苏教版高一上册数学期末综合试题及答案

高一上学期期末数学综合试题

一、填空题

1．已知向量||),15sin ,15(cos ),75sin ,75(cos b a b a -==那么 的值是 . 2．函数y ＝sin (2x ＋)图象的对称中心的坐标是 .

3．设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}

1log 2<=x x P ，

{}

12<-=x x Q 那么Q P -=

4．定义在R 上的函数f(x)满足关系式：f(

21+x)+f(21－x)=2，则f(81)+f(82)+…+f(8

7

)的值等于__________。 5．若向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()

1=+⋅b a a

，则向量a ，b 的夹角的大小为 .

6．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为

1

2

，则a = 7．若a,b,c 均为正实数，且a,b 均不为1，则等式x x x x b a b a log log 5log 3log 42

2⋅=+成立的

条件是 .

8．教师给出一个函数y ＝f (x )，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )；乙：在(－∞，0)上，函数递减；丙：在(0，＋∞)上函数递增；丁：f (0)不是函数的最小值.

如果其中恰有三人说得正确.请写出一个这样的函数 .

9．函数f (x )=)4

3

1cos(log 2

1π

+

x 的单调递增区间为 。

10．一元二次方程mx 2+(2m -3)x +m -2=0的两根为tan α,tan β，则tan(α+β)的最小值为______. 11．设⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 12．已知x-3+1=0. 求

3

2

2

32

322-+-+-

-x

x x x 的值

13．已知集合A={x| |x-a|0}，若log a x>0在A 上恒成立，则a 的最大值是 .

14．对于函数①()()

12lg +-=x x f ，②()()2

2-=x x f ，③()()2cos +=x x f .判断如

下三个命题的真假：命题甲：()2+x f 是偶函数；命题乙：()()2,∞-在区间x f 上是减函数，在区间()+∞,2上是增函数；命题丙：()()x f x f -+2在()+∞∞-,上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是

二、解答题

15．已知0αβπ<<

4

，为

()cos 2f x x π⎛

⎫=+ ⎪8⎝

⎭的最小正周期，

1t a n 1(c o s 2)4αβα⎛⎫

⎛

⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，

，，a b ，且a ·b =m ．求22cos sin 2()

cos sin ααβαα

++-的值．

16．、已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R ，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2),

b =(2sin x ,2

1

),c =(cos2x ,1),d =(1,2)。

（1）分别求a ·

b 和

c ·

d 的取值范围； （2）当x ∈[0,π]时，求不等式f (a ·

b )>f (

c ·

d )的解集。

17．某种商品原来定价为每件a 元时，每天可售出m 件.现在的把定价降低x 个百分点（即x%）后，售出数量增加了y 个百分点，且每天的销售额是原来的k 倍. （Ⅰ）设y=nx ，其中n 是大于1的常数，试将k 写成x 的函数； （Ⅱ）求销售额最大时x 的值（结果可用含n 的式子表示）； （Ⅲ）当n=2时，要使销售额比原来有所增加，求x 的取值范围.

18．已知向量m =（sin B ，1－cos B ），且与向量 = （2，0）所成角为3

，其中A 、B 、C

是△ABC 的内角．

（Ⅰ）求角Ｂ的大小；

（Ⅱ）求sinA + sinC 的取值范围．

19．已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.

20．定义在（-1，1）上的函数)(x f 满足：①对任意x ，∈y （-1，1）都有

)1()()(xy

y

x f y f x f ++=+；②当∈x （-1，0）时，0)(>x f ．

（Ⅰ）判断)(x f 在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）判断函数)(x f 在（0，1）上的单调性，并说明理由；

（Ⅲ）若11()52f =-，试求)19

1

()111()21(f f f --的值．

参考答案

一、选择题 1．1 2．(，0)，k ∈Z 3． {x|0

5．

4

3π

6．4

7． x=1

8． y ＝(x －1)2等 9．(6k π－,6k π+)，k ∈Z 10．－ 11． 1,3

12． 3

13．:

14． ②

二、解答题

15．解：因为β为π()cos 28f x x ⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a

b ··．故1cos tan 24m ααβ⎛

⎫+=+ ⎪⎝

⎭·． 由于π

04

α<<，所以

222cos sin 2()2cos sin(22π)

cos sin cos sin ααβαααααα++++=

-- 22cos sin 22cos (cos sin )

cos sin cos sin ααααααααα

++==

-- 1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛

⎫==+=+ ⎪-⎝

⎭·．

16．解：(1）a ·b =2sin 2x +1≥1 c ·d =2cos 2x +1≥1

（2）∵f (1-x )=f (1+x ) ∴f (x )图象关于x =1对称

当二次项系数m >0时, f (x )在（1，+∞）内单调递增，

由f (a ·

b )>f (

c ·

d )⇒ a ·b > c ·d , 即2sin 2x +1>2cos 2x +1 又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3(,)44

ππ

当二次项系数m <0时,f (x )在（1，+∞）内单调递减，

由f (a ·

b )>f (

c ·

d )⇒ a ·b > c ·d , 即2sin 2x +1<2cos 2x +1 又∵x ∈[0,π] ∴x ∈3[0,)(,]44ππ

π 、

故当m >0时不等式的解集为3(,)44ππ;当m <0时不等式的解集为3[0,)(,]44

ππ

π

17．解：（Ⅰ）依题意得 a （1-x%）·m （1+y%）=kam ， 将y=nx 代入，代简得：

k=-100

)1(100002x n nx -+

+1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=n

n )

1(50-时，k 值最大，此时销售额=amk ，所以此时销售额也最大.

且销售额最大为n

ma

n 4)1(2+元.