安徽省合肥市2020年中考数学一模试卷(含解析)

安徽省合肥市2020年中考数学一模试卷
一、选择题
1．下列实数中最小的数是（）
A．2 B．﹣3 C．0 D．π
2．如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
3．安徽省的陆地面积为139400km2，139400用科学记数法可表示为（）A．1394×102B．1.394×104C．1.394×105D．13.94×104
4．下列运算正确的是（）
A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5
C．（a4）2＝a6D．﹣6a6÷2a2＝3a3
5．若分式＝0，则x的值是（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
6．如图是某市2016年四月份每日的最低气温的统计图，则四月份每日的最低气温（单位：℃）众数分别是（）
A．14 B．30 C．12 D．18
7．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x 满足（）
A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16
C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝16
8．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）
A．4B．4 C．2D．8
9．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，下列结论中：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；
③ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④9a+3b+c＞0．其中正确的结论的序号为
（）
A．①②B．.①③C．.②③D．.①④
10．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）
A．6 B．2+1 C．9 D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算：﹣＝．
12．命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆命题是
13．如图，已知A为反比例函数（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为2，则k的值为
14．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分面积为．（结果保留根号和π）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：x2＝4x．
16．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D，写出点D的坐标；
（3）若另有一点P（﹣3，﹣3），连接PC，则tan∠BCP＝．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．
（1）求这个月晴天的天数．
（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能
收回成本（不计其它费用，结果取整数）．
18．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．
（1）请写出29后面的第一个数；
（2）通过计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…由此推算a100﹣a99的值；
（3）根据你发现的规律求a100的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
20．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
六、（本大题12分）
21．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制
了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
七、（本大题12分）
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x 轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
八、（本大题14分）
23．数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD＝120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且
60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD＝AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF＝AC；
（2）类比发现
如图2，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE＝2FH；
（3）深入探究
如图3，若AD＝3AB，探究得：的值为常数t，则t＝．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列实数中最小的数是（）
A．2 B．﹣3 C．0 D．π
【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出选项即可．
解：∵﹣3＜0＜2＜π，
∴最小的数是﹣3，
故选：B．
2．如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：
故选：B．
3．安徽省的陆地面积为139400km2，139400用科学记数法可表示为（）A．1394×102B．1.394×104C．1.394×105D．13.94×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将139400用科学记数法表示为：1.394×105．
故选：C．
4．下列运算正确的是（）
A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5
C．（a4）2＝a6D．﹣6a6÷2a2＝3a3
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和幂的乘方以及整式的除法解答即可．
解：A、a+2a＝3a，错误；
B、a3•a2＝a5，正确；
C、（a4）2＝a8，错误；
D、﹣6a6÷2a2＝﹣3a4，错误；
故选：B．
5．若分式＝0，则x的值是（）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】分式的值为0时，分子等于0且分母不等于0．
解：依题意得：x2﹣4＝0且x﹣2≠0，
解得x＝﹣2．
故选：C．
6．如图是某市2016年四月份每日的最低气温的统计图，则四月份每日的最低气温（单位：℃）众数分别是（）
A．14 B．30 C．12 D．18
【分析】根据众数的定义直接求解即可．
解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，14℃，故众数是14℃；
故选：A．
7．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x 满足（）
A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16
C．16（1+x）2＝25 D．25（1﹣x）2＝16
【分析】等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2＝现价，把相关数值代入即可．解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；
第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25（1﹣x）2＝16．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（）
A．4B．4 C．2D．8
【分析】由题意得到三角形DEC与三角形ABC相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形ABDE与三角形ABC面积之比，求出四边形ABDE 面积，即可确定出三角形ABC面积．
解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，
∴S△DEC：S△ACB＝1：4，
∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，
∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，
∴S△ACB＝4，
故选：B．
9．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，下列结论中：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；
③ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④9a+3b+c＞0．其中正确的结论的序号为
（）
A．①②B．.①③C．.②③D．.①④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．
解：①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，
与y轴的交点为在y轴的负半轴上可推出c＝﹣1＜0，
对称轴为x＝﹣＞1＞0，a＞0，得b＜0，
故abc＞0，故①正确；
②由对称轴为直线x＝﹣＞1，抛物线与x轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，
则另一个交点在（0，0），（﹣1，0）之间，
所以当x＝﹣1时，y＞0，
所以a﹣b+c＞0，故②错误；
③抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），由图象知二次函数y＝ax2+bx+c图象与直线y＝﹣
1有两个交点，
故ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，故③错误；
④x＝3时，y＝ax2+bx+c＝9a+3b+c＞0，故④正确；
故选：D．
10．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）
A．6 B．2+1 C．9 D．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此
时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题．
解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，
∴P1C＝P1B，
∴OP1＝AC＝4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选：C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．计算：﹣＝．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
解：＝2﹣＝．
故答案为：．
12．命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆命题是若a，b至少有一个为0，则ab＝0
【分析】根据逆命题的概念得出原命题的逆命题即可．
解：命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆命题是若a，b至少有一个为0，则ab＝0，
故答案为：若a，b至少有一个为0，则ab＝0．
13．如图，已知A为反比例函数（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为2，则k的值为﹣4
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案为﹣4．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，B点坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分面积为2π﹣2．（结果保留根号和π）
【分析】连接AB，根据∠AOB＝90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA＝∠C＝30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影＝S半圆﹣S△ABO即可得出结论．解：连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OB tan∠ABO＝OB tan30°＝2×＝2，AB＝AO÷sin30°＝4，即圆的半径为2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABO＝﹣×2×2＝2π﹣2．
故答案为：2π﹣2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：x2＝4x．
【分析】先移项得到x2﹣4x＝0，然后利用因式分解法求解．
解：x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝0，x2＝4．
16．如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D，写出点D的坐标；
（3）若另有一点P（﹣3，﹣3），连接PC，则tan∠BCP＝ 1 ．
【分析】（1）根据坐标画得到对应点B1、C1，连接即可；
（2）取AB的中点D画出直线CD，
（3）得出△PBC为等腰直角三角形，∠PCB＝45°，可求出tan∠BCP＝1
解：如图：
（1）作出线段B1、C1连接即可；
（2）画出直线CD，点D坐标为（﹣1，﹣4），
（3）连接PB，∵PB2＝BC2＝12+32＝10，PC2＝22+42＝20，
∴PB2+BC2＝PC2，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴∠PCB＝45°，
∴tan∠BCP＝1，
故答案为1．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．
（1）求这个月晴天的天数．
（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能
收回成本（不计其它费用，结果取整数）．
【分析】（1）设这个月有x天晴天，根据总电量550度列出方程即可解决问题．
（2）需要y年才可以收回成本，根据电费≥40000，列出不等式即可解决问题．
解：（1）设这个月有x天晴天，由题意得
30x+5（30﹣x）＝550，
解得x＝16，
故这个月有16个晴天．
（2）需要y年才可以收回成本，由题意得
（550﹣150）•（0.52+0.45）•12y≥40000，
解得y≥8.6，
∵y是整数，
∴至少需要9年才能收回成本．
18．观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，…，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n．
（1）请写出29后面的第一个数；
（2）通过计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…由此推算a100﹣a99的值；
（3）根据你发现的规律求a100的值．
【分析】（1）根据差值的规律计算即可；
（2）a2﹣a1，＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4…由此推算a100﹣a99＝100；
（3）根据a100＝2+2+3+4+…+100＝1+×100计算即可；
解：（1）29后面的第一位数是37；
（2）由题意：a2﹣a1，＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4…由此推算a100﹣a99＝100；
（3）a100＝2+2+3+4+…+100＝1+×100＝5051
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆AB长92cm，车杆与脚踏板所成的角∠ABC＝70°，前后轮子的半径均为6cm，求把手A离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：过点A作AD⊥BC于点D，延长AD交地面于点E，
∵sin∠ABD＝，
∴AD＝92×0.94≈86.48，
∵DE＝6，
∴AE＝AD+DE＝92.5，
∴把手A离地面的高度为92.5cm．
20．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到DF＝DB＝DA＝AB＝3，推出四边形BEFD是菱形，于是
得到结论．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴DF∥BE，EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形；
（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝DB＝DA＝AB＝3，
∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∵DB＝3，
∴四边形BEFD的周长为12．
六、（本大题12分）
21．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
【分析】（1）根据C类人数有15人，占总人数的25%可得出总人数，求出A类人数，进而可得出结论；
（2）直接根据概率公式可得出结论；
（3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论．
解：（1）总人数＝15÷25%＝60（人）．
A类人数＝60﹣24﹣15﹣9＝12（人）．
∵12÷60＝0.2＝20%，
∴m＝20．
条形统计图如图；
（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率＝＝；
（3）∵800×25%＝200，200÷20＝10，
∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．
七、（本大题12分）
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A （0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x 轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
【分析】（1）将A（0，﹣3）、B（3，0）两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
（2）先求出C点坐标和E点坐标，则CE＝2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），可分别得到方程求出点M的坐标；
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），可由，得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，
∴a2﹣3a＝2，
解得：a＝，a＝（舍去），
∴M（，），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，
∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．
八、（本大题14分）
23．数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD＝120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD＝AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF＝AC；
（2）类比发现
如图2，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE＝2FH；
（3）深入探究
如图3，若AD＝3AB，探究得：的值为常数t，则t＝．
【分析】（1）①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE＝∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE＝AF，由此即可证明．
（2）设DH＝x，由题意，CD＝2x，CH＝x，由△ACE∽△HCF，得＝由此即可证明．
（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得＝，由AB•CM＝AD•CN，AD＝3AB，推出CM＝3CN，所以＝＝，设CN＝a，FN＝b，则CM＝3a，EM＝3b，想办法求出AC，AE+3AF即可解决问题．
【解答】解；（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
∴△BCE≌△ACF．
②∵△BCE≌△ACF，
∴BE＝AF，
∴AE+AF＝AE+BE＝AB＝AC．
（2）设DH＝x，由题意，CD＝2x，CH＝x，
∴AD＝2AB＝4x，
∴AH＝AD﹣DH＝3x，
∵CH⊥AD，
∴AC＝＝2x，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ACH＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠HCF＝∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴＝＝2，
∴AE＝2FH．
（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠AFC+∠CFN＝180°，
∴∠CFN＝∠AEC，∵∠M＝∠CNF＝90°，
∴△CFN∽△CEM，
∴＝，
∵AB•CM＝AD•CN，AD＝3AB，
∴CM＝3CN，
∴＝＝，设CN＝a，则CM＝3a，
∵∠MAH＝60°，∠M＝90°，
∴∠AHM＝∠CHN＝30°，
∴HC＝2a，HM＝a，HN＝a，
∴AM＝a，AH＝a，
∴AC＝＝a，
AE+3AF＝（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）＝EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN＝3AH+3HN﹣AM＝a，∴＝＝．
故答案为．。