微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
上一点，且MD＝1，点P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为___2__．
第4题图
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
类型一：周长最小型 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得 △PMN周长最小． 解决思路 要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线 段转化到同一直线上即可．
第6题图
模型三 “两点两线”型(两动点＋两定点)
问题：点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形 PQNM周长最小．
解决思路
要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将 线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对 称点，点Q关于OB的对称点
要使四边形pqnm周长最小pq为定值即求得pmmnnq的最小值即可需将线段pmmnnq三条线段尽可能转化在一条直线上因此想到作点p关于oa的对称点点q关于ob的对称点路解决思路第7题图7
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
(宿迁2考)
模型一 “一线两点”型 (一动点＋两定点)
类型一：异侧线段和最小值问题 问题： 两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA+PB值最小． 解决思路 根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交直线l 于点P， 点P即为所求．
针对训练 5. 如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别 是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为（__27_5_，_27_4_）_．
第5题图
类型二：两条线段之和最小型 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋ MN最小．
中考培优竞赛专题经典讲义 最值问题之将军饮马问题
最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。
模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN 为定值，故只需求AM ＋NB 的最小值，将点A 向下平移MN 的长度得到A ′，连接A ′B ，线段A ′B 的长度即为AM ＋NB 的最小值直线l 上有一长度不变线段MN 移动，求AM ＋MN ＋NB 最小值的模型．将A 点向右平移MN 的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN ＋A 2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，点C 的坐标为(12，0)，点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为 ．解：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，∵DP ＝P A ，∴P A ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD ，∵B (3，∴AB OA ＝3，∵tan ∠AOB ＝AB OA AOB ＝30°，∴OB ＝2AB ＝ 由三角形面积公式得：12×OA ×AB ＝12×OB ×AM ，∴AM ＝32，∴AD ＝2×32＝3，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°，∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°，∴AN ＝12AD ＝32，由勾股定理得：DN ，∵C (12，0)，∴CN ＝3﹣12﹣32＝1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC ，即P A＋PC．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN，∴P A＋PC．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A 关于BC 和ED 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于M ，交ED 于N ，则A ′A ″即为△AMN 的周长最小值．⑴作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∠BAE ＝120°，∴∠AA ′A ″＋∠AA ″A ′＝60°，∠AA ′A ″＝∠A ′AM ，∠AA ″A ′＝∠EAN ，∴∠CAN ＝120°－∠AA ′A ″－∠AA ″A ′＝60°，也就是说∠AMN ＋∠ANM ＝180°－60°＝120°.⑵过点A ′作EA 延长线的垂线，垂足为H ，∵AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，∴AA ′＝2BA ＝2，AA ″＝2AE ＝4，则Rt △A ′HA 中，∵∠EAB ＝120°，∴∠HAA ′＝60°，∵A ′H ⊥HA ，∴∠AA ″H ＝30°，∴AH ＝12AA ′＝1，∴A ′H ，A ″H ＝1＋4＝5，∴A ′A ″＝例题4、如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE ＝1MN 在AC 上运动．(1)求四边形BMNE 周长最小值；(2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan ∠MBC 的值为 ．解：作EF ∥AC 且EF DF 交AC 于M ，在AC 上截取MN DF 交BC 于P ，作FQ ⊥BC 于Q ，作出点E 关于AC 的对称点E ′，则CE ′＝CE ＝1，将MN 平移至E ′F ′处，则四边形MNE ′F ′为平行四边形，当BM ＋EN ＝BM ＋FM ＝BF ′时，四边形BMNE 的周长最小，由∠FEQ ＝∠ACB ＝45°，可求得FQ ＝EQ ＝1，∵∠DPC ＝∠FPQ ，∠DCP ＝∠FQP ，∴△PFQ ∽△PDC ， ∴PQ PQ QE EC ++＝PQ CD ，∴2PQ PQ +＝14，解得：PQ ＝23，∴PC ＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC 、y 轴关于直线y ＝kx 对称，直线OD 、直线y ＝kx 关于y 轴对称，点A ′是点A 关于直线y ＝kx 的对称点．作A ′E ⊥OD 垂足为E ，交y 轴于点P ，交直线y ＝kx 于M ，作PN ⊥直线y ＝kx 垂足为N ，∵PN ＝PE ，AM ＝A ′M ，∴AM ＋PM ＋PN ＝A ′M ＋PM ＋PE ＝A ′E 最小(垂线段最短)，在RT △A ′EO 中，∵∠A ′EO ＝90°，OA ′＝4，∠A ′OE ＝3∠AOM ＝60°，∴OE ＝12OA ′＝2，A ′E ．∴AM ＋MP ＋PN 的最小值为【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ．2、在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6，BD ＝8，点E 、F 、P 分别是边AB 、BC 、AC 上的动点，PE ＋PF 的最小值是 ．3、如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE ＋DE 的最小值为 ．4、如图，钝角三角形ABC 的面积为9，最长边AB ＝6，BD 平分∠ABC ，点M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值为 ．5、如图，在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，点D 、E 分别为AM 、AB 上的动点，(1)若AC ＝4，S △ABC ＝6，则BD ＋DE 的最小值为(2)若∠BAC ＝30°，AB ＝8，则BD ＋DE 的最小值为 ．(3)若AB ＝17，BC ＝10，CA ＝21，则BD ＋DE 的最小值为 ．AB C DEM6、如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，S △ABC ＝，点P 、Q 、K 分别为线段AB 、BC 、AC 上任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 ．7、如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点M 在⊙O 上，∠MAB ＝20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，则PM ＋PN 的最小值为 ．B8、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm ．10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE＋DE＋DB的最小值是．11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3x(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形P ABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；AC E D15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D故BE ＋ED4.解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点E ，MN ⊥BC 于N ，∴MN ＝ME ，∴CE ＝CM ＋ME ＝CM ＋MN 是最小值．∵三角形ABC 的面积为9，AB ＝6，∴12×6 CE ＝9，∴CE ＝3．即CM ＋MN 的最小值为3．5.H E'A C DEM提示：作点E 关于AM 的对称点E ′，BH ⊥AC 于H ，易知BD ＋DE 的最小值即为BH 的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A 作AH ⊥BC 交CB 的延长线于H ，∵AB ＝CB ＝4，S △ABC ＝AH ＝∴cos ∠HAB ＝AH ABHAB ＝30°，∴∠ABH ＝60°，∴∠ABC ＝120°， ∵∠BAC ＝∠C ＝30°，作点P 关于直线AC 的对称点P ′，过P ′作P ′Q ⊥BC 于Q 交AC 于K ，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝即PK＋QK的最小值为7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝4＝∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝9.解：沿过A 的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH ，过C 作CQ ⊥EF 于Q ，作A 关于EH 的对称点A ′，连接A ′C 交EH 于P ，连接AP ，则AP ＋PC 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE ＝A ′E ，A ′P ＝AP ，∴AP ＋PC ＝A ′P ＋PC ＝A ′C ，∵CQ ＝12×18cm ＝9cm ，A ′Q ＝12cm ﹣4cm ＋4cm ＝12cm ，在Rt △A ′QC 中，由勾股定理得：A ′C ＝15cm ，故答案为：15．10.解：连接AC ，作B 关于直线OC 的对称点E ′，连接AE ′，交OC 于D ，交OB 于E ，此时CE ＋DE ＋BD 的值最小，∵四边形OCBA 是菱形，∴AC ⊥OB ，AO ＝OC ，即A 和C 关于OB 对称，∴CE ＝AE ，∴DE ＋CE ＝DE ＋AE ＝AD ，∵B 和E ′关于OC 对称，∴DE ′＝DB ，∴CE ＋DE ＋DB ＝AD ＋DE ′＝AE ′，过C 作CN ⊥OA 于N ，∵C (1)，∴ON ＝1，CN由勾股定理得：OC ＝2，即AB ＝BC ＝OA ＝OC ＝2，∴∠CON ＝60°，∴∠CBA ＝∠COA ＝60°， ∵四边形COAB 是菱形，∴BC ∥OA ，∴∠DCB ＝∠COA ＝60°，∵B 和E ′关于OC 对称，∴∠BFC ＝90°，∴∠E ′BC ＝90°﹣60°＝30°，∴∠E ′BA ＝60°＋30°＝90°，CF ＝12BC ＝1，由勾股定理得：BF E ′F ，在Rt △EBA 中，由勾股定理得：AE ′＝4，即CE ＋DE ＋DB 的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M ′N ′，即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N ′OQ ＝∠M ′OB ＝30°，∠ONN ′＝60°，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′＝90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′14.A'AB PC EDQA'A B P C E D解：(1)作点A 关于BC 的对称点A ′，连DA ′交BC 于点P.(2)由(1)可证得PA 垂直平分CD ，∴AQCQ ＝3PQ15.解：(1)∵E 为AB 上的一个动点，∴作G 关于AB 的对称点M ，连接CM 交AB 于E ，那么E 满足使△CGE 的周长最小； ∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12， 而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DCM ，∴AE ：CD ＝MA ：MD ，∴AE ＝CD MA MD＝2； (2)∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH ＝4，然后连接HM 交AB 于E ，接着在EB 上截取EF ＝4，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点，∴AG ＝AM ＝4，MD ＝12，而CH ＝4，∴DH ＝2，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝HD MAMD⨯＝23，∴AF＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①．在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴ACⅡ．将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②．在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝ABCD爬行的最近路线A′GC更近；(2)过点M作MH⊥AB于H，连接MQ、MP、MA、MB，如图3．∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，∴MH＝60﹣10＝50，HB＝15，AH＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM，MB∴50≤MP∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ） 则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。
“将军饮马”解决线段最值问题
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针对训练 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5___1_0_．
第8题图
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针对训练 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A ) A. 13 B. 13 C. 7 D.3
2
第4题图
类微型专4 题异侧利差用最“大将值军问饮题 马”解决线段最值问题
利用“将军饮马”解决线段最值问题
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型1 异侧线段和最小值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交 直线l 于点P，点P即为所求．
且AC＝12.点P在正菱方形形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( D )
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
类型微3 专同题侧差利最用大“值将问军题饮马”解决线段最值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点 共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的 交点即为点P.
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针对训练
7. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
(2017.27；针对几何图形操作探究型问题和二次函数综合题设置此微专题)
模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型一 异侧线段和最小值问题 问题： 两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 解决思路
根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交直线l 于点P，点P 即为所求．
13 一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为____2____．
第4题图
类型四 异侧差最大值问题 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解决思路 将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．
针对训练 5. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|PA－PB|的最大值为___4_____．
针对训练 7. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D， M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___2__2___．
第7题图
模型三 “两点两线”型(两动点+两定点)
问题：点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边 形PQNM的周长最小． 解决思路
第5题图
模型二 “一点两线”型(两动点+一定点)
类型一 周长最小型 问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小． 解决思路 要使△PMN的周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条 线段转化到同一直线上即可．
针对训练 6. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB， 且OP＝6，则△PMN周长的最小值为____6____．
2020中考数学复习微专题：最值问题(将军饮马)突破与提升策略
2020中考数学复习微专题：最值问题（将军饮马）突破与提升策略【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
专题64 将军饮马模型与最值问题【模型引入】 什么是将军饮马？“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【模型描述】如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P 使得P A +PB 最小？这个问题的难点在于P A +PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【模型解析】作点A 关于直线的对称点A ’，连接P A ’，则P A ’=P A ，所以P A +PB =P A ’+PB当A ’、P 、B 三点共线的时候，P A ’+PB =A ’B ，此时为最小值（两点之间线段最短）AB 将军军营河【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OA （折点M 所在直线）、OB （折点N 所在直线）的对称点，化折线段PM +MN +NP 为P ’M +MN +NP ’’，当P ’、M 、N 、P ’’共线时，△PMN 周长最小．【精典例题】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P ’、N 、M 、P ’’共线时，得△PMN 周长的最小值，即线段P ’P ’’长，连接OP ’、OP ’’，可得△OP ’P ’’为等边三角形，所以P ’P ’’=OP ’=OP =8．BBP OBAMNP''A【模型】二、两定两动之点点在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
2024成都中考数学二轮复习专题：将军饮马求最小值1-对称【含答案】
将军饮马求最值1--对称内容导航方法点拨一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：A、A’是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.变式二：已知点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；（1）点A、B在直线m同侧：解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’例题演练题组1：两定点一动点问题例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．（1）求直线AB的解析式；（2）如图2，若点E是AB上一动点（点A、B除外），连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；【解答】解：（1）由题意A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）设C（m，0），则B（m，m+1），把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，解得m＝4或﹣1（舍弃），∴C（4，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+1．（2）如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．∵C（4，0），CC′关于直线AB对称，∴C′（﹣1，5），∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，由，解得，∴E（﹣，），∵D（1，﹣4），＝9×（4+）﹣×3×9﹣×（1+）（4+）﹣×（4+）（5﹣）＝12.5．∴S△BDE练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣∴S△FBC2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．题组2：两动点一定点问题例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．（1）求抛物线和直线AB的解析式．（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．∴，，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，﹣m2+5m+4）＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×（﹣m2+5m+4）﹣×9×9＝﹣（m﹣3）∵S△PEF2+18，∵﹣＜0，∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，∵PB是定长，两点之间线段最短，∴此时四边形PNMB周长最小．∵P′（﹣3，10），B′（5，﹣4），∴P′B′＝＝2，∵PB＝＝2，∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y 轴交于C点，顶点为D．（1）如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；（2）在（1）的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，∴B（﹣2，0），A（6，0），∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线顶点D坐标为（2，4），对称轴x＝2，设直线AD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，∵AR⊥AD，∴直线AR的解析式为y＝x﹣2，∴点R坐标（2，﹣）．（2）如图1中，设P（m，﹣m2+m+3），则Q（m，m﹣2），M（m，﹣m2+m+），由（1）可知tan∠DAB＝＝，∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，∴∠BAQ＝30°，∴平行四边形MNRQ周长＝2（﹣m2+m+﹣m+2）+2（2﹣m）÷cos30°＝﹣m2﹣m+，∴m＝﹣时，平行四边形MNRQ周长最大，此时P（﹣，），如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．理由：PE+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．∵M（，），N（﹣，），∴直线AN的解析式为y＝﹣x+，∴点F坐标（0，），∴直线FM的解析式为y＝x+，∴点E坐标（2，）．题组3：线段之差的最大值问题例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．（1）当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；【解答】解：（1）设点P（m，﹣m+1），则点E（m，0），联立两个函数表达式得，解得，即点A、B的坐标分别为（0，1）、（6，﹣5），由抛物线的表达式知，点C（2，3），由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F（，﹣m+1），△PEF面积＝×PE•PF＝×（m﹣1）（﹣m）＝﹣（m﹣1）（m﹣6），∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝（1+6）＝，故点P（，﹣），当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，故点H（1，0），则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．（1）如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．（2）如图2，连接AE，以AB，AE为边作▱AEFB，将抛物线w与▱AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和▱A′E′F′B′，在向上平移的过程中▱AEFB与▱A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2（P在H的右边），当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．【解答】解：（1）令﹣x2﹣x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0）当x＝﹣＝﹣1时，y＝，即D（﹣1，），当x＝﹣5时，y＝，即E（﹣5，﹣）＝S△AOE+S△AOD＝•AD•（y D﹣y E）＝×4×（）＝16；∴S四边形AEOD（2）如图1，延长FE′交x轴于点H，由平移可知：F（1，），FH⊥x轴，FE′＝m，FH＝，∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，∴＝，即＝，∴E′Q＝，由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，S重叠四边形＝E′Q•HE′＝（）＝m2+m，当m＝＝时，平行四边形的面积有最大值，此时y Q＝﹣当y＝﹣时，即Q是线段FB的中，∴x Q＝＝，即Q（，）．如图2，作点Q关于直线A′B′的对称点Q′，将线段CH向右平移两个单位使点H与点P重合，点C的对应点为C′，延长Q′C′交直线A′B′于点N，当P在N点时，|PQ﹣HC|取得最大值．则＝，则Q′（，），C′（2，4），y Q′C′＝﹣，当y＝时，解得x＝，所以当P（，）时，|PQ﹣HC|取得最大值；练3.2如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．（1）求直线l与直线AC交点的坐标；（2）如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l 上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0，则＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1∴A（﹣4，0），B（1，0）令x＝0，得y＝，∴C（0，）设直线AC解析式为y＝kx+b，则，解得∴直线AC解析式为y＝x+，∵直线l解析式为x＝﹣，将x＝﹣代入y＝x+中，得y＝×（﹣）+＝，∴直线l与直线AC交点的坐标为（﹣，）；（2）∵PD⊥OA，PF⊥AC∴∠EDA＝∠PFE＝90°；∵∠PEF＝∠AED∴∠EAD＝∠EPF∵OC＝，OA＝4∴tan∠EPF＝tan∠EAD＝；∴∠EPF＝30°∴sin∠EPF＝，cos∠EPF＝，∴EG＝PE，PF＝PE，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE∴当PE取得最大值时，△PEF的周长最大；设点P（t，﹣t2﹣t+），则点E（t，t+），∵点P在点E的上方，∴PE＝﹣t2﹣t+﹣（t+）＝﹣t2﹣t＝﹣（t+2）2+，∴当t＝﹣2时，PE取得最大值，此时△PEF的周长取得最大值；∴P（﹣2，2），E（﹣2，）；∵B（1，0）与A（﹣4，0）关于直线l对称，连接AM，AP，∴AM＝BM|BM﹣PM|的值最大，即|AM﹣PM|的值最大，当P、M、A三点共线时，|AM﹣PM|＝AP最大，∵AP＝＝＝4∴|BM﹣PM|的最大值＝4；设直线AP解析式为y＝k′x+b′，将A（﹣4，0），P（﹣2，2）代入得解得：∴直线AP解析式为y＝x+4，令x＝﹣，得y＝，∴M（﹣，）；练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．（1）求直线BC的解析式；（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解方程得：x＝6或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0），又y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，又顶点C（2，4），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：，解得：，∴y＝﹣x+6；（2）如图1，∵点E（m，0），F（m+2，0），∴E′（m，﹣m2+m+3），F′（m+2，﹣m2+4），∴E′M＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+6）＝﹣m2+2m﹣3，F′N＝﹣m2+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+（﹣m2+m）＝﹣m2+3m﹣3，当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，∴此时，E′（3，）F′（5，），∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，∴R（0，），根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；。
专题六—线段最值问题之将军饮马问题.doc
学员编号： 学员姓名：
授课 类型 授课日 期时段
T (同步知识主题)
辅导讲义
小初高中精品学科讲义
年 级：初三 辅导科目：数学
课 时 数：3 学科教师：
C （专题方法主题）
T （学法与能力主题）
线段最值问题—将军饮马问题
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的 数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后再到 B 点宿营.请问怎样 走才能使总的路程最短?
落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△ PEB 的周长的最小值是
．
5、如图，在锐角△ ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动
微专题 利用”将军饮马“解决线段最值问题-学生
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 6. (2018陕西副题14题3分)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC 的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM-PO的最大值为 ________．
第6题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
(4)异侧线段差最大值问题 模型分析 问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 解题思路：将异侧点转化为同侧，同“3.同侧线段差最大值问题”即可解决．
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 2. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、 N分别是AD、AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．
第2题图
第3题图
3. 如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM
3. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且AE＝1， 点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．
第3题图
第4题图
4. 如图，AB是 e O的直径，AB＝8 cm， ¼AC＝ C»D ＝ B»D ，M是AB上一动点，则CM ＋DM的最小值是________．
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大． 解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的 长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
专题64 将军饮马模型与最值问题(解析版)
∴ OD AD 3，即 A(3,3)
把点 A(3,3) 代入的 y k 得， k 9 x
∴反比例函数的解析式为： y 9 ． x
答：反比例函数的解析式为： y 9 ． x
（2）过点 B 作 BE AD 垂足为 E ，
∵∠B 90 ， AB BD ， BE AD
∴ AE ED 1 AD 3 ，
【专题说明】
这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在
中，
，
是
的两条中线， 是 上一个动点，则下列线段的
长度等于
最小值的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
在
中，
，AD 是
的中线，可得点 B 和点 D 关于直线 AD 对称，连结 CE，交 AD 于
点 P，此时
最小，为 EC 的长，故选 B.
2、如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AB＝8，P 是 AC 上一动点，则 PB+PE 的最小值_____．
【答案】10 【详解】 解：如图：
连接 DE 交 AC 于点 P，此时 PD＝PB， PB+PE＝PD+PE＝DE 为其最小值， ∵四边形 ABCD 为正方形，且 BE＝2，AB＝8， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6， 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得
【分析】△PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P’、 P’’，化 PM+PN+MN 为 P’N+MN+P’’M．
中考数学复习专题之二“将军饮马”模型解决最值问题
专题二 “将军饮马”模型解决最值问题【实战精例1】（2019•广西）如图，AB 为O 的直径，BC 、CD 是O 的切线，切点分别为点B 、D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB =2BC =，当CE DE +的值最小时，则CEDE的值为( )A ．910B ．23C D 【实战精例2】 （滨州·中考真题）如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，EM CM +的最小值为 ．一、“将军饮马”模型问题：如图，在定直线l上找一动点P，使点P到两定点A和B的距离之和最小，即PA+PB 最小。
【简析1】如图，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，且最小值等于AC。
类型一：“两定一动“--和最小【经典剖析1】（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中+的最小值为()AD=，点F是线段AD上的动点，则BF EFBC、AB边的中点，6A．3 B．6 C．9 D．12【经典剖析2】如图，直线8=+分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别y x为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC PD+值最小时，点P的坐标为()A．(4,0)−−D．(1,0)−C．(2,0)−B．(3,0)【经典剖析3】 已知(1,1)A −、(2,3)B 两点，在y 轴上存在点P 使得AP BP +的值最小，则点P 的坐标为( ) A ．1(0,)4B ．1(0,)3C ．1(0,)4−D ．1(0,)3−【经典剖析4】如图，边长为a 的等边ABC ∆中，BF 是AC 上中线且BF b =，点D 在BF上，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE ∆，连接EF ，则AEF ∆周长的最小值是( )A ．1223a b +B ．12a b +C ．12a b +D ．32a类型二：两定一动“--差最大--定点同侧类型三：“两定一动“--差最大【经典剖析1】（2019秋•龙口市期末）如图，已知点(0,1)B−，点P为x轴上一A，(2,3)点，当||−最大值时，点P的坐标为．PB PA类型四：“两动一定“--最短距离【经典剖析1】如图，四边形ABCD中，130∠=∠=°，在BC，CD上B DBAD∠=°，90分别找一点M，N，使AMN∠+∠的度数为()∆的周长最小时，则ANM AMNA．80°B．90°C．100°D．130°【经典剖析2】如图，30=，点E，F分别是BA，∠=°，点D是它内部一点，BD mABC∆周长的最小值为()BC上的两个动点，则DEFA．0.5m B．m C．1.5m D．2m类型五：“两动两定“--最短距离【经典剖析1】（2021春•江岸区校级月考）如图所示，50AOB ∠=°，30BOC ∠=°，12OM =，4ON =．点P 、Q 分别是OA 、OB 上动点，则MQ PQ NP ++的最小值是 ．类型六：“两定点一定长①”【类型七】“两定点一定长②”【经典剖析1】如图，在矩形ABCD 中，4AB = ，7BC= ，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.问题作法图形原理在直线l 上求两点M,N （M 在N 左侧），使MN=a ，使AM+MN+NB 最短将A 向右移a 个单位到A’，作A ’关于l 对称点A’’，连接A’’B 与交点即为N ，左移a 个单位，即为M 。
提分微课(05) 将军饮马问题
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
[答案] B
[解析]如图,分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 C,D,
连接 CD,OC,OD,CD 与 OA,OB 的交点即为所求点 M,N. 所以 OC=OP=OD,∠AOB=12∠COD, 因为△PMN 周长的最小值是 5 cm,所以 CD=5 cm,
∵在菱形 ABCD 中,AB=AD=2,∠BAD=120°,
∴∠ADC=60°,∴AE=AD·sin∠ADC=2×23= 3, ∵P'Q⊥CD,AE⊥CD,AB∥CD,∴P'Q=AE= 3.∴PK+QK 的最小值为 3.
4.如图 W5-5,☉O 的半径为 1,点 A 是半圆(������������������)上的一个三等分点,点 B 是
解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P',P″,连接P'P″,与OA,OB 的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即△PQR的周长)最小.
图W5-8
7.如图W5-9,点P是∠AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和
射线OB上的动点,若△PMN周长的最小值是5 cm,则∠AOB的度数是 ( )
3.如图W5-4,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上
的任意一点,则PK+QK的最小值为
.
[答案] 3
[解析]作点 P 关于 BD 的对称点 P', 则 PK+QK=P'K+QK.当 P',K,Q 三点共线,且 P'Q⊥CD 时,
图W5-4
PK+QK 取得最小值.过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.
专题3.2 将军饮马最值问题(强化)(解析版)
专题3.2 将军饮马最值问题【例题精讲】【例1】如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，ABCD的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出ABCD关于直线MN的对称图形；（2）求ABCD的面积；（3）在直线MN上取一点P，使得AP CP+最小（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图，DEFD即为所求．（2）111535131427222ABCSD=´-´´-´´-´´=．ABC\D的面积为7．（3）如图，点P即为所求．【题组训练】1．如图，ABC D 三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C ．（1）在图中画出ABC D 绕原点O 逆时针旋转90°后的△111A B C ；（2）请画出ABC D 关于原点对称的△111A B C ；（3）在x 轴上求作一点P ，使PAB D 的周长最小，请画出PAB D ，并写出点P 的坐标为 (2,0) ．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）如图，△222A B C 为所作；（3）如图，PAB D 为所作，P 点坐标为(2,0)．2．ABCD在网格中的位置如图所示．（1）请画出ABCD绕着点O逆时针旋转90°后得到的△111A B C；（2）若网格中每一个小正方形的边长为1，请求出ABCD的面积；（3）在MN上找一点P，使PA PC+最小（不写法，保留作图痕迹）．【解答】解：（1）如图，△111A B C为所作；（2）ABCD的面积11133122331 3.5222=´-´´-´´-´´=；（3）如图，点P为所作．3．如图所示．（1）作出ABCD关于y轴对称的图形△111A B C；（2）在x轴上确定一点P，使得PA PC+最小；（3）求出ABCD的面积．【解答】解：（1）如图，△111A B C即为所求．（2）如图，点P即为所求．（3）1117 332113322222 ABCSD=´-´´-´´-´´=．ABC\D的面积为72．4．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，ABCD的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图．（1）作出ABCD关于直线MN的对称图形；（2）在网格中建立直角坐标系，使点A坐标为(1,3)-；（3）在直线MN上取一点P，使得AP CP+最小．【解答】解：（1）如图所示，△A B C（2）如图所示；（3）如图所示，连接B C¢，交MN于点P，则点P即为所求．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，(1,2)B，(2,1)A，(3,1)A B C；（1）在图中作出ABCD关于x轴的对称图形△111（2）求ABCD的面积；+的最小值和点P的坐标．（3）若在x轴上存在点P，使AP BP+最小，求AP BP【解答】解：（1）△111A B C 即为所求．（2）1119533321522222ABC S D =´-´´-´´-´´=．（3）连接1A B ，与x 轴交于点P ，则此时AP BP +最小，最小值即为1A B 的长，1A B \==，AP BP \+．设直线1A B 的解析式为y kx b =+，代入点(3,1)B ，1(1,2)A -，得312k b k b +=ìí+=-î，解得3272k b ì=ïïíï=-ïî，\直线1A B 的解析式为3722y x =-，令0y =，得73x =，\点P 的坐标为7(3，0)．6．如图，已知ABC D 的三个顶点在格点上．（1）作出与ABC D 关于y 轴对称的图形△111A B C ；（2）直接写出点C 关于x 轴对称2C 的坐标： (1,1)-- ；（3）在y 轴上找一点P ，使得PAC D 周长最小．请在图中标出点P 的位置．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求，（2）如图所示：2(1,1)C --，故答案为：(1,1)--；（3）如图所示：点P为所求，A，(4,2)B 7．在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：(0,4)都是格点．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹．（1）画出线段AB关于x轴对称的线段EF；+最小；（2）在x轴上找一点P，使AP BPD关于y轴对称的△AP B¢¢．（3）连接AP，BP，画出APB【解答】解：（1）如图，线段EF即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）如图所示，△AP B¢¢即为所求．8．如图，在平面直角坐标系中，(3,4)A ，(1,2)B ，(5,1)C ．（1）作出ABC D 关于y 轴的对称图形△111A B C ，并标出点1A ，1B ，1C ；（2）写出下列点坐标：1(A 3-，4 )，1(B )，1(C )；（3）点P 是y 轴上一动点，当点P 的坐标是 时，PA PB +的和最小．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作；（2）1(3,4)A -，1(1,2)B -，1(5,1)C -，故答案为：3-，4，1-，2，5-，1；（3）连接1A B 交y 轴于P ，1(3,4)A -Q ，(1,2)B ，\直线1A B 的解析式为1522y x =-+，令0x =，则52y =，\点P 的坐标是5(0,)2，故答案为：5(0,2．9．如图，在正方形网格上有一个ABC D （三个顶点均在格点上）．（1）作ABC D 关于直线HG 的轴对称图形△111A B C （不写作法）；（2）画出ABC D 中BC 边上的高AD ；（3）在HG 上画出点P ，使PB PC +最小．【解答】解：（1）如图．（2）如图．（3）如图．10．如图，ABC D 三个顶点的坐标分别为(2,4)A ，(1,1)B ，(4,3)C ．（1）ABC D 的面积是 72 ．（2）请画出ABC D 绕点B 顺时针旋转90°后的△11A BC ．（3）已知点(0,)P m 为y 轴上一点，当PA PB +取得最小值时，m 的值是 ．【解答】解：（1）ABC D 的面积为1117331321322222´-´´-´´-´´=．（2）如图，△11A BC 即为所求．（3）如图，作点A关于y轴的对称点A¢，连接A B¢，则与y轴的交点即为所求的点P．(2,4)AQ，(2,4)A¢\-，设直线A B¢的解析式为y kx b=+，将点(2,4)A¢-，(1,1)B代入，得241k bk b-+=ìí+=î，解得12k b =-ìí=î，\直线A B ¢的解析式为2y x =-+，令0x =，得2y =，\点P 的坐标为(0,2)，2m \=．故答案为：2．11．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，建立平面直角坐标系xOy ．已知ABC D 的顶点的坐标分别为(2,0)A -，(1,3)B --，(3,1)C --．（1）以原点为对称中心画出与ABC D 成中心对称的图形，其中A ，B ，C 的对应点分别为1A ，1B ，1C ，写出点1B ，1C 的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 在x 轴上，连接1PB 、1PC ，当11PB PC +取得最小值时，求此时点P 的坐标．【解答】解：（1）如图，△111A B C 为所作，点1B 的坐标(1,3)，点1C 的坐标(3,1)；（2）作1C 点关于x 轴的对称点C ¢，如图，则点C ¢的坐标为(3,1)-，1111PB PC PB PC B C +=+¢=¢Q ，\此时11PB PC +的值最小值，设直线1B C ¢的解析式为y kx b =+，把1(1,3)B ，(3,1)C ¢-代入得331k b k b +=ìí+=-î，解得25k b =-ìí=î，\直线1B C ¢的解析式为25y x =-+，当0y =时，250x -+=，解得52x =，\此时P 点坐标为5(2，0)．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点(1,5)A -，(3,1)B -．（1）将线段AB 绕点A 逆时针旋转90”，画出旋转后所得的线段AC ，并直接写出点C 的坐标为 (3,3) ；（2）在x 轴上找出一点D ，使ABD D 的周长最小，并直接写出点D 的坐标为 ．【解答】解：（1）如图，线段AC 即为所求，(3,3)C ．故答案为：(3,3)．（2）如图，点D 即为所求．设直线AB ¢的解析式为y kx b =+，(3,1)B ¢--Q ，(1,5)A -，\315k b k b -+=-ìí-+=î，解得38k b =ìí=î，\直线AB ¢的解析式为38y x =+，令0y =，得到83x =-，8(3D \-，0)．故答案为：8(3-，0)．13．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点ABC D （顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；（2）求△111A B C 的面积；（3）在DE 上画出点P ，使PB PC +最小．（保留作图痕迹）【解答】解：（1）如图．（2）1111115231221132222A B C S =´-´´-´´-´´=V ．\△111A B C 的面积为52．（3）如图．14．如图，ABC D 三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,2)B ，(3,4)C ．（1）请画出ABC D 关于原点对称的△111A B C ；并写出点1A ，1B ，1C 的坐标．（2）若P 为x 轴上一点，要使PA PB +最小，试找出P 的位置并写出P 的坐标（写过程）．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；1A 的坐标为(1,1)--，1B 的坐标为(4,2)--，1C 的坐标为(3,4)--．（2）如图所示，作点A 关于x 轴的对称点A ¢，连接A B ¢，交x 轴于点P ，连接AP ，则PA PB +最小，此时点P 的坐标为(2,0)．。
最值问题----将军饮马(三)
----之将军饮马（三）
什么是将军饮马？
【问题描述】： 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河 边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】： 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】：这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结 果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段 最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
【问题解决】作点A关于直线的 对称点A'，连接PA'，则PA'=PA， 所以PA+PB=PA'+PB.
当A'、P、B三点共线的时 候，PA'+PB=A'B，此时为最小 值（两点之间线段最短）
09 将军饮马（面积与折点）。
【问题描述】：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足△APB的面积是矩形 ABCD面积的三分之一，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_________．
【解析】:此处点P为折点， 作点M关于OA的对称对称点 M'如图所示，连接PM'，化 PM+PN为PM'+PN．
当M'、P、N共线时，得最 小值，又∠M'ON=60°且 ON=2OM'，可得∠OM'N=90°， 故P点坐标可求。
13 将军饮马（ 20°角的对称）。
【问题描述】：如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为 70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图 像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为___________ ．
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B. 34
C.5 2 D. 41
第3题图
如图，矩形ABCD中，AB=4，对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝120°,E为BD上任意点，F
为AE中点，则FO+FB的最小值为（
）
A. 2 7
B. 2 2 3
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练
6. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的 动点，则|PA－PB|的最大值为( B )
A. 3
B. 4
C.5
D. 5
第5题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题 模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
针对训练 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A ) A. 13 B. 13 C. 7 D.3
2
第4题图
类微型专4 题异侧利差用最“大将值军问饮题 马”解决线段最值问题
【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得的|PA-PB|值最大． 【解决思路】将异侧点转化为同侧，同类型3即可解决．
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 周长最小． 【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短， 将三条线段转化到同一直线上即可．
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练
7. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5___1_0_．
第8题图
C. 5
D. 3 3
第三节 图形的对称、平移、旋转与位似
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4.（2019安徽14题4分）如图，在正菱方形形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，∠B＝60°
且AC＝12.点P在正菱方形形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是( D )
A. 0
B. 4
C. 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD. 8
类型微3 专同题侧差利最用大“值将问军题饮马”解决线段最值问题
针对训练
2. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且 AE＝1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为C( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
第三节 图形的对称、平移、旋转与位似
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3.（2017安徽10题4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝
且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
A. 4
B. 5
C.6
D.7
第6题图
模型微三专题 “利两用点“两将线军”饮型马(”两解动决点线＋段两最定值点问) 题
【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形
PQNM周长最小． 【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小 值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P 关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
(2017年10题，2015、2011年分别在20题、22题中涉及考查)
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题 模型一 “一线两点”型(一动点＋两定点)
类型1 异侧线段和最小值问题 【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点 共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的 交点即为点P.
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
第1题图
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
类型2 同侧线段和最小值问题
【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 【解决思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型1即可解决．可作点B关于l的对 称点B′，接连AB′.
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交 直线l 于点P，点P即为所求．
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
针对训练 1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2