3.1.3空间向量的基本定理
高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点
小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学选修一第3章3.1~3.3空间向量运算-知识点1、空间向量的加法、减法、数乘及运算律都是平面向量的对应推广，规则没有变，既可以用平行四边形法则，也可以用包含目标向量的封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子。
2、因为向量可以平移 ，所以，任意两个向量都是共面 向量。
3、向量的数量积：a ·bba4、5、a 与b 平行(共线)的充要条件：存在实数λ，使得b =λa ；a ⊥b 的充要条件：a ·b =0。
6、三角形ABC 中，D 是BC 中点，则AD =21AB +21AC 。
7、给定四点O,P,A,B ，其中，O,A,B 为不共线的三点，且OP =x OA +y OB ，则A,P,B 三点共线 的充要条件是 x+y=1 .8、空间向量基本定理：如果1e 、2e 与3e 是不共面的向量，那么对空间中任意一个向量a ，存在唯一的实数λ,μ,ν，使得a =λ1e +μ2e +ν3e 。
9、对于空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C ，都有OP =x OA +y OB +z OC 。
则点P 与A,B,C 四点共面 的充要条件是 x+y+z=1 .10、空间向量的坐标表示：a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），则①a ±b =（x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2）；②λa =（λx 1，λy 1，λz 1）；③a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ；④ 11、空间直角坐标系中，x 轴，y 轴，z 轴两两互相垂直 。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 ，分别为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面，三个坐标平面把空间划分成八 个部分。
3.1.3空间向量的数量积
由a b a c能得到b c吗？如果不能，请举出 反例？ k k a b k ,能不能写成a (或b ) ?向量有除法吗？ b a
向量的数量积满足结合 律吗？即（ a b) c a (b c)吗？
2 1.已知 a 2 2 , b , a b 2 2 则a , b所夹的角为________ .
例1、已知：PO, PA分别是平面的垂线，斜线， OA是PA 在内的射影，a , 且a OA 求证： a PA
P
三垂线定理
a
O
A
例2：已知m,n是平面内的两条相交直线， 如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
l
l
g
m
n
g
m
n
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
| AC | 85
A'
B'
D
C
A
B
BD AB ，线段 AC 1.已知线段 AB 、BD在平面 内，
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
C
解：∵
| CD |2 (CA AB BD)2
D a b B
c
| CA |2 | AB |2 | BD |2 a 2 b2 c 2
AB MA AB AD AB DN 1 2 1 2 1 2 a a a 0 2 4 4
M
D B N C
MN AB
同理，MN CD
3.已知空间四边形 OABC , OB OC , AOB AOC
OA BC。 ，求证：
O
证明：∵
3.1.3 空间向量基本定理
存在惟一的三个有序实数x，y，z，使 OP＝xOA＋yOB＋zOC ．
数学应用
例1 如图，在正方体OADB -CA' D' B'中，点E是AB与OD的交点， M 是OD与CE的交点，试分别用向量OA，OB，OC表示OD '和OM .
B’
D’
解：OD＝OA＋OB＋OC C
A’
OM＝1 OA＋1 OB＋1 OC
3
23
O
＝1 OA＋ 2 [1 (OB＋OC)－1 OA]
2 32
2
＝1 OA＋1 (OB＋OC)－1 OA
M
23
3
＝1 OA＋1 OB＋1 OC
A
633
C
G N
OG＝1 OA＋1 OB＋1 OC
B
633
练一练
如图，空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，已知
AA1＝a， AB＝b， AC＝c ，且M是BC1的中点，N在AC1上，
底 e1， e2，e3 叫做基向量．
（（45））空如间果任空意间三一个个不基共底面的的三向个量基都向可量以两构两成互空相间垂的直一，个那基么底这．个基
底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位
向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 { ， ， } 表示
．
i jk
（6）推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， j， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
（x,y,z ），使 a＝xi＋y j＋zk.
有序实数组（x,y,z ）叫做向量 a在空间直角
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，
高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4
3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．梳理 空间向量基本定理(1)定理内容：不共面．3e ，2e ，1e 条件：三个向量①②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.(2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC →. 知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )．(2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ，使OA →＝x OB →＋y OC →成立．所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3。
空间向量基本定理
回顾复习
一、共线向量： 1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
则这些向量叫做共线向量或平行向量．
r
r
r a
平行于
r b
记作
r a
//
r b
．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
rrr r
2、共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a 0),
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
r b
C
ur p
P
请证明
A
r a
B
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须 满足什么条件？
ur
rC
p
br Aa
B
P
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuur uuur uuur
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
uuuur uuuur uuuur (4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ur ur
2.
已知uue1ur, e2
是平面内两个不共线的向量,
ur uur uuur ur uur
uuur
ur
uur
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
uuur OP
2
uuur OA1来自uuur OB2
uuur OC
;
555
uuur uuur uuur uuur
(2) OP 2OA 2OB OC ；
uuur r uuur r
例1.如图三棱柱,设AB a, AC b, A1
高中数学第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3-1空间向量基本定理北师
答案：3a＋3b－5c
解析：如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则
1
1
1
1
1
EF＝GF − GE＝ CD − BA＝ CD + AB＝ (5a＋6b－
2
2
1
8c)＋ (a－2c)＝3a＋3b－5c.
2
2
2
2
易错辨析 对基理解不清致误
例3 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点．若
的值分别是(
)
1
1
1
1
1
1
A．x＝ ，y＝ ，z＝ B．z＝ ，y＝ ，z＝
3
3
3
1
1
1
C．x＝ ，y＝ ，z＝
3
6
3
答案：D
3
3
6
1
1
1
D．x＝ ，y＝ ，z＝
6
3
3
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA′ ＝c，P是
CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且
A1 B1 ＝a，A1 D1 ＝b，A1 ＝c，试用基{a，b，c}表示向量C1 ．
解析：如图，连接A1M，A1C1 ，则C1 ＝A1 －
1
A1 C1 ＝A1 ＋AM－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1 ＋ (A1 B1
1
＋A1 D1 )－(A1 B1 ＋A1 D1 )＝A1A－
2
1
1
b构成基的向量是(
)
A．a
B．b
C．a＋2b
D．a＋2c
空间向量的坐标运算
3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的正交分解及其坐标表示【基础知识在线】知识点一 空间向量基本定理★★★考点： 寻找合适的基底来表示题目中的向量 知识点二 单位正交基底★★★ 考点： 用坐标表示向量知识点三 空间直角坐标系★★★★ 考点： 选择合适的位置建系知识点四 空间向量的坐标表示★★★★★ 考点： 能在坐标系下用坐标表示空间向量 能够进行坐标运算【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间向量基本定理若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．推论：设C B A O ,,,是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的一个有序实数组(z y x ,,}，使OC z OB y OA x OP ++=．注意：（1） 由定理可知，作为基底的三个向量不共面，因此，基底中不存在零向量. (2)一个基底是一组向量，一个基向量是说基底中的某一向量.(3)空间中三个向量只要不共面，即可作为基底，即空间中的基底是不唯一的；当选定一组基底后，空间中任一向量的表示却是唯一的.问题二:空间直角坐标系的建立和坐标表示空间直角坐标系的建立：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，如图，以点O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．O —x y z 为空间直角坐标系，O 为坐标原点，向量i ，j ，k 为单位坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．在空间直角坐标系中，坐标平面xOy 上的点的竖坐标为0；坐标平面xOz 上的点的纵坐标为0；坐标平面yOz 上点的横坐标为0．x 轴上的点纵坐标、竖坐标为0，y 轴上的点横坐标、竖坐标为0，z 轴上的点横坐标、竖坐标为0．注意：（1）空间直角坐标系的建立，必须寻求两两垂直且交于一点的直线.（2）表示坐标的三个数据的位置是不能改变的.如若顺序变了，则对应的向量也随之改变.【点拨思维·方法技巧】 一.基底的概念例1已知向量{}c b a ,,是空间的一个基底，那么向量,,-+能构成空间的一个基底吗？为什么？【思维分析】解答该题适用反证法.假设不能构成基底，则共面，利用共面基本定理推出矛盾，从而假设不成立.【解析】 能构成空间一个基底．图3-1-28假设,,-+共面，则存在y x ,,使()()y x -++=,()()y x y x -++=∴.从而由共面向量定理知，c 与b a ,共面． 这与向量{},,是空间的一个基底矛盾． ∴c b a b a ,,-+不共面．【评析】 判断三个向量能否作为基底，关键是正确理解概念，只有空间中三个向量不共面才能构成空间向量的一个基底，常用反证法.变式训练１.有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底.其中正确的命题是（ ）.A.①②B.①③C.②③D.①②③ 答案：C.【解析】对于①“如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系一定共线”；所以①错误.②③正确二.用基底表示向量例2如图，在三棱柱111C B A ABC -中，设===,,1，M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，试用基底},,{表示N C 1.【思维分析】结合图形，利用空间向量的加减和数乘运算，把相关的向量均用基底表示. [解析]M 是B A 1的中点，点N 在CM 上，且4:1:=CM CN ，图3-1-29∴)(21)(21)(11AA BA b c BA AB CA BM CB CM +++-=++=+= .2121)(21c b a a b b c -+=+-++-=418187)2121(4141111-+-=+-+-=+=+=∴A C C .c【评析】(1)空间中的一组基底可以表示任意的向量，在选定的基底下，某一向量的表达形式是唯一的.(2)注意结合图形，灵活应用向量的基本运算和三角形、平行四边形法则. (3)用基底表示向量要彻底，不可在有其他向量，只含基底中的向量. 变式训练2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，=a ，=b ，1=c ，P 是1CA 的中点，M 是1CD 的中点，N 是11D C 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1=QA CQ用基底{、、}表示以下向量：（1），（2），（3）．[解析]（１）()()c b a AD AB AA AC AA AP ++=++=+=21)(212111； （２）C D AA D D A AA ++=++=++=21211111111； （３）)(51511111AA A A AA -+=+=+= AA 545151515151)(511++=-++=-++=三.求点和向量的坐标例3如下图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．图3-1-30【思维分析】分别以 AB 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离．[解析]分别以 A B 、AD 、AA 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，找出各顶点到x,y,z 轴的距离,这个距离恰是正方体的棱长，所以各顶点的坐标是：A （0,0,0），B （2,0,0），C （2,2,0），D （0,2,0），A 1（0,0,2），B 1（2,02，）C 1（2,2,2），D 1（0,2,2）．【评析】（1）建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如果找不到，要想办法构造．（2）找出各点在坐标轴上的射影，便于得到该点的坐标，但要注意符号． 变式训练3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB ，PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求 MN 的坐标．[解析] ∵PA=AB=AD=1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设 ,,,=== 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵MN ＝MA →＋AP →＋PN ＝－23 AB ＋AP →＋23PC →图3-1-31图3-1-32＝－23AB ＋AP →＋23(－AP →＋AD →＋AB )=13AP ＋23AD → 3132+= .31,0,32⎪⎭⎫⎝⎛=∴【课后习题答案】 练习（第94页）1.答案：向量c 一定可以与q p ,一起构成空间的另一个基底. 解析：-=+=, 与,共面，只有c 不与,共面.2. 答案：点,,,O A B C 四点共面.解析：,, 不构成空间的一个基底，,,∴共面，C B A O ,,,∴四点共面.3.(1)答案：C B B O +-='-='++=',,; 解析： （2）答案：1122OG a b c =++ 解析：()B B 212121++='++=+=.【自主探究提升】夯实基础1.若向量{},,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A.3,2, B.+++,, C.93,32,2-++ D.,,++ 答案：C.提示：在C 选项中()(),3232393c b b a c a +-+=-由共面定理知，此三个向量共面. 2.以下四个命题中正确的是( )A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B ．若{}c b a ,,为空间向量的一组基底，则c b a ,,全不是零向量 C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是0=⋅AC ABD ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 答案 B提示： 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是0=⋅AC AB ，可能是0=⋅BA BC ，也可能是0=⋅CB CA ，故C 不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D 不正确，故选B.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G在线段MN 上，且2=，现用基组{},,表示向量，有=x z y ++，则= ．答案 :313161++.提示：313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 4. 设O-ABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13GG OG =，若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则()z y x ,,为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，13)D ．(23，23，23)答案 A 提示：()114343AG OG +==()()()[]-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+=414321324343OC OB OA 414141++=.＝14OA →＋14OB →＋14OC →.故选A. 5．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，设===1,,，F E ,分别是BD AD ,1的中点．（1）用向量 c b a ,,，表示1,D B EF；（2）若c z b y a x F D ++=1，求实数.,,z y x解 （1）1D B =1D D +DB = - 1AA +EF =EA +AF =121D A +12AC ()()()AA +=+++-=2121211.(2) 1D F = 111()2AA AB AD -+-111()2AA AB D D =-+-c b a --=2121,.1,21,21-=-==∴z y x拓展延伸6．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量,,不能构成空间的一个基底，则,,共面；②若两个非零向量b a ,与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则b a ,共线； ③若,是两个不共线向量，而()0,≠∈+=λμμλμλ且R ，则{},,构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 提示：命题①，②是真命题，命题③是假命题．7．若{}c b a ,,是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( ) A ．3,2,a,2b,3c B ．+++,, C ．93,32,2-++ D ．,,++AC1A1C图3-1-33答案 C提示：()()()09332323=-++++-c a c b b a 即三向量c a c b b a 93,32,2-++共面. ∴选C.8. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为1AC 与1BD 的交点，1CC z y x ++=，则x ＋y ＋z ＝________.答案 32,提示：()12121CC ++==． 9. 从空间一点P 引出三条射线PC PB PA ,,，在PC PB PA ,,上分别取,,,===，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________. 答案: ().2132c b a ++-10.（2009.四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是 .解析：不妨设棱长为2，选择基向量{},,1，则11121,BB BC BM BA BB AB -=-=()5222111-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=BB BB05220220=--+-=，故填写o 90.11.已知三棱锥A —BCD.1BAB 1AC1CM图3-1-34(1)化简()AD AC AB -+21并标出化简结果的向量； (2)设G 为△BCD 的重心，试用AD AC AB ,,表示向量.解析：设AB ，AC ，AD 中点为E ，F ，H ，BC 中点为P. (1)1(2AB ＋AC →－AD →)＝AE → ＋AF = AP －AH →＝HP →. （2）AG ＝AP →＋PG → = AP →＋13PD →= AP →＋13(AD →－AP →)＝23AP →＋13AD →＝()312132++⨯ ＝13( AB ＋AC →＋AD →)．12.在直三棱柱111O B A ABO -中，∠AOB=2π424===|，D 为11B A 的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中，求1,DO A B的坐标.解析：∵11(),DO OD OO O D =-=-+11111[()]222OO OA OB OO OA OB =-++=--- 又1||OO = 4，|OA →|＝4，|OA →|＝4，|OB →|＝2， ∴DO →＝(－2，－1，－4)， ∴1A B ＝ (－4,2，－4)．13. 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角. 解析：因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11+∙+=∙ =BC BB AB BB BC BA AB BA ∙+∙+∙+∙11ABO1A1OD图3-1-35 图3-1-36因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 所以BB ∙=∙1,0=0, AB BA BC BB ∙=∙,01=-a 2. 所以AC BA ∙1=-a 2.又,,cos 11><=∙BA .2122,cos 21-=⨯->=<a a a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°. 所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．图3-1-37。
高中数学空间向量的基本定理知识点解析
素养评析 证明空间图形中的两直线平行，可以转化为证明两直线的方向 向量共线问题.这里关键是利用向量的线性运算，从而确定C→E＝λM→N中的 λ 的值.
3 达标检测
PART THREE
1.给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
4.设 e1，e2 是平面内不共线的向量，已知A→B＝2e1＋ke2，C→B＝e1＋3e2，C→D＝2e1 －e2，若 A，B，D 三点共线，则 k＝_－__8__. 解析 ∵B→D＝C→D－C→B＝e1－4e2，A→B＝2e1＋ke2， 又 A，B，D 三点共线，由共线向量定理得A→B＝λB→D， ∴12＝－k4.∴k＝－8.
其中真命题的个数为
A.0
√B.1
C.2
D.3
解析 ①假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行；
②真命题.这是关于零向量的方向的规定；
③假命题.当b＝0，则有无数多个λ使之成立.
12345
2.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是
√A.共面向量
B.共线向量
C.不共面向量
②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R).
③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练 1 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，
F 在对角线 A1C 上，且A→1F＝32F→C. 求证：E，F，B三点共线.
即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2， 故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0， 又∵e1，e2不共线，
3.1.3 空间向量的数量积运算
AB1 . BC1 (BB1 BA).(BB1 BC)
A
C
2
BB1 BA. BC 1
2
2.COS 60。
B
AB1 C1B
4、如图，在平行六面体ABCD A' B'C' D'中，AB 4,
AD 3, AA' 5,BAD 90，BAA' DAA' 60，
求AC '的 长.
D'
当a b 0 a，b夹角为钝角( )
四.空间向量数量积在立体几何中的应用:
【例1】已知：PO, PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影，l , 且l OA.
求证：l PA
证明：取直线l的方向向量a
P
l OA,a OA 0
PO ,且l ,
PO l PO a 0
三、课堂练习
1、已知| a | 2 2 , | b | 2 , a b 2，则a , b所夹的 2
角 为__1_3_5_0___.
2、判断真假：
(1)若a b 0,则a 0,b 0 ( )
(2) (a b) c a (b c)
()
(3)
2
p
2
q
(
p q)2
()
(4) 当a b 0 a，b 夹角为锐角，
2
2)空间向量的数量积
已知两个非零向量a、b，则 | a || b | cos a, b 叫做
向量a, b的数量积, 记作：a b，即 a b | a || b | cos a, b
注: ①两个向量的数量积是数量,可以正,负或0，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积为0.
思考: 类比平面向量，你能说出a b的几何意义吗？
3 空间向量基本定理教案
3.1.3空间向量基本定理一、教学目标：1．掌握空间向量基本定理及其推论；2．理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；3．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．二、教学重难点：1、空间向量基本定理．2、理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示及其惟一性．三、教学方法建议：新授课、启发式一一引导发现、合作探究． 四、教学流程与教学方法设计（A ）类问题（自学通过）1．复习平面向量的基本定理： .2．类比思考得出空间向量的基本定理： .3.预习基底，基向量，正交基底，单位正交基底的定义4.空间向量的基本定理推论： .（B ）类问题（师生互动）5.在正方体'''B D CA OADB 中，点E 是AB 与OD 的交点,M 是'OD 与CE 的交点，试分别用向量 O A ， OB ， O C 表示'O D 和O M ．6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2M G GN =，用基底向量 O A ， OB ，O C 表示向量O G ．ABC OMN G五、问题解决情况检测（A ）类问题检测1.已知空间四边形OABC 中，点N M ,分别是BC OA ,的中点，且,,,c OC b OB a OA ===→→→试用向量c b a ,,表示向量→MN .（B ）类问题检测2.如图，空间平移ABC ∆到111C B A ∆，连接对应顶点，已知1 AA a ＝， AB b ＝， AC c ＝，且M 是1BC 的中点，N 在1AC 上，12 AN NC ＝,试用向量 a ， b ， c 表示 M N ．。
3.1.3空间向量的共线与共面问题
M
A
G
B
4.下列命题中a yb p与 a 、 b 共面 ; (2) p 与 a 、 b 共面 p xa yb ；
补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、 AC，M和N分别是OA、BC的中点 ， G 在 MN 点 上，且使MG=2GN，试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG
O
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG OA MN 2 3 1 2 OA (ON OM ) 2 3
它们一定是：
A.共面向量
C.不共面向量
B.共线向量
D.既不共线又不共面向量
６.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(2) OP 2OA 2OB OC ；
2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
b（ b ≠ 0 ） 2.共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 ， a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外
一点，且 OP OA OB，求 的值. 解:∵ A 、 B、 P 三点共线,∴ t R ,使 OP OA t AB ∴ OP (1 t )OA tOB
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件
(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1
[1 2
c
a
1 2
b]
(1 2
b
a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进 行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同 一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，
3.1.3 空间向量基本定理
pab， p a b
构成空间的另一个基底？
分析：看三个向量是否构成空间的一个基底， 就是看这三个向量是否共面
范式演练 例1.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，从
a , b , c 中选哪一个向量，一定可以与向量
pab， p a b
A A1
B P1
B1
p=OP OA1 OB1 PP 1 xe 1 ye2 ze3
二、空间向量的基本定理：
数学建构
如果e1 , e2 , e3是三个不共面的向量，那么对于 使 p =xe1 ye2 ze3
C
' ' ' ' ' '
空间内的任意一向量 p, 存在唯一的有序实数对（x, y, z） ,
y z a y z b xc 0
即 xc y a b z a b 0 设xc y p zq 0 ，
a, b, c是空间中的一个基底
c, p, q
范式演练 1. 如果向量 a , b与任何向量都不能构成 空间的一个基底，那么 a , b 之间应有什 么关系？ 2.已知向量 {a , b , c} 是空间的一个基底，则下列各 组的向量中，不能构成空间的一个基底的是：
如果e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使a＝λ 1 e1＋λ 2 e2。 （e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底)
平面内任一向量可以用该平面内的两个不 共线向量来线性表示.
猜想:
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件3.1空间向量基本定理
BE= BB1,DF= DD1.
3
3
(1)证明:A,E,C1,F 四点共面;
(2)若 =x +y +z1 ,求 x+y+z.
(1)证明 ∵ 1 = + + 1 = +
+(
2
+ 3 1 )=(
1
+ 1
3
2
+ 1 =(
3
+ )+( + )= + ,∴ 1 , , 共面,
y=b+c,z=c+a,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④
{x,y,a+b+c},则其中可以作为空间的一组基的向量组有②③④(填序号).
解析 如图,由 a= ,b=1 ,c= ,得 x=1 ,y=1 ,z= ,a+b+c=1.由
A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,z也不共面.同理可知向量b,c,z不共面,向
D.O,A,B,C 四点共面
解析 由, , 不能构成一组基,知, , 三个向量共面,所以一定
有 O,A,B,C 四点共面.
3.[人教B版教材习题]如果空间向量a,b,c不共面,且3a-2b+c=xa+yb+zc,求
x,y,z的值.
解 ∵a,b,c 不共面,
3 = ,
= 3,
A.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中的向量, ,
B.三棱锥 A-BCD 中的向量, ,
C.三棱柱 ABC-A1B1C1 中(E 是 A1C1 的中点)的向量1 , , 1
D.四棱锥 S-ABCD 中的向量, ,
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推论： 设点O、A、B、C是不共面的 四点，则对空间任一点P，都存在 唯一的有序实数组( x，y，z)，使 OP xOA yOB zOC 注：空间任意三个不
共面向量都可以构成 空间的一个基底
A P B P O P
C
如： a, b, c} {
例 : 在正方体OADB CA' D' B'中，点E是AB与 OD的交点，M是OD' 与CE的交点，试分别用 向量OA, OB, OC表示向量OD'和OM .
y y z z a b c x x x x
从而 a, b, c 共面,这与已知 a, b, c 不共面矛盾 因此,有序实数组
( x, y, z )
是唯一的.
基底: 如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么空 间的每一个向量都可由向量 e1 , e2 , e3 线性 表示.把 {e1 , e2 , e3} 称为空间的一个基底 基向量: e1 , e2 , e3 正交基底: 如果空间一个基底的三个向量是两 两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底. 单位正交基底: 当一个正交基底的三个基向量都是 单位向量时,称这个基底为单位正交基底. 通常用 {i, j , k}表示
A B' Q A' D' N C'
D
B
C
已知PA 平面ABCD,四边形ABCD是正方 形，G为PDC重心， i , AD j , AP k , AB 试用基底 i , j , k 表示向量PG、 、 . BG AG
P
G A N D
B B
C
1 1 1 OA OB OC 如图，在平行六面体 ABCD－A B C D 中， ＝a， AB
' ' ' '
AD b， ＝c，p是CA '的中点，M是CD'的中点， ＝ AA' N是C' D'的中点，点Q在CA'上，且CQ：QA'＝4 : 1， 用基底｛ ，c a b， ｝表示以下向量： 1)AP ； 3)AN 2)AM 4） AQ
G
A D N B B C
作业 P82
2，3，4
例：已知空间四边形OABC，对角线
OB、AC，M和N分别是OA、BC的中点， 点G在MN上，且使MG=2GN，试用基 底 {OA, OB, OC} 表示向量 OG
O
M A
G
解：在△OMG中，
C N
1 2 OG OM MG 2 OA 3 MN 1 2 OA (ON OM ) 2 3
自学检测
P76
1
空间向量的基本定理：
如果三个向量 a, b, c 不共面， 那么对空间任一向量 p ，存在一 个唯一的有序实数组(x，y，z)，使 p xa yb zc 思路：作
E
b
O C
p
A
D
AB // b, BD // a, BC // c
p OB BA
B
c OC OD OE
空间任一向量能用三个
不共面的向量来线性表示吗？
学习目标
1、掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意 一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而 且这种表示是惟一的。 2、在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一向量。
自学指导
1、如何类比平面向量基本定理得到空间向量基本定 理？定理内容是什么？你如何理解？ 2、什么是基底？零向量能不能作为基底？组成基底 的三个向量有何特征？ 3、什么是基向量？基底和基向量有何关系？ 4、什么是正交基底、单位正交基底？
x a yb z c
a
下证唯一性: 假设存在实数组 ( x, y, z) ,且 x x ,使
p xa yb zc
那么
xa yb zc xa yb zc
即 (x x)a ( y y)b ( z z)c 0 因为 x x 所以
平面向量基本定理表明: 平面内任一向量可以用该平面的两个 不共线向量来线性表示
如果 e1 ， 是平面内两个不共线向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量 a ， 有且只有一对实数t1，t2，使
a t1 e1 t2 e2
M
e2
a
C 对向量 a 进行分
解：
e1
OC OM ON
O
N
t1 e1 t2 e2
B' C M E A A' D'
B O
D
分层训练
必做题 选做题 P76 2，3
已知PA 平面ABCD,四边形ABCD是正方 形，G为PDC重心， i , AD j , AP k , AB 试用基底 i , j , k 表示向量PG、P 、 . BG AG