(微观计量经济学教案)平行数据模型——扩展模型

i= j i≠ j i= j i≠ j
后两项组成 复合随机项 问题变成具有复杂 随机项结构的不变 系数模型
~ y = Xβ + Xα + u
• β的最佳线性无偏估计是 的最佳线性无偏估计是GLS估计： 估计： 的最佳线性无偏估计是 估计
ˆ β GLS n −1 = ∑ X i′Φi X i i=1
取差分消除αi 后，有
( yit − yi,t −1 ) = γ ( yi,t −1 − yi,t −2 ) + (uit − ui,t −1 )
i = 1,L, n; t = 1,L, T
因为 yi,t −2 和( yi,t −2 − yi ,t −3 ) 与( yi,t −1 − yi,t −2 ) 相关，但与(uit − ui ,t −1 ) 不相关， 所以它们是有效的工具变量。
Eu it = 0
2 σ u Eu it u js = 0
i = j且t = s 否则
1. 固定影响模型
首先考虑不包含外生解释变量的情况：
yit = γyi,t −1 + αi + uit
| γ |< 1,
i = 1,L, n; t = 1,L, T
如果uit 是正态分布且 yi 0 是给定的常数，则动态固定影响模型参数 的 ML 估计在 T 较小时是有偏估计。利用工具变量法可得到在 T 固定、 n → ∞ 时参数的一致估计。
§8.2平行数据计量经济学模型（二） 8.2平行数据计量经济学模型（ 平行数据计量经济学模型 —扩展模型 扩展wenku.baidu.com型
一、变系数模型 二、动态模型 三、关于平行数据模型的总结
一、变系数模型
要点
• 变系数模型的表达式 • 固定影响模型 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 随机干扰项在不同横截面个体 之间不相关——OLS估计 之间不相关 估计 • 固定影响模型——随机干扰项在不同横截面个体 随机干扰项在不同横截面个体 固定影响模型 之间相关——GLS估计 之间相关 估计 • 随机影响模型的复合误差项 • 随机影响模型的 随机影响模型的GLS估计 估计
2.随机影响模型 2.随机影响模型
如果模型中 α i 为随机变量，可以将模型写成：
y it = γy i ,t −1 + z i ρ + x it β + v it
其中
i = 1, L , n; t = 1, L , T Eα i = Eu it = 0 Eα i u jt = 0 i= j 否则 i = j, t = s 否则
一种FGLS 一种
n n 1 n ˆ 1 n 2 −1 −1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∆= (β i − n ∑ β j )(β i − n ∑ β j )′ − ∑σ i ( X i′X i ) −1 ∑ n − 1 i=1 n i=1 j =1 j =1
二、动态模型
要点
• 动态模型的“动态”的含义及表达 动态模型的“动态” • 不包含外生解释变量情况下的动态模型的IV估计 不包含外生解释变量情况下的动态模型的IV估计 IV • 包含外生解释变量情况下的动态模型的IV估计 包含外生解释变量情况下的动态模型的IV估计 IV • 随机影响动态模型的一般表述 • 随机影响动态模型的IV估计 随机影响动态模型的IV估计 IV
• 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不 显然， 相关，上述模型的参数估计极为简单， 相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个 截面个体的时间序列数据为样本， 截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方 程模型的估计方法分别估计其参数。 程模型的估计方法分别估计其参数。即使采用 GLS估计同时得到的 估计同时得到的GLS估计量，也是与在每个 估计量， 估计同时得到的 估计量 横截面个体上的经典单方程估计一样。 横截面个体上的经典单方程估计一样。 • 条件： 条件：
动态平行数据模型
• 动态模型，即指包含滞后被解释变量作为解释变 动态模型， 量的模型。 量的模型。 • 当采用平行数据作为样本观测值时，变截距模型 当采用平行数据作为样本观测值时， 写为： 写为：
yit = γyi ,t −1 + xit β + α i + u it
其中
i = 1,L, n; t = 1,L, T
β i 是解释变量和参数向量。也可写成
yi = X i β i + ui
其中
y i1 yi2 yi = M y iT T ×1 β i1 β i2 βi = M β iK
x1i 1 x1 i 2 Xi = M x 1iT u i1 ui2 ui = M u iT
各种文献中提出各种V矩阵的方 法，形成了各种FGLS估计
ˆ β
′ GLS ＝( X V
−1
X)
−1
X ′V
−1
y
2.随机影响模型 2.随机影响模型
令βi = β +αi ， 定 假
Eαi = 0 Exitα′j =0
原模型写成： 原模型写成：
∆ Eαiα′j = 0 σi2IT Euiu′j = 0
实际经济分析中的变系数问题
• 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性 线性模型中，系数表示边际倾向（ 模型）或者弹性（对于对数线性模型）， ），而它们 模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如： 相对于不同的截面个体经常是不同的。例如：
–不同地区收入的边际消费倾向不同。 不同地区收入的边际消费倾向不同。 不同地区收入的边际消费倾向不同 –不同地区FDI的边际效益不同。 不同地区FDI的边际效益不同。 不同地区FDI的边际效益不同 –不同家庭的边际储蓄倾向不同。 不同家庭的边际储蓄倾向不同。 不同家庭的边际储蓄倾向不同
以代表截距，γ 是1×1阶， ρ 和 β 分别是 K1 ×1 阶和 K 2 ×1阶的参数向量。
• 关于 0的不同假设： 关于y 的不同假设：
情况 1： y i 0 固定。一个横截面个体单位可能开始于某一任意位置 y i 0 ， ： 并渐近地移向稳定的位置 (α i + z i ρ ) /(1 − γ ) +
n
−1
−1
ˆ Swamy 建议使用最小二乘估计 β i = ( X i′X i ) X i′ yi 和它们的残差 ˆ ˆ ui = yi − X i β i 得到σ i2 和 ∆ 的无偏估计： ˆ σ i2 ˆ ˆ ui′ui 1 = yi′[I − X i ( X i′ X i ) −1 X i′ ] yi = T −K T −K
以( yi,t −2 − yi,t −3 ) 作为( yi,t −1 − yi,t −2 ) 的工具变量，得到：
γˆ IV
∑ ∑ = ∑ ∑
n i =1 n T i =1
T t =3
( yit − yi ,t −1 )( yi ,t −2 − yi ,t −3 )
t =3
( yi ,t −1 − yi ,t −2 )( yi ,t −2 − yi ,t −3 )
• 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。 • 提出了变系数平行数据模型问题。 提出了变系数平行数据模型问题。
模型表达
系数随横截面上个体而改变的模型为：
y it = X it β i + u it , i = 1, L , n ; t = 1, L , T
其中 X it 和
−1
n n ˆ Wi β i X i′Φi−1 yi = ∑ i=1 i =1
∑
Φ i = X i ∆X i′ + σ i2 I T
n
复合随机项的协方差矩 阵的第i个对角分块
2 −1 −1 ′ X i ) ] [∆ + σ i2 ( X i′ X i )−1]−1 Wi = ∑[∆ + σ i ( X i i=1 说明GLS估计是每一个横截面个体 说明 估计是每一个横截面个体 ˆ β = ( X ′ X ) −1 X ′ y
∑
xi ,t − j βγ j 。但如果 j =0
何时开始抽样的决定是任意的且与 y i 0 的值无关，则将 y i 0 视为固定是 值得怀疑的，因为 Eα i y i 0 = 0 意味着个体影响 α i 在第 0 期对模型不产 生影响，但影响第一期以及之后的观察值。
情况 2： yi 0 随机。可假定初始值是随机的，均值为 µ y 0 ，方差为σ y 0 。 ：
以 yi,t −2 作为 ( yi,t −1 − yi ,t −2 ) 的工具变量，得到：
γˆ IV =
∑ ∑ ∑ ∑
n i =1 n T i =1
T t=2
( y it − y i , t −1 ) y i , t − 2
t=2
( y i , t −1 − y i , t − 2 ) y i , t − 2
| γ |< 1 Eα i z i = 0
2 σ α Eα iα j = 0
v it = α i + u it Eα i x it = 0
Eu it u js
σ u2 = 0
其中 zi 是诸如性别、民族等随时间不变的1× K1 阶属性外生变量向量，
xit 是随时间变化的1× K 2 阶外生变量向量，且让它的第一个元素为 1，
Eui u ′j = 0
′ = σ i2 I Eui ui
i≠ j
• 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为 零，GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计比每个横截面个体上的经典单方程 估计更有效。 估计更有效。 • 为什么？ 为什么？
Ω ij = Eui u ′j
Ω11 Ω12 L Ω1n Ω Ω L Ω 22 2n 21 V= M M M M Ωn1 Ωn2 L Ωnn nT×nT
x 2 i1 x 2i 2 M x 2 iT
L L M L
x Ki1 x Ki 2 M x KiT T × K
1.固定影响模型 1.固定影响模型
• 将βi视为固定的不同的常数时，可写成： 视为固定的不同的常数时，可写成：
y = Xβ + u
将截距项也看作一个虚变量
y1 X1 0 L 0 β1 u1 y2 0 X2 L 0 β2 u2 y = X = β = u= M M M M M M M y 0 0 L X β u n nT ×1 n nT×nK n nK×1 n nT ×1
2
即
yi 0 = µ y 0 + ε i
这个假定的合理性在于人们将 yit 视为状态，而且并不关心怎样到达 初始状态，只需要知道它的分布有有限均值和方差。
情况 2a： yi 0 独立于α i ，即 Cov(ε i ,α i ) = 0 。在这种情况下，初始 ： 赋值的影响逐渐随时间消失。模型有点象情况 1，初始值与影响α i 是独立的，只不过现在的初始值不是固定的而是来自均值为 µ y 0 、 方差为σ y 0 总体的随机变量。
i i i i i
上最小二乘估计的矩阵加权平均。 上最小二乘估计的矩阵加权平均。 权与它们的协方差成比例。 权与它们的协方差成比例。
−1
GLS 估计的协方差矩阵为：
ˆ Var(β
−1 ′ GLS ) = ∑ X i Φi X i i=1
n
−1
2 −1 −1 ′Xi ) ] = ∑[∆ + σ i ( X i i=1
在 n → ∞ 或 T → ∞ 时，都是一致估计。于是进一步得到：
ˆ α i = y i − γˆy i , − 1
i = 1,L, n
• 在包含外生解释变量的情况下，类似地，首先采用 在包含外生解释变量的情况下，类似地， 工具变量方法估计差分方程模型，得到γ和 的估计 工具变量方法估计差分方程模型，得到 和β的估计 然后求得α 的估计量。 量，然后求得 i的估计量。
2