数值分析作业答案

试推导矩阵A 的Crout 分解A=LU 的计算公式，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。

解：设A=LU ，即

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-11

1,1223112

21222111212222111211n n n n nn n n nn n n n n u u u u u l l l l l l a a a a a a a a a

根据矩阵分解乘法，有

n j l a u u l a n

i l u l a j

j j j i i i ，，，，得，， 2,111

11111111111======

现设L 的前k-1列与U 的前k-1行已算好，因

()1,,11

1

==+==∑∑=-=kk k r k r kk ik rk ir rk ir ik u n k i u l u l u l a

所以()n k i u l a l k r rk ir ik ik ,,1

1

=-=∑-=

同样()n k j u l u l u l a k r k r kj kk rj kr rj kr ik ,,111

1

+=+==∑∑=-= 所以n k j l u l a

u kk

k r rj

kr kj kj ,,11

1

+=-

=∑-=，

综上，Crout 分解公式

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫

⎝⎛-==-=====∑∑-=-=n

k j l u l a u n k i u l a l

n

j l a u n

i a l k r kk rj kr kj kj k r rk ir ik ik j j i i ,,1,/,,,,,2,/,2,1,111

1

111111

11、下述矩阵能否分解为LU，其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵？若能分解，分解是否唯一？