高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第7课时 二次函数、幂函数课件 文 北师大版

＝
2 3
α，
2 3
＝
1 3
β，即α＝log
2 3
1 3
，β＝log
1 3
2 3
.所以αβ＝log
2 3
1 3
·log
1 3
2 3
＝
12 lg23·lg31＝1. lg3 lg3
法二：由解法一，得13＝23α，23＝13β，
则13αβ＝13βα＝23α＝13，即αβ＝1.
单调递增
单调递减
当b＝0时为 偶函数 奇偶性
为非奇非偶函数
，当b≠0时
对称性 图像关于直线x＝ －2ba 成轴对称图形
3.简单的幂函数 函数 y＝xα 叫作幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．
4．幂函数的图像 幂函数y＝x、y＝x 、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图像如下：
5．幂函数的性质比较
[基础自测]
1．(教材改编题)已知点 M 33，3在幂函数 f(x)的图像上，则
f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝x－2
C．f(x)＝x
D．f(x)＝x
解析：设 f(x)＝xα，则 33α＝3，解得 α＝－2.故选 B. 答案：B
2．(教材改编题)设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定
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第7课时 二次函数、幂函数
1．了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x
，y＝
1 x
的图像，了解
它们的变化情况．
3．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．
4．会求二次函数在闭区间上的最值．
5．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的
考点一 幂函数
[例 1] 已知幂函数 f(x)＝x
(m∈N＋)的图像关于 y 轴对
称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1) <(3－2a) 的 a 的 取值范围．
审题视点 由幂函数的性质得到 m2－2m－3<0，再结合 m∈N＋及图像关于 y 轴对称可得 m 值．
解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈N＋， ∴m＝1,2. 又函数的图像关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.而g(x)＝x 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1) <(3－2a) 等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或 a＋1<0<3－2a.
解得a<－1或23<a<32.
故a的取值范围为aa<－1或23
3 <a<2.
本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶性于一体，综合 性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问 题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图像对称性)求 出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图 像求出参数a的取值范围．
联系去解决有关问题．
1．二次函数的三种表示形式
(1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0)
；
(2)顶点式：若二次函数图像的顶点坐标为(k，h)，则其解析 式为f(x)＝ a(x－k)2＋h(a≠0) ．
(3)两根式：若二次函数图像与x轴的交点坐标为(x1,0)， (x2,0)，则其解析式为f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
B．a≤－3
C．a<5
D．a≥－3
解析：由题意知(－∞，4]⊆(－∞，1－a]，∴1－a≥4 即 a≤
－3. 答案：B
4．已知函数 f(x)＝3x2－12x＋5，当 x∈[0,3]时，f(x)min＝ ________，f(x)max＝________.
解析：f(x)＝3(x－2)2－7， ∴f(x)在[0,2]上递减， 在(2,3]上递增． ∴f(x)min＝f(2)＝－7，f(x)max＝f(0)＝5. 答案：－7 5
函数 性质
y＝x
y＝x2 y＝x3
y＝x－1
定义域 R
R
R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0}
奇偶性 奇
偶
奇 非奇ห้องสมุดไป่ตู้偶
奇
x∈[0，＋∞)
单调性
增
时，增； x∈(－∞，0]
增
时，减
x∈(0，＋∞)
增
时，减； x∈(－∞，0)
时，减
定点
(1,1)
1．(2016·天津高三月考)已知幂函数f(x)＝(t2－t＋1)·x
(t
∈N)是偶函数，则实数t的值为( )
A．0
B．－1或1
C．1
D．0或1
解析：因为函数为幂函数，所以t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，所
以t＝0或t＝1.当t＝0时，函数为f(x)＝x 为奇函数，不满足条
件．当t＝1时，f(x)＝x 为偶函数，所以t＝1. 答案：C
义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
解析：当 α＝－1，12时定义域不为 R，当 α＝1,3 时定义域为
R 且为奇函数．
答案：A
3．若函数 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 在区间(－∞，4]上是减函数，
那么实数 a 的取值范围是( )
A．a≥3
5．已知抛物线与 x 轴交于点 A(－1,0)，B(1,0)并经过点 M(0,1)， 则抛物线的解析式为________．
解析：∵点 A(－1,0)，B(1,0)是抛物线与 x 轴的交点， ∴设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x－1)① 将 M(0,1)代入①，得 1＝－a，即 a＝－1， ∴y＝－(x＋1)(x－1)＝－x2＋1. 答案：y＝－x2＋1
2. 幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的 图像是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线 段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有 |BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝( )
A．1 C．3
B．2 D．无法确定
解析：法一：由条件得M13，23，N23，13，由一般性，可得13
2．二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图像
定义域 值域
R 4ac4－a b2，＋∞
R －∞，4ac4－a b2
在x∈－∞，－2ba上 在x∈－∞，－2ba
增减性 单调递减
上 单调递增
在x∈－2ba，＋∞上 在x∈－2ba，＋∞上