泛函第九章习题答案

f1( x0 ) ，x E， 令 f2( x0 )
x
x
f1( x) f1( x0 )
x0，
则
f1( x) 0， 所 以 f2 ( x) 0， 即
f2( x)
f1( x) f1( x0 )
f2( x0 ) 0
所 以 f1( x) kf2( x) x E
即 f1 kf2 ， 其 中k
f1( x0 ) . f2( x0 )
2.设{ xn }是赋范线性空间E中一元素列，证明y L{ xn }的充分必要 条件是：对任何f E *，若f ( xn ) 0 (n 1,2,)，则 f ( y) 0.
必要性，设y L{ xn }，f E *，f ( xn ) 0 (n 1,2,)，则对x L{ xn }，
第九章 线性泛函
1.设
f1，f
是
2
线
性
空
间E上
两
个
线
性
泛
函
，
证
明；
若
f11(0)
f
1 2
(0)，
则 f1 kf2 .
如 果 f11(0) E， 则 f1 f2 0， 下 设 f11(0) E， 取x0 E，
f1( x0 ) 0， 依 条 件 f2 ( x0 ) 0， 令 k
必有f
( x)＝0，现在取yi

L{ xn }，使yi

y，则
f
( y)

lim
i
f
( yi )

0.
充 分 性 ， 如 果y L{ xn }， 则 ( y, L{ xn }) d 0， 根 据Hahn - Banach
定 理 的 系 ， 存 在f E *， 满 足1) x L{ xn } f ( x) 0；
证明：x E，| f ( x) | ( x, N ).
设x E， 则y N， 有 | f ( x) || f ( x y) | f x y x y
故 | f ( x) | inf x y ( x, N ) (1) yN
又 因 为 f 1， 故 对 任 意0 1， 存 在x E，x 1使f ( x ) 1 ，
线
性
泛
函
，
证明f
的
0
保 范 延 拓 是 唯 一 的.
若 f0 E0 0， 则 结 论 显 然 成 立 ， 下设 f0 E0 0.
如
果
f
的
0
保
范
延
拓
不
是
唯
一
的，
则有
f1、f 2

E
*
它
们
都
是f
的
0
保
范
延
拓.
则 f1 f2 f1 f2 E0 2 f0 E0 2 f1 2 f2
取
f0
1， 则
E0
f1 f2 1， 而
f1 f2

f1 f2
2
f0
2
E0
此 与 题 设 条 件 矛 盾.
5.记l02 {(1 ,2 ,) | 只 有 有 限 个i 0}，l02上 元x (i )
的 范 数 定 义 为x
＝
i 1
|q
1/ q
i1


(i ) l p
( 3)
此 外 ， 因 为(i ) l q， 故( i |i |q1 ) l p (其 中 i signi )

ຫໍສະໝຸດ Baidu

记x0 ( i | i |q1 )， 则 f ( x0 ) i |i |q1 i | i |q (4)
6. 设f ( x)为m上的线性泛函：x (i ) m，有 f ( x) i0
(i0为固定自然数), 试证 f是m上有界线性泛函， 并求出 f的范数.
因 为| f ( x) || i0 | sup | i | x (x (i ) m)，
故 f是 有 界 的 ， 且f 1， 现 在 ， 特 别 取x0 ( i0i )，
其 中 i0i

0 1
当i 当i

i0 ， 则 i0
x0
1， 且 f ( x0 ) i0i0 1，
故 f f ( x0 )＝1， 因 此 f 1.
7.设p 1，试证l p * l q (q p ). p1

1o 首 先 证 明 ： 若(i ) l q， 令f ( x) ii x (i ) l p (1) i 1
令 x

x
f (x) f ( x )
x，
则
f
(
x
)

0， 故x

N，
从
而
x
x
(x, N )
所以 f (x) f ( x )
f (x) f ( x ) x

x x ( x, N )
| f ( x) | f ( x ) ( x, N ) (1 ) ( x, N )
则 f ( x)是l p上 的 有 界 线 性 泛 函 ， 且f (i ) l p
( 2)
事 实 上 ， 由|
f ( x) ||

ii
i 1
|


|i
i 1
|q 1/ q

|i
i 1
| p 1/ p
可 知
f


| i
2) f ( y) 1；
3)
f

1 d
， 特 别 必 存 在f

E
*， 使f
(xn )

0(n

1,2,)，
而f ( y) 0， 故 若 f E *，f ( xn ) 0 (n 1,2,) f ( y) 0
必 有y L{ xn }.
3. 设 f E *，f 1，N {x E | f ( x) 0}，
令 0， 即 得| f ( x) | ( x, N ) (2)
结 合 （1） （2） 即 得| f ( x) | ( x, N ).
4. 设E是赋范线性空间，又设当f1、f2 E *，
f1

f2
1，f1

f
时
2
恒
有
f1
f2
2，
若f
是
0
定
义
在E的
子
空
间E0上
的
有
界
|i
|2

1
/
2
，
试
在l02上
造
出
一
个
无
界
的 线 性 泛 函.
x (i ) l02 ,定 义 ：

f ( x) nn n1
( n1)个 0
则 易 知f是l02上 的 线 性 泛 函 ， 因 为 对en (0,,0,1,0,) l02
有 en 1， 而f (en ) n， 故 f 是l02上 无 界 线 性 泛 函.