专题一：含参一次方程

专题一：含参一次方程

当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含参一次方程是一次方程中的绝对难点内容，考试中常涉及到的含参一次方程的题型主要有两大类：解含参一次方程和确定含参一次方程参数的值．

其中直接考核解含参一次方程的题会比较少些，但是它是第二类常考题型的基础所在， 所以同学们都要掌握熟练．

1. 含字母系数的一次方程的解法

含字母系数一元一次方程总可以化为ax = b 的形式，方程的解由a 、b 的取值范围确定． (1) 当 a ≠ 0 时， x = b ，原方程有唯一解； a

(2) 当 a = 0 且b = 0 时，解是任意数，原方程有无数解；

(3) 当 a = 0 且b ≠ 0 时，原方程无解．

【例1】 解关于 x 的方程： 3x +b = 2x -8 ．

【例2】 解关于 x 的方程： ax -4 = 2x +8 ．

【例3】 解关于 x 的方程： a 2 x -b =8- x ．

【总结】对于一元一次方程的最简形式ax = b 来说，若a 、b 均含字母，则需分三种情况分类讨论：

⑴当a ≠ 0 时，把a 直接除过去解出 x ；

⑵当a = b = 0 时，无论未知数 x 取何值，方程永远都是0 = 0 恒成立，故原方程有无数解； ⑶当a = 0 ， b ≠ 0 时，无论未知数 x 取何值，方程永远都是0 = b 恒不成立，故原方程无解．

2.一次方程中字母系数的确定

⑴根据方程解的具体数值来确定

【例4】已知方程2x +a

= 4(x -1) 的解为x= 3 ，则a =．2

⑵根据方程解的个数情况来确定

【例5】关于x 的方程mx + 4 = 3x -n ，分别求m ，n 为何值时，原方程：⑴有唯一解；

⑵有无数多解；⑶无解．

【总结】关于含参方程解得个数问题：

⑴将方程化为一元一次方程的最简形式ax =b ；

⑵当a ≠ 0 ，唯一解；当a =b = 0 时，无数解；当a = 0 ， b ≠ 0 时，无解．

⑶根据方程定解的情况来确定

【例6】若 a ， b 为定值，关于x 的一元一次2ka

-

x -bx

= 2 ，无论k 为何值时，它的

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解总是x = 1，求a 和b 的值．

【总结】含参方程的定解问题：

⑴更换主元，将关于x 的一元一次方程的定解问题转化为关于k 的一元一次方程

的无数解问题；

⑵利用ak =b 有无数解⇔a =b = 0 来求解．

⑷ 根据方程整数解的情况来确定

【例7】 m 为整数，关于 x 的方程 x = 6 - mx 的解为正整数，求m 的值．

【总结】对于含参一次方程的整数解问题：

⑴ 解出方程；

⑵ 观察分子何时被分母整除．

⑸ 根据方程公共解的情况来确定

【例8】 若(k + m )x + 4 = 0 和(2k - m )x -1 = 0 是关于 x 的同解方程， k - 2 的值． m

【总结】对于两个含参一次方程的公共解问题的常见处理方法有三种：

⑴

解出两个方程，利

用解相等列出⑵

解出其中一个方程的解，代入到第二个方程中得到关于参数的方程，求解参数 （对于上述方； ⑶ 对于一次方程而言，解相同等价于方程相同，故此可以将两个方程的常数项(或者未知数项)化为相同

，

然后比