重难点突破：不等式中最值问题全梳理

重难点突破：不等式中最值问题全梳理模块一、题型梳理题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题例题1 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B．)+∞C ．()2,+∞ D ．()0,1【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞，12,Inx m Inx m =-=故可得()120In x x =，解得211x x =，则2212x x +=212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题22291sin cos αα+的最小值为（ ）A ．2B ．16C ．8D ．12【分析】利用22sin cos 1αα+=将2291sin cos αα+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵22sin cos 1αα+=，∴()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，21cos 4α=时“=”成立，故2291sin cos αα+的最小值为16.【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题例题4 已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中0,0m n >>），则112m n+的最小值为（ ） A ．3B ．1C ．2D ．32【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得112m n+最小值.【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32.故选：D【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题例题5 已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（ ）A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-【分析】根据等差数列的通项公式可用1a 表示出d .由数列单调递增可得10a <.用1a 表示出3a ,结合基本不等式即可求得最值.【解析】因为122a a =-，由等差数列通项公式,设公差为d ,可得()112a a d +=-，变形可得112d a a =--因为数列{}n a 为递增数列,所以1120d a a =-->，即10a <，而由等差数列通项公式可知312a a d =+ ()11111242a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10a ->,140a >-结合基本不等式可得 ()31144a a a ⎛⎫=-+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当12a =-时取得等号，所以3a 的最小值为4。

【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.例题6 已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab 的最小值为________． 【解析】由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12.题型四 基本不等式与向量相结合的最值问题例题7 如图所示,已知点G 是ABC 的重心,过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为______.【分析】根据重心的性质有1331AG AB AC =+,再表达成,AM AN 的关系式,再根据M ,G ,N 三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可. 【解析】根据条件：1AC AN y =,1AB AM x =,又1331AG AB AC =+,1133AG AM A x y N ∴=+. 又M ,G ,N 三点共线,11331y x∴+=.0x ,0y >,()114433333333x x y x y x y y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+=⎪⎝⎭.3x y ∴+当且仅当3x y y x =时“=”成立.. 【小结】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式应用,属于中等题型.题型五 基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题例题8 在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 【解析】（Ⅰ）设(,)M x y ，由已知得(,3)B x -，(0,1)A -．所以MA =(,1)x y ---， MB =(0，3y --)，AB =(x ，-2).再由题意可知（MA +MB ）• AB =0， 即（x -，42y --）• (x ，－2)=0．所以曲线C 的方程式为2124y x =-． （Ⅱ）设00(,)P x y 为曲线C ：2124y x =-上一点，因为12y x '=，所以l 的斜率为012x ，因此直线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2000220x x y y x -+-=．则O 点到l的距离2d =．又200124y x =-，所以201412,2x d +==≥当20x =0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2．例题9 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆面积最大？若存在，求出点M 坐标及相对应的OAB ∆面积；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）由2223c e c a a ===，所以222213b ac a =-=，设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点， 则22221x y a b+=，∴222222(1)3y x a a y b =-=-，||PQ ==所以，当1y =-时，||PQ3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （Ⅱ）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y += 相交于不同两点,A B ,则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==1||2OABS AB d =⋅= 由②得2213mn =-代入上式得213221213OAB mS m m ∆==+⋅， 当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(2M ±有四个．此时对应的OAB ∆的面积为12．题型六 基本不等式与圆相结合的最值问题例题10 设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 取值范围是（ ）A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.题型七 基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题例题11 当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(2,)-+∞B ．)+∞C ．(0,)+∞D ．()-+∞【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.【解析】当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，等价于2m x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭在(1,2)x ∈时恒成立即等价于2max m x x ⎡⎤⎛⎫>-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；而因为(1,2)x ∈，故2x x ⎛⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭,当且仅当2x x =时取得最大值.故：m >-【小结】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.例题12 已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A ．9B ．12C ．16D ．20【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【解析】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤。