解析几何第三章 第一节

习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2, 3) ，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2, 2, 1 .
点 P x , y , z 在圆锥面上 P0 P , v
反过来，下列形式的三元二次方程
I x y z

Ax By Cz D , I
可写成(3.1.2)式的形式，再经配方,得 x a y b z c d a b c . 记 a b c d K . 当 K 0 时, 它表示一个球心在 点C a , b , c ，半径为 K 的球面; 当 K 0 时, 它的图 形退化成点 C ，称为点球面；当K 0 时，无实图形或 说它表示一个虚球面.
注意，用来表示图形的一般方程不一定惟一. 现在考虑方程及方程组的图像. 在空间引入坐标系以 后，对于以 x , y , z 为变量的三元方程(或方程组)，它的所 有解对应的空间点的集合便称为此方程(或方程组)的图像. 例如在直角坐标系下，试考察方程 z x y z x y z 和方程组 x y z ,
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结论: 在直角坐标系下，球面方程是一个平方项系 数相等而无交叉项的三元二次方程；反之，任何一个三 元二次方程，如果它的平方项系数非零且相等，而且不 含交叉项，那么它表示球面(实球面、点或虚球面).
例3. 1.2 与一条定直线 l 的距离为常数 a 的点组成一 个曲面，它就是圆柱面， 称为它的轴，a 叫做圆柱面的 l 半径. 选取直角坐标系使 l 为 z 轴，建立圆柱面的方程. 任 取点 M ( x , y , z ) ，点 M 在该圆柱面上的充分必要条件是
cos OP , k

cos
,由此可
得到圆锥面的坐标式方程为 . x y tan z 该方程是二次齐次方程.
,
在空间建立直角(或仿射)坐标系后，曲面 S 通常用一 个含 x , y , z 的方程 F x , y , z 来表示，这是指曲面 S 上 每一点坐标都满足方程 (3.1.4) F x, y , z . 反之，任何满足方程(3.1.4)的有序数组 x , y , z 一定是曲面S 上某个点的坐标.方程 (3.1.4) 叫做曲面 S 的一般方程，曲 面S称为方程(3.1.4)的图形. 对于空间曲线，将它看成是两个空间曲面的交线. 一 般来说, 把两个曲面的一般方程联立起来得到的方程组 F x , y , z , (3.1.5) G x, y , z 是空间曲线 的一般方程，曲线 上每一点的坐标都满 足方程组(3.1.5).反之，任何满足方程组(3.1.5)的有序数组 x , y , z 一定是曲线 上某个点的坐标.
x y a,

于是
x y a



(3.1.3)
是所求的圆柱面方程. 通过对方程的分析知, 该方程表示的圆柱面是由平行 于 z 轴且与 xO y 平面上以原点为圆心，半径为 a 的圆周 相交的一族平行直线构成.这族平行直线中的每一条都叫 做母线.
问：假设圆柱面的轴经过点 P0 x0 , y 0 , z 0 ,并且方向向量 v l , m , n ,又 a 为圆柱面的半径, 圆柱面的方程如何求？ 习题5.（1）设圆柱面的半径为3，轴过点 P0 1, 0, 2 ， 方向向量 v 1, 2, 3 ，求该圆柱面的方程
2 2
因此所求的圆锥面方程为
2 2 2 2 27 x 1 y 2 z 3 4 2 x 2 y z 3 .
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论. 前三种曲面具有明显的几何特征,我们 着重从这些曲面的几何特性来建立它们的方程. 而对 后五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出发来讨 论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.本章最后一 节讲作图，介绍画曲面的交线以及由曲面围成的空间 区域 .
解 点 P x , y , z 在该圆柱面上
P0 P v v
14 ,
3，
即
x 1, y , z 2 1, 2, 3
3
于是所求的圆柱面方程为
3 y 2z 4
2
z 3 x 1 2 x y 2 126.


或 ，
因而
cos P0 P , v cos ,


P0 P v = cos P0 P v ,
3 2 3
即
2 x 1 2 y 2 z 3
x 1
2
y 2 z 3 ,
的图像. 一个方程的图像也可能是一条曲线,例如方程 x y
x , 与方程组 同解，图像是 z 轴. y
z
例3.1.4 方程组
x y z a, a x y ax
的图像是球面
3.1 图形和方程 取定空间坐标系后，我们有可能对空间图形建立起 方程，进而通过对方程的分析来研究几何图形. 例3.1.1 取定一直角坐标系,容易写出以点 C x , y , z 为球心，半径为 R 的球面方程.空间点 P x , y , z 位于球面 上当且仅当 C P R ，用坐标表示则为 (3.1.1) x x y y z z R , 这就是球面方程. 将这个方程展开,得到关于 x , y , z 的三元二次方程 2 2 2 (3.1.2) x y z 2 ax 2 by 2 cz d 0, 2 2 2 2 a x0 , b y 0 , c z 0 , d x0 y 0 z 0 R . 其中 该方程的特点是各平方项系数相同，不含交叉项(指 xy , yz , zx 项)且 a 2 b 2 c 2 d 0 .
2 2
例3.1.3 过定直线 l 上一点 P0 且与该直线交于定锐角 的动直线所形成的曲面是圆锥面,直线 l 叫做它的轴, 点 P0 称为顶点，定锐角 叫做半顶角 选取直角坐标系，使坐标原点 O 为圆锥面顶点P0 , z 轴 为直线 l ,因而 l 的方向向量可选为 k 0, 0,1 . 点 P x , y , z 在圆锥面上的必要充分条件是向量OP 与 k 的夹角等于 或 ，因而

x y z a





与母线平行于z 轴的圆柱
a a 面 x y
的交线，称为维维安尼(Viviani）曲
线，它也可以用等价的方程组
z ax a , a x y ax
来表示，其中 x a .