线面垂直证明题训练

线面垂直证明题训练work Information Technology Company.2020YEAR

A

B

C

P

E F

线面垂直的证明

方法总结：直线垂直于平面内的两条相交直线；利用面面垂直的性质；利用勾股定理逆定理；

1．如图①所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图②使G 1、G 2、G 3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)． ①SG ⊥面EFG ； ②SD ⊥面EFG ； ③EF ⊥面ＳＧＤ； ④GD ⊥面SEF ．

2．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)． ①PA ⊥BC ；②BC ⊥平面PAC ；③AC ⊥PB ；④PC ⊥BC ．

3．以AB 为直径的圆在平面α内，α⊥PA 于A ，C 在圆上，连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，指出图中所有线面垂直并逐一证明。

4．如图，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于B A,的任意一点， 求证：AC A 1平面⊥BC ；

5．已知，如图正方体1111D C B A ABCD -中，求证：111A D B C A 平面⊥ 三垂线定理的运用

6．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，在平面B 1BDD 1中，过B 1作B 1H ⊥D 1O ，垂足为H ， 求证：B 1H ⊥平面ACD 1。

7．已知正方形ABCD 的边长为1，

．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使1AC =，得到三棱锥

A —BCD ，如图所示．求证：AO BCD ⊥平面；

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

9．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，

求证BDM 1平面⊥O A

10．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD.求证:DC ⊥平面PAD

12、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 。证明:AB ⊥平面VAD

线线垂直

1.如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.求证：MN ⊥CD .

2．如图，一四边形ABCD 的对边AB 与CD 、AD 与BC 都互相垂直，证明：AC 与BD 也互相垂直．

3.已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 求证:BC AD ⊥

4.如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，

使平面EDB ⊥平面ABD 。求证:AB DE ⊥

5.S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.

6．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=22，M 为BC 的中点。

证明：AM ⊥PM ；

①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC．其中的是

8.如图，在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）

9．如图，已知SA，SB，SC是由一点S引出的不共面的三条射线，∠ASC=∠ASB=45°，

∠BSC=60°，∠SAB=90°，求证：AB⊥SC．

10．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在

（）

A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线CA上 D．△ABC内部

面面垂直

1.在菱形ABCD中，∠A=60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G．（1）证明：直线BG∥平面FDE；（2）判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．

2．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中

点．

求证：（Ⅰ）CD⊥AE；（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

3．如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1 AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的和ABEF互相．

（1）求证：AF⊥面CBF；（2）设FC的中点为M，求证：OM∥DAF；（3）求三棱锥C-BEF的体

积．

4．如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：

（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD⊥平面PBD．

5．已知：三棱锥P-ABC，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂

6．如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足 时，平面MBD ⊥平面PCD ．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

7．如图1，矩形ABCD 中，AB=2AD=2a ，E 为DC 的中点，现将△ADE 沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，如图2．

（1）求四棱锥D-ABCE 的体积； （2）求证：AD ⊥平面BDE ．

8．已知四边形ABCD ，BC=BD ，AC=AD ，E 是CD 边的中点．在AE 上的一个动点P ，讨论BP 与CD 是否存在关系，并证明你的

结论．

9．如图，在长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足，设AK=t ，则t 的取值范围是 ．

10．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=3，AB=5，cos ∠BAC=53

（1）求证：BC ⊥AC 1；

（2）若D 是AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1．

12.已知：四棱锥P-ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，∠A=90°，且AB ∥CD ，AB ＝21

CD ，点F 在线段PC 上运动．

（1）当F 为PC 的中点时，求证：BF ∥平面PAD ；

（2）设FC PF

＝λ，求当λ为何值时有

BF ⊥CD ．