专题一：含参一次方程

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含参的一元一次方程专题

含参的一元一次方程专题步入初中，在初一数学解一元一次方程以及一元一次方程的应用，有一类考点是经常考到的，就是含有参数的一元一次方程求解问题，有以下五类含参的题型。

一、利用一元一次方程的定义求待定参数的值例、若（a＋3）x＾｜a＋2｜＝4是一元一次方程，求a的值。

分析：本题考察的主要知识点是一元一次方程的定义，也即利用其定义来求出参数的值。

一元一次方程，指的是在整式方程中，只有一个未知数，未知数的最高次数为1，在本题中则是丨a＋2丨＝1，解得a＝－1或a＝－3；又一元一次方程的一次项系数不能为0，在本题中则是a＋3≠0，即a≠－3。

综上可知a＝－1。

二、利用一元一次方程解的定义求待定参数的值。

例、当m取何值时，关于x的一元一次方程（2m＋1）x－（m－3）／2＝4的解为x＝－1？分析：本题已经知道该方程的解x＝－1，那么把x＝－1代入方程，得到一个关于m的一元一次方程，解之即可。

将x＝－1代入得：－（2m＋1）－（m－3）／2＝4。

－4m－2－m＋3＝8。

－5m＝7。

解得m＝－7／5。

三、利用两个方程之间的关系（同解或互为相反数等）来求待定参数的值例、已知关于x的一元一次方程2x／3＋n／2＝x／2＋1与2x－n＝－2是同解方程，求n的值。

分析：分别用含有字母n的代数式把两个方程的解表达出来，再根据题意令他们相等，解关于n的一元一次方程即可。

解：2x／3＋n／2＝x／2＋1。

4x＋3n＝3x＋6。

x＝6－3n；2x－n＝－2。

x＝（n－2）／2。

由题意得：6－3n＝（n－2）／2。

12－6n＝n－2。

7n＝14。

解得n＝2。

四、利用一元一次方程的错解来确定字母参数的值例、马虎同学在解一元一次方程2（x＋p）＝3x－4时，在计算时忘记－4了，解得x＝－1，求p的值并求出该方程正确的解。

分析：首先根据题目中告诉的错误答案将错就错，按照错误的解题过程求解出字母参数，之后按照正确的解题过程求解出正确的方程的解即可。

初中数学专题课程第1讲含参一次方程

初中数学专题课程含参一次方程.学生版 1 / 8 代数专题课程
一、含字母系数的一次方程的概念
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
二、含字母系数的一次方程的解法
含字母系数的一次方程总可以化为ax b =的形式，方程的解由a 、b 的取值范围决定．在未知数系数含有参数时，要注意讨论系数是否为零，即对关于x 的方程ax b =，有： ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a
=； ②当0a b ==时，方程的解为任意实数；
③当0a =，0b ≠时，方程无解．
【例1】已知a 是有理数，在下面4个命题：
（1）方程0ax =的解是0x =．
（2）方程ax a =的解是1x =．
（3）方程1ax =的解是1x a
=．（4）方程a x a =的解是1x =±．
其中，结论正确的个数是（）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例2】已知关于x 的方程
()16326a x a x x +=--，问当a 取何值时：（1）方程无解？（2）方程有无穷多解？
【例3】已知关于x 的方程
()()235231326
kx x +++=有无数个解，求k 的值．
知识点睛
例题精讲。

解含参一元一次方程压轴题

解含参一元一次方程压轴题
解含参一元一次方程的压轴题通常涉及到对方程的解进行分类讨论，或者利用方程的解来求解参数的值。

以下是一些常见的解题步骤和策略：
1.去分母：如果方程中有分数，首先通过乘以最小公倍数来去除分母。

2.去括号：如果方程中有括号，利用分配律去掉括号。

3.移项：将所有包含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。

4.合并同类项：将方程两边的同类项合并。

5.系数化为1：通过除以未知数的系数，使未知数的系数为1。

6.分类讨论：根据参数的不同取值，对方程的解进行分类讨论。

7.利用方程的解：如果题目给出了方程的解，可以将解代入原方程，从而求解参数的
值。

示例
考虑方程(m−1)x=2m−1。

1.去分母：此方程没有分母，无需此步骤。

2.去括号：此方程没有括号，无需此步骤。

3.移项：将方程改写为 (m−1)x−(2m−1)=0。

4.合并同类项：(m−1)x−2m+1=0。

5.系数化为1：。

6.分类讨论：
7.利用方程的解：如果题目给出了方程的解，例如x=2，则可以将，
从而求解m的值。

练习题
1.解方程 (2m+1)x=4m−3，并讨论m的取值范围使得方程有唯一解。

解题策略
∙对于第一个问题，首先解方程找到x的表达式，然后讨论m的取值范围使得分母不为零。

∙对于第二个问题，将x=1 代入方程，然后解出m的值。

记得在解题过程中保持细心，并检查每一步的计算是否正确。

含参的一元一次方程

k2
k 2 1、 2、 4 k 2、0、1、 3、 4、 6
4 为整数 k2 k 2 1、 2、 4
整数解问题
【变式训练】
关于k为整数，则使得方程k_、_1_. 解： kx 9x 5 3
x 8 k 9 8 为整数
k 9 k 9 1、 2、 4、 8 又 k 也为整数 k 8、7、5、1
2m 2m 1 3
m1 x1
4
2
同解问题
【经典例题】
已知关于x的方程x 2m 0与 3x 2m 6x 1 的解相同，求m的值和方程的解. 解法二： x 2m 0 x 2m
解法三：
将 x 2m 代入 3x 2m 6x 1
得 3 2m 2m 6 2m 1 x 2m 0 2m x
整数解问题
【拓展提升】
已知a为正整数，关于x的方程 3 x a 4 x 41的解为整数，则a的最
2
5
小值为___1___.
解： 3 x 4 x a 41 25 7 x a 41 10 x 10(a 41) 7
a 41为7的最小正倍数
即 a 41 42
a 1
整数解问题
【总结归纳】解整数解方程的一般步骤 1. 求带有参数的方程的解 2. 根据解的表达式，找出分子(分母)中已知数的约数(倍数) 3. 建立方程求解参数(待定系数)
03 解的个数问题
解的个数问题
【知识讲解】
解关于x的方程：ax b 0
解： ax b 当a 0 时，方程为一元一次方程，有一个解为 x b a 当a 0 时，b 0 0 x 0 方程有无数个解
当a 0 时，b 0
x取任意值等式均成立 0 x b 方程无解
x取任意值等式均不成立

高中数学含参方程解题技巧

高中数学含参方程解题技巧在高中数学中，含参方程是一个重要的考查内容。

含参方程是指方程中含有参数的方程，通过求解含参方程可以得到参数的取值范围，从而解决实际问题。

本文将介绍含参方程的解题技巧，并通过具体题目进行说明和分析，帮助高中学生和家长更好地理解和应用这一知识点。

一、一元一次含参方程的解题技巧对于一元一次含参方程，我们通常采用代数运算的方法来求解。

下面通过一个例子来说明：例题1：已知方程 mx + 2 = 3x + 1 的解为 x = 2，请确定参数 m 的取值范围。

解析：首先将方程化简为 mx - 3x = 1 - 2，得到 (m - 3)x = -1。

由于已知 x = 2 是方程的解，代入得到 (m - 3) * 2 = -1。

解方程得到 m - 3 = -1/2，即 m = 5/2。

所以参数 m 的取值范围是 m ∈ (5/2, +∞)。

通过这个例题，我们可以看出，对于一元一次含参方程，我们可以通过代入已知解的方法来确定参数的取值范围。

这种方法在解决含参方程问题时非常实用，可以帮助我们更好地理解参数的变化规律。

二、一元二次含参方程的解题技巧对于一元二次含参方程，我们通常采用配方法或因式分解的方法来求解。

下面通过一个例子来说明：例题2：已知方程 x^2 + (m - 1)x + 2m = 0 的解为 x = 1，请确定参数 m 的取值范围。

解析：首先，我们可以通过已知解 x = 1 来确定参数 m 的取值范围。

将 x = 1 代入方程得到 1 + (m - 1) + 2m = 0，解方程得到 3m = 0，即 m = 0。

所以参数 m 的取值范围是 m = 0。

通过这个例题，我们可以看出，对于一元二次含参方程，我们可以通过代入已知解的方法来确定参数的取值范围。

这种方法在解决含参方程问题时非常实用，可以帮助我们更好地理解参数的变化规律。

三、一元高次含参方程的解题技巧对于一元高次含参方程，我们通常采用因式分解或配方法的方法来求解。

含参一元一次方程解的情况

含参一元一次方程解的情况作文一（针对初中学生）同学们，咱们今天来聊聊含参一元一次方程解的情况。

比如说，方程 3x + a = 7，这里的 a 就是参数。

要是 a 等于2，那方程就变成 3x + 2 = 7，很容易算出 x = 5 / 3。

可要是 a 等于 1 呢？方程就成了 3x 1 = 7，解出来 x = 8 / 3。

再看一个例子，ax 5 = 0 这个方程。

如果 a = 0，那不管 x 是多少，方程都不成立，因为 0 乘任何数都得 0，不可能等于 5。

但要是 a = 5，方程就变成 5x 5 = 0，x 就等于 1 啦。

所以呀，含参一元一次方程的解，会因为参数的不同而不同。

咱们做题的时候，可要仔细分析参数的取值，才能求出正确的解哟！作文二（针对家长）各位家长，您家孩子是不是正在学含参一元一次方程解的情况？别着急，我来给您讲讲。

比如说，您孩子遇到这样一个方程 2(x + b) = 10，这里的 b 就是参数。

要是 b 是 1，那方程就是 2(x + 1) = 10，展开算一算，2x + 2 = 10，x 就等于 4。

但要是 b 是 3 呢？方程变成 2(x + 3) = 10，解出来 x = 2 。

还有像 4x + c = 8 这种方程。

要是 c 是 0，那 x 很容易就算出来是 2。

可要是 c 是 4，就得重新算啦，x 就等于 1 。

您看，就这么一个小小的参数，就能让方程的解发生变化。

所以孩子学习的时候，得多练多思考，您在家也可以适当问问孩子，帮他巩固巩固。

作文三（针对数学老师）亲爱的同行们，咱们今天来说说含参一元一次方程解的情况。

在教学中，咱们经常会碰到像 mx + n = p 这样的方程。

比如说，m = 2，n = 3，p = 7 时，方程就是 2x + 3 = 7，学生们很容易算出 x = 2。

但要是 m = 0，n = 5，p = 10 ，这方程就没解啦，因为 0 乘 x 加 5 不可能等于 10 。

一元一次方程含参问题

2
k
2、解方程：
2x 1 x 1 X=3 (1)3 17 5 2 x 11 0.2 x 0.1 0.5 x 0.1 ( 2) 1 0.6 0.4 1 1 2 (3) [ x ( x 1)] ( x 1) 11 2 2 3 x
5
1、已知方程解的情况求参数
4、整数解问题
例6、已知关于x的方程9x+3=kx+14有整数解，求整数k。
解：由题意知：(9-k)x=11
11 x 9k
∵x，k均为整数 ∴9-k= ±1， ±11 ∴k=-2,8,10,20
练习： 2 （1）关于x的方程 (n 1) x (m 1) x 3 0 是一元一次方程 ①则m，n应满足的条件为：m ≠1 ，n =1 ； ②若此方程的根为整数，求整数m=-2,0,2,4 。
2、同解方程
ax 2 0 例2、关于x的方程4x-1=-5与 3
的解相同，求a的值；若解互为倒数，互为相反数时，求a的值练习：当m= 4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍。
1 4 时，关于x的方程
Hale Waihona Puke 3、含字母系数的一元一次方程例3、讨论关于x的方程ax=b的解的情况
1已知关于x的方程2ax15ax3b有无数个解则a是关于x的一元一次方程且x有唯一值则x72a0a4b35练习
一元一次方程的含参问题
1、已知方程解的情况求参数 2、两个一元一次方程同解问题 3、一元一次方程解的情况（分类讨论） 4、整数解问题
基础巩固：
1、若 (m 2) x (k 1) x 11 0 是关于x的一元一次方程，则m= -2 ，k= -1 。
ax 例1、已知方程 3a x 3 的解是x=4， 2 求a的值。

初中数学知识归纳解含有参数的方程

初中数学知识归纳解含有参数的方程参数在数学中是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种不确定的情况。

在代数学中，我们经常会遇到一类特殊的方程，即含有参数的方程。

下面我将对初中数学中关于含有参数的方程的解法进行归纳总结。

一、一次方程一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的参数。

我们可以通过移项，将参数项和常数项分开，然后根据x的系数求解x的值。

例题1：求方程2x + a = 0的解。

解：将参数项和常数项分开，得到2x = -a。

然后将方程两边都除以2，得到x = -a/2。

所以方程的解为x = -a/2。

例题2：求方程3x + 2a = 5的解。

解：将参数项和常数项分开，得到3x = 5 - 2a。

然后将方程两边都除以3，得到x = (5 - 2a)/3。

所以方程的解为x = (5 - 2a)/3。

二、二次方程二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的参数。

我们可以通过求解方程的根来求得方程的解。

例题3：求方程x² + a² = 0的解。

解：根据平方根的性质，方程的解可以表示为x = ±√(-a²)。

由于在实数范围内，-a²是负数，所以方程的解不存在实数解。

但在复数范围内，我们可以得到x = ±i√(a²)，其中i是虚数单位。

例题4：求方程x² + 2ax + a² = 0的解。

解：根据二次方程的求解公式，可以得到方程的根为x = (-2a ±√(4a² - 4a²))/2，即x = (-2a ± 0)/2，即x = -a。

所以方程的解为x = -a。

三、分式方程分式方程是含有参数的方程中经常遇到的一类。

我们可以通过整理方程，将参数项和常数项整理到一起，然后利用等式两边的性质求解。

例题5：求方程(3/a)x + (3/b) = 1的解。

第3章一元一次方程的含参问题(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解含参一元一次方程的基本概念。含参的一元一次方程是指方程中包含一个或多个参数，这些参数通常表示未知的常量。它在数学建模和解决实际问题时具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个实际速度问题转化为含参的一元一次方程，并通过求解方程来解决问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相对顺利。但我观察到，有些小组在讨论过程中，个别成员参与度不高，这可能影响了整个小组的学习效果。在未来的教学中，我需要考虑如何更好地调动每个学生的积极性，确保每个人都能在小组活动中得到充分的锻炼。
学生小组讨论时，大家对于含参方程在实际生活中的应用提出了很多有趣的观点，这让我感到很欣慰。但在引导讨论时，我发现自己在提问的技巧上还有待提高，有些问题可能不够开放，限制了学生的思考空间。我将在下一次的教学中注意这一点，设计更多具有启发性的问题。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论与合作，共同解决复杂问题，提高沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解含参一元一次方程的概念，包括参数的概念和含参方程的特点；
-掌握含参一元一次方程的求解方法，特别是换元法和消元法的应用；
-能够将实际问题抽象为含参一元一次方程模型，并进行求解；
-通过对含参方程求解过程的分析，理解方程解的多样性和参数对解的影响。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元一次方程含参问题的基本概念、求解方法和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对含参问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

含参一元一次方程

【引例】当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程．⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．⑵若关于x 的方程5342x x =-和12524a x ax x -=+有相同的解，求a 的值．⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2k m-的值．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=．②当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数．③当0a =且0b ≠时，方程无解．【引例】当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．【例1】⑴已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5ab a b x x a b a b+-=-++的解.⑵若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk +--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．【例2】解关于x 的方程()()134m x n x m -=-绝对值方程【引例】解绝对值方程：15x -=【例3】若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是（）A ．m n k <<B ．m n k ≤≤C ．m n k >>D ．m n k≥≥【例4】解绝对值方程：⑴4812x +=⑵4329x x +=+⑶方程125x x -++=的解是．难点：已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．。

一元一次方程含参问题含答案(教师版)

a (2)当a 0,b 0时，方程无解；（3）当a 0,b 0时，方程有无数解；【经典题型】 1、关于 x 的方程 kx+2=4x+5 有正整数解，求满足条件的 k 的正整数值. 解答： kx+2=4x+5， (k−4)x=3， ∵x，k 都是正整数， ∴(k−4)，x 都是正整数，
x=−2.5，那么△处的数字是多少?
4、已知方程 2kx2 2kx 3k 4x2 x 1是关于 x 的一元一次方程，求 k 值，并求出这个方程的
根
解答：
将方程整理得：(2k−4)x2+(2k−1)x+3k−1=0，
∴2k−4=0，解得：k=2，当 k=2 时，原方程化为：3x+5=0，
3
∴k−4=1，x=3；或 k−4=3，x=1； ∴k=5 或 7，故答案为：5 或 7.
2、已知关于 x 的方程 a(2x−1)=3x−2 无解，试求 a 的值。解答：将原方程变形为 2ax−a=3x−2，即(2a−3)x=a−2. 由已知该方程无解，所以 2a−3=0 且 a−2≠0，解得 a 3 .
3
9
4
2、方程 x5m4 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。解答： ∵方程 x5m−4+5=0 是关于 x 的一元一次方程， ∴5m−4=1，解得：m=1.
3、方程 x3m4 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。
1
4、已知 m 1x2 m 1x 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值。
知识点 2：一元一次方程的解
1、已知关于 x 方程 x m x m 与 x−1=2(2x−1)的解互为倒数，求 m 的值。

含参数的一元一次方程教案资料

含参数的一元一次方程初一部分知识点拓展◆含参数的一元一次方程复习：解方程：（1）215123+=--x x （2）)4(x -40%+60%x =2 （3）14.01.05.06.01.02.0=+--x x （4）)1(3212121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x x ）（一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论） 1、讨论关于x 的方程b ax =的解的情况.2、已知a 是有理数，有下面5个命题：（1）方程0=ax 的解是0=x ；（2）方程1==x a ax 的解是；（3）方程ax ax 11==的解是；（4）方程a x a =的解是1±=x （5）方程1)1(+=+a x a 的解是1=x中，结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定例：已知关于x 的方程323+=+axx a 的解为4=x变式训练： 1、已知方程)1(422-=+x ax 的解为3=x ，则=a ； 2、已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足方程021=-x ，则=m ； 3、如果方程20)1(3)1(2+=--+a x x 的解为，求方程：[]a a x x 3)(3)3(22=--+的解.②根据方程解的个数情况来确定例：关于x 的方程n x mx -=+34，分别求n m ，为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解.变式训练：1、已知关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多个解，那么=a ，=b .2、若关于x 的方程512)2(+=+x b x a 有无穷多个解，求b a ，值.3、已知关于x 的方程)12(6123--=+x x m x 有无数多个解，试求m 的值.4、已知关于x 的方程5)12()2(3+-=+x b x a 有无数多个解，求a 与b 的值.5、x b ax x b a 是关于0)23(2=+++的一元一次方程，且x 有唯一解，求x 的值.③根据方程定解的情况来确定例：若b a ，为定值，关于x 的一元一次方程2632=--bxx ka ，无论k 为何值时，它的解总是1=x ，求b a 和的值.变式训练:1、如果b a 、为定值，关于x 的方程6232bkx a kx -+=+，无论k 为何值，它的解总是1，求b a 和的值.④根据方程公共解的情况来确定例：若方程325328)1(3xk x x x -=++=+-与方程的解相同，求k 的值.变式训练：1、若关于x 的方程03=+a x 的解与方程042=-x 的解相同，求a 的值.2、已知关于x 的方程18511234)2(23=--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x a x x a x x 和方程有相同的解，求出方程的解.⑤根据方程整数解的情况来确定例：m 为整数，关于x 的方程mx x -=6的解为正整数，求m 的值.变式训练：1、若关于x 的方程kx x =-179的解为正整数，则k 的值为；2、已知关于x 的方程1439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的所有整数=k ；3、已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a a a ax 有整数解，则a 的值共有（）A.1个B.6个C.6个D.9个◆含绝对值的方程：一、利用绝对值的非负性求解例题1：已知n m ，为整数，n m n m m +=++-，求02的值.练习：1、已知n m ，为整数，n m n m m +=-+-，求12的值.2、已知)421(410)124(2323124++-=-+--b b a a a b b a ，求.二、形如)0(≠=+a c b ax 型的绝对值方程解法： 1、当0<c 时，根据绝对值的非负性，可知此方程无解；2、当0=c 时，原方程变为0=+b ax ，即a b x b ax -==+，解得0； 3、当0>c 时，原方程变为c b ax c b ax -=+=+或，解得abc x a b c x --=-=或例题2：解方程532=+x .练习：（1）01263=-+x （2）0545=++x三、形如)0(≠+=+ac d cx b ax 型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的非负性可知，0≥+d cx 求出x 的取值范围；2、根据绝对值的定义将原方程化为两个方程)(d cx b ax d cx b ax +-=++=+和；3、分别解方程)(b cx b ax b cx b ax +-=++=+和；4、将求得的解代入0≥+d cx 检验，舍去不合条件的解. 例题3：解方程525-=--x x练习：（1）9234+=+x x （2）43234+=--x x例题4：如果044=-+-a a ，那么a 的取值范围是多少.变型题：已知022=-+-x x ，求（1）2+x 的最大值；（2）x -6的最小值.练习：1、解关于x 的方程02552=-+-x x .2、已知关于x 的方程06363=+++x x ，求25+x 的最大值.四、形如)(b a c b x a x <=-+-型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的几何意义可知b a b x a x -≥-+-；2、当b a c -<时，此时方程无解；当b a c -=时，此时方程的解为b x a ≤≤；当b a c ->时，分两种情况：①当a x <时，原方程的解为2cb a x -+=； ②当b x >时，原方程的解为2cb a x ++=.例题5：解关于x 的方程213=-+-x x变型题：解关于x 的方程21443=-+-x x练习：解关于x 的方程（1）752=-++x x （2）75222=-++x x例题6：求方程421=++-x x 的解.练习：解关于x 的方程（1）723=++-x x （2）62152=+++x x例题7：求满足关系式413=+--x x 的x 的取值范围.练习：解关于x 的方程（1）321=+--x x （2）752=--+x x7升8数学金牌班课后练习1、已知012=--x x ，代数式200823++-x x 的值是；2、已知关于x 的方程323+=-xx a 的解是4，则=--a a 2)(2 ； 3、已知2+=x x ，那么2731999++x x 的值为； 4、321=-++x x ，则x 的取值范围是； 5、088=-+-x x ，则x 的取值范围是 .6、已知关于x 的一次方程07)23(=++x b a 无解，则ab 是（）； A 正数 B.非正数 C.负数 D.非负数7、方程011=-+-x x 的解有（）；A.1个B.2个C.3个D.无数个 8、使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是（）； A.-2 B.0 C.32D.不存在 9、若关于x 的方程只有一个解，无解，043032=+-=+-n x m x 054=+-k x 有两个解，则k n m 、、的大小关系是（）；A.k n m >>B.m k n >>C.n m k >>D.n k m >> 10、解下列关于x 的方程（1）01078=+-x （2）428-=--x x（3）963=--+x x （4）451=-+-x x（5）9234+=+x x （6）612=++-x x（7）43212=+--x x （8）75345=++-x x（9）2004112=--x11、若0)3(2=-+-y y x ，求y x 32+的值.※12、已知y y x x +---=-++15911，求y x +的最大值与最小值.◆含参的二元一次方程组类型一、基本含参的二元一次方程组例题1：已知方程组{ky x k y x =++=-321143的解y x ，满足方程35=-y x ，求k 的值。

含参数的一元一次方程

含参数的一元一次方程含参数的一元一次方程专题讲解一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论思想）在解含参数的一元一次方程时，可以根据方程中的参数和未知数的关系，分类讨论求解。

首先，可以讨论关于未知数x的方程ax=b的解的情况。

然后，根据参数a是有理数的条件，可以得出一些关于方程解的结论，如方程ax=b的解是x=b/a等。

二、含参数的一元一次方程中参数的确定确定参数的方法有两种：根据方程解的具体数值来确定，或者根据方程解的个数情况来确定。

例如，已知关于x的方程3a+x=k的解为x=4，可以解出a=(k-4)/3.又如，关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足方程x-1=m，则可解出m=3.另外，根据方程解的个数情况也可以确定参数。

例如，关于x的方程mx+4=3x-n，可以分别求出m和n的取值，使得原方程有唯一解、无数多解或无解。

还有一种确定参数的方法是根据方程整数解的情况来确定。

最后，需要注意的是，在解含参数的一元一次方程时，需要注意格式的正确性，避免出现明显的错误。

1.以下是一篇关于环境保护的文章，我们应该珍惜我们的地球，保护环境。

我们的地球是我们生存的家园，我们应该保护我们的环境，保护我们的地球。

但是，现在我们的环境面临着很多问题，比如空气污染、水污染、垃圾问题等等。

这些问题严重影响了我们的健康和生活质量。

所以，我们每个人都应该行动起来，为环境保护出一份力。

我们可以从身边的小事做起，比如减少用塑料袋、回收垃圾、节约用水等等。

这些小事看似微不足道，但是如果每个人都能做到，就可以减轻环境负担，保护我们的地球。

2.改写后的文章：我们的地球是我们生存的家园，因此我们应该珍惜它，保护它的环境。

但是现在，我们的环境正面临着许多问题，如空气污染、水污染、垃圾问题等，这些问题严重影响着我们的健康和生活质量。

因此，我们每个人都应该为环境保护出一份力。

我们可以从身边的小事做起，比如减少使用塑料袋、回收垃圾、节约用水等。

(完整版)含参一元一次方程解法

3．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号．
易错点2：去分母：漏乘不含分母的项．
易错点3：移项忘记变号．
【巩固1】若是关于x的一元一次方程，则．
【巩固2】方程去分母正确的是（）
A． B．
C． D．
【巩固3】解方程
1.1一元一次方程的巧解
求解一元一次方程的一般步骤是：去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1．在求解的过程中要要根据方程的特点灵活运用．
含参一元一次方程的解法
1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
2．解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；未知数的系数化为1．
这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．
注意:⑴两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多1、2倍等．
(2)一元一次方程的公共根看似简单，其实却是一元二次方程公共根问题的前铺和基础．
【例4】⑴若方程与有相同的解，求a得值．；
⑵若和是关于x的同解方程，求的值．
【例5】⑴已知：与都是关于x的一元一次方程，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ它们的解互为相反数，求m,n分别是多少？关于x的方程的解是多少？
⑴只有一个方程含有参数，另外一个方程可以直接求解．此时，直接求得两个方程的公共解，然后代入需要求参数的方程，能够最快的得到答案.
⑵两个方程都含有参数，无法直接求解．此时，由于两个方程的解之间有等量关系，因此，可以先分别用参数来表示这两个方程的解，再通过数量关系列等式从而求得参数，这是求解同解方程的最一般方法．

专题1——含参方程

含参一元一次方程一、方程的解1、若关于x 的方程2m x －3＝1的解为x ＝2，则m 的值为．2、已知关于x 的方程234=-m x 的解是m x =，则m 的值是．3、若2=x 是方程0103=-+bx ax 的解，则b a 93+的值是．二、两方程的解相关1、如果方程6x+3a ＝22与方程3x+5＝11的解相同，那么a ＝．2、若关于x 的方程b x x +=+2320221的解是3=x ，则关于y 的方程()()b y y +-=+-223220221 的解是．3、若关于x 的方程)1221-=+x x （与312+=-x k x 的解互为相反数，求k 的值.4、m 为何值时，关于x 的方程2x －3m ＝x 的解是4x －2m ＝3x －1的解的2倍？三、整数解问题（整除）1、已知关于x 的方程1039+=-kx x ．（1）若这个方程的解是2=x ，求k 的值；（2）当整数k 为何值时，方程有正整数解？并求出它的正整数解．四、新定义问题9、【定义】若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解满足x ＝b+a,则称该方程为“友好方程”,例如:方程2x ＝-4的解为x ＝-2,而-2＝-4+2,则方程2x ＝-4为“友好方程”.【运用】(1)在①342=-x ;②121-=x 两个方程中，是“友好方程”的是 ;(填序号) (2)若关于x 的一元一次方程3x ＝b 是“友好方程”，求b 的值;(3)若关于x 的一元一次方程-2x ＝mn+n(n≠0)是“友好方程”,且它的解为x ＝n,则m ＝，n ＝．专题挑战1、若方程312－x =+和032=--x a 的解相同，则a 的值是．2、已知方程233m x x -=+的解满足10x -=，则m . 3、若关于x 的方程a x x -=+2202320232022的解是3=x ，则关于y 的方程()()a y y -+=++122023120232022 的解是．4、已知关于x 的一元一次方程x kx -=4的解为整数，则k 所能取的整数值为 .5、若关于x 的方程30x m +-=和2212x m x +=-的解的和为4,求m 的值.6、我们规定:若关于x 的一元一次方程()0≠=+a b x a 的解为a b x =,则称该方程为“商解方程”例如:42=+x 的解为2=x 且242=,则方程42=+x 是“商解方程”请回答下列问题: （1）判断53=+x 是不是“商解方程”.；（2）若关于x 的一元一次方程()336-=+m x 是“商解方程”,求m 的值.。

（完整版）含参数的一元一次方程

（完整版）含参数的一元一次方程初一部分知识点拓展◆含参数的一元一次方程复习：解方程：（1）215123+=--x x （2）)4(x -40%+60%x =2 （3）14.01.05.06.01.02.0=+--x x （4）)1(3212121-=--x x x ）（一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论）1、讨论关于x 的方程b ax =的解的情况.2、已知a 是有理数，有下面5个命题：（1）方程0=ax 的解是0=x ；（2）方程1==x a ax 的解是；（3）方程ax ax 11==的解是；（4）方程a x a =的解是1±=x （5）方程1)1(+=+a x a 的解是1=x中，结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、含参数的一元一次方程中参数的确定①根据方程解的具体数值来确定例：已知关于x 的方程323+=+axx a 的解为4=x变式训练： 1、已知方程)1(422-=+x ax 的解为3=x ，则=a ； 2、已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足方程021=-x ，则=m ； 3、如果方程20)1(3)1(2+=--+a x x 的解为，求方程：[]a a x x 3)(3)3(22=--+的解.②根据方程解的个数情况来确定例：关于x 的方程n x mx -=+34，分别求n m ，为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解.变式训练：1、已知关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多个解，那么=a ，=b .2、若关于x 的方程512)2(+=+x b x a 有无穷多个解，求b a ，值.3、已知关于x 的方程)12(6123--=+x x m x 有无数多个解，试求m 的值.4、已知关于x 的方程5)12()2(3+-=+x b x a 有无数多个解，求a 与b 的值.5、x b ax x b a 是关于0)23(2=+++的一元一次方程，且x 有唯一解，求x 的值.③根据方程定解的情况来确定例：若b a ，为定值，关于x 的一元一次方程2632=--bxx ka ，无论k 为何值时，它的解总是1=x ，求b a 和的值.变式训练:1、如果b a 、为定值，关于x 的方程6232bkx a kx -+=+，无论k 为何值，它的解总是1，求b a 和的值.④根据方程公共解的情况来确定例：若方程325328)1(3xk x x x -=++=+-与方程的解相同，求k 的值.变式训练：1、若关于x 的方程03=+a x 的解与方程042=-x 的解相同，求a 的值.2、已知关于x 的方程18511234)2(23=--+=--x a x x a x x 和方程有相同的解，求出方程的解.⑤根据方程整数解的情况来确定例：m 为整数，关于x 的方程mx x -=6的解为正整数，求m 的值.变式训练：1、若关于x 的方程kx x =-179的解为正整数，则k 的值为；2、已知关于x 的方程1439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的所有整数=k ；3、已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a aa ax 有整数解，则a 的值共有（） A.1个 B.6个 C.6个 D.9个◆含绝对值的方程：一、利用绝对值的非负性求解例题1：已知n m ，为整数，n m n m m +=++-，求02的值.练习：1、已知n m ，为整数，n m n m m +=-+-，求12的值.2、已知)421(410)124(2323124++-=-+--b b a a a b b a ，求.二、形如)0(≠=+a c b ax 型的绝对值方程解法： 1、当0<="">2、当0=c 时，原方程变为0=+b ax ，即a bx b ax -==+，解得0；3、当0>c 时，原方程变为c b ax c b ax -=+=+或，解得abc x a b c x --=-=或例题2：解方程532=+x .练习：（1）01263=-+x （2）0545=++x三、形如)0(≠+=+ac d cx b ax 型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的非负性可知，0≥+d cx 求出x 的取值范围；2、根据绝对值的定义将原方程化为两个方程)(d cx b ax d cx b ax +-=++=+和；3、分别解方程)(b cx b ax b cx b ax +-=++=+和；4、将求得的解代入0≥+d cx 检验，舍去不合条件的解. 例题3：解方程525-=--x x练习：（1）9234+=+x x （2）43234+=--x x例题4：如果044=-+-a a ，那么a 的取值范围是多少.变型题：已知022=-+-x x ，求（1）2+x 的最大值；（2）x -6的最小值.练习：1、解关于x 的方程02552=-+-x x .2、已知关于x 的方程06363=+++x x ，求25+x 的最大值.四、形如)(b a c b x a x <=-+-型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的几何意义可知b a b x a x -≥-+-；2、当b a c -<时，此时方程无解；当b a c -=时，此时方程的解为b x a ≤≤；当b a c ->时，分两种情况：①当a x <时，原方程的解为2cb a x -+=；②当b x >时，原方程的解为2cb a x ++=.例题5：解关于x 的方程213=-+-x x变型题：解关于x 的方程21443=-+-x x练习：解关于x 的方程（1）752=-++x x （2）75222=-++x x例题6：求方程421=++-x x 的解.练习：解关于x 的方程（1）723=++-x x （2）62152=+++x x例题7：求满足关系式413=+--x x 的x 的取值范围.练习：解关于x 的方程（1）321=+--x x （2）752=--+x x7升8数学金牌班课后练习1、已知012=--x x ，代数式200823++-x x 的值是；2、已知关于x 的方程323+=-xx a 的解是4，则=--a a 2)(2 ；3、已知2+=x x ，那么2731999++x x 的值为； 4、321=-++x x ，则x 的取值范围是； 5、088=-+-x x ，则x 的取值范围是 .6、已知关于x 的一次方程07)23(=++x b a 无解，则ab 是（）；A 正数 B.非正数 C.负数 D.非负数7、方程011=-+-x x 的解有（）；A.1个B.2个C.3个D.无数个8、使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是（）；A.-2B.0C.2D.不存在9、若关于x 的方程只有一个解，无解，043032=+-=+-n x m x 054=+-k x 有两个解，则k n m 、、的大小关系是（）； A.k n m >> B.m k n >> C.n m k >> D.n k m >> 10、解下列关于x 的方程（1）01078=+-x （2）428-=--x x（3）963=--+x x （4）451=-+-x x（5）9234+=+x x （6）612=++-x x（7）43212=+--x x （8）75345=++-x x（9）2004112=--x11、若0)3(2=-+-y y x ，求y x 32+的值.※12、已知y y x x +---=-++15911，求y x +的最大值与最小值.◆含参的二元一次方程组类型一、基本含参的二元一次方程组例题1：已知方程组{ky x k y x =++=-321143的解y x ，满足方程35=-y x ，求k 的值。