直线与圆中的最值问题

二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长

1直线具有斜率k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为

1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长

12AB x =-=

12y y =-

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为

1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.

2当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.

三、过两圆C 1: x 2 + y 2 +D 1x +E 1y +F 1 = 0和C 2: x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2 = 0的交点的圆系方程，一般设为

x 2+y 2 +D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2) = 0 (λ为参数)此方程不包括圆C 2.

四、对称问题1和最小，化异侧

2差最大，化同侧

例题分析

1、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，

（1）求

y x 的最大值和最小值;（2）求y x -的最大值与最小值；（3）求22x y +的最大值与最小值.

2、已知两定点(3,5)A -，(2,15)B ，动点P 在直线3440x y -+=上，当

PA ＋PB 取最小值时，这个最小值为（）.A

．B ．362 C

．D

．5+

3、已知点)8,3(-A 、)2,2(B ，点P 是x 轴上的点，求当PB AP +最小时的点P 的坐标．

直线与圆

【解答】如图示：,考虑代数式的几何意义: ⑴y x 即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即y x 取得最大值与最小值；

⑵y x -即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距；

⑶22x y +即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大.

解（1）设(,)P x y 为圆22(2)3x y -+=上一点.y x 的几何意义为直线OP 的斜率，设y k x

=，则直线OP 的方程为y kx =.当直线OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值.

∵圆心到直线y kx =的距离

d =

=，=即k =直线OP 与圆

相切.∴y x 的最大值为3，最小值为（2）令y x b -=，即y x b =+，求y x -的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距的最大值与最小值.

当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线y x b =+的距离

d ==

=2b =时，直线OP 与圆相切.∴y x -2，最小值为2. （3）要22x y +的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值.

当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；

当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大；

∵左交点坐标为(2，右交点坐标为(2

的最大值与最小值分别为22

∴22x y +的最大值与最小值分别为7+，7-2【分析】先求出点A 关于直线3440x y -+=的对称点'A ，连接A '和B 交直线于点P ，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时PA ＋PB 取值最小，最小值为|'|A B .根据两点间的距离公式即可求得最小值。

【解答】如图示：，设点A 关于直线3440x y -+=的对称点为'(,)A x y =， 则53134353()4()4022y x x y -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩解得3,3x y ==-

即'(3,3)A =

-|'|A B == 即PA ＋PB

的最小值为

3【分析】先求出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接点A 和点'B 交x 轴于P 点，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时PB AP +取值最小，最小值为|'|B A ，点P 的坐标即为'B A 与x 轴交点。

【解答】如图示：，点B 关于x 轴的对称点为'(2,2)B =-，'B A ：220x y +-= 'B A 与x 轴交点为(1,0)P 即为所求.

直线与圆中的最值问题

一、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比较，或者是利用方程有解的问题。

例1、若直线430x y a -=+=与圆

22100x y +=(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a 的取值范围

二、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离

例2、求圆()()

22

234

x y

-++=上的点到20

x y

-+=的最远、最近的距离

练习：求圆C: 上的点与直线的最大值和最小值.

三、有些最值问题要注意向函数问题转化。

例3、方程ax2+ay2－4（a－1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.

四、两个动点的最值问题总是转化成一个一定点到动点的最值问题

例4、

五、抓住式子的几何意义也是我们求最值的方法之一。

2

1

1-2

2=

+

+）

（

）

（y

x0

4=

+

-y

x

的切线

）

（

：

为圆

上一点，

为直线2

1

)1

(

42

2=

+

+

-

=

+

-y

x

C

PT

y

x

P

.

的最小值

求切线PT