新定义函数-中考新题型汇编

3

实数b的取值范围．

变式

如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．

(1)若一个函数的特征数为[-2，1]，求此函数图象的顶点坐标．

(2)探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，-1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

例3．如图1，抛物线y =ax 2

+bx +c （a ＞0）的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高．

（1）抛物线2

12

y x =

对应的碟宽为 ；抛物线y =4x 2对应的碟宽为 ；抛物线y =ax 2（a ＞0）对应的碟宽为 ；抛物线y =a (x -2)2

+3（a ＞0）对应的碟宽为 ；

（2）抛物线2

543

y ax ax =--（a ＞0）对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值；

（3）将抛物线y =a n x 2+b n x +c n （a n ＞0）的对应准蝶形记为F n （n =1，2，3…），定义F 1，

F 2，…，F n 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为1

2

，且F n 的碟顶

是F n ﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1． ①求抛物线y 2的表达式；

②若F 1的碟高为h 1，F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n ，则h n = ，F n 的碟宽有端点横坐标为2；若F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点在一条直线上，请直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由。

例4．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB 绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l 叫做P的关联直线．

（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=-x2-3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连

接OM．若OM l，P表示的函数解析式．

求出点P的坐标.

试题解析：（1）根据题意，得，

∵，∴.∴.

根据定义，是“奇特函数”.

（2）①由题意得，.

易得直线OB解析式为，直线CD解析式为，

由解得.∴点E（3，1）.

将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.

②∵可化为，

∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.

∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.

∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.

由勾股定理得，.

设点P到EB的距离为m，

∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，

∴.

∴点P在平行于EB的直线上.

∵点P在上，

∴或.

解得.

∴点P的坐标为或或或.

考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.

例2【解析】

（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后一次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．

（2）判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，可根据一次函数图象向下平移2个单位与原函数图象的关系，得出AB=2，并确定为平行四边形，由直线相交计算交点坐标后，求出线段BC=2，再根据菱形的判定（邻边相等的平行四边形是菱形）得出，其周长=2×4=8；

（3）根据函数“特征数”写出二次函数的解析式，化为顶点式为y=（x-b）2+，确定二次函

数的图象不会经过点B和点C，再将菱形顶点A（0，1），D（）代入二次函数解析式得出实数b的取值范围．

【解析】

（1）y=（1分）“特征数”是的函数，

即y=+1，

该函数图象向下平移2个单位，得y=．

（2）由题意可知y=向下平移两个单位得y=

∴AD∥BC，AB=2．

∵，

∴AB∥CD．

∴四边形ABCD为平行四边形．

，

得C点坐标为（，0），

∴D（）

由勾股定理可得BC=2

∵四边形ABCD为平行四边形，AB=2，BC=2

∴四边形ABCD为菱形．

∴周长为8．

（3）二次函数为：y=x2-2bx+b2+，化为顶点式为：y=（x-b）2+，

∴二次函数的图象不会经过点B和点C．

设二次函数的图象与四边形有公共部分，

当二次函数的图象经过点A时，将A（0，1），代入二次函数，

解得b=-，b=（不合题意，舍去），

当二次函数的图象经过点D时，

将D（），代入二次函数，

解得b=+，b=（不合题意，舍去），

所以实数b的取值范围：．

例3【解析】

试题分析：（1）根据定义可算出y=ax2（a＞0）的碟宽为、碟高为，由于抛物线

可通过平移y=ax2（a＞0）得到，得到碟宽为、碟高为，由此

可得碟宽、碟高只与a有关，与别的无关，从而可得．

（2）由（1）的结论，根据碟宽易得a的值．

（3）①根据y1，容易得到y2．

②结合画图，易知h1，h2，h3，…，h n﹣1，h n都在直线x=2上，可以考虑h n∥h n﹣1，且都过

F n﹣1的碟宽中点，进而可得．画图时易知碟宽有规律递减，由此可得右端点的特点．对于“F1，F2，…，F n的碟宽右端点是否在一条直线上？”，我们可以推测任意相邻的三点是否在一条