初中数学巧添辅助线解证几何题

合集下载

初中几何添辅助线方法

初中几何添辅助线方法初中几何学中，添辅助线是解题的常用方法之一。

通过巧妙地引入辅助线，可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。

本文将介绍几种常见的初中几何添辅助线方法。

一、三角形的辅助线方法1. 垂心和垂足当我们遇到一个三角形，需要证明某条线段平行于另一条线段时，可以考虑引入垂心和垂足。

通过引入垂心和垂足，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。

2. 中位线中位线是连接三角形两个顶点和中点的线段。

在解决三角形问题时，可以考虑引入中位线。

中位线将三角形分成两个全等的三角形，从而简化问题。

3. 角平分线角平分线将一个角分成两个相等的角。

在解决三角形问题时，可以考虑引入角平分线。

通过引入角平分线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。

二、四边形的辅助线方法1. 对角线对角线是四边形两个非相邻顶点之间的线段。

在解决四边形问题时，可以考虑引入对角线。

通过引入对角线，我们可以将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。

2. 中线中线是连接四边形两个相邻顶点中点的线段。

在解决四边形问题时，可以考虑引入中线。

中线将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。

三、圆的辅助线方法1. 半径和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入半径和切线。

通过引入半径和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。

2. 弦和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入弦和切线。

通过引入弦和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。

四、其他几何图形的辅助线方法1. 高和底边在解决梯形或三角形问题时，可以考虑引入高和底边。

通过引入高和底边，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。

2. 中线在解决平行四边形问题时，可以考虑引入中线。

中线将平行四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。

初中几何学中的添辅助线方法是解题的重要手段之一。

通过巧妙地引入辅助线，我们可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。

巧添辅助线解证几何题

龙源期刊网
巧添辅助线解证几何题
作者：倪小芳
来源：《数理化学习·初中版》2013年第06期
在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的问题加以解决.值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关.下面我们分别举例加以说明.
一、倍角问题
二、中点问题
三、线段的和差问题
四、垂线段问题
五、梯形问题
[江苏省金坛市第五中学（213200）]。

巧添辅助线解几何题(辅导练习题目)

巧添辅助线解几何题（辅导练习题目）（答题时间：25分钟）1. 如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数。

AB EOC D2. 如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F 。

求证：AF=EF 。

AFEB D C3. 已知E 是正方形ABCD 边CD 上的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE 。

求证：AF=AD ＋CF 。

A DEB F C4. 已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE 。

求证：CE=12BD 。

AEB C D【试题答案】1. 解：连结CDAB EOC D∵∠ECD＋∠BDC=∠B＋∠E=180°－∠BOE=180°－∠COD∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E=∠A＋∠ECD＋∠BDC＋∠ACE＋∠ADB=∠A＋（∠ECD＋∠ACE）＋（∠BDC＋∠ADB）=∠A＋∠ACD＋∠ADC=180°2. 证明：延长AD至G，使DG=AD，连结BGAFEB D CG∵BD=DC，∠BDG=∠ADC∴△BGD≌△CAD∴BG=AC=BE，∠G=∠CAD∴∠G=∠BEG=∠AEF∴∠AEF=∠CAD ∴AF=EF3. 过E作EG⊥AF于GA DEGB F C∵∠D=90°，∠AGE=90°AE平分∠DAF ∴ED=EG∵ED=EC ∴EG=EC∵∠EGF=∠C=90°EF=EF∴△EGF ≌△ECF （HL ） ∴GF=FC ∵ED=EG ，AE=AE ，∠D=∠AGE=90° ∴△ADE ≌△AGE （HL ） ∴AD=AG ∴AF=AG ＋GF=AD ＋FC即AF=AD ＋FC4. 证明：延长BA 交CE 的延长线于FFD AE B C∵BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE∴CE=12CF又∵AB=AC ，∠BAC=∠CAF=90°∠ACF=∠ABD=90°－∠F∴△ACF ≌△ABD ∴CF=BD∴CE=12CF BD。

中考数学120分以上必须掌握的几何辅助线技巧

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
1按定义添辅助线：
如证明二直线垂直，可延长使它们相交后证交角为90°；
证线段倍半关系，可倍线段取中点或半线段加倍；
证角的倍半关系，也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：
(1)在梯形内部平移一腰
(2)梯形外平移一腰
(3)梯形内平移两腰
(4)延长两腰
(5)过梯形上底的两端点向下底作高
(6)平移对角线
(7)连接梯形一顶点及一腰的中点
(8)过一腰的中点作另一腰的平行线
(9)作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。
(5)两圆相交作公共弦
▌6、全等三角形：
全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等。

你会几种？5种常用三角形全等辅助线添加方法，有5道例题详解

你会几种？5种常用三角形全等辅助线添加方法，有5道例题详解三角形全等，是初中几何的重点和基础。

不管是平时考试，还是中考数学，三角形全等更是高频出现各类题型当中。

一般考试题目中，不会直接出一个简单的三角形全等明摆在那里，一般都是需要添加辅助线，然后再得到三角形全等。

那么三角形全等有关的常用辅助线有哪些？方老师列举了以下5种，抛转引玉，希望大家喜欢。

点一下上方的关注。

方法一、遇到等腰三角形，三线合一性质，很实用很常用。

主要思维模式，就是利用三角形全等变换中的对折。

等腰三角形的三线合一的性质，在三角形的辅助线添加中应用非常广泛，同学们可以多多总结。

方法二、有三角形中线，倍长中线，构造三角形全等。

这个方法，是基本方法，屡试屡爽。

是利用三角形全等转换中的旋转。

本来有中点，两线段相等。

再倍长中线，得两线段相等。

再对顶角相等。

所以，三角形全等秒出。

方法三、遇见角平分线，做双垂直，必出三角形全等。

可以从角平分线上的点向两边做垂直，也可以过角平分线上的点做角平分线的垂直与角的两边相交。

这个方法，利用了三角形全等变换中的对折性质。

在很多综合几何题当中，角平分线的这个辅助线添加方法也很实用。

方法四。

根据题意，做平行线，比如例4中，过点E做EG∥AC。

此刻，这个问题，就迎刃而解了。

做平行线的方法也特别实用，主要利用了三角形全等变换中的平移，或者翻转折叠思想。

同学平时多总结类似的题型，和解题方法。

五。

截长补短法，得三角形全等。

这个方法，之前方老师还发过一个关于截长不补短发的专题内容。

一般来说，遇见求证一条线段等于两条线段之后的时候，多需用到截长或补短法，来添加辅助线。

关于三角形全等的知识归纳，请大家有好的想法，评论区留言。

北京数学中考添加辅助线题型解题方法

北京数学中考添加辅助线题型解题方法
北京数学中考中，添加辅助线是一种常见的解题方法。

通过添加辅助线，可以将复杂的几何图形转化为更简单的图形，从而更容易找到解题思路。

以下是一些常见的添加辅助线的解题方法：
1. 连接两点：如果两个点与另一个点或线段有关联，可以考虑连接这两点，从而将问题转化为三角形或平行四边形的问题。

2. 作平行线：如果需要证明两条直线平行，可以考虑作一条与这两条直线都平行的线段，从而利用平行线的性质来证明。

3. 作垂线：如果需要证明一条直线与另一条直线垂直，可以考虑作一条与这两条直线都垂直的线段，从而利用垂直线的性质来证明。

4. 延长线段：如果需要证明一条线段的长度等于另一条线段的长度，可以考虑延长这条线段，从而利用全等三角形的性质来证明。

5. 构造中点：如果需要证明一条线段是另一条线段的一半，可以考虑构造一个中点，从而利用中点的性质来证明。

在添加辅助线时，需要注意以下几点：
1. 辅助线不是任意画的，需要符合题目的条件和要求。

2. 辅助线的作用是帮助解题，而不是增加难度。

因此，在添加辅助线时要考虑其作用和目的。

3. 在添加辅助线时，需要考虑其与已知条件和要求的关系，从而找到正确的解题思路。

总之，添加辅助线是解决几何问题的一种有效方法。

通过掌握常见的添加辅助线的解题方法，可以更好地解决几何问题。

八年级数学上册几何添辅助线专题 (3)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边殊直角三角形，然等的二条边或二个8.计算数值法：角三角形，或40这样可以得到在数造边、角之间的相常见辅助线的作法之间的相等，二个1)遇到等腰三角维模式是全等2)遇到三角形的三角形，利用3)遇到角平分线向角的两边作所考知识点线上的一点形。

（3）可二点，然后角形。

4)过图形上某一全等变换中的D CBAED F CB AC5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例3、如图，△A 解：延长AE至G 显然DG＝AC，由于DC=AC，故在△ADB与△ADG BD＝AC=DG，AD＝∠ADB=∠ADC+∠A 故△ADB≌△ADG，二、截长补短1、如图，ABC解：（截长法）在△ADB是等腰三角DF⊥AB，故∠AFD△ADF≌△ADC（S ∠ACD＝∠AFD＝9 2、如图，AD∥BC，ADCBAPQCBA∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180°故∠ECB ＝∠EFB△FBE ≌△CBE （AAS ）故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

初中几何做辅助线的方法及试题

常见辅助线的方法：（最常见的就是连接特殊两点，作垂线和平行线(中位线)等）1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2）遇到三角形的中点或中线，可作中位线或倍长中线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

必要时也可直接旋转。

3）遇到角平分线，可以在角平分线上一点像角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4）截长补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定的线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明。

这种方法适合于证明线段的和，差，倍，分等类的题目。

5）等面积法：利用三角形（或其他图形）面积不同求法来解决线段之间的问题。

6）遇到线段的垂直平分线，连接线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

7）遇到直角三角形，作直角三角形斜边上的中线。

8）在有特殊角的情况下，考虑作等边三角形。

一．倍长中线造全等1.（“希望杯”试题）已知，如图ΔABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是___________。

2.如图，ΔABC中，E,F分别在AB，AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小。

3.如图，在ΔABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE。

4.（09崇文二模）以ΔABC的两边AB，AC为腰分别向外作等腰RtΔABD和等腰RtΔACE，∠BAD=∠CAE=90°,连接DE，M和N分别是BC和DE的中点，探究：AM与DE的位置关系与数量关系。

（1）.如图1，当ΔABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是___________，线段AM与DE的数量关系是___________。

(2).将图1中的等腰RtΔABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0<θ<90）后，如图2所示，（1）问中的两个结论是否发生改变？说明理由。

全等三角形中辅助线的添法(三大模型)(压轴题专项)(解析版)-初中数学

全等三角形中辅助线的添法(三大模型)【模型一：倍长中线模型】1.(23-24八年级上·江苏·期末)如图，在△ABC 中．AD 是BC 边上的中线，交BC 于点D．(1)如下图，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ．求证：△ACD ≌△EBD．(2)如下图，若∠BAC =90°，试探究AD 与BC 有何数量关系，并说明理由．(3)如下图，若CE 是边AB 上的中线，且CE 交AD 于点O ．请你猜想线段AO 与OD 之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】(1)利用SAS 可得△ACD ≌△EBD ；(2)延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，先根据△ACD ≌△EBD 证得∠C =∠CBE ，AC =BE ，进而得到AC ∥EB ，AD =12AE ；再证得△ABC ≌△BAE SAS 利用全等三角形全等的性质即可；(3)延长OE 到点M ，使EM =OE ，连接AM ．延长OD 到点N ，使DN =OD ，连接BM ，BN ，BO ，证得△MOB ≌△NBO ASA 可得MB =NO ，进而得到AO =2OD ，本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【解题过程】(1)证明：在△ACD 和△EBD 中，DA =DE∠ADC =∠EDBDC =DB∴△ACD ≌△EBD SAS ；(2)解：AD =12BC ，理由如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，如图由(1)得△ACD ≌△EBD ，∴∠C =∠CBE ，AC =BE∴AC ∥EB ，AD =12AE ∴∠BAC +∠ABE =180°，∵∠BAC =90°，∴∠ABE =90°，∴∠BAC =∠ABE在△ABC 和△BAE 中AC =BE∠BAC =∠ABEAB =AB∴△ABC ≌△BAE SAS ∴BC =AE ，∴AD =12BC ；(3)AO =2OD ，理由如下：延长OE 到点M ，使EM =OE ，连接AM ．延长OD 到点N ，使DN =OD ，连接BM ，BN ，BO ，如图，由(1)得△AOE ≌△BME ，△ODC ≌△NDB ，∴∠AOE =∠BME ，∠OCD =∠NBD ，AO =BM ，∴AO ∥BM ，OC ∥NB ，∴∠MBO =∠BON ，∠MOB =∠NBO在△MOB 和△NBO 中，∠MBO =∠BONOB =OB ∠MOB =∠NBO，∴△MOB ≌△NBO ASA ∴MB =NO ，∴AO =2OD ．2.(23-24八年级上·广西北海·期末)八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB =9，AC =5，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小红的方法思考作答：(1)由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是；A.SSS B.SAS C.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是；A.5<AD<9B.5≤AD≤9C.2<AD<7D.2≤AD≤7(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC．【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．(1)根据三角形全等的判定定理去选择即可；(2)根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；(3)由“SAS”可证△EFD≌△CMD，可得EF=DM，∠EFD=∠M，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证∠M=∠BAD=∠CAM，可得AD平分∠BAC．【解题过程】(1)解：延长AD到点E，使DE=AD，∵BD=CD，在△ADC和△EDB中，CD=BD∠ADC=∠BDEAD=DE，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：B．(2)解：∵△ADC≌△EDB，∴AC=EB，∵AB=9，AC=5，AB-BE<AE<AB+BE，∴4<2AD<14，∴2<AD<7，故选：C；(3)证明：如图，延长AD至M，使DM=DF，连接CM，∵DE=DC，∠EDF=∠CDM，DF=DM，∴△EFD≌△CMD(SAS)，∴EF=DM，∠EFD=∠M，∴EF∥CM，∵EF∥AB，∴CM∥AB，∴∠BAD=∠M，∵EF=AC，∴EF=DM=AC，∴∠CAM=∠M，∴∠BAD=∠CAM，∴AD平分∠BAC．3.(23-24八年级上·安徽安庆·期末)(1)如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围；(2)如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【思路点拨】(1)由已知得出AB-BE<AE<AB+BE，即6-4<AE<6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；(2)延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论；(3)延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF=FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB= CG，即可得到结论．【解题过程】解：(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD SAS，∴BE=AC=4，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴6-4<AE<6+4，，∴2<AE<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5；(2)BE+CF>EF，理由如下：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示．同(1)得：△BMD≌△CFD SAS，∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM，∴BE+CF>EF；(3)AF +CF =AB ，理由如下：如图③，延长AE ，DF 交于点G ，∵AB ∥CD ，∴∠BAG =∠G ，在△ABE 和△GCE 中，CE =BE ，∠BAG =∠G ，∠AEB =∠GEC，∴△ABE ≌△GEC AAS ，∴CG =AB ，∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG =∠GAF ，∴∠FAG =∠G ，∴AF =GF ，∵FG +CF =CG ，∴AF +CF =AB ．4.(23-24八年级上·江苏南通·期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB =6,AC =4，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得△ADC ≌△EDB ，得到BE =AC ，在△ABE 中求得2AD 的取值范围，从而求得AD 的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，AB =AE ,AC =AF ,∠BAE +∠CAF =180°，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在△ABC 中，D ,E 是BC 的三等分点．求证：AB +AC >AD +AE ．【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．(1)延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM =AC ，在△ABM 中，根据AB -BM <AM <AB +BM ，即可；(2)延长AD 到M ，使得DM =AD ，连接BM ，由(1)的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM =2AD ，由AM =EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系；(3)，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【解题过程】(1)解：如图1所示，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD∠BDM=∠CDA DM=AD，∴△MDB≌△ADC(SAS)，∴BM=AC=4，在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM，∴6-4<AM<6+4，即2<AM<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5．(2)EF=2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由(1)知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC，∠M=∠MAC∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠MBA+∠M+∠BAM=180°，即∠MBA+∠BAC=180°，又∵∠BAE+∠CAF=180°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAF=∠MBA，又∵AB=EA，∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=EF，∴EF=2AD．(3)证明：如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH,BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH=CH∠BHA=∠CHQ AH=OH，∴△ABH≌△QCH(SAS),同理可得:△ADH≌△QEH,∴AB=CQ,AD=EQ，此时,延长AE交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK，∴AC+CQ>AK+QK，∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，∴AK+QK>AE+QE，∴AC +CQ >AK +QK >AE +QE ，∵AB =CQ ,AD =EQ ，∴AB +AC >AD +AE ．5.(23-24七年级下·广东佛山·期中)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC 中，AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD请根据小明的方法思考：(1)求得AD 的取值范围是；【问题解决】请利用上述方法(倍长中线)解决下列三个问题如图，已知∠BAC +∠CDE =180°，AB =AC ，DC =DE ，P 为BE 的中点．(2)如图1，若A ，C ，D 共线，求证：AP 平分∠BAC ；(3)如图2，若A ，C ，D 不共线，求证：AP ⊥DP ；(4)如图3，若点C 在BE 上，记锐角∠BAC =x ，且AB =AC =CD =DE ，则∠PDC 的度数是(用含x 的代数式表示)．【思路点拨】(1)根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；(2)延长DP 交AB 延长线于点F ，证△APF ≌△APD 即可；(3)延长DP 至点F ，使得PF =PD ，连接BF 、AF 、AD ，证△APF ≌△APD 即可；(4)过点C 作CM ⊥BC 交AP 于点M ，由(3)可得∠APD =90°，证△ACM ≌△DCP ，用含x 的代数式表示出∠PDC 即可．【解题过程】(1)∵AD 为BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，BD =CD∠ADC =∠EDBAD =ED∴△ADC ≌△EDB SAS ，∴BE =AC =6，∵AB =8，∴8-6<AE <8+6，即2<AE <14，∵DE =AD ，∴AD =12AE ，∴1<AD <7，故答案为：1<AD <7(2)如下图，DP 交AB 延长线于点F∠BAC +∠CDE =180°，∴AF ∥DE (同旁内角互补，两直线平行)，∴∠PFB =∠PDE ，∠PBF =∠PED ，∵P 为BE 的中点∴BP =PE ，∴△BPF ≌△EPD AAS ，∴BF =DE =DC ，PD =PF ，又∵AB =AC ，∴AB +BF =AC +DC ，即AF =AD ，在△APF 和△APD 中PF =PDAP =APAF =AD∴△APF ≌△APD (SSS )，∴∠P AF =∠P AD (全等三角形的对应角相等)，即AP 平分∠BAC(3)延长DP 至点F ，使得PF =PD ，连接BF 、AF 、AD由(1)同理易知△DPE ≌△FBP (SAS )，∴BF =DE =CD ，∠E =∠FBP ，∵∠BAC +∠CDE =180°，且∠BAC +∠CAD +∠ADC +∠CDE +∠E =360°，∠CAD +∠C +∠ADC =180°，∴∠ABF =∠ACD ，AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (SAS )，∴AF =AD ，∴△APF ≌△APD (SSS )，∴∠APD =∠APF =180°÷2=90°，∴AP ⊥DP(4)过点C 作CM ⊥BC 交AP 于点M ，由(3)可得∠APD =90°，∠BAC =x ，∠BAC+∠CDE =180°，AB =AC =CD =DE ，∴∠ACB =180°-x 2=90°-x 2，∴∠DCE =90°-∠CDE 2=90°-180°-x 2=x 2，∴∠ACB和∠DCE 互余，∠ACD =∠MCP =∠APD =90°，∴∠ACM =∠DCP =x 2，∠CAM =∠CDP ∴△ACM ≌△DCP (ASA )，∴MC =PC ，∴∠BP A =45°，又∵∠ACB =90°-x 2，∴∠PDC =∠P AC =∠ACB -∠APB =45°-x 2，故答案为：45°-x 2【模型二：旋转模型(截长补短)】6.(23-24八年级上·湖北武汉·期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠B =∠E =90°，∠CAD =12∠BAE ，AB =AE ，且CD =3，AE =4，则五边形ABCDE 的面积为()A.6 B.8 C.10 D.12【思路点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AEF ，首先证明点D ，E ，F 三点共线，证明△ACD ≌△AFD (SAS )，得到CD =DF =3，S △ACD =S △AFD ，再将所求面积转化为2S △AFD 进行计算即可．【解题过程】解：如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AEF ，∵AB =AE ，∠B =∠E =90°，则AF =AC ，∠B =∠AED =∠AEF =90°，∴∠DEF =180°，即点D ，E ，F 三点共线，∵∠CAD =12∠BAE ，∠BAC +∠DAE =∠DAE +∠EAF =∠CAD ，即∠FAD =∠CAD ，在△ACD 和△AFD 中，AC =AF∠CAD =∠FAD AD =AD，∴△ACD ≌△AFD (SAS )∴CD =DF ，S △ACD =S △AFD∵CD =3，∴DF =3，五边形ABCDE 的面积为：S 四边形ACDE +S △ABC =S 四边形ACDE +S △AEF=S △ACD +S △AFD =2S △AFD ，=2×12×DF ×AE ，=2×12×3×4=12．故选：D ．7.(23-24八年级上·上海·期中)如图所示，已知AC 平分∠BAD ，∠B +∠D =180°，CE ⊥AB 于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．【思路点拨】在AB 上截取EF ，使EF =BE ，联结CF ．证明△BCE ≌△ECF (SAS )，得到∠B =∠BFC ，又证明△AFC ≌△ADC ，得到AF =AD ，最后结论可证了．【解题过程】证明：在AB 上截取EF ，使EF =BE ，联结CF ．∵CE ⊥AB∴∠BEC =∠FEC =90°在△BCE 和△ECF{BE =EF∠BEC =∠FECCE =CE∴△BCE ≌△ECF (SAS )∴∠B =∠BFC∵∠B +∠D =180°又∵∠BFC +∠AFC =180°∴∠D =∠AFC∵AC 平分∠BAD∴∠FAC =∠DAC在△AFC 和△ADC 中{∠AFC =∠D∠FAC =∠DACAC =AC∴△AFC≌△ADC(AAS)∴AF=AD∵AB=AF+BE+EF∴AB=AD+2BE8.(23-24八年级上·山东临沂·期中)【基本模型】(1)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】(2)如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．(1)结论：EF=BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，然后求出∠EAF =∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF ，从而得解；(2)结论：EF=BE-DF，证明方法同法(1)．【解题过程】解：(1)结论：EF=BE+DF．理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，则：∠F AB=∠DAF,∠ABF =∠D=90°，AF=AF ，BF =DF，∴∠ABF +∠ABC=180°，即：F ,B,E三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠BAF +∠BAE=45°，∴∠EAF =∠EAF=45°，在△AEF 和△AEF 中，AF =AF∠EAF =∠EAF AE =AE，∴△AEF ≌△EAF (SAS )，∴EF =EF ，又EF =BE +BF ，∴EF =BE +DF ．(2)结论：EF =BE -DF ．理由：如图2，将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到△ABF ，则：BF =DF ,AF =AF ，同法(1)可得：△AEF ≌△AEF (SAS )，∴EF =EF ，又EF =BE -BF =BE -DF ，∴EF =BE -DF ．9.(23-24八年级上·湖北武汉·周测)(1)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ；(2)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ．(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【思路点拨】(1)延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ．先证明△ABM ≌△ADF ，得到AF =AM ，∠2=∠3，再证明△AME ≌△AFE ，得到EF =ME ，进行线段代换，问题得证；(2)在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．先证明△ABG ≌△ADF ，得到AG =AF ，再证明△AEG ≌△AEF ，得到EG =EF ，进行线段代换即可证明EF =BE -FD ．【解题过程】解：(1)证明：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ．∵∠ABC +∠D =180°，∠1+∠ABC =180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 与△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF (SAS )．∴AF =AM ，∠2=∠3．∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=12∠BAD =∠EAF ．∴∠3+∠4=∠EAF ，即∠MAE =∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM =AF∠MAE =∠EAF AE =AE，∴△AME ≌△AFE (SAS )．∴EF =ME ，即EF =BE +BM ，∴EF =BE +DF ；(2)结论EF =BE +FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．证明：如图，在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )，∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ，∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ，∴∠GAE =∠EAF ．在△AGE 与△AFE 中，AG =AF∠GAE =∠EAF AE =AE，∴△AEG ≌△AEF ，∴EG =EF ，∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ．10.(23-24八年级上·贵州黔东南·期末)【初步探索】(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，∠BAD =120°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中BE 、EF、FD 之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明：△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，(1)中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系．并证明你的结论．【思路点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．(1)根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF，据此得出结论；(2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF；(3)在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ADG≌△ABE，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【解题过程】解：(1)BE+FD=EF．理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ADC=90°，∴∠ADG=180°-∠ADC=90°，又∵∠B=90°，∴∠B=∠ADG，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG BE=DG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，即∠GAF=60°，∴∠GAF=∠EAF；在△AEF与△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=GF，∵GF=DG+DF，∴EF=BE+DF，故答案为：BE+FD=EF；(2)(1)中的结论仍成立，理由如下：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，∴∠GAF=∠EAF=60°，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；(3)∠EAF=180°-12∠DAB．证明：如图3，延长DC到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG BE=DG，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DG+FD，∴EF=GF，在△AEF与△AGF中，AE=AG EF=GF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-12∠DAB．【模型三：“K子”型(一线三垂直)】11.(23-24八年级上·广东江门·阶段练习)已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？(直接写出，不必证明)【思路点拨】(1)利用条件证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；(2)根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；【解题过程】(1)证明：如图2，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CBA ∠ABD=∠CAB AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE-AD，(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系：DE =BD +CE ，DE =BD -CE ，DE =CE -BD．如图1时，DE =BD +CE ，如图2时，DE =BD -CE ，如图3时，DE =CE -BD ，(证明同理)12.(23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习)(1)如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ,D ,A ,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．请写出DE ,BD ,CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【思路点拨】(1)利用已知得出∠CAE =∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE =BD +CE ；(2)根据∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，根据AAS 证出△ADB ≌△CEA ，从而得出AE =BD ，AD =CE ，即可证出DE =BD +CE ；【解题过程】(1)DE =BD +CE ．理由如下：∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠AEC =90°又∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA =90°AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD =AE ，AD =CE ，∵DE =AD +AE ，(2)DE =BD +CE ，理由如下：∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA AB =AC，∴△ADB ≌△CEA (AAS )，∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ．13.(23-24八年级上·山西大同·阶段练习)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1．已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小明对图2进行了探究，若∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ．BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．他发现线段DE 、BD 、CE 之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE 、BD 、CE 之间的数量关系，(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG (正方形的4条边都相等，4个角都是直角)，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，若BH =3，CH =7，求AI 的长．【思路点拨】(1)根据BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∠BAC =90°，可得∠CAE =∠ABD ，利用AAS 可证明△ADB ≌△CEA ，根据DE =AE +AD 即可得到DE =BD +CE ；(2)同(1)利用AAS 可证明△ADB ≌△CEA ，根据DE =AE -AD 即可得到DE =BD -CE ；(3)过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ，可构造两组一线三直角全等模型，即：△ABH ≌△EAM ，△AHC ≌△GNA ，从而可以得到EM =GN ，MN =4，再根据△EMI ≌△CNI 可得MI =NI =2，即可确定AI 的长度；【解题过程】(1)证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA AAS∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；(2)∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA AAS∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE-AD=BD-CE；(3)如图，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，∴∠EMI=∠GNI=90°∵∠BAH+∠EAM=90°，∠BAH+∠ABH=90°，∴∠EAM=∠ABH在△ABH和△EAM中，∠AHB=∠EMA ∠ABH=∠EAM AB=AE，∴△ABH≌△EAM(AAS)∴BH=AM=3，AH=EM，同理可得：△AHC≌△GNA∴CH=AN=7，AH=GN，即：EM=GN，MN=AN-AM=7-3=4，在△EMI和△CNI中，∠EMI=∠CNI∠EIM=∠CINEM=CN，∴△EMI≌△CNI(AAS)，∴MI=NI=12MN=2，∴AI=AM+MI=3+2=5．14.(23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；(2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；(3)如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2= 10．求出S1的值．【思路点拨】(1)由△ABC≌△DAE即可求解；(2)作DM⊥AF,EN⊥AF，利用“K字模型”的结论可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN，故可推出DM =EN，再证△DMG≌△ENG即可；(3)作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，利用“K字模型”的结论可得△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP，进一步可证△AMQ≌△FNQ，即可求解．【解题过程】(1)解：∵△ABC≌△DAE∴AC=DE故答案为：DE；(2)证明：作DM⊥AF,EN⊥AF由“K字模型”可得：△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN∴AF=DM,AF=EN∴DM=EN∵∠DMG=∠ENG=90°,∠DGM=∠BGN∴△DMG≌△ENG∴GM=GN即：点G是DE的中点(3)解：作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，如图：21∵四边形ABCD 和四边形DEGF 均为正方形∴∠ADC =∠EDF =90°,AD =CD ,DE =DF由“K 字模型”可得：△ADM ≌△DCP ,△DFN ≌△EDP∴S △ADM =S △DCP ,S △DFN =S △EDPAM =DP ,FN =DP∵∠AMQ =∠FNQ =90°,∠AQM =∠FQN∴△AMQ ≌△FNQ∴S △AMQ =S △FNQ∴S △ADQ +S △FNQ +S △DFN =S △ADQ +S △AMQ +S △DFN =S △ADM +S △DFN =S △DCP +S △EDP即：S 1=S 2∵S 1+S 2=10∴S 1=515.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板(在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =CB ；△DEF 中，∠DEF =90°，∠EDF =30°)，并提出了相应的问题．【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM ⊥DF ，垂足为点M ，过点C 作CN ⊥DF ，垂足为点N ，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；∵∠ABC =90°，∴∠ABM +∠CBN =90°，∵AM ⊥DF ，CN ⊥DF ，∴∠AMB =90°，∠CNB =90°，∴∠ABM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠CBN ，∵∠BAM=∠CBN∠AMB=∠CNB=90°AB=BC，；②AM=2，CN=7，则MN=；【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE= 5，BE=1，连接CE，则△ACE的面积为．【思路点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．(1)①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；②由①中△ABM≌△BCN(AAS)，利用两个三角形全等的性质，得到AM=BN=2，BM=CN=7，即可得到MN=MB+BN=CN+AM=9；(2)根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP，利用两个三角形全等的性质，得到AE=BP，BE=CP，由图中BE=BP+PE，即可得到三者的数量关系；(3)延长FE，过点C作CP⊥FE于P，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，从而PC=BE=1，PB=AE=5，则可求得PE，延长AE，过点C作CF⊥AE于F，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=4，代入面积公式得S△ACE，即可得到答案．【解题过程】解：(1)①∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，AB=BC，∴△ABM≌△BCN(AAS)；故答案为：△ABM≌△BCN(AAS)②由①知△ABM≌△BCN(AAS)，∴AM=BN,BM=CN，∵AM=2，CN=7，∴MN=MB+BN=CN+AM=9；故答案为：9；(2)结论：PE=PC-AE．理由如下：∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵CP⊥BE，∴∠CPB=90°，∴∠BCP+∠CBP=90°∴∠ABE=∠BCP，2223∵∠AEB =90°，∴∠AEB =∠CPB =90°，∵AB =BC ，∴△ABE ≌△BCP ，∴AE =BP ，BE =CP∵BE =BP +PE ，∴PE =BE -BP =PC -AE ；(3)延长FE ，过点C 作CP ⊥FE 于P ，如图所示：∵∠ABE +∠EBC =90°，∠ABE +∠BAE =90°，∴∠EBC =∠BAE ，∵∠AEB =∠CPB =90°，AB =BC ，∴△ABE ≌△BCP ，∴PC =BE =1，PB =AE =5，∴PE =PB -BE =5-1=4，延长AE ，过点C 作CF ⊥AE 于F ，如图所示：∵AF ⊥PE ，CP ⊥PE ，∴AF ∥CP ，∵AF ⊥PE ，CF ⊥AF ，∴PE ∥CF ，由平行线间的平行线段相等可得CF =PE =4，S △ACE =12×AE ×CF =12×5×4=10．故答案为：10．。

中考数学点对点-几何问题辅助线添加技巧(解析版)

专题29 几何问题辅助线添加技巧专题知识点概述全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题，在解答试题过程中，我们发现当题设条件不够，必须添加辅助线，把分散条件集中，建立已知和未知的桥梁，结合学过的知识，采用一定的数学方法，把问题转化为自己能解决的问题。

学会添加辅助线技巧，是培养学生科学思维、科学探究的重要途径。

所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。

一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略1.三角形问题方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。

含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形问题平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形；（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线；（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

3.梯形问题梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。

思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。

解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。

又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。

在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。

因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。

结论得证。

总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。

变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。

解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。

因为EC为中线，所以AE＝BE。

在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。

所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。

又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。

因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。

在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。

结论得证。

2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。

解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。

因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。

初中数学证明三角形全等添加辅助线的6道精选经典考题

初中数学证明三角形全等添加辅助线的6道精选经典考题！第1题，连接AC和AD，构造两个全等三角形，对应边相等得到一个等
腰三角形。

根据等腰三角形的三线合一的性质，证明出结论。

第2题，
等腰直角三角形，斜边上的中点，一般连接斜边的中线，得到三条边相等，得几个45°角相等。

这是这一类题型的辅助线添加的方法。

第3题，这个辅助线的作法和倍长法有点类似，但若只是倍长，就找不到角相等。

那么做平行线，就有内错角相等，再根据题意的其他条件，得出两个三角形全等。

第4题，要求证明BD平分∠ABC，第一想到的是角平分线的性质的逆定理。

过点D做角两边的垂线，构造两个三角形全等，得到点到角两边的距离相等。

第5题，这类证明一条线段等于几条线段之和的题型，就是想办法添加辅助线，进行相等的线段进行代换，把几条线段放到一条线段上。

那么线段相等，一般就是需要构造三角形全等。

第6题，就是我们最常见的倍长中线法，构造三角形全等。

这个倍长中线的辅助线添加方法，在很多的题型中，都用得到。

几何巧画辅助线的技巧，附例题演示，建议收藏!

几何巧画辅助线的技巧，附例题演示，建议收藏!在几何问题中，添加辅助线可以说是解题的关键！辅助线画得好，解题轻松又快速！辅助线画不对，可能就是解题绕弯又出错！如何快速添加利于解题的辅助线？诀窍都在下面了！几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

例题演示一由角平分线想到的辅助线1、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自己证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自己试一试。

2、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD，∠BAC=∠FAC，CD=BC。

巧添辅助线解决二倍角问题

因为Ｄ／Ａ，以Ｌ５＝Ｌ，Ｅ＝１，Ｅ／Ｃ所４
所以Ｌ５＝Ｅ，以Ａ＝，Ｅ所ＤＡ．
题，感觉难度很大，无从下手．其实，这类问题添加辅助线是有一定技巧和规律的，可归纳总结为以下四种方法：
１做大角的平分线；．２以小角的顶点、角的一边为一边，小角的外．小在部做一个与小角相等的角；３反向延长三角形大角的一个边，另外一边相．与
求证：ＢＡ＋Ｂ・Ｂ：ＡＣＡＣ．
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
图３ห้องสมุดไป่ตู้
证明延长ＣＢ到Ｅ，Ｂ＝Ｂ连结Ａ，使ＥＡ，Ｅ则Ｅ
１
＝Ｌ３＝÷ Ａｃ：Ｃ，Ａ＝Ａ．日所以ＥＣ
图１
又ＬＡＤＥ＝Ｃ＋Ｌ２，Ａ＝Ｌ３＋１所以ＬＤＥ，ＬＡＥ＝ＬＤＥ，以Ａ＝ＤＥ，以Ｂ：ＤＥ—Ｂ＝ＤＡ所Ｅ所ＤＥ
巧添辅助线解决二倍角问题
山东省即墨市鳌山卫中学
平面几何中常出现 “ 三角形的一个内角为另一个内角的二倍 ”即 “ 二倍角 ” 件的问题，生遇到这样的问条学
２６３６２７
周义展
又Ｌ２＝ＢＤ，以ＢＤ＝Ａ＝ＡＡ所Ｄ
ＡＣＤ＝ＡＤＣ．
因为１：Ｌ２：３＝１：２：
４，以ＬＡＣ＝１＋Ｌ２＝所Ｄ
３／１．