第九章 一元方差分析
一元方差分析
82 89 93 91
版权所有：北京行政学院社会学教研部 洪小良
双因素饱和模型
H0：学历同；体制内外同；无交互效应 分解因变量变差平方和 SS: TSS = BSSa + BSSb + ISSab + USS(相当于WSS) DF: n-1 = MSS: F:
a
r-1 + c-1 MBSSa
+ (r-1)(c-1) MISSab
2007年2月3日
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以双因素方差分析为例
不同学历者的年收入数据
案例号 1 2 体制内 3 4 76 71 80 81 84 88 初中 69 72 高中 75 78 大学 81 77
1 2 体制外 3 4
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80 77 85 84
75 82 88 86
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三、方差分析原理—图例
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四、一元单因素方差分析
例：为了了解学历对收入的影响，从具有初中、高中、大学 学历的人中各随机抽取8人。其收入情况如下。
不同学历者的年收入数据（千元） 不同学历者的年收入数据（千元） 数据 案例号 1 2 3 4 5 6 7 8 均值
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三、方差分析原理
样本方差的分解
TSS=BSS+WSS，其中：
TSS = ∑(Yi Y )2
BSS = ∑ng (Yg Yg )
WSS = ∑∑(Yg j Yg )
g j 2
2
第九章方差分析及回归分析 第2讲精品PPT课件
x1, x2, , xn
因此干脆不把X看成随机变量，而将它当作 普通的变量。X的变化将使Y发生相应的变 化，但它们之间的变化是不确定的。由于Y 是随机变量 ，当X取得任一个可能的值x时， Y都相应地服从一定的概率分布。
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设进行 n 次独立试验，测得试验数据如下表：
xபைடு நூலகம்
x1
x2
xn
y
y1
y2
yn
我们的问题是，如何根据这组观察值，用 “最佳”的形式来表达变量Y与x的相关关系？
比较合理的想法就是，取Xx时随机变量
Y的数学期望EY Xx 作为Xx时Y的估计值。
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设Y的数学期望EY存在,其值随X的取值
而定，即Y的数学期望是x的函数。将这一函数
记为yx 或x，xEY Xx称为Y关于x
的回归函数。 为 此 ， 我 们 就 将 讨 论 Y 与 x的 相 关 关 系 的 问 题
转 换 为 讨 论 E Y x与 x的 函 数 关 系 了 。
由一个或一组非随机变量来估计或预测某 一个随机变量的观察值时所建立的数学模 型及所进行的统计分析称为回归分析
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如果这个模型是线性的就称为线性回归分析 这种方法是处理变量间相关关系的有力工具，是
数理统计工作中一种常用的方法。它不仅告诉人 们怎样建立变量间的数学表达式，即经验公式， 而且还利用概率统计知识进行分析讨论，判断出 所建立的经验公式的有效性，从而可以进行预测 或估计。 本章主要介绍如何建立经验公式。
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温度x(oc) 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率（%） 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
得率与温度关系的散点图 100 90 80 70 60 50 40
概率论与数理统计第九章 方差分析
第九章方差分析在生产过程和科学实验中，我们经常遇到这样的问题：影响产品产量、质量的因素很多.例如，在化工生产中，影响结果的因素有：配方、设备、温度、压力、催化剂、操作人员等.我们需要通过观察或试验来判断哪些因素对产品的产量、质量有显著的影响.方差分析(Analysis of variance)就是用来解决这类问题的一种有效方法.它是在20世纪20年代由英国统计学家费舍尔首先使用到农业试验上去的.后来发现这种方法的应用范围十分广阔，可以成功地应用在试验工作的很多方面.第一节单因素试验的方差分析在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素.因素可分为两类，一类是人们可以控制的；一类是人们不能控制的.例如，原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的.以下我们所说的因素都是可控因素，因素所处的状态称为该因素的水平.如果在一项试验中只有一个因素在改变，这样的试验称为单因素试验，如果多于一个因素在改变，就称为多因素试验.本节通过实例来讨论单因素试验.1.数学模型例9.1某试验室对钢锭模进行选材试验.其方法是将试件加热到700℃后，投入到20℃的水中急冷，这样反复进行到试件断裂为止，试验次数越多，试件质量越好.试验结果如表9-1.表9-1试验的目的是确定4种生铁试件的抗热疲劳性能是否有显著差异.这里，试验的指标是钢锭模的热疲劳值，钢锭模的材质是因素，4种不同的材质表示钢锭模的4个水平，这项试验叫做4水平单因素试验.例9.2考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率，在40℃，50℃, (90)的水中分别进行4次试验.得到该种纤维在每次试验中的缩水率如表92.试问浸泡水的温度对缩水率有无显著的影响？表9-2 （%）单因素试验的一般数学模型为：因素A 有s 个水平A 1，A 2，…，A s ,在水平A j (j =1,2,…,s )下进行n j (n j ≥2)次独立试验，得到如表9-3的结果：表9-3x 11 x 12 … x 1s x 21 x 22 … x 2s … … … … 11n x 22n x … s n s xT ·1 T ·2 … T ·s1x • 2x • … s x •μ1 μ2 … μs假定：各水平A j (j =1,2,…,s )下的样本x ij ~N (j ,),i =1,2,…,n j ,j =1,2,…,s ,且相互独立. 故x ij -μj 可看成随机误差，它们是试验中无法控制的各种因素所引起的，记x ij -μj =εij ,则⎪⎩⎪⎨⎧==+=.,),0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ij ij j ij j ij N s j n i x εσεεμ (9.1) 其中μj 与σ2均为未知参数.（9.1）式称为单因素试验方差分析的数学模型.方差分析的任务是对于模型（9.1），检验s 个总体N (μ１，σ2),…,N (μs ,σ2)的均值是否相等， 即检验假设012112:;:,,,s s H H μμμσσσ===⎧⎨⎩不全相等. (9.2) 为将问题（9.2）写成便于讨论的形式，采用记号μ=11sj j j n n μ=∑，其中n =1sjj n=∑，μ表示μ１，μ2,…,μs 的加权平均，μ称为总平均.δj =μj -μ, j =1,2,…,s ，δj 表示水平Aj 下的总体平均值与总平均的差异.习惯上将δj 称为水平A j 的效应.利用这些记号，模型（9.1）可改写成：x ij =μ+δj +εij ,x ij 可分解成总平均、水平A j 的效应及随机误差三部分之和120,~(0,),.1,2,,;1,2,,.sj j j ijij j n N i n j s δεσε=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑各相互独立 (9.1)′假设（9.2）等价于假设012112:0;:,,,s s H H δδδδδδ====⎧⎨⎩不全零.（9.2）′ 2.平方和分解我们寻找适当的统计量，对参数作假设检验.下面从平方和的分解着手，导出假设检验（9.2）′的检验统计量.记S T =211()jn sijj i xx ==-∑∑， (9.3)这里111jns ij j i x x n ===∑∑，S T 能反应全部试验数据之间的差异.又称为总变差.A j 下的样本均值 11jn j iji jx xn •==∑. (9.4)注意到2222()()()()2()()ij ij j j ij j j ij j j x x x x x x x x x x x x x x ••••••-=-+-=-+-+--，而 1111()()()()jj n n ssij j j j ij j j i j i x x x x x x x x ••••====⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑=11()0.j n sj ij j j j i x x x n x ••==⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑记 S E =211()jn sijj j i xx •==-∑∑， （9.5）S E 称为误差平方和;记 S A =22111()()jn ssjj j j i j xx n x x ••===-=-∑∑∑， （9.6）S A 称为因素A 的效应平方和.于是S T =S E +S A . （9.7）利用εij 可更清楚地看到S E ,S A 的含义，记111jns ij j i n εε===∑∑为随机误差的总平均,11jn j iji jn εε•==∑, j =1,2,…,s .于是S E =221111()()jjn n ssijj ij j j i j i xx εε••====-=-∑∑∑∑; (9.8)S A =2211()()ssj jj j j j j n xx n δεε••==-=+-∑∑. (9.9)平方和的分解公式（9.7）说明.总平方和分解成误差平方和与因素A 的效应平方和.（9.8）式说明S E 完全是由随机波动引起的.而（9.9）式说明S A 除随机误差外还含有各水平的效应δj ，当δj 不全为零时，S A 主要反映了这些效应的差异.若H 0成立，各水平的效应为零，S A 中也只含随机误差，因而S A 与S E 相比较相对于某一显著性水平来说不应太大.方差分析的目的是研究S A 相对于S E 有多大，若S A 比S E 显著地大，这表明各水平对指标的影响有显著差异.故需研究与S A /S E 有关的统计量.3.假设检验问题当H 0成立时，设x ij ~N (μ,σ2)(i =1,2,…,n j ；j =1,2,…,s )且相互独立，利用抽样分布的有关定理，我们有22~(1)AS s χσ-, (9.10) 22~()ES n s χσ-, (9.11)F =()(1)AEn s S s S -- ~F (s -1,n -s ). (9.12)于是，对于给定的显著性水平α(0<α<1),由于P {F ≥F α(s -1,n -s )}=α, (9.13)由此得检验问题（9.2）′的拒绝域为F ≥F α(s -1,n -s ).（9.14）由样本值计算F 的值，若F ≥F α,则拒绝H 0，即认为水平的改变对指标有显著性的影响；若F <F α,则接受原假设H 0，即认为水平的改变对指标无显著影响. 上面的分析结果可排成表9-4的形式，称为方差分析表.当F ≥F 0.05(s -1,n -s )时，称为显著， 当F ≥F 0.01(s -1,n -s )时，称为高度显著.在实际中，我们可以按以下较简便的公式来计算S T ，S A 和S E .记T ·j =1jn iji x=∑, j =1,2,…,s ,T ··=11jn sijj i x==∑∑，即有22221111222211,,.j jn n s s T ij ij j i j i s s j A j j j j j E T AT S x nx x n T T S n x nx n n S S S ••====••••==⎧=-=-⎪⎪⎪⎪=-=-⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑ (9.15) 例9.3 如上所述，在例9.1中需检验假设H 0:μ1=μ2=μ3=μ4；H 1:μ1,μ2,μ3,μ4不全相等.给定α=0.05,完成这一假设检验.解 s =4,n 1=7,n 2=5,n 3=8,n 4=6,n =26.S T =22211(4257)69895926jn sij j i T x n ••==-=-∑∑=1957.12， S A =2221(4257)697445.4926sj j j T T n n •••=-=-∑=443.61， S E =S T -S A =1513.51.得方差分析表9-5.表9-5因 F (3,22)=2.15<F 0.05(3,22)=3.05. 则接受H 0，即认为4种生铁试样的热疲劳性无显著差异.例9.4 如上所述，在例9.2中需检验假设H 0:μ1=μ2=…=μ6； H 1:μ1,μ2,…,μ6不全相等.试取α=0.05,α=0.01，完成这一假设检验.解 s =6, n 1=n 2=…=n 6=4,n =24.S T =2211jn sij j i T x n ••==-∑∑=112.27,S A =221sj j j T T n n•••=-∑=56,S E=S T-S A=56.27.得方差分析表9-6.0.050.01由于 4.25=F0.01(5,18)>F A=3.583>F0.05(5,18)=2.77,故浸泡水的温度对缩水率有显著影响，但不能说有高度显著的影响.本节的方差分析是在这两项假设下，检验各个正态总体均值是否相等.一是正态性假设，假定数据服从正态分布；二是等方差性假设，假定各正态总体方差相等.由大数定律及中心极限定理，以及多年来的方差分析应用，知正态性和等方差性这两项假设是合理的.第二节双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A 和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,…,Ar,因素B有s个水平B1,B2,…,B s,现对因素A，B的水平的每对组合(A i,B j),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s都作t(t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8设x ijk ~N (ij ,), i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ； k =1,2,…,t ,各x ijk 独立.这里ij ,均为未知参数.或写为⎪⎩⎪⎨⎧===+=.,,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ijkijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记μ=111,r s ij i j rs μ==∑∑, 11si ij j s μμ•==∑, i =1,2,…,r ,11rj ij i r μμ•==∑, j =1,2,…,s ,,i i αμμ•=-, i =1,2,…,r , j j βμμ•=-, j =1,2,…,s ,ij ij i j γμμμμ••=--+.于是 μij =μ+αi +βj +γij . (9.17)称μ为总平均，αi 为水平A i 的效应，βj 为水平B j 的效应，γij 为水平A i 和水平B j 的交互效应，这是由A i ,B j 搭配起来联合作用而引起的.易知1rii α=∑=0,1sjj β=∑=0，1riji γ=∑=0, j =1,2,…,s ,1sijj γ=∑=0, i =1,2,…,r ，这样（9.16）式可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=∑∑∑∑====.,,,2,1;,,2,1;,,2,1),,0(~,0,0,0,0,21111相互独立各ijkijk s j ij r i ij s j j r i i ijk ij j i ijk t k s j r i N x εσεγγβαεγβαμ (9.18) 其中μ,αi ,βj ,γij 及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A ，B 及交互作用A ×B 是否显著.要检验以下3个假设：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ ⎩⎨⎧=====.,,:,0:121113121103不全为零rs rs H H γγγγγγ 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1111r s tijk i j k x x rst ====∑∑∑, 11tij ijk k x x t •==∑, i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ，111s ti ijk j k x x st ••===∑∑, i =1,2,…,r ， 111r tj ijk i k x x rt ••===∑∑, j =1,2,…,s ， S T =2111()rstijk i j k x x ===-∑∑∑. 不难验证,,,i j ij x x x x •••••分别是μ,μi ·,μ·j ,μij 的无偏估计.由 ()()()()ijk ijk ij i j ij i j x x x x x x x x x x x x ••••••••••-=-+-+-+--+，1≤i ≤r ,1≤j ≤s ,1≤k ≤t得平方和的分解式：S T =S E ＋S A ＋S B ＋S A ×B ， (9.19)其中S E =2111()rstijkij i j k xx •===-∑∑∑，S A =1()2ri i stxx ••=-∑，S B =21()sj j rtxx ••=-∑，S A ×B =211()rsij i j i j txx x x •••••==--+∑∑.S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A ，B 的效应平方和，SA ×B 称为A ，B 交互效应平方和.当H 01:α1=α2=…=αr =0为真时，F A =[](1)(1)A ES S r rs t -- ~F (r -1,rs (t -1))；当假设H 02为真时，F B =[](1)(1)BES S s rs t --~F (s -1,rs (t -1))；当假设H 03为真时，F A ×B =[](1)(1)(1)A BES S r s rs t ⨯--- ~F ((r -1)(s -1),rs (t -1)).当给定显著性水平α后，假设H 01，H 02，H 03的拒绝域分别为：(1,(1));(1,(1));(1)(1),(1)).A B A BF F r rs t F F s rs t F F r s rs t ααα⨯≥--⎧⎪≥--⎨⎪≥---⎩ (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算S T ，S A ，S B ，S A ×B ,S E . 记 T ···=111r s tijki j k x===∑∑∑，T ij ·=1tijkk x=∑, i =1,2,…,r ; j =1,2,…,s ，T i ··=11stijkj k x==∑∑, i =1,2,…,r ,T ·j ·=11r tijki k x==∑∑, j =1,2,…,s ,即有221112212212211,1,1,1,.r s tT ijk i j k r A i i s B j j r s A B ij A B i j E T A B A B T S x rst T S T st rst T S T rt rst T S T S S t rst S S S S S •••===•••••=•••••=•••⨯•==⨯⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪⎪=---⎪⎪⎪=---⎩∑∑∑∑∑∑∑ (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg ·cm -2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A ），加速剂（B ）以及它们的交互作用（A ×B ）对抗牵拉强度有无显著影响.表9-10010203r =s =3, t =2， T ···,T ij ·,T i ··,T ·j ·的计算如表9-11.表9-11S T =22111,r s tijki j k T xrst•••===-∑∑∑=178.44， S A =2211r i i T T st rst•••••=-∑=15.44，S B =2211s j j T T rt rst •••••=-∑=30.11，S A ×B =22111r s ij A B i j T T S S t rst••••==---∑∑ =2.89，S E =S T -S A -S B -S A ×B =130，得方差分析表9-12.由于F 0.10(2,9)=3.01>F A ,F 0.10(2,9)>F B ,F 0.10(4,9)=2.69>F A ×B ,因而接受假设H 01,H 02,H 03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i ,B j ）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij x •=x ijk ,S E =0,S E 的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A ，B 两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将S A ×B 取作S E ，仍可利用等重复的双因素试验对因素A ，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,112,0,0,~(0,),1,2,,;1,2,,,.ij i j ij r si j i j ij ijk x N i r j s μαβεαβεσε===+++⎧⎪⎪==⎪⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑各相互独立 (9.22)要检验的假设有以下两个：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ 记 1111111,,,r s s rij i ij j ij i j j i x x x x x x rs s r ••=======∑∑∑∑平方和分解公式为：S T =S A +S B +S E ， (9.23)其中 22111(),(),rssT ijA i i j j S xx S s x x •====-=-∑∑∑22111(),(),srsB j E ij i j j i j S r x x S x x x x •••====-=--+∑∑∑分别为总平方和、因素A ，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H 01成立时，F A =(1)AEs S S - ~F ((r -1),(r -1)(s -1))， H 01拒绝域为F A ≥F α((r -1),(r -1)(s -1)). (9.24)当H 02成立时，F B =(1)BEr S S - ~F ((s -1),(r -1)(s -1))， H 02拒绝域为F B ≥F α((s -1),(r -1)(s -1)). (9.25)得方差分析表9-14.例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg ·m ·cm ），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）解 由已知，r =4,s =3,需检验假设H 01,H 02，经计算得方差分析表9-16.0.01A 01F 0.01（2,6）=10.92<F B ,拒绝H 02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.第三节 正交试验设计及其方差分析在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.1.正交试验设计的基本方法正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：(1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.列数↓L4 （23）↑↑行数水平数（2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.最多能安排的因素数↓L4(23)↑↑试验次数水平数(3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.L4(23)↑↑实际试验数理论上的试验数正交表的特点：（1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次.（2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table).常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表L p（n m）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.例9.7 提高某化工产品转化率的试验.某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.表9-18分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.解本题是4因素3水平，选用正交表L9（34）.将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.表9-20从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：反应温度为60℃，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1∶1，真空度为500毫米汞柱，记作A1B1C1D1.依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.2.试验结果的直观分析正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A 3B 3C 2D 1.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析. （1） 极差计算在代表因素A 的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T 11，求得T 11=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T 21，求得T 21=183.一般地，定义T ij 为表9-21的第j 列中，与水平i 对应的各次试验结果之和(i =1,2,3; j =1,2,3,4).记T 为9次试验结果的总和，R j 为第j 列的3个T ij 中最大值与最小值之差，称为极差.显然T =31iji T=∑，j =1,2,3,4.此处T 11大致反映了A 1对试验结果的影响，T 21大致反映了A 2对试验结果的影响， T 31大致反映了A 3对试验结果的影响，T 12，T 22和T 32分别反映了B 1，B 2，B 3对试验结果的影响， T 13，T 23和T 33分别反映了C 1，C 2，C 3对试验结果的影响， T 14，T 24和T 34分别反映了D 1，D 2，D 3对试验结果的影响.R j 反映了第j 列因素的水平改变对试验结果的影响大小，R j 越大反映第j 列因素影响越大.上述结果列表9-22.(2) 极差分析(Analysis of range)由极差大小顺序排出因素的主次顺序：主→次 B ；A 、D ；C这里，R j 值相近的两因素间用“、”号隔开，而R j 值相差较大的两因素间用“；”号隔开.由此看出，特别要求在生产过程中控制好因素B ，即反应时间.其次是要考虑因素A 和D ，即要控制好反应温度和真空度.至于原料配比就不那么重要了.选择较好的因素水平搭配与所要求的指标有关.若要求指标越大越好，则应选取指标大的水平.反之，若希望指标越小越好，应选取指标小的水平.例9.7中，希望转化率越高越好，所以应在第1列选最大的T 31=185；即取水平A 3，同理可选B 3C 1D 3.故例9.7中较好的因素水平搭配是A 3B 3C 1D 3.例9.8 某试验被考察的因素有5个：A ，B ，C ，D ，E .每个因素有两个水平.选用正交表L 8(27)，现分别把A ，B ，C ，D ，E 安排在表L 8(27)的第1，2，4，5，7列上，空出第3，6列仿例9.7做法，按方案试验.记下试验结果，进行极差计算，得表9-23.试验目的要找出试验结果最小的工艺条件及因素影响的主次顺序.从表9-23的极差R j的大小顺序排出因素的主次顺序为主 → 次 A 、B ；D ；C 、E最优工艺条件为A 2B 1C 1D 2E 1.表9-23中因没有安排因素而空出了第3，6列.从理论上说，这两列的极差R j 应为0，但因存有随机误差，这两个空列的极差值实际上是相当小的.3.方差分析正交试验设计的极差分析简便易行，计算量小，也较直观，但极差分析精度较差，判断因素的作用时缺乏一个定量的标准.这些问题要用方差分析解决.设有一试验，使用正交表L p (n m ),试验的p 个结果为y 1,y 2,…,y p ,记T =1pi i y =∑, y =11p i i Ty p p ==∑，S T =21()pii yy =-∑为试验的p 个结果的总变差；S j =222111nn ij ij i i T T T r T r p r p ==⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑∑ 为第j 列上安排因素的变差平方和，其中r =p/n .可证明S T =1mij S=∑即总变差为各列变差平方和之和，且S T 的自由度为p -1，S j 的自由度为n -1.当正交表的所有列没被排满因素时，即有空列时，所有空列的S j 之和就是误差的变差平方和S e ，这时S e 的自由度f e 也为这些空列自由度之和.当正交表的所有列都排有因素时，即无空列时，取S j 中的最小值作为误差的变差平方和S e .从以上分析知，在使用正交表L p (n m )的正交试验方差分析中，对正交表所安排的因素选用的统计量为：F =1jeeS S n f -.当因素作用不显著时，F ~F (n -1,f e ),其中第j 列安排的是被检因素.在实际应用时，先求出各列的S j /(n -1)及S e /f e ,若某个S j /(n -1)比S e /f e 还小时，则这第j 列就可当作误差列并入S e 中去，这样使误差S e 的自由度增大，在作F 检验时会更灵敏，将所有可当作误差列的S j 全并入S e 后得新的误差变差平方和，记为S e Δ,其相应的自由度为f e Δ,这时选用统计量F =1je eS S n f - ~F (n -1,f e Δ).例9.9 对例9.8的表9-23作方差分析.解 由表9-23的最后一行的极差值R j ，利用公式S j =2211n ij i T T r p=-∑,得表9-24.表9-24表9-24中第3，6列为空列，因此S e =S 3+S 6=1.250,其中f e =1+1=2,所以S e /f e =0.625,而第7列的S 7=0.125，S 7/f 7=0.1251=0.125比S e /f e 小，故将它并入误差. S e Δ=S e +S 7=1.375,f e Δ=3.整理成方差分析表9-25.eeS fC 3.125 1 3.125 6.818D 6.125 1 6.125 13.364E Δ 0.125 1 0.125 e 1.1250 2 0.625 e Δ 1.37530.458由于F 0.05(1,3)=10.13, F 0.01(1,3)=34.12,故因素A ，B 作用高度显著，因素C 作用不显著，因素D 作用显著，这与前面极差分析的结果是一致的.F 检验法要求选取S e ，且希望f e 要大，故在安排试验时，适当留出些空列会有好处的.前面的方差分析中，讨论因素A 和B 的交互作用A ×B .这类交互作用在正交试验设计中同样有表现，即一个因素A 的水平对试验结果指标的影响同另一个因素B 的水平选取有关.当试验考虑交互作用时，也可用前面讲的基本方法来处理.本章就不再介绍了.小 结本章介绍了数理统计的基本方法之一：方差分析.在生产实践中，试验结果往往要受到一种或多种因素的影响.方差分析就是通过对试验数据进行分析，检验方差相同的多个正态总体的均值是否相等，用以判断各因素对试验结果的影响是否显著.方差分析按影响试验结果的因素的个数分为单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析.1. 单因素方差分析的情况.试验数据总是参差不齐，我们用总偏差平方和S T =211()jn sijj i xx ==-∑∑来度量数据间的离散程度.将S T 分解为试验随机误差的平方和(S E )与因素A 的偏差平方和（S A ）之和.若S A 比S E 大得较多，则有理由认为因素的各个水平对应的试验结果有显著差异，从而拒绝因素各水平对应的正态总体的均值相等这一原假设.这就是单因素方差分析法的基本思想.2. 双因素方差分析的基本思想类似于单因素方差分析.但双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验因素A 和B 各自的作用，还要检验它们之间的交互作用.3. 正交试验设计及其方差分析.根据因素的个数及各个因素的水平个数，选取适当的正交表并按表进行试验.我们通过对这少数的试验数据进行分析，推断出各因素对试验结果影响的大小.对正交试验结果的分析，通常采用两种方法，一种是直观分析法（极差分析法）,它通过对各因素极差R j 的排序来确定各因素对试验结果影响的大小.一种是方差分析法，它的基本思想类似于双因素的方差分析. 重要术语及主题单因素试验方差分析的数学模型 S T =S E +S A单因素方差分析表 双因素方差分析表 正交试验表极 差分析表习题九1.灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？2.一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布，且方差相等.4.为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平α=0.05，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的方5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A）、防老剂（B）、硫化系统（C）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，交互4(2) 给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.6.某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A），施氮肥量（B），氮、磷、钾肥比例（C），插植规格（D）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早(1) 试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系.(2) 给定α=0.05,作方差分析，与(1)比较.。
one-way anova analysis -回复
one-way anova analysis -回复一元方差分析（One-way ANOVA Analysis）概述：一元方差分析（One-way Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上组别之间的均值是否存在显著差异。
它是根据组内变差（即组别内的个体观测值与各组别均值的离差平方和）和组间变差（即各组别均值与总体均值的离差平方和）来进行判断的。
在进行一元方差分析之前，需要满足以下几个前提假设：1. 样本是独立的，即各个组别之间的观测值是互相独立的；2. 观测值在各组别中是正态分布的；3. 各组别的方差相等。
步骤：以下是一元方差分析的一般步骤：1. 确定研究问题和目标：确定要研究的问题和变量，以及要比较的组别。
2. 收集数据：收集包含研究变量的数据，确保数据满足前提假设。
3. 样本描述统计量：计算每个组别的样本均值、标准差和样本大小。
4. 统计假设：建立零假设（各组别均值相等）和备择假设（至少有一组别均值不等于其他组别）。
5. 方差分析：计算组内变差（Within-group Variance）和组间变差（Between-group Variance）。
- 组内变差是各个观测值与其所在组别均值的离差平方和；- 组间变差是各组别均值与总体均值的离差平方和。
6. 计算F统计量：根据组内变差和组间变差计算F值。
- F值的计算公式为：F = 组间变差/ 组内变差。
7. 决策：通过查表或利用统计软件，将计算得到的F值与临界值进行比较，以判断组别均值是否存在显著差异。
- 如果F值大于临界值，则可以拒绝零假设，认为组别均值存在显著差异；- 如果F值小于等于临界值，则接受零假设，认为组别均值没有显著差异。
8. 发现、分析和解释：根据所得结果，进行发现、分析和解释，得出结论以及可能的原因和影响。
注意事项：在进行一元方差分析时，需要注意以下几个问题：1. 数据正态性检验：要求样本数据在各组别中是正态分布的。
sas第九章 t检验和方差分析
第九章 t 检验和方差分析在科研中，我们往往是根据样本之间的差异，去推断其总体之间是否有差异。
样本差异可能是由抽样误差所致，也可能是由本质的不同所致。
应用统计学方法来处理这类问题，称为“差异的显著性检验”。
若已知总体为正态分布，进行差异的显著性检验，称为“参数性检验”，SAS 中MEANS 、TTEST 、ANOVA 、GLM 等均属此类检验；若未知总体分布，进行差异的显著性检验，称为“非参数性检验”，SAS 中采用NPAR1WAY 过程。
第一节 t 检验9.1.1 简介t 检验是用于两组数据均值间差异的显著性检验。
它常用于以下场合：1．样本均值与总体(理论)均值差别的显著性检验检验所测得的一组连续资料是否抽样于均值已知的总体根据大量调查的结果或以往的经验，可得到某事物的平均数(例如生理生化的正常值)，以此作总体均值看待。
SAS 中采用MEANS 过程，计算出观察与总体均值的差值，再对该差值的均值进行t 检验。
2.同一批对象实验前后差异的显著性检验(自身对照比较)或配对资料差异的显著性检验(配对比较检验)比如，在医学研究中，我们常常对同一批病人治疗前后的某些生理生化指标(如血压、体温等)进行测量，以观察疗效；或对同一批人群进行预防接种，以观察预防效果；或把实验对象配成对进行测定，比较其实验结果。
SAS 中采用MEANS 过程，计算出两样本观察的差值(如治疗前、后实验数据的差值)，再对该差值的均值进行t 检验。
3．两样本均值差异的显著性检验作两样本均值差异比较的两组原始资料各自独立，没有成对关系。
两组样本所包含的个数可以相等，也可以不相等。
每组观测值都是来自正态总体的样本。
设1X 与2X 为两样本的均值，1n 与2n 为两样本数，21s ，22s 为两样本方差，分两种情形，其数学模型为：(1)方差齐(相等)时：)/1/1(21221n n s x x t +-=)2/(])1()1[(212222112-+-+-=n n s n s n s(2)方差不齐时： 22212121//n s n s x x t +-=SAS 中采用TTEST 过程，先作方差齐性检验(F 检验)，然后根据方差齐(EQUAL)和方差不齐(UNEQUAL)输出t 值和P 值以及基本统计量。
一元方差分析讲解
一元方差分析（one way ANOVA）Part 1 原理概念：一元：输入X（分散性数据）只有一个，但有不同的水平；输出Y（连续型数据）只有一个, 不同的X对于一个Y目的：检验在不同输入水平下，对应的Y值的均值是否都相等。
前提：1）当输入变量x只有一个且为离散型数据，y也只有一个，且为连续型数据；2）X有m个水平，每个水平下做了n个样本；3）每个Xi水平下的,所做的n个结果(Yi1, yi2, yij, …,Yin) 服从正态分布；4） m组数据的方差都相等，即：σ12=σ22=σi2=…=σm2目的：检验H0： u1=u2=…=ui=…=um 是否成立，即m组数据的均值是否相等，H1： u1, u2, …, ui, …, um 至少有一个不等容易知道，总共有m*n个数据，那么这些数据总的离散程度SST为：ΣΣ（yij－y）2= ΣΣ[ ( yij－yi )+(yi－y )]2= ΣΣ(( yij－yi )2+ ΣΣ (yi－y ))2+ 2 ΣΣ（yij－y） (yi－y )﹛ (a+b)2=a2+b2+2ab , 容易理解吧﹜容易证明2 ΣΣ（yij－y） (yi－y )=0所以，上式= ΣΣ(( yij－yi )2+ ΣΣ (yi－y ))2不难看出，ΣΣ(( yij－yi )2正好是组内离散度的总和，即SSE(error);而ΣΣ (yi－y ))2正好是组间离散度的总和，即SSF(factor)所以，SST=SSE+SSF记m*n=N, SST, SSF， SSE的自由度和平均值分别为：此时，一元方差分析里有个F值怎么算呢？F=MSF/MSE, 得到一个F的数值，F的自由度为（m-1, N-m），这样查F函数，就能得到一个P值。
如果查到到这个F＜Fα（m-1, N-m），那么就应该接受H0，否则接受H1；用P值来判断，如果P＞α，那么就应该接受H0, 否则接受H1.Part 2 用minitab 做一元方差分析第一步：输入数据。
第九章 方差分析ppt课件
（3）计算F值。
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（4） 确定显著性水平和F临界值 取α=0.05，查F分布表得 F0.05(3,14) 3.34。由于计
算的F=3.52> F0.05(3,14) 3.34，P<0.05，所以拒绝原假
设，接受备择假设，认为各组平均数中至少有一对不
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25
计算自由度： dBfk 14 13；
dW fk n k4 5 4 1；6
df T df B df W =16+3=19
求均方：
MS B
SS B df B
370122.3 3
，
MSW
SSW dfW
35622.25 16
（3）计算F值：
FMBS12.325.50 MW S 22.25
1、提出假设 2、计算平方和与自由度 3、计算F值 4、确定显著性水平并查F临界值表 5、列方差分析总表
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3
一、方差分析的逻辑思想
1、方差分析是一种综合的检验方法
方差分析是对引起方差变化的各种因 素进行统计分析，检验引起各样本差异 的主要原因（或因素），并与理论值比 较，以判断其显著性。
首先将总体变异分解成样本组间变异 和由抽样误差等其它原因产生的组内变 异，然后分析变异各组成部分的关系。
如果样本组间变异比抽样误差等其它 原因产生的变异显著地大，则认为样本 组间有本质性的差异，否则，认为样本 组间无本质差异。
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6
在方差分析中，观测值之间的差异情 况用离差平方和表示，符号为SS。方差分析首先 是把总体平方和分解为组间平方和和组内平方和， 即：
一元方差分析-PPT课件
A A
30.8
A
29.3
26.0
29.8
28.0
29.8
因素
试验指标
2. 数学模型
设在试验中，因素A有m个不同水平 A 1, A 2,..., A m, 2 在水平下的试验结果 XN , ) ( i 1 , 2 , . . . , m ) 。 i~( i 2 其中 i 和 是未知参数。在水平 A i下作n i 次独立实验， 其结果如表1所示。 表1
例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品
种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实 验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平 均产量是否有显著影响？
品种 产量（斤/小区）
32.3 33.3
3 4
A
水平
1
2
34.0 33.0 34.3
34.3 36.3 35.3
35.0 36.8 32.3
36.5 34.5 35.8
再令
(2)
1 m ni i n i1 i i
n
( i 1 ,2 , ,m )
(3)
m
i1
ni
则μ是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值；
这个差异称为 A
i 代表了第i水平下的总体均值与平均值的差异，
i
的效应， 它满足
m
i 1
n i 1 组内平均 X X ( i 1 ,2 , ,m ) i i j n 1 i j
(7)
两者间的关系
样本总平均 X 1 X ij ＝ 1 n i 1 j 1 n
m
ni
m
i1
niX i,
(8)
市场调查第9章方差分析.ppt
市场调查 第四篇 第16章
5
该饮料在五家超市的销售情况
超市
1 2 3 4 5
均值
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
27.32
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
29.56
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
26.44
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
市场调查 第四篇 第16章
13
方差分析的原理
水平间的方差和水平内方差之比是一个统计量， 这个统计量服从F分布：
F
水平之间(组间)的方差 水平内部(组内)方差
F(r
1,n
r
)分布
市场调查 第四篇 第16章
14
三. 方差分析的种类
分析一个变量时
单因素的方差分析 One-Way ANOVA 多因素的方差分析 Univariate
第九章方差分析第九章方差分析?91一元单因素方差分析?92一元多因素方差分析2市场调查第四篇第16章91一元单因素方差分析?一一方差分析的内容?二方差分析的原理?三方差分析的种类?四应用方差分析的条件3市场调查第四篇第16章一方差分析的内容?方差分析analysisofvarianceanova?在研究一个变量时能够解决多个总体的均值是否相等的检验问题
20
一. 只考虑主效应的方差分析
首先假定自变量受到的仅仅有不同因素的主效应（ main effect）而没有交互效应（interaction）和 协变量的影响。
即： 因变量=因素A主效应+因素B的主效应 +随机误差项 销售额=促销方式+售后服务+随机误差项
第九章方差分析-PPT精选文档60页
§1 单因子方差分析
§1.1 基本概念
为了考察某个因素 A 对试验指标(即随机变量 X)
的影响,在试验时,保持其他因素不变,而仅让因素 A
改变,这种试验称为单因子(单因素)试验. 设试验结
果如下表:
水平
观测值
A1
x11
x12
...
x1n1
A2
x21
x22
…
x2n2
…
…
…
…
…
Ar
xr1
xr2
…
xrnr
• 为了今后方便起见,把参数的形式改变一下,并
记
1 n
r i1
nii
r
nni i1
i i , i 1,2,...,r,
称μ为一般平均,αi为因子A的第i 个水平的效应.
• 在这样的改变下,单因子方差分析模型中的数 据结构式可以写成:
X i j i i,j i 1 ,2 ,.r ;.j .1 ,2 ,,.n i..,
SA
2
~
2(r 1)
且SA与SE相互独立.
由于SA反映的是因子不同水均平值之间的差
异程度,故当假设H0 :1 2 ...r 0为真时,
SA的值不应太大 ,从而
F SA /(r 1) SE /(nr)
也不应太大,当F值过大时,可以认为假设 H0不真.
§1.4 检验过程
由此,可 当H0知 :12...n0为真 , 时
(X i jX i.2 ) (X i. X ) 2 2 (X i jX i.(X )i. X )
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
r ni
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析（One-WayAnalysisofVariance，简称ANOVA）是统计学中的广泛使用的统计方法，它是研究多组数据样本的统计工具。
它可以检验不同组别间的差异是否具有统计学上的显著性。
在这里，说明其定义及计算原理，以及如何应用单因素方差分析，并介绍ANOVA在统计学中的重要地位。
一、单因素方差分析的定义单因素方差分析又称为“一元方差分析”，它是一种用于检验总体变量的分布不同组别间的均值是否有显著性差异的统计技术。
它可以用来检验两个或多个样本的变量的均值之间的差异。
单因素方差分析假设所有样本的总体方差应用同一个总体方差，并且没有其他因素对结果产生显著的影响。
二、单因素方差分析的计算原理单因素方差分析是基于抽样分布的概念，它以抽样分布提供的数据来评估不同组别之间的均值差异是否有统计上的显著性。
单因素方差分析之所以能够有效检验不同组别间的差异，是因为它基于抽样分布的统计原理，即总体均值小于零的均方差的期望值。
在实际运用中，单因素方差分析常用F-statistics来衡量总体均值大于零的样本均方差的可能性，如果F-statistics的检验结果显示p值低于设定的显著性水平，则可以推断出不同组别间的差异具有统计学上的显著性。
三、如何应用单因素方差分析应用单因素方差分析的基本思路是采集样本，搜集可用于分析的数据，然后通过单因素方差分析，对不同样本变量的均值差异进行检验，以评估各组别之间均值的显著性差异。
换句话说，单因素方差分析可以帮助研究人员判断不同组别之间的差异是否有统计学上的显著性。
四、单因素方差分析在统计学中的重要性单因素方差分析在统计学中占有重要地位，因为它可以控制多组样本之间的其他不相关因素，从而可以准确地检验不同组别之间的显著性差异。
此外，单因素方差分析也提供了一种可行的技术，可以根据差异的显著性判断某一变量是否有统计学上的显著差异。
总而言之，单因素方差分析是一种统计学中有用的工具，可以检验不同组别间的均值差异是否有显著性，而这也是它在统计学中的重要地位。
方差分析的应用条件
方差分析的应用条件
一元方差分析是个统计方法，用来检验实验组和对照组之间是否存在显著差异。
它可以用来检验和比较同一个因素中不同变量或称为独立变量之间的关系。
一元方差分析的应用条件是：
1. 研究对象的取值数据可以用离散数字表示，且取值的分布要满足正态分布。
2. 因变量总体均值可以由样本均值估计出来，且研究对象之间没有交叉或共
线性关系。
3. 实验组与对照组的样本量要相等。
4. 研究母体要是被随机抽取出来，并且样本数据之间要相互独立，不存在其
他的个体间的影响。
一元方差分析的优点是快速、易用，而且它可以帮助我们判断一个变量对另外
一个变量的影响程度，以及变量之间的关系。
另外，它还可以用来验证某一事件的证据。
然而，一元方差分析也有一些局限性，它只支持数值变量，且不能提取出变量
之间的因果关系，只能观测抽样数据，并不能说明抽样数据之间的原因。
因此，一元方差分析只能作为初步研究工具，而不能作为全面分析的步骤。
此外，一元方差分析也有显著的假设，主要是样本的分布必须满足正态分布、
样本间独立性假设；在实践中这可能会忽略一些不显著的影响因素，结果会失去可信度。
因此，要有效运用一元方差分析，必须满足各种条件。
违反了任何一条条件都
会影响到分析结果的准确性，所以在使用一元方差分析之前，应进行充分的调查研究，以保证结果的可信度。
一元方差分析
Ar
xr1, xr 2 , , xrnr
在Ai水平下的各种试验指标值可看作同一总体的观测
值,因此,有r个总体,分别记作X1, X2, , Xr
我们还假定Xi ~ N(i , 2 ),如果因子A对试验指标没有
显著影响,那么X1, X2,
,
X
的分布相同,即
r
H0 : 1 2 r
品种
寿命(小时)
A1
1600,1610,1650,1680,1700,1720,1800
A2
1580,1640,1640,1700,1750
A3
1460,1550,1600,1620,1660,1740,1820,1640
A4
1510,1520,1530,1570,1600,1680
解:见教材P90.
有无影响,灯泡的寿命是我们考察指标,而影响这一 指标有可能是灯丝的品种,在这里我们称之为因子, 而选取了四个品种,我们之为因子的四个水平.这种 情况,我们称为单因子四水平试验.对这种试验的分 析称为单因子方差分析.一般单因子r水平试验数据 可列表如下
水平水平
A1 A2
试验结果
x11, x12 , , x1n1
回归分析是对变量与变量之间的某种相依关系. 这种关系可以用回归函数来表示.有时,我们只需要 知道某些变量的不同取值对一个变量有没有影响? 对这样的问题我们是采用方差分析.比如:
例:某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生 产了四批灯泡,在每批灯泡中取若干个做寿命试验, 它们的寿命如下:
品种
寿命(小时)
成立.因此,因子A对试验指标有没有影响就是检验上述
假设是否正确,这是一个等方差的假设检验问题,这个
方差分析知识点总结
方差分析知识点总结方差分析的基本原理是利用总体均值之间的变异性来进行假设检验。
它的基本思想是：通过对数据的变异性进行分解，我们可以得到与总体均值之间的比较，以判断它们是否存在显著差异。
方差分析将总体的变异性分为两部分：组内变异性和组间变异性。
组内变异性是指同一组内个体间的差异，而组间变异性是不同组之间的差异。
方差分析的基本假设包括：1. 各总体均值相等的原假设（H0）：μ1 = μ2 = ... = μk2. 各总体均值不全相等的备择假设（H1）：μi ≠ μj（i ≠ j）方差分析适用的条件包括：1. 各总体的总体分布应是正态分布2. 各组的方差应相等3. 各个样本应是相互独立的方差分析的类型主要包括一元方差分析（One-way ANOVA）和二元方差分析（Two-way ANOVA）。
其中，一元方差分析通过比较一个自变量对一个因变量的影响；而二元方差分析则同时考虑了两个以上的自变量对一个因变量的影响。
一元方差分析的过程包括以下几个步骤：1. 提出假设：提出总体均值相等的原假设和不全相等的备择假设。
2. 收集数据：收集不同组的样本数据。
3. 方差分解：计算组间变异性和组内变异性。
4. 计算统计量：计算F统计量。
5. 判断显著性：根据F统计量判断原假设的接受或拒绝。
二元方差分析则在一元方差分析的基础上加入了第二个自变量，其过程相对复杂一些。
方差分析的计算过程包括了方差分解和F统计量的计算。
在实际操作中，方差分析可以使用统计软件进行计算，如SPSS、R等。
方差分析的结果解释主要依据F统计量来判断原假设的接受或拒绝。
若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为各组的均值存在显著差异；若F值小于临界值，则接受原假设，认为各组的均值相等。
方差分析的应用领域非常广泛，其中包括医学、社会科学、经济学等。
在医学研究中，方差分析可用于比较不同药物治疗对患者健康状况的影响；在社会科学中，方差分析可用于比较不同教育水平对收入的影响；在经济学中，方差分析可用于比较不同地区对GDP的影响等。
第9章方差分析与一元回归分析
第九章 方差分析与一元线性回归分析
[系统(条件)误差]:
概率统计
在方差分析中,凡是由于试验因素的变异而引起的 试验结果的差异,称为“系统误差”或“条件误差”.
[随机(试验)误差]:
在试验中,当我们把所有能控制的试验条件都控 制在固定的状态下,进行多次重复试验,所得的的试 验结果也不会完全一致,仍存在一定程度的差异.
r ni
ST
( Xij X )2
i1 j1
r ni
SE
( Xij Xi )2
i1 j1
r ni
r
SA
( Xi X )2 ni (Xi X )2
i1 j1
i1
ST反映了样本的总变动幅度. SE反映了为从r个总体中选取一个容量为ni的样本所进行的 重复试验而产生的误差. S A反映了从各不同水平总体中取出的各个样本之间的差异.
r i1
1 ni
(
ni j 1
X ij
)2
1 n
(
r i1
ni
Xij )2
j 1
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
概率统计
(3) 若令Y aX b (a 0),有Y aX b SY2 a2SX2
Y
1 n
n i 1
Yi
1 n
n i 1
(aX i
b)
1 n
n
aX i
i 1
第九章 方差分析与一元线性回归分析
教学要求
1.掌握单因素试验的方差分析 2.掌握一元线性回归分析 学时 4- 6
概率统计
第九章 方差分析与一元线性回归分析
第一节、方差分析
一、方差分析的基本原理 二、单因素方差分析的方法 三、单因素方差分析的步骤 四、双因素方差分析的方法
第九章 一元方差分析
.
• 3.确定统计输出结果 • 单击Options，打开选项对话窗，如图。 • 在该对话框中包括下面三部分内容。 • ⑴Statistics是输出统计结果的选项栏
①Descriptive是输出描述统计结果。选择该项将 在输出文件中输出：个案数、均值、标准差、标 准误差、最小值、最大值、各组中因变量的95% 的置信区间。
因素，对“家月收入”进行多重比较的方差分析。
.
.
• 单击Continue返回
.
• 4.确定统计输出结果 • 单击Options按钮，打开对话框，如图9-2所示。
选择方法与简单方差分析相同。 • 上述选项作完后，单击Continue按钮返回主对话
框。 • 单击OK提交运行。
.
• 9.2.2平均数多重比较方差分析的实例 • 实例：在“休闲调查1”中以“文化程度”为影响
• ⑤Welch是Welch检验。是采用Welch分布的统计 量进行的各组均值是否相等的检验。Welch分布 也近似于F分布。采用Welch检验对方差齐性也没 有要求，所以当因变量的分布不满足方差齐性的 要求时，采用Welch检验比方差检验更稳妥。
.
• ⑵Means plot是输出均值分布图 • ⑶Missing Values是设置缺失值处理方法的选项栏 ①Exclude cases analysis by analysis是只剔除分析变
量为缺失值的个案，这是系统默认状态。 ②Exclude cases listwiae 是剔除任何含有缺失值的个
案。 • 单击Continue返回。 • 单击OK提交运行。
.
《元方差分析》课件
技术创新
算法优化
01
随着计算能力的提升，元方差分析的算法将进一步优化，提高
分析的效率和准确性。
机器学习与人工智能的融合
02
利用机器学习和人工智能技术，实现元方差分析的自适应和智
能化，提高模型的泛化能力。
高维数据处理能力
03
发展能够处理高维数据的元方差分析方法，以适应大数据时代
的需求。
应用拓展
跨学科应用
《元方差分析》ppt课件
目 录
• 元方差分析概述 • 元方差分析的步骤 • 元方差分析的优缺点 • 元方差分析的案例 • 元方差分析的未来发展
01
元方差分析概述
元方差分析的定义
总结词
元方差分析是一种统计方法，用于研究多个因素对多个响应变量的影响。
详细描述
元方差分析是一种多因素方差分析方法，它允许同时研究多个因素对多个响应变量的影响，并评估这 些因素之间的交互作用。这种方法在许多领域都有广泛的应用，如社会科学、生物统计学和经济学等 。
模型建立
确定分析目标
明确分析的目的和预期结果，为后续建模提供指导。
选择模型
根据数据的特征和研究问题，选择合适的方差分析模 型。
设定模型参数
为模型设定合适的参数，确保模型能够准确反映数据 特征。
模型评估
拟合度检验
通过比较实际数据与模型预测值，评估模型 的拟合效果。
假设检验
对方差分析模型的假设条件进行检验，确保 模型适用性。
，可以帮助研究者更好地理解多因素之间的交互作用，为决策提供科学依据。
02
元方差分析的步骤
数据准备
数据收集
根据研究目的和范围，收集相关数据。确保 数据的准确性和完整性，并考虑数据来源的 可靠性和权威性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• ④Brown-Forsythe是Brown-Forsythe检验。采用 Brown-Forsythe分布的统计量进行的各组均值是 否相等的检验。Brown-Forsythe分布近似于F分布。 但采用Brown-Forsythe检验对方差齐性没有要求， 所以当因变量的分布不满足方差齐性的要求时， 采用Brown-Forsythe检验比方差分析更稳妥。
9.2平均数多重比较的方差分析
• 9.2.1平均数多重比较方差分析的过程 • 上述方差分析的结果只能说明至少有一个
类别的均值与其他的均值之间差异较大。 但具体各类别之间的差异比较还需要做加 油吧的分析。这就是平均数多重比较的方 差分析。
.
• 1.打开简单方差分析对话框 • Analyze→Compare Means→One-Way
.
• ②Fixed and random effects是输出确定性影响因 素和随机影响因素的选项。
• ③Homogeneity of variance是进行方差齐性即方差 性检验的选项。选择此项将输出方差齐性检验结 果。由于方差分析的前提条件是因变量在影响因 素的各个水平上的分布具有等方差性，因此只有 方差齐次检验的结果接受了等方差的假设，方差 分析的结果才是有意义的。
第九章 一元方差分析 （One-Way ANOVA）
9.1简单方差分析 9.2平均数多重比较的方差分析
.
ห้องสมุดไป่ตู้
• 方差分析是使用最多的统计分析方法之一。它 主要用于研究名义变量或顺序变量与尺度变量 之间的关系。尺度变量是被分析的变量，也就 是因变量。名义变量或顺序变量是影响因素变 量，也就是自变量。影响因素变量的取值被成 为影响因素的水平。研究的目的是想知道当因 素去不同水平时，因变量是否有显著差异。方 法是通过比较各个类别的组内差异和类别之间 差异大小来确定变量之间是否有关。如果组内 差异大而组间差异小，则说明两个变量之间不 相关。反之，如果组间差异大二组间差异小， 则说明两个变量之间相关。使用方差分析的方 法时，要求因变量在影响因素的各个水平上的 分布必须服从正态分布而且具有等方差性。
度变量进入Dependent list窗口中。选择一 个名义变量或顺序作为影响因素变量进入 Factor窗口中。
.
• 3.确定统计输出结果 • 单击Options，打开选项对话窗，如图。 • 在该对话框中包括下面三部分内容。 • ⑴Statistics是输出统计结果的选项栏
①Descriptive是输出描述统计结果。选择该项将 在输出文件中输出：个案数、均值、标准差、标 准误差、最小值、最大值、各组中因变量的95% 的置信区间。
• 单击Continue返回
.
• 4.确定统计输出结果 • 单击Options按钮，打开对话框，如图9-2所示。
选择方法与简单方差分析相同。 • 上述选项作完后，单击Continue按钮返回主对话
框。 • 单击OK提交运行。
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• 9.2.2平均数多重比较方差分析的实例 • 实例：在“休闲调查1”中以“文化程度”为影响
• ⑤Welch是Welch检验。是采用Welch分布的统计 量进行的各组均值是否相等的检验。Welch分布 也近似于F分布。采用Welch检验对方差齐性也没 有要求，所以当因变量的分布不满足方差齐性的 要求时，采用Welch检验比方差检验更稳妥。
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• ⑵Means plot是输出均值分布图 • ⑶Missing Values是设置缺失值处理方法的选项栏 ①Exclude cases analysis by analysis是只剔除分析变
因素，对“家月收入”进行多重比较的方差分析。
.
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量为缺失值的个案，这是系统默认状态。 ②Exclude cases listwiae 是剔除任何含有缺失值的个
案。 • 单击Continue返回。 • 单击OK提交运行。
.
• 9.1.2简单方差分析实例 • 实例：在“休闲调查1”中以“文化程度”为
影响因素变量，对“家月收入”进行方差 分析。
.
.
ANOVE打开对话框如图所示。 • 2.选择分析变量和影响因素变量
从左侧源变量窗口中选择一个或多个尺度 变量进入Dependent list窗口中。选择一个 定类变量作为影响因素变量进入Factor窗口。
.
• 3.打开多重比较对话框 • 单击Post Hoc按钮，打开多重比较对话框，
如图所示。
.
• 该对话框中包含了较多的选项。初学者为达到进 行多重比较的目的，只需选择Equal Variance Assumed（等方差假定）框中的LSD选项即可。 LSD是Least significant different（能达到显著性 水平的最小差异）的缩写。选则此项后，系统将 用T教育的方法完成各组均值之间的配对比较。显 著性水平是系统默认的0.05，用户也可以根据自 己的需要重新设定。
.
9.1简单方差分析
• 9.1.1简单方差分析的过程 • 1.打开简单方差分析对话框 • Analyze→Compare Means→One-Way ANOVE打开
对话框如图所示。 • 该对话框中的Dependent list是分析变量的列表窗
口。Factor是影响因素变量的窗口。
.
• 2.选择因素变量和影响因素变量 • 从左侧的源变量窗口中选择一个或多个尺