应用数学基础分章习题答案 第二章

第二章

一、判断

1. 正规矩阵的最小多项式无重零点. ( )

2. 酉矩阵的最小多项式无重零点. ( )

3. 若 A În ´n 可对角化, 则其特征多项式必无重零点. ( )

4. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。则A 的最小多项式

()(1)(2)ϕλλλ=--. ( )

5. 设A 是3阶正规矩阵, A 的特征值是3, 2, 2。则A 的第3个不变因子

23)2)(3()(--=λλλd . ( )

6. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。则A 的第3个不变因子

3()(1)(2)d λλλ=--. ( )

7. 若 A Î

m ´n ，则 A H A 的特征值必为非负实数. ( ) 8. 设 A În ´n ，若 A H =A ,则对任意的 x În ,x H Ax 均为实数. ( )

9. 若满足02=+E A ，则A 可对角化. ( )

10. 若满足E A A 22=+，则A 可对角化. ( )

11. 正规矩阵n n C A ⨯∈是酉矩阵的充要条件是A 的特征值都是实数. ( )

12. 若A A H =，则R A ∈)(σ. ( )

13. 若A 为正规矩阵，则其对应于不同特征值的特征向量是正交的. ( )

二、填空

1．设 A Î4´4, 且

d 4(l )=(l -1)(l -2), 则 A 3-4A 2+5A -2E = . 2. 设 A =[a ij ]5´5为酉矩阵， B =A -1，记 B =[b ij ]n ´n ，则 b ij 2

=i ,j =15å . 3．设 A Î4´4为正规矩阵，其特征值为1、1、2、4，则 A 的最小多项式为 .

4．设A 为正规矩阵，其特征值为1、3、3. 若B A ~，则B E -λ的最后一个不变因子为 .

5. 设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=200120002A ，则A 的最小多项式为 . 三 计算

1．已知方阵55⨯∈C A 的特征矩阵A E -λ的初等因子组为

22)1(,)1(,1+--λλλ.

求（1）A E -λ的Smith 标准型)(λS ；

（2）A 的Jordan 标准型J ；

（3）A 的有理标准型C.

2.已知方阵55⨯∈C A 的特征矩阵A E -λ的初等因子组为)1(),1(,)2(,12++--λλλλ.

求（1）A E -λ的Smith 标准型)(λS ；（2）A 的Jordan 标准型J ；（3）A 的有理标准型C.

3. 设

A =-110-430102éëêêêùûúúú，求 l E -A 的Smith 标准形、 A 的Jordan 标准形和 A 的有理标准形.

四、证明题

1．设矩阵

22212A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212122B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2222222C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（1）证明下列矩阵中的任何两个都不能相似；

（2）求出它们各自的最小多项式.

2．证明下列矩阵

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b B 11，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b C 111

中的任何两个都不能相似。

3．设矩阵

1a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，22a a B a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，333a a C a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（0a ≠）

（1）证明下列矩阵中的任何两个都不能相似；

（2）求出它们各自的最小多项式.

4. 设矩阵

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=313313A ，⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=331313B ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡=3131313

C （1）证明上列矩阵中的任何两个都不能相似；

（2）求出它们各自的最小多项式.

5. 设

.200011001 ,011101110⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

=B A

证明B A ,不相似.

6. 设⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a B a a a a A 000000100

010 ,100010000000，

（1）判断B A ,是否相似；

（2）分别写出B A ,的最小多项式.