【2020考研资料夹】2012考研数学一真题及答案解析

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2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线221

x x

y x +=-渐近线的条数为（）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在

2

（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在 （4）设2k

x k e

I e

=

⎰

sin x d x (k=1,2,3),则有D

（A ）I 1< I 2

(B) I 2< I 2< I

3. (C) I 1< I 3

（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ）

（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα

（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭

，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）

（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

（B ）112⎛⎫

⎪

⎪

⎪⎝⎭

3

（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫

⎪ ⎪

⎪⎝⎭

（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=

112

4

() () () ()

5

35

5A B C D

（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(2

1

)(2

1)

(1)(--

D C B A 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答．题纸．．

指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则

)(x f =________。

（10）2

202x x dx -⎰ ________。

4

（11）(2,1,1)

grad z xy y

⎛⎫+ ⎪

⎝

⎭ ________。

（12）设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则⎰⎰∑

=ds y 2________。

（13）设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T xx E -的秩为________。

（14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，1()2P AB =,1()3

P C =,则

()P ABC -

=________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

证明：2

1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-

5

6

（16）（本题满分10分）

求()22,2

x y f x y xe +=-的极值。