣x M ）+12（4﹣x N ）=12（8﹣x M ﹣x N ）＝4−x M +x N 2=4﹣（−t 2+2727+t 2+t 2−33+t 2）＝4−48t 2+81t2+30≥4482√81+30=3，当且仅当t 4＝81，即t ＝±3时取等号．所以|MF |+|NF |的最小值为3．21．（14分）设函数f（x）＝ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy＝l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax2+b，∴f[f（x）]＝a3x4+2a2bx2+ab2+b，设t＝x2，当ab＞0，且二次函数y＝a3t2+2a2bt+ab2+b的对称轴t=−ba＜0，当a＜0时，不满足条件．∴a＞0，b＞0，当t＝0时，函数f[f（x）]取得最小值，即ab2+b＝2，从而ab=2−bb＞0，得0＜b＜2，即b的取值范围是（0，2）；（Ⅱ）∵xy＝l，∴y=1 x，则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（1x ）≥f（x）f（1x），即a（x2+1x2）+2b≥ab（x2+1x2）+a2+b2，令t＝x2+1x2，则t≥2，则a（1﹣b）t≥a2+b2﹣2b恒成立，需要a（1﹣b）≥0，此时y＝a（1﹣b）t在[2，+∞）上为增函数，∴2a（1﹣b）≥a2+b2﹣2b，即（a +b ）2﹣2（a +b ）≤0，得0≤a +b ≤2，则实数a ，b 满足的条件为{a(1−b)≥0a ≤a +b ≤2．。

2020届上海市高考模拟(一)数学试题(解析版)

2020届上海市高考模拟（一）数学试题一、单选题 1．“sin 0α=”是“cos 1α=”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得．【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．2．下列命题正确的是（）A ．若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则12l l PB ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l αPC ．直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒<<D ．若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则12l l P 【答案】D【解析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可. 【详解】对A, 若直线1l ∥平面α,直线2l ∥平面α,不一定有12l l P ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误. 对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l P 成立.故D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型.3．已知a v ，b v 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c v 满足()()0c a c b --=vv v v ，则c v的最大值是（）.A ．1B ．2 CD．2【答案】C【解析】利用数量积计算出||a b +=r r ()()c a c b --r r r r ，设c r 与a b +r r的夹角为α，可得||c α=r，从而可得结论．【详解】由于a b ⊥r r且||||1a b ==r r，那么||a b +=r r c r 与a b +r r的夹角为α，所以22()()()||||||cos 0c a c b c a b c a b c c a b a b α--=-+⋅+⋅=-++⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r，即||c α=r，由于1cos 1α-≤≤，所以c r.故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量的模与数量积的关系，掌握数量积的定义是解题关键．4．已知函数()3log ,03sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（）A ．()60,96B ．()45,72C ．()30,48D ．()15,24【答案】B【解析】先画出函数()f x 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【详解】函数()f x 的图象如下图所示：若满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则101x <<，213x <<，则3132log log x x =-，即3132312log log log 0x x x x +==，则121=x x ，同时()33,6x ∈，()412,15x ∈， ∵3x ，4x 关于9x =对称，∴3492x x +=，则3418x x +=，则4318x x =-，则()1234343318x x x x x x x x ==-()2233318981x x x =-+=--+，∵()33,6x ∈， ∴()3445,72x x ∈，即()123445,72x x x x ∈，故选：B ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型．二、填空题5．已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 【答案】1【解析】利用复数的四则运算求出z ，再求其模．【详解】因为11zi z -=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则22||0(1)1z =+-=.故答案为：1.本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题． 6．设0a >且1a ≠，若函数()12x f x a -=+的反函数的图象经过定点P ，则点P 的坐标是__．【答案】()3,1【解析】由于函数()12x f x a -=+经过定点()1,3，再利用反函数的性质即可得出．【详解】 ∵函数()12x f x a-=+经过定点()1,3，∴函数()f x 的反函数的图象经过定点()3,1P ，故答案为：()3,1．【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，以及反函数的问题，熟记指数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于基础题型．7．在平面直角坐标系内，直线l ：220x y +-=，将l 与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为__．【答案】23π 【解析】由题意可得绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．【详解】由题意可知绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则2121233V ππ=⋅⨯⨯=，故答案为:23π．本题主要考查求旋转体的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型． 8．已知sin 2sin 0θθ+=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=______.【解析】由已知等式化简可得sin (2cos 1)0θθ+=，结合范围,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，解得1cos 2θ=-，利用同角三角函数基本关系式可求tan θ，利用二倍角的正切函数公式可求tan 2θ的值. 【详解】sin 2sin 0θθ+=Q ， 2sin cos sin 0θθθ⇒+=，sin (2cos 1)0θθ⇒+=,,sin 02πθπθ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭Q ，2cos 10θ∴+=，解得1cos 2θ=-，tan θ∴==22tan tan 21tan θθθ∴==-【点睛】本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用，考查学生的计算能力.9．设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是______.【答案】(,2][0,2]-∞-U【解析】先由解析式求出()f x 在0x >时的解集，再由奇函数的定义得(0)0f =，以及0x <时的不等式的解集．综合后可得所求解集．【详解】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ≤⇒≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-U ，故答案为：(,2][0,2]-∞-U . 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点()1,1A ，若OA 的垂直平分线过抛物线C ：()220y px p =>的焦点，则抛物线C 的方程为__．【答案】24y x =【解析】先求出线段OA 的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p 的值，即可得到抛物线方程．【详解】 ∵点()1,1A ，依题意我们容易求得直线的方程为10x y +-=，把焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭代入可求得焦参数2p =，从而得到抛物线C 的方程为：24y x =．故答案为：24y x =．【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，只需由题意求出焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标即可得出抛物线方程，熟记抛物线标准方程即可，属于常考题型．11．记12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第m 项的系数为m b ，若342b b = ，则n =_______. 【答案】5【解析】根据题意，结合二项式定理可得，2233222n n n n C --=⨯gg C ，解可得答案．【详解】解：根据二项式定理，可得211(2)()2r n rr n r rn r r n n T C x C x x---+==g g g ，根据题意，可得2233222n n n n C --=⨯gg C ，解得5n =，故答案为5．【点睛】本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．12．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于12的概率是______________．【答案】37【解析】先求得“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数，然后求得“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数有3856C =种. 由于从正方体每个面上的四个点选出三个点，围成的三角形的面积为12，其它情况都超过12.所以“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数为34624C ⨯=种.由古典概型概率计算公式可知，所求概率为243567=故答案为：37【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题. 13．若无穷数列{}n a 的所有项都是正数，且满足()23n n n *+∈=N ，则1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______．【答案】2【解析】先由作差法求出数列{}n a 的通项公式为()241n a n =+，即可计算出12231n a a a n ++++L ，然后利用常用数列的极限即可计算出1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭的值.【详解】当1n =4=，可得116a =；当2n ≥23n n =+，()()221312n n n n =-+-=+-，上式-()21n =+，得()241n a n =+，116a =也适合()241n a n =+，则()()241n a N n n *=+∈，()411na n n ∴=++. 所以，()()()1284481241232312n n n a a a n n n n +++++=++++==++L L . 因此，()12222313limlim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.14．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________. 【答案】{48,51,54,57,60}【解析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论. 【详解】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为AAAA ,甲的答案为BBAA ,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为BBCC ,BCBA ,CCAA ,CAAA ,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60},故答案为{48,51,54,57,60}.【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.15．对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4【解析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可. 【详解】函数()f x =，其中0b >若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥，∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦U ，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求. 若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,ab ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故函数的值域A ⎡=⎢⎣. 由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.16．已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1MN ≤恒成立，则a 的最大值是______.【答案】6+.【解析】由,A B 的坐标可以将直线l 的方程找到，通过M 点的坐标可以得到N 的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于a 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a 的最大值. 【详解】因为()([1,2])af x x x x=-∈，0a >，所以(1,1),(2,2)2a A a B --，所以直线l 的方程为(1)(1)12a y x a =+-+-，设(,)a M t t t -，所以(,(1)(1)1)2a N t t a +-+-，因为1MN ≤恒成立，所以(1)(1)1()12a a t a t t+-+---≤恒成立，所以23212t t at-+≤，因为2()32g t t t =-+在[1,2]t ∈时小于等于0恒成立，所以23212t t a t-+-≤，①当1t =或2t =时，01≤显然成立； ②当(1,2)t ∈时，2222323t a t t t t --≤=-++-，所以由基本不等式得6a ≤=，此时t =，所以a的最大值为6+，故答案是：6+. 【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析（2）2arccos3【解析】（1）推导出AC BC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11B CD C --的大小．【详解】（1）∵底面ABC V 是等腰直角三角形，且AC BC =， ∴AC BC ⊥，∵1CC ⊥平面111A B C ， ∴1CC BC ⊥， ∵1AC CC C =I ， ∴BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()10,2,2B ，()2,0,1D ，由（1）得()0,2,0CB =uu r是平面11ACC A 的一个法向量，()10,2,2CB =u u u r ，()2,0,1CD =u u u r，设平面1B CD 的一个法向量(),,n x y z =r，则122020n CB y z n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得()1,2,2n =-r，设二面角11B CD C --的平面角为θ，则42cos 233CB n CB n θ⋅===⨯⋅u u u r r u u u r r ，由图形知二面角11B CD C --的大小是锐角， ∴二面角11B CD C --的大小为2arccos3．【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型． 18．已知函数()()3cos cos 1033x x f x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫=+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，且函数的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=u u u v u u u v，且4a c +=，试求b 的值．【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）7b = 【解析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开，再由辅助角公式化简，由周期公式求得ω，则()f x 的解析式可求；（2）把()0f B =代入函数解析式，求得B ，展开数量积32BA BC ⋅=uu r uu u r ，求得ac 的值，结合4a c +=，利用余弦定理求得b 的值．【详解】（1）()3cos cos 133x x x f x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos cossin sincos cossin sin13333x x x x x ππππωωωωω=+-++-cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．∵2T ππω==，∴2ω=．则()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）由()2sin 2106B f B π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，得1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴2266B k πππ+=+或52266B k πππ+=+，k Z ∈． ∵B 是三角形内角，∴3B π=．而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=u u u r u u u r ，∴3ac =．又4a c +=，∴()2222162310a c a c ac +=+-=-⨯=． ∴2222cos 7b a c ac B =+-⋅=．则b =【点睛】本题主要考查由三角函数的周期求参数，以及余弦定理解三角形，熟记三角函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型．19．定义在D 上的函数()f x ，若满足:对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界（1）设()1=+x f x x ，判断()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出()f x 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.（2）若函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）是有界函数;[)1,+∞（2）11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）分离常数后,可得函数()f x 的单调性,在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得M 的取值范围.（2）根据有界函数定义,可得()g x 的值域.代入解析式可分离得a 的不等式组.利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）()1111x f x x x ==-++ 则()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以()f x 对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()1122f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而11,21123f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 所以()113f x -≤≤若()f x M ≤恒成立,则1M ≥ 即()f x 所有上界的值的集合为[)1,+∞（2）函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数根据有界函数定义,可知()3≤g x 在[]0,2x ∈上恒成立所以()33g x -≤≤ 即31243x x a -≤++⋅≤ 化简变形可得41214242x x x xa --≤≤- 令11,,142x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则2242t t a t t --≤≤-在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立即满足()()22max min 42t t a t t --≤≤-由二次函数性质可知,2211144816y t t t ⎛⎫=--=-++⎪⎝⎭,当14t =时,()21max 1114442y ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭ 222112248y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,所以当14t =时, ()22min 111124488y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭即11 28a-≤≤-,故a的取值范围为11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,属于中档题.20．如图，设F是椭圆22134x y+=的下焦点，直线()40y kx k=->与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P.（1）若PA AB=u u u v u u u v，求k的值；（2）求证：AFP BFO∠=∠；（3）求面积ABFV的最大值．【答案】（1）55k=（2）证明见解析（3）334【解析】（1）联立221344x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx+-+=，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出k．（2）证明AFP BFO∠=∠，等价于证明等价于0AF BFk k+=，由此能证明AFP BFO∠=∠．（3）1212ABF PBF PAFS S S PF x x=-=⋅-V V V2184k-=．令24t k=-，利用基本不等式性质能求出ABFV面积的最大值．（1）联立221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx +-+=， ∵直线()40y kx k =->与椭圆相交于A 、B 两点，∴()214440k ∆=->，即2k >或2k <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222434k x x k +=+，1223634x x k =+， ∵PA AB =u u u r u u u r，∴212x x =，代入上式，解得k =（2）由图形得要证明AFP BFO ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0AF BF k k +=，121211AF BF y k x x k y ++++=121233kx kx x x --=+121223x x x x k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭222433423634k k k k ⋅+=-+220k k =-=， ∴AFP BFO ∠=∠．（3）∵2k >或2k <-， ∴1212ABF PBF PAF S S S PF x x =-=⋅-V V V132=⨯234k =+．令t =，则0t >，2234316k t +=+，∴22181816343163ABFt k t S t t===≤+++V =，当且仅当163t t =，即2163t=，k =∴ABFV 面积的最大值为4．本题主要考查椭圆的简单性质的应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型．21．已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =．（Ⅰ）求证：数列{}nb 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设n S =++…+，如果对任意的正整数n ，不等式22nn nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()242nn b +=，；（Ⅲ）a≤1【解析】【详解】（Ⅰ）由已知得，即，由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252，由a 22=b 1b 2，得b 2=18， ∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴()242nn b+=，因为n b ，1n a +，1n b +成等比数列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f （n ）=恒成立，当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.。

2020年上海市高考数学模拟试卷(3)

2020年上海市高考数学模拟试卷（3）一．填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）已知集合M ＝{1+a ，a 2+a ，3}，N ＝{a 2﹣3a +8，b ﹣3，0}，且M ∩N ＝{2}，则a +b 的值为． 2．（4分）已知函数f （x ）=√x +k√x在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k ＝． 3．（4分）计算tan54°﹣tan36°﹣2tan18°＝．4．（4分）已知定义在R 上的单调函数f （x ）的图象经过点A （﹣3，2）、B （2，﹣2），若函数f （x ）的反函数为f ﹣1（x ），则不等式|2f ﹣1（x ﹣2）+1|＜5的解集为．5．（4分）（理）已知函数f （x ）＝x 3+x ，关于x 的不等式f （mx ﹣2）+f （x ）＜0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为．6．（4分）函数y ＝2sin （2x +π6）+1的最小正周期是，最小值是． 7．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），P 为曲线C 上的动点，直线的方程：x +y ＝4，则点P 到直线的距离d 的最小值为 8．（5分）从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是．（用数值表示结果）9．（5分）函数y =(2x+1)2(x+1)(4x+1)（x ≥0）的最小值为．10．（5分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，AC ＝2，BE ＝2EA ，AD 与CE 的交点为O ．若AO →•BC →=−2，则AB 的长为．11．（5分）log 212x −14≤0，则x ∈ ．12．（5分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 ①三个题都有人做对； ②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π14．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |﹣|FB ||的值等于（） A ．8√2B ．8C ．4√2D ．415．（5分）已知x ∈R ，则条件“|x ﹣1|＜1”是条件“x 2＜4”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．（5分）设集合A ＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5﹣2+1＝4，{6，3}的“交替和”就是6﹣3＝3，{3}的“交替和”就是3）．则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（） A ．128B ．192C ．224D ．256三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知向量m →=(√3cosx ，−1)，n →=(sinx ，cos 2x)．（1）当x =π3时，求m →⋅n →的值；（2）若x ∈[0，π4]，且m →⋅n →=√33−12，求cos2x 的值．18．（14分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝90°，平面P AB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．（1）求证：AB ⊥PE ；（2）求三棱锥P ﹣BEC 的体积．19．（14分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60＜m ＜150，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益＝在职人员创利总额﹣被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 20．（16分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T 之间，且NF ＝2MF ．①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2；②若原点O 到直线TMN 的距离为20√4141，求椭圆方程．21．（18分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，2a1+1＝a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n＝log2（b n﹣n），求{b n}的前n项和T n．2020年上海市高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）已知集合M＝{1+a，a2+a，3}，N＝{a2﹣3a+8，b﹣3，0}，且M∩N＝{2}，则a+b的值为3．【解答】解：∵集合M＝{1+a，a2+a，3}，N＝{a2﹣3a+8，b﹣3，0}，且M∩N＝{2}，∴2∈M，2∈N，若1+a＝2，则a2+a＝2，不符合条件，若a2+a＝2，则a＝1，（舍），或a＝﹣2，∵2∈N，且a2﹣3a+8＝18，∴b﹣3＝2，解得b＝5，∴a+b＝3．故答案为：3．2．（4分）已知函数f（x）=√x k√x在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝4．【解答】解：依题意，k＞0，则f(x)=√x k√x≥2√k，则2√k=4，解得k＝4．故答案为：4．3．（4分）计算tan54°﹣tan36°﹣2tan18°＝0．【解答】解：因为tan18°＝tan（54°﹣36°）=tan54°−tan36°1+tan54°tan36°，所以tan54°﹣tan36°＝tan18°（1+tan54°tan36°）＝tan18°（1+tan54°cot54°）＝2tan18°所以tan54°一tan36°一2tan18°＝0．故答案为：0．4．（4分）已知定义在R上的单调函数f（x）的图象经过点A（﹣3，2）、B（2，﹣2），若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则不等式|2f﹣1（x﹣2）+1|＜5的解集为（0，4）．【解答】解：不等式|2f﹣1（x﹣2）+1|＜5可化为﹣3＜f﹣1（x﹣2）＜2，由f（x）是定义在R上的减函数，以及函数与反函数的关系得：f（﹣3）＞x﹣2＞f（2），即2＞x﹣2＞﹣2，0＜x＜4，∴不等式|2f ﹣1（x ﹣2）+1|＜5的解集为（0，4）．故答案为：（0，4）．5．（4分）（理）已知函数f （x ）＝x 3+x ，关于x 的不等式f （mx ﹣2）+f （x ）＜0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为 m ＜1 ．【解答】解：f （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣x ＝﹣f （x ） ∴函数f （x ）是奇函数f （x ）＝x 3+x ，则f '（x ）＝3x 2+1＞0 ∴函数f （x ）在R 上单调递增 ∵f （mx ﹣2）+f （x ）＜0∴f （mx ﹣2）＜﹣f （x ）＝f （﹣x ）即mx ﹣2＜﹣x ，（m +1）x ＜2在区间[1，2]上有解 ∴m +1＜2或（m +1）×2＜2即m ＜1 故答案为：m ＜16．（4分）函数y ＝2sin （2x +π6）+1的最小正周期是 π ，最小值是 ﹣1 ．【解答】解：函数y ＝2sin （2x +π6）+1的最小正周期是2π2=π，最小值为﹣2+1＝﹣1，故答案为：π，﹣1．7．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），P 为曲线C 上的动点，直线的方程：x +y ＝4，则点P 到直线的距离d 的最小值为 √2 【解答】解：设P （√3cos θ，sin θ），可得d =√3cosθ+sinθ−4|2=|2sin(θ+π3)−4|2=4−2sin(θ+π3)2，当sin （θ+π3）＝1时，d 取得最小值√2=√2，故答案为：√2．8．（5分）从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是411．（用数值表示结果）【解答】解：12条棱中任选一条，剩下11条，在这11条中，有3条与这条平行，有4条与这条垂直，只有4条与选中的这条异面．∴从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是411．故答案为：411．9．（5分）函数y =(2x+1)2(x+1)(4x+1)（x ≥0）的最小值为 89．【解答】解：y =(2x+1)2(x+1)(4x+1)=4x 2+4x+14x 2+5x+1=1−x4x 2+5x+1，①当x ＝0时，y ＝1； ②当x ＞0时，y ＝1−x4x 2+5x+1＝1−14x+1x +5，∵4x +1x≥2√4=4，（当且令当x =12时，等号成立）；故0＜14x+1x+5≤14+5=19，故89≤1−14x+1x+5＜1，综上所述，函数y =(2x+1)2(x+1)(4x+1)（x ≥0）的最小值为89，故答案为：89．10．（5分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，AC ＝2，BE ＝2EA ，AD 与CE 的交点为O ．若AO →•BC →=−2，则AB 的长为 2√3 ．【解答】解：∵D 是BC 的中点，BE ＝2EA ，∴BE →=23BA →，BC →=2BD →，∵E ，O ，C 三点共线，设BO →=λBE →+(1−λ)BC →=2λ3BA →+2(1−λ)BD →，且三点A ，O ，D 共线， ∴2λ3+2(1−λ)=1，解得λ=34，∴BO →=12BA →+14BC →，∴AO →=AB →+BO →=AB →+12BA →+14BC →=14(AB →+AC →)，∴AO →⋅BC →=14(AB →+AC →)⋅(AC →−AB →)=14(AC →2−AB →2)=14(4−AB →2)=−2，∴AB →2=12，|AB →|=2√3．故答案为：2√3． 11．（5分）log 212x −14≤0，则x ∈ [√22，√2] ．【解答】解：log 212x −14≤0，∴log 212x ≤14， ∴−12≤log 12x ≤12，∴log 12√2≤log 12x ≤log 12√22，∴√22≤x ≤√2， ∴x ∈[√22，√2]，故答案为：[√22，√2]． 12．（5分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 ③ ①三个题都有人做对； ②至少有一个题三个人都做对； ③至少有两个题有两个人都做对．【解答】解：若甲做对A ，B ，乙做对A ，B ，丙做对A ，B ，则C 无人做对，所以①错误；若甲做对A ，B ，乙做对A ，C ，丙做对B ，C ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误；做对的情况可分为三种情况：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法．故答案为：③．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．π3B ．π2C ．πD ．2π【解答】解：由两个14圆柱组合而成的几何体的直观图如图：所以几何体的体积为：12×π×12×2=π．故选：C ．14．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |﹣|FB ||的值等于（） A ．8√2B ．8C ．4√2D ．4【解答】解：F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组{y 2=4x y =x −1，可得x 2﹣6x +1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．由抛物线的定义可知：|F A |＝x 1+1，|FB |＝x 2+1，∴||F A |﹣|FB ||＝|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√36−4=4√2．故选：C ．15．（5分）已知x ∈R ，则条件“|x ﹣1|＜1”是条件“x 2＜4”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x ﹣1|＜1，解得0＜x ＜2，由x 2＜4解得﹣2＜x ＜2，故由|x ﹣1|＜1，成立，可以推出x 2＜4成立，即充分性成立；当x 2＜4时，无法推出|x ﹣1|＜1成立，即必要性不成立；所以“|x ﹣1|＜1”是条件“x 2＜4”的充分不必要条件，故选：A ．16．（5分）设集合A ＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5﹣2+1＝4，{6，3}的“交替和”就是6﹣3＝3，{3}的“交替和”就是3）．则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（） A ．128B ．192C ．224D ．256【解答】解：由题意，S 2表示集合N ＝{1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}， ∴S 2＝1+2+2﹣1＝4；S 3＝1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）＝12，S 4＝1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝n •2n ﹣1，所以S 6＝6×26﹣1＝6×25＝192，故选：B ．三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知向量m →=(√3cosx ，−1)，n →=(sinx ，cos 2x)．（1）当x =π3时，求m →⋅n →的值；（2）若x ∈[0，π4]，且m →⋅n →=√33−12，求cos2x 的值．【解答】解：（1）当x =π3时，m →=（√32，﹣1），n →=（√32，14）， ∴m →⋅n →=34−14=12．（2）m →⋅n →=√3sin x cos x ﹣cos 2x =√3sin2x −1cos2x −1=sin （2x −π）−1，若m →⋅n →=√33−12，则sin （2x −π6）=√33，∵x ∈[0，π4]，∴2x −π6∈[−π6，π3]，∴cos （2x −π6）=√63．∴cos2x ＝cos （2x −π6+π6）＝cos （2x −π6）cos π6−sin （2x −π6）sinπ6=√63×√32−√33×12=3√2−√36． 18．（14分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝90°，平面P AB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点．（1）求证：AB ⊥PE ；（2）求三棱锥P ﹣BEC 的体积．【解答】解：（1）连结PD ，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴DE ∥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴DE ⊥AB ．又∵P A ＝PB ，D 为AB 中点，∴PD ⊥AB ．又PD ⊂平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，PD ∩DE ＝D ， ∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ⊂平面PDE ， ∴AB ⊥PE ．（2）∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊥AB ，PD ⊂平面P AB ， ∴PD ⊥平面ABC ，∵P A ＝PB ＝AB ＝2，D 是AB 中点，∴BD ＝1，PD =√3，又∵S △BCE =12BC ⋅BD =12×3×1=32． ∴V P ﹣BCE =13S △BCE ⋅PD =13×32×√3=√32．19．（14分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60＜m ＜150，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益＝在职人员创利总额﹣被裁员工生活费）；（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？【解答】解：（1）设公司裁员人数为x ，获得的经济效益为y 千元，则由题意得当0＜x ≤310×2m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+x ）﹣20x ；当310×2m ＜x ≤12×2m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+2x ）﹣20x ；∴y ={(100+x)(2m −x)−20x ，0＜x ≤0.6m (100+2x)(2m −x)−20x ，0.6m ＜x ≤m，x ∈N *；（2）当0＜x ≤0.6m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+x ）﹣20x ＝﹣[x 2﹣2（m ﹣60）x ]+200m ；① 由①得对称轴x ＝m ﹣60＞0，当0＜m ﹣60＜0.6m 时，即60＜m ＜150时，当x ＝60﹣m 时，y 有最大值，y 1＝m 2+80m +3600；当0.6m ＜x ≤m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+2x ）﹣20x ＝﹣2[x 2﹣2（m ﹣30）x ]+200m ；② 由②得对称轴x ＝m ﹣30，∵60＜m ＜150，∴当0.6m ＜m ﹣30＜m 时，即75＜m ＜150时，x ＝m ﹣30，y 有最大值，y 2＝2m 2+80m +1800； ∵当m ﹣30≤0.6m 时，即60＜m ≤75时，x ＝0.6m 时，y 有最大值，y 3＝1.68m 2+128m ；∵当60＜m ≤75时，y 3﹣y 1＝0.68m 2+48m ﹣3600；y 3﹣y 1在（60，75]上单调递增，当m ＝60时，（y 3﹣y 1）min ＝1728＞0 当75＜m ＜150时，y 2﹣y 1＝m 2﹣1800＞3825＞0，即当60＜m ＜150时，y 2最大即当公司应裁员数为m ﹣30，即公司应裁员m ﹣30人时，获得的经济效益最大． 20．（16分）已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T 之间，且NF ＝2MF ．①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2；②若原点O 到直线TMN 的距离为20√4141，求椭圆方程．【解答】解：（1）由F 是AT 的中点，可得−a +a 2c=2c ，即（a ﹣2c ）（a +c ）＝0，又a 、c ＞0，则a ＝2c ，可得e =ca =12；（2）①解法一：过M ，N 作直线l 的垂线，垂足分别为M 1，N 1，依题意，NF NN 1=MF MM 1=e ，又NF ＝2MF ，故NN 1＝2MM 1，故M 是NT 的中点，可得S △MNF S △TNF=12，又F 是AT 中点，即有S △ANF ＝S △TNF ，故S 1S 2=12；解法二：有a ＝2c ，即为b =√3c ，椭圆方程为x 24c 2+y 23c 2=1，F （c ，0），T （4c ，0），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），点M 在椭圆x 24c +y 23c =1上，即有y 12=3c 2−34x 12，MF =√(x 1−c)2+y 12=√(x 1−c)2+3c 2−34x 12=√14x 12−2cx 1+4c 2=|12x 1−2c|=2c −12x 1，同理NF =2c −12x 2，又NF ＝2MF ，故2x 1﹣x 2＝4c ，得M 是N ，T 的中点，可得S △MNF S △TNF=12，又F 是AT 中点，可得S △ANF ＝S △TNF ，则S 1S 2=12；②解法一：设F （c ，0），则椭圆方程为x 24c +y 23c =1，由①知M 是N ，T 的中点，不妨设M （x 0，y 0），则N （2x 0﹣4c ，2y 0），又M ，N 都在椭圆上，即有{ x 024c 2+y 023c 2=1(2x 0−4c)24c 2+4y 023c 2=1即{ x 024c 2+y 023c 2=1(x 0−2c)24c 2+y 023c2=14，两式相减得：x 024c −(x 0−2c)24c =34，解得x 0=74c ，可得y 0=3√58c ，故直线MN 的斜率为k =3√58c 74c−4c=−√56，直线MN 的方程为y =−√56(x −4c)，即√5x +6y −4√5c =0，原点O 到直线TMN 的距离为d =√5c 5+36=√541，依题意√5√41=20√4141，解得c =√5，故椭圆方程为x 220+y 215=1．解法二：设F （c ，0），则椭圆方程为x 24c +y 23c =1，由①知M 是N ，T 的中点，故2x 1﹣x 2＝4c ，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为y ＝k （x ﹣4c ），与椭圆联立，并消去y 得：x 24c +k 2(x−4c)23c =1，整理得：（4k 2+3）x 2﹣32ck 2x +64k 2c 2﹣12c 2＝0，（*）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），即有{x 1+x 2=32ck23+4k 2x 1x 2=64k 2c 2−12c23+4k 2，由{x 1+x 2=32ck 23+4k 22x 1−x 2=4c 解得{x 1=16ck 2+4c 3+4k 2x 2=16ck 2−4c 3+4k 2，即有16ck 2+4c 4k 2+3×16ck 2−4c 4k 2+3=64k 2c 2−12c 24k 2+3，解之得k 2=536，即k =−√56．直线MN 的方程为y =−√56(x −4c)，即√5x +6y −4√5c =0，原点O 到直线TMN 的距离为d =√5c 5+36=√5c41，依题意√5c √41=20√4141，解得c =√5，故椭圆方程为x 220+y 215=1．21．（18分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，2a 1+1＝a 2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足a n ＝log 2（b n ﹣n ），求{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由已知S 4＝4S 2，2a 1+1＝a 2．可得4a 1+6d ＝4a 1+4d ，2a 1+1＝a 1+d ，解得a 1＝1，d ＝2，…..（4分）则a n ＝2n ﹣1…..（6分）（2）数列{b n }满足a n ＝log 2（b n ﹣n ），b n =2a n +n =22n−1+n ，…（8分）则T n =b 1+b 2+⋯+b n =21+23+⋯+22n−1+1+2+⋯+n=2(1−4n )1−4+n(n+1)2=23(4n −1)+n(n+1)2⋯..（12分）。

上海市2020〖人教版〗高考数学模拟试卷理科

上海市2020年〖人教版〗高考数学模拟试卷理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石2.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣13.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.294.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P18.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.3010.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•=.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m.14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值. 20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A.iB.﹣iC.1D.﹣1【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可.【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i.故选：A.【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查.2.（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论.【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础.3.（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.212B.211C.210D.29【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.【解答】解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10.（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29.故选：D.【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力.4.（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D.对任意正数t，P （X≥t）≥P（Y≥t）【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可.【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）.故选：C.【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.5.（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到.【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3.运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列.故p是q的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键.6.（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=﹣sgnxC.sgn[g （x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可.【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f （ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx.所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B.【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.7.（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y ≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A.P1＜P2＜P3B.P2＜P3＜P1C.P3＜P1＜P2D.P3＜P2＜P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可.【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小.8.（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b （a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A.对任意的a，b，e1＞e2B.当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C.对任意的a，b，e1＜e2D.当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论.【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础.9.（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A.77B.49C.45D.30【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求【解答】解：解法一：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个.故选：C.【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素.10.（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A.3B.4C.5D.6【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4.【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4故选：B.【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题.二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.（5分）已知向量⊥，||=3，则•= 9 .【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案.【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴.故答案为：9.【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题.12.（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln （x+1）|的零点个数为 2 .【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可.【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}.f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2.所以函数的零点有2个.故答案为：2.【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用.13.（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= 100m.【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h.【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600.根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100.【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解. 14.（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2.（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2 ；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2.其中正确结论的序号是①②③.（写出所有正确结论的序号）【分析】（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可.【解答】解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2.（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确.+=+（）=，③正确.故答案为：①②③.【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题.选修4-1：几何证明选讲15.（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=.【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可.【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==.故答案为：.【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力.选修4-4：坐标系与参数方程16.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=.【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案.【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（ t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4.联立，得，即.∴A（），B（），∴|AB|=.故答案为：.【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象.若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值.【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g （x）=5sin（2x+2θ﹣）.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可得解.【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣.数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）.（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin （2x+2θ﹣）.因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z.令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z.由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z.由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值.【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查.18.（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100.（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n.【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可.【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣.【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.19.（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.（1）证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值.【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角.（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线.利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可.2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案.【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC.而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线.由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则 tan=tan∠DPF===，解得.所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得.所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=.【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题.20.（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量.（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.【分析】（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列.求出期望即可.（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可.【解答】（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y.当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）.将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160.当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）..将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200.当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）.将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800.故最大获利Z的分布列为：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力.21.（14分）一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且||=||=1，∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，即，且t（t﹣2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，代入x02+y02=1，得方程为.（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=，②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，可得S△OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S△OPQ=||=8||，当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大.22.（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数.（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n.【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x.取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n.然后利用数学归纳法证明.（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n.【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x.当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减.故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）.当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x.令，得，即.①（2）解：；=；.由此推测：=（n+1）n.②下面用数学归纳法证明②.（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立.（2）假设当n=k时，②成立，即.当n=k+1时，，由归纳假设可得=.∴当n=k+1时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n.即T n＜eS n.【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题.创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

2020年上海市高考数学模拟试题

2020年上海市高考数学模拟试题第 I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{|(1)(2)0}A x x x =-+>，集合{3,2,1,0,1,2}B =---，则A B 等于A. {0,1}B. }2,3{--C. }2,3{-D. {3,2,1,2}-- 【答案】C 【分值】5分【解析】因为集合),1()2,(+∞--∞= A ，}2,1,0,1,2,3{---=B ，所以}2,3{-=B A 【考查方向】本题考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于高考常考题型。

【易错点】1、容易忽略集合A 中的>看成≥，从而选择B 2、一元二次不等式的求解出错【解题思路】1、先求出集合A 、B2、求出集合A 、B 中的公共元素2.已知i 是虚数单位，若复数22aiz i+=+在复平面内的对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是 A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分值】5分【解析】因为复数()()()()i a a i i i ai iai z )22(4222222-++=-+-+=++=，在复数平面内对应的点（4+a,2a-2)在第四象限，可得⎩⎨⎧<->+02204a a ,得-4<a<1,【考查方向】本题考查复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，属于高考常考题型。

【易错点】1、复数的计算容易出错 2、复数的几何意义记不清【解题思路】1、首先将已知等式变形，复数的分母实数化，利用复数代数的形式乘除运算化简。

2、根据象限得出，实部大于0，虚部小于0，求出答案3.已知角θ的终边过点(2,3)，则tan()4πθ-等于A. 15-B. 15C. 5-D. 5 【答案】B 【分值】5分【解析】因为角θ的中变过点（2,3），所以tan θ=23,tan()4πθ-=θθtan 11tan +-=51【考查方向】本题考查的是任意角的三角函数定义、两角差的正切公式，属于高考常考题型。

2020届上海市高三高考模拟2数学试题(解析版)

2020年全国普通高等学校招生统一考试上海数学模拟试卷（2）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号. 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.若集合{}|A x y x R ==∈，{}|1,B x x x R =≤∈，则A B I =________.【答案】{}1 【解析】【分析】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，找出两集合的交集即可．【详解】解：由A 中y =10x -…，解得：1x …，即{|1}A x x =…，由B 中不等式变形得：11x -剟，即{|11}B x x =-剟，则{1}A B ⋂=，故答案为：{1}．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.若函数()1f x =，()g x =，则()()f x g x +=__________．【答案】1+(01)x ≤≤ 【解析】分析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.【详解】Q ()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤()())1101f x g x x ∴+==≤≤故答案为)101x ≤≤【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失. 3.若3sin 5α=且α是第二象限角，则cot 24απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________.【答案】2 【解析】【分析】由α是第二象限角，及sin α的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，进而确定出tan α的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出tan 2α的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把tan2α的值代入计算，即可求出值．【详解】解：αQ 是第二象限角，且3sin 5α=，4cos 5α∴=-，3tan 4α=-，22tan32tan 412tan ααα∴==--，即23tan8tan 3022αα--=，解得：1tan23α=-或tan 32α=，因为α是第二象限角，2α是第一象限或第三象限角，tan 02α∴> tan32α∴=则tantan31124tan 241321tan tan 24απαπαπ--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+．则1cot 224tan 24απαπ⎛⎫-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭．故答案为：2．【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．4.若函数())0f x x =≥的反函数是()1f x -,则不等式()()1f x f x ->的解集为______.【答案】{}|1x x > 【解析】【分析】由())0f x x =≥求出反函数，直接解不等式即可.【详解】设())0y f x x ==≥,则3x y =,x ,y 互换,得()13f x x -=,0x ≥,,∵()()1fx f x ->,∴3x >9x x >,∴81x >,解得1x >. ∴不等式()()1fx f x ->的解集为{}|1x x >.故答案为:{}|1x x >.【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.5.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，且(1)0f =，则使得()0f x <的实数x 的取值范围是________. 【答案】(1,1)- 【解析】【分析】先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，(1)(1)0f f -==；再由函数单调性，即可求出结果. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上单调递减，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；又(1)0f =，所以(1)(1)0f f -==，所以当0x >时，由()0f x <得：01x <<；当0x ≤时，因为函数单调递减，由()0f x <可得：10x -<≤；综上，使得()0f x <的实数x 的取值范围是(1,1)-. 故答案为(1,1)-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 6.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为______ 【答案】32【解析】【分析】根据正弦函数的单调区间,结合函数在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,即可求得ω的最大值. 【详解】设()sin g x x =,()2sin (0)f x x ωω=> 因为(0)2sin 00f == ()f x 且0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增,()sin g x x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增所以32ππω⋅≤即32ω≤所以ω的最大值为32故答案为:32【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.7.设P是曲线(2tan x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_____．【答案】22841x y -= 【解析】【分析】由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．【详解】曲线（θ为参数），即有sec tan yθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由sec 2θ﹣tan 2θ＝1，可得曲线的方程为2x 2﹣y 2＝1，设P （x 0，y 0），M （x ，y ），可得0022x x y y =⎧⎨=⎩，代入曲线方程，可得2x 02﹣y 02＝1，即为2（2x ）2﹣（2y ）2＝1，即为8x 2﹣4y 2＝1．故答案为8x 2﹣4y 2＝1．【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．8.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)【答案】255【解析】【分析】12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -,在其12条棱中随机地取3条, 基本事件总数312220n C ==,这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数8m =, ∴这三条棱两两是异面直线的概率是8222055m p n ===. 故答案为:255. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题. 9.若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】【分析】化简2sin 3sin y x x=++，利用对勾函数求值域，分类讨论t 与值域中点的大小，即可写出最大值()g t .【详解】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++, ∵1sin 1x -≤≤, ∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+, ∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．10.如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,,P P P L ，记2i i M AB AP =⋅u u u u v u u u v（1,2,,10i =L ），则1210M M M L +++=________.【答案】180 【解析】【分析】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，求出直线33B C 的方程，可设(i i P x ，)i yi i y += 【详解】解：以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得2B，3B ，3(6,0)C ，直线33B C的方程为6)y x =-，可设(i i P x ，)i yi i y +=即有23i i i i M AB AP x =⋅=u u u u r u u u r)18i i y =+=，则12101810180M M M ++⋯+=⨯=．故答案为：180．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.设函数2,1()(0,1),2,1xa x f x a a x x x ⎧<⎪=>≠⎨-≥⎪⎩若不等式()3f x ≤的解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(]1,3 【解析】【分析】利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．【详解】0a >，且1a ≠，设函数21()21x a x f x x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若不等式()3f x …的解集是(-∞，3]，当1x …时，2|2|3x x -…，可得2323x x --剟，解得13x 剟；当1x <，即(,1)x ∈-∞时，3x a …，不等式恒成立可得13a <…．综上可得13a <…．∴实数a 的取值范围为：(1，3]．故答案为：(1，3]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 12.已知*n N ∈，从集合{}1,2,3,,n L 中选出k （k ∈N ,2k ≥）个数12,,,k j j j L ，使之同时满足下面两个条件：①121k j j j n ≤<<≤L ； ②1i i j j m +-≥（1,2,,1i k =-L ），则称数组()12,,k j j j L 为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m组合，其组合数记为(),k m nC . 例如根据集合{}1,2,3可得()2,133C =.给定集合{}1,2,3,4,5,6,7，可得()3,27C =______.【答案】10 【解析】【分析】由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．【详解】解：由题意得(3,2)7C 即从定集{1，2，3，4，5，6，7}中选出3个元素且限距为2的组合．于是若从{1，3，5，7}中任选3个均符合要求则有344C =个，若选{2，4，6}也满足条件；另外还有{1，3，7}，{1，3，6}，{1，4，7}，{1，5，7}，{2，5，7}均满足条件，故(3,2)741510C =++=，故答案为：10．【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）的A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为21π12π12+223π+42⨯+⨯⨯⨯⨯= ,选D.14.过抛物线28y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（） A. 有且只有一条 B. 有两条C. 有无穷多条D. 必不存在【答案】B 【解析】【分析】设出AB 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．【详解】解：抛物线的焦点坐标为(2,0)，若l 无斜率，则l 方程为2x =，显然不符合题意．若l 有斜率，设直线l 的方程为：(2)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组28(2)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元得：2222(48)40k x k x k -++=，∴2122489k x x k ++==，∴k =故选：B ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．15.若z C ∈，则“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”成立的（）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】B 【解析】【分析】设z x yi =+，由||1x …，||1y …，可得||z …，充分性不成立；反之成立．【详解】解：设z x yi =+，由||1x …，||1y …，则||z =由||1z ，则221x y +…，所以||1x …，||1y …，即必要性成立．所以“Re 1,1z Imz ≤≤”是“||1z ≤”必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.对于正实数α,记M α是满足下列条件的函数()f x 构成的集合:对于任意的实数12,x x R ∈且12x x <,都有()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-成立.下列结论中正确的是( ) A. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα⋅⋅∈ B. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈且()0g x ≠,则()()12M f x g x M αα∈ C. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈,则()()12f x g x M αα++∈D. 若()1f x M α∈,()2g x M α∈()2g x M α∈且12αα>,则()()12f x g x M αα--∈ 【答案】C 【解析】【分析】由题意知2121()()f x f x x x αα--<<-，从而求得．【详解】解：对于()()()()212121x x f x f x x x αα--<-<-, 即有()()()2121f x f x x x αα--<<-,令()()()2121f x f x k x x -=-, 则k αα-<<,若()1f x M α∈,()2g x M α∈, 即有11f k αα-<<,22g k αα-<<, 所以1212f g k k αααα--<+<+, 则有()()12f x g x M αα++∈, 故选：C .【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在锐角△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-．（1）求角A 的值；（2）若12AB AC ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2）【解析】试题分析：（1）将等式2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值12，进而得6A π=；（2）由cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得AB AC =u u u r u u u r，进而可得△ABC 的面积.试题解析：（1）在△ABC 中，2sin sin sin()sin()44A B B B ππ=++-2sin (cos sin cos )2222B B B B B =++- 2221sin (cos sin )2B B B =+-221sin (12sin )2B B =+-12=又A 为锐角，∴6A π=．（2）cos 126AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AB AC =u u u r u u u r，∴111sin 2622ABCS AB AC π∆==⨯=u u u r u u u r 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24cm π，高为30cm ，圆锥的母线长为20cm .（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.13cm ）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？【答案】（1）11158.9；（2）110425π【解析】【分析】（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．【详解】设圆柱的底面半径为r ，高为h ；圆锥的母线长为l ，高为1h ，根据题意可知：（1）224r ππ=，12r =cm ，116h ==cm ，所以“笼具”的体积2211355211158.93V r h r h πππ=-=≈cm 3．（2）圆柱的侧面积12720S rh ππ==cm 2，圆柱的底面积22144S r ππ==cm 2，圆锥侧面积3240S rl ππ==cm 2，所以“笼具”的表面积为1104π cm 2，故造50个“笼具”的总造价：4110450811041025ππ⨯⨯=元．答：这种“笼具”的体积约为11158.9 cm 3，生产50个“笼具”的总造价为110425π元. 【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 19.某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元（0a >），A 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高0.2%x（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的40%时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）500；（2）(0,5.1]. 【解析】【分析】（1）根据题意，列出不等式10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，求解即可；（2）求出x 的范围，得出不等式310(500x a -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，整理可得210001500x a x ≤++恒成立，根据x 的范围，可知函数在定义域内为减函数，当400x =时，函数取得最小值．【详解】设调出x 人参加B 项目从事售后服务工作（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）由题知，0400x <≤，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310(500xa -)10(1000)(10.2%)x x x ≤-+，所以23110002500500x ax x x -≤+--2x ，的所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x≤++恒成立，因为0400x <≤，所以210002400100011 5.1500500400x x ⨯++≥++=，所以 5.1a ≤，又0a >，所以0 5.1a <≤，即a 的取值范围为(0,5.1]．【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．20.教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点.（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由.【答案】（1）a =2）2（3）见解析【解析】【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ,22x xy y 12+=,CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v =-，于是CD0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v 代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y在椭圆上，整理化简得222x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上.【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=,于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD = 将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=所以直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 联立1221y y m 2=-+ 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m 12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++ 即22C C x y 12+=当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2（3）点N 在直线AB 上，因为()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠u u u v u u u v ，且CM λMD u u u u v u u u u v=-于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭，C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=-- 00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-L ，即N 在直线AB 上.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，112n n n S a a +=⋅（*n N ∈）（1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122n n a a n b +-=，且()11211lim 384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞+++=L ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2m ≥，k m <，在数列{}k c 中，11c =，11k k k c k mc a ++-=，求12m c c c +++L . 【答案】（1）见解析（2）2（3）1m【解析】【分析】（1）通过112n n n S a a +=，利用11n n n a S S ++=-整理得22n n a a +-=，进而可知数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知212n n b +=，进而可知151124n n nb b +=g ，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；（3）通过11k k k c k m c a ++-=及n a n =分别计算出21c c 、32c c 、43c c 、1n n c c -的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．【详解】（1）证明：112n n n S a a +=Q ，111211122n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=-，整理得：22n n a a +-=，又11a =Q ，12122S a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式n a n =，即数列{}n a 是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知122(1)21222n n a a n n n n b +--++===，123511112224n n n n n b b +++∴=⋅=⋅， 1121511111()2444k k k k n n k k n b b b b b b +++++∴++⋯+=++⋯+ 151111412414n k k-+-=⋅⋅-321111(1)324k n k ++-=⋅-，又Q 11211lim()384k k k k n n n b b b b b b ++++→∞++⋯+=，即3211132384k +⋅=，解得：2k =；（3）解：11c =Q ，11k k k c k mc a ++-=，n a n =， ∴11k k c k m c k +-=+，1(1)(1)(,2)k k c m k m k m c k---=-⋅>…， 2211(1)2c m c c -∴==-， 232321(2)(1)(1)32c c m m c c c --=⋅=-⨯， 3343424321(1)(2)(3)1(1)(1)4321m c c c m m m c C c c c m---=⋅⋅=-⋅=-⋅⋅⨯⨯⨯， ⋯11(1)k kk m c C m-=-⋅⋅，显然当1m =时满足上式 12m c c c ∴++⋯+1211(1)m m m m m C C C m-⎡⎤=-+⋯+-⋅⎣⎦ 02314(1)111m mmm m m m m C C C C C C m ⎡⎤+⋯+--=⎢⎥-+-⎣-+⎦⋅1(11)11m m --=⋅- 1m=．【点睛】本题考查数列的通项及前n 项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

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第 I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{|(1)(2)0}A x x x =-+>，集合{3,2,1,0,1,2}B =---，则A B 等于A. {0,1}B. }2,3{--C. }2,3{-D. {3,2,1,2}-- 【答案】C 【分值】5分【解析】因为集合),1()2,(+∞--∞= A ，}2,1,0,1,2,3{---=B ，所以}2,3{-=B A 【考查方向】本题考查集合的运算及一元二次不等式的解法，属于高考常考题型。

【易错点】记不住两角差的正切公式【解题思路】1、根据正切函数的定义，求出θtan 2、再利用两角差的正切公式计算4.已知点(2,),(1,1)a m b ==，若||a b a b ⋅=-，则实数m 等于 A. 12 B. 12- C. 13 D. 13-【答案】D 【分值】5分【解析】m m b a +=+=⋅21*1*2,2)1(1||-+=-m b a ,解得m=13-【考查方向】本题考查平面向量数量积：设1122(,),(,)a x y b x y ==，1212a b x x y y •=+，向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±，221221)()||y y x x b a ±++=±（，属于高考常考题型。

【易错点】混淆平面向量数量积与加减运算【解题思路】1、先求出b a ⋅2、再根据向量加减运算公式，计算出m 值5.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()(21)ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线斜率为A. -2B. -1C. 1D. 2 【答案】B 【分值】5分【解析】xx X f x x x f x 12ln 2)(,ln )12()(0'-+=∴-=>时，当，是偶函数，函数1-)1()(,1)1(''=∴=∴f x f f1-))1(1-)(y 处的切线斜率为，在点（曲线-=∴f x f ，所以选择B【考查方向】本题考查了函数导数的几何意义、利用函数的奇偶性【易错点】对利用导数研究曲线上某切点方程，导数概念及应用不够熟练。

【解题思路】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出当x>0时，切线斜率，再利用函数f(x)是偶函数，即可得出结论。

6.如图是一个程序框图，则输出的n 的值是 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分值】5分【解析】;2,120===n q p ，第一次：;3,410===n q p ，第二次：;4,9310===n q p ，第三次： 55,1665====n n q p ，此时条件满足，输出，第四次：【考查方向】本题主要考查程序框图的应用问题，解题时间应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题。

【易错点】本题在循环体内嵌套了一个条件结构，使得循环时累加变量的变化规律不同。

【解题思路】根据题意，模拟程序框图的运算过程，即可得出输出的n 值。

7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(,0)F c ，直线x a =与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为,A O 为坐标原点.若OAF 的面积为213a ，则双曲线C 的离心率为23 B. 33C. 2D.1323【分值】5分【解析】舍去），或解得化简为由题意得，(212,02-3bc -2,3121222b c b c b c a bc -====332,322===-=a c e b b c a 所以。

【考查方向】本题考查了双曲线的离心率求法、化简整理的运算能力，属于高考常见题型。

【易错点】混淆椭圆与双曲线的离心率【解题思路】利用OAF ∆的面积，建立方程，即可以求出双曲线的离心率。

8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且120a =-.在区间(3,5)内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为 A.15 B. 16 C. 314 D. 13【答案】D 【分值】5分【解析】若n S 的最小值仅为6S ，可得,0,076><a a ⎩⎨⎧<+-<+-06200520d d ，解得4310<<d ，则所求的概率为313-5310-4= 【考查方向】本题考查概率的计算、等差数列前n 项和最值、学生分析解决问题的能力。

【易错点】对等差数列最值的解析思路掌握不到位。

【解题思路】利用n S 的最小值仅为6S ，可得,0,076><a a 求出4310<<d ，即可求出n S 的最小值为6S 的概率。

9.已知函数设1m n >≥-，且()()f m f n =，则2)m f m ⋅的最小值为A. 4B. 2C. 2D. 22【答案】D 【分值】5分【解析】首先作出f(X)图表，41,1),()(≤≤∴-≥>=m n m n f m f222)21()2(2≥+=+=mm m m m mf当且仅当2=m 时等号成立。

【考查方向】本题考查了分段函数的图像、基本不等式的应用，这是一道常见的数形结合题。

【易错点】基本不等式的使用，这里的0≥m 【解题思路】1、首先做出f(x)的图表 2、根据图像判断m 的范围 3、利用基本不等式求出最小值10.如图是某几何体的三视图，图中圆的半径均为1，且俯视图中两条半径互相垂直，则该几何体的体积为 A. 2π+ B. 43π C. 32π D. 2π 【答案】C 【分值】5分【解析】由三视图知改几何体是由3/4个半径为1的球和1/4个底面半径为1，高为2的圆柱组合而成，其体积为πππ232413443=⨯+⨯ 【考查方向】本题主要考查三视图求几何的体积，考查学生空间想象能力。

【易错点】三视图转化立体几何图形不清楚，几何的体积公式记不住。

【解题思路】由三视图复原几何体是解题关键，由柱体、锥体的体积公式求出几何的体积。

11.将函数()2cos 2f x x =的图像向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图像.若函数()g x 在区间[0,]3a 和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是A. [,]32ππB. [,]62ππC. [,]63ππD. 3[,]48ππ【答案】A 【分值】5分【解析】将函数f(x)=2cos2x 的图像向右平移6π个单位后，得到函数g(x)的图像。

得g(x)=2cos2(x-6π)=2cos(2x-3π),由Z k k x k ∈≤-≤+-,2322ππππ当k=0时，函数的增区间为]6,3[ππ-,当k=1时，函数的增区间为]67,32[ππ 要使函数g(x)在区间]3,0[a 和]67,2[πa 上均单调递增，则]2,3[a ,67232630πππππ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<解得a a【考查方向】本题主要考查三角函数的图形变化，考查了)sin(ϕω+=x A y 型函数的性质。

【易错点】x 的取值范围，图像的平移【解题思路】由函数的图像平移求得函数g(x)的解析式，进一步求出函数f(x)的单调增区间，结合函数g(x)在区间[0，a/3]和[2a,7π/6]上均单调递增列关于a 的不等式组求解。

12.如图在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,2AB AC AB AA AC ⊥===,过BC 的中点D 作平面1ACB 的垂线，交平面11ACC A 于E ，则点E 到平面11BB C C 的距离为A.2 B. 22 C.3 D. 3【答案】C 【分值】5分【解析如图所示，连接C A B A 11,111111,1,,A ABB AB A ABB AC AA BC AA AC 平面又平面⊂⊥∴⊥⊥是正方形四边形，又11111,,A ABB AA AB AA AB AB AC ∴⊥=⊥∴ A AC B A C AB AC C AB AB AB B A =⊂⊂⊥∴ 111111,，平面，平面又 B A DE C AB DE C AB B A 1111//∴⊥⊥∴，平面，平面的中点。

为的中点，为C A E BC D 1∴∴点E 到平面C C BB 11的距离为A 到平面C C BB 11的距离的1/2边上的高的斜边的距离为到平面平面平面BC ABC R C C BB A C C BB ABC ∆∴⊥t 1111 6,2,2=∴==BC AC AB 332t 边上的高为的斜边BC ABC R ∆∴ ∴点E 到平面11BB C C 的距离为3 【考查方向】本题考查了线面垂直的判定，空间距离的计算。

【易错点】对点、线、面间的距离计算掌握的不透彻三、【解题思路】连接C A B A 11,，可证C AB B A 11⊥,故而E322sin 31cos 0s cos sin 3cos sin cos sin cos sin cos sin 3cos sin cos )3(cos )1(==∴≠=+-=∴-=A A inC A C A B B A AB AC B A A b c B a 则即 DE B A 1C A 1C C BB 11C C BB 11ABC∆II _______.503{}n a 2337,23a a =={1}n na +______.n a =nn 12-是等比数列，且数列由题意得知，}1{na ,813,41a 232+=+=+n a ，的等比数列，即公比为的首项为数列nn n na 2122}1{na =++∴na n n 12-=，的等比数列，即公比为的首项为n n n na 2122}1{na =++,x y 24020230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩22()x a y ++0a >________.a =22y x z +=⎩⎨⎧=+-=-+02042y x y x 82)20(22=++22)2(y x ++ABCD 22(0)y px p =>//,24,60AB CD CD AB ADC ==∠=A _________.123732a ,23,334)3(212p AF p a a p pa +===⎩⎨⎧=+=所以解得1237答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos (3)cos a B c b A =-. （1）求sin A ；（2）若22a =ABC 2，求b c +的值. 【答案】4)2(,322sin )1(=+=c b A 【分值】12分【解析】4,0,016c)b,838)(832223bc,2bc322,)2(2222=+∴>>=+=-+∴=-+∴===∴∆cbcbbccbbccbaABC即（解得的面积为【考查方向】本题主要考查了正玄定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，余弦定理，三角形面积公式以及特殊角的三角函数值。