定积分的背景——面积和路程问题

图 (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和(记为s1) 显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s1为S的不足 估计值，有
s 1 ( 0 2 0 . 2 2 0 . 4 2 0 . 6 2 0 . 8 2 ) 0 . 2 0 . 2 4 .
y
s1
o
1x
（2）
思考：我们可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 误差，误差有多大呢？
不足估计值为
s 2 ( 0 2 0 . 1 2 0 . 2 2 0 . 9 2 ) 0 . 1 0 . 2 8 5 .
y
二者的差值为S2-s2=0.1，此时，无论用
S2还是用s2来表示S，误差都不超过0.1.
(4)
o
结论：区间分得越细，误差越 小.当被分割成的小区间的长度 趋于0时，过剩估计值和不足估 1 x 计值都会趋于曲边梯形的面积.
不论用过剩估计值s1还是不足估计值 s表1 示s，
误差都不超过：
s1s1 25(m)
要对区间多少等分时，才能保证估计误差小于0.1？
为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分 得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小， 用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其 速度误差就越小. 比如，将滑行时间5s平均分成10份. 用类似的方法得到汽车在5s内滑行距离的过剩估 计值s2：
1.了解定积分的实际背景. 2.理解“以直代曲”“无限分割”的思想，初步掌握 求曲边梯形面积的“三步曲”——“分割、求和、近 似估值”.（重点） 3.了解“误差估计”的方法. (难点）
探究点1 曲边梯形的定义
y
y f(x)
oa
bx
图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，通常
称这样的平面图形为曲边梯形.
车在5 s内滑行距离的过剩估计值.
用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分别近似替代汽车
在0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速
度，求出汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s 1：
s 1 v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) v ( 5 ) 1 3 0 ( m )
提示：二者之差为S1-s1=0.2 如图(3)中阴影所示，无论用S1还是用s1来表示曲边 梯形的面积，误差都不会超过0.2.
y
o
1x
（3）
为了减小误差，我们将区间[0，1] 10等分，则
所求面积的过剩估计值为
S 2 ( 0 .1 2 0 .2 2 1 2 ) 0 .1 0 .3 8 5 .
通过下面的演示我们如何做到使误差小于0.01.
输入数 字，点 击确定.
练一练：
求曲线y=x3与直线x=1,y=0所围成的平面图 形的面积的估计值，并写出估计误差.（把区间 [0，1] 5等分来估计）
解析 把区间 [0，1] 5等分，以每一个小区间
左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足
估计值
s
s 2 [ v ( 0 ) v ( 0 . 5 ) v ( 1 ) v ( 4 ) v ( 4 . 5 ) ] 0 . 5 4 8 . 1 2 5 ( m )
汽车在5s内滑行距离的不足估计值 s 2：
s 2 v ( 0 . 5 ) v ( 1 ) v ( 1 . 5 ) v ( 2 ) v ( 5 ) 0 . 5 3 5 . 6 2 5 ( m )
我们分别用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽车在
0～1s、1～2s、2～3s、3～4s、4～5s内的平均速度， 求出滑行距离s1：
s 1 v ( 0 ) v ( 1 ) v ( 2 ) v ( 3 ) v ( 4 ) 1 5 5 ( m )
由于v是下降的，所以显然s1大于s,我们称它为汽
v(t)t210t25(0t5)
请估计汽车在刹车过程中滑行的距离 s .
分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是
v(0)=25m/s,我们可以用这个速度来近似替代汽车在
这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：
s=25×5=125(m)
但显然，这样的误差太大了. 为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法 来估计滑行距离. 首先，将滑行的时间5s平均分成5份.
曲边梯形定义： 我们把由直线 x = a，x =b (a≠b)， y = 0和
曲线y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形.
对曲边梯形概念的理解：
（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面 图形. （2）曲边梯形与“直边图形”的主要区别在于前者 有一边是曲线段而“直Байду номын сангаас图形”的所有边都是直线 段.
以上由曲线围成的图形的面积该怎样计算？
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的 面积，这些图形都是由直线段围成的.那么，如何求 曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解 决的问题.
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛 的应用.本节我们将了解定积分的实际背景；借助几 何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的 概念.
y
y x2
o
1x
分析 首先，将区间[0，1]5等分，如图所示. y
S1
o
1
（1）
x
图 (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为S1)显然 大于所求的曲边梯形的面积，我们称S1为S的过剩估 计值，有
S 1 ( 0 . 2 2 0 . 4 2 0 . 6 2 0 . 8 2 1 2 ) 0 . 2 0 . 4 4
和过剩估计值
1
，S 1 如下：
s 1 (030.230.430.630.83)0.20.16 S 1 (0.230.430.630.8313)0.20.36
估计误差不会超过 S 1- =s 10.2
探究点3 估计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度v和运动的时间t,
我们可以求出它走过的路程s=vt,那么如何求非 匀速运动的物体走过的路程呢？ 问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车， 汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：m/s)是时间 t 的函数：
探究点2 估计曲边梯形的面积
割圆术
我们曾经用正多边形逼近圆 的方法 (即“以直代曲”的思想) 计算出了圆的面积，能否也用直 边形(如矩形)逼近曲边梯形的方 法求阴影部分的面积呢？
问题1 图中阴影部分是由抛物线 y x2 ，直线 x 1 以及 x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形 的面积 S .