小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数“毕克定理”
1、图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离均为1，请求出下图的面积．2、已知正方形ABCD的面积等于9，BE=2EC，CF=2AF，求三角形DEF的面积．3、下图中每个小正方形的面积为1，求三角形ADE的面积．4、在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点（又称为格点）上的简单多边形叫做格点多边形．最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外，内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形，如图所示的格点三角形MBN，每一个格点多边形都能够很容易地划分为若干个本原格点三角形．那么，图中的格点四边形ABCD的面积为，可以划分为个本原格点三角形．5、请以k 边形为例，证明毕克定理（在1×1的单位网格中，格点多边形的面积为12-+=L N S ，其中N 是内部格点，L 是边界格点）．6、如下图，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算图中三角形ABC 的面积．7、下图至少需要笔才能画完．8、图中相邻两格点间的距离是1，那么格点多边形的面积是．9、如图，在“5×6”的点阵中，有四边形ABCD，连接AC、BD，求三角形BCO的面积．10、请以k边形为例，证明毕克定理（在单位面为1的正三角形网格中，格点多边形的面积为2S，其中N是内部格点，L是边界格点）．N+2-=L11、图中以格点为顶点的正方形一共有个．12、如图，有一个80×100的长方形网格，它的四个顶点分别为A、B、C、D．已知图中每一个小方格的面积都是1，请选出一个合适的格点使得三角形PAC的面积尽可能小（不能等于0）．那么这个最小的面积是多少？13、图中每个小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是平方厘米．14、在七巧板中（如图），所有三角形面积总和是图中小正方形面积的倍．15、格点中“乡村小屋”的面积是平方厘米．（相邻两点间的距离是1厘米）16、如图，每个小方格的边长都是1，求阴影的面积．17、如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为多少？18、下图中的每个小正方形的边长均为1，以A、B两个格点（小正方形的顶点）为顶点的三角形ABC的面积为2，那么满足条件的格点C共有多少个？（请在下图中标出满足条件的格点）19、在七巧板中（如图），所有三角形面积总和是图中小正方形面积的倍．20、图中水平、竖直方向相邻两个格点的距离都是1，图中“8”的面积是，“0”的面积是，“9”的面积是．。
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
小学思维数学讲义：格点型面积-带详解
格点型面积模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3） （4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
(完整版)小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例 2】 如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑹⑸⑷【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P P M F EDCBA【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．。
小学初级奥数第22讲-格点面积
I
II
III
(a)
(b)
(c)
例三 分别计算图中两个格点多边形的面积。
练一练 求下列各个格点多边形的面积。
（1）
（2）
（3）
（4）
例三
如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所 形成的三角形都是等边三角形。计算三角形ABC 的面积。
练一练
如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行 线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的 每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多 边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两 者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！源自AC B例四
图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ， 求阴影四边形CEPQ的面积。
例五 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米。M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
课后作业
<作业1> 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______
①
②
课后作业
<作业2> 横竖每相邻两点之间的距离为1cm，“乡村小屋”的面积是多少？
课后作业
<作业3> 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是 多少平方厘米？
课后作业
小学奥数题库《几何》-直线型-毕克定理-4星题(含解析)
几何-直线型几何-毕克定理-4星题课程目标知识提要毕克定理•概念格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上．•正方形格点和毕克定理一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点〞．水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位〞．毕克定理：S= N+L2−1其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．•三角形毕克定理S=(N+L2−1)×2=2N+L−12其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．精选例题毕克定理1. 在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点〔又称为格点〕上的简单多边形叫做格点多边形．最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外．内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形．如右图所示的格点三角形BRS．每一个格点多边形都能够很容易地划分为假设干个本原格点三角形．那么，右图中的格点六边形EFGHKB可以划分为个本原格点三角形．【答案】36【分析】根据格点面积公式：格点多边形面积=多边形内部格点数+多边形一周的格点数÷2−1,可得面积：15+8÷2+1=18,每个本原格点三角形最小面积是1×1×12=12,所以可以划分为本原格点三角形的个数为18÷12=36(个).2. 以下图中正六边形的面积为24平方米，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影局部的面积是平方米．【答案】5【分析】将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成24个面积为1平方米的正三角形，根据毕克公式，内部点n=2，边上点b=3，那么阴影的面积为：(2+3÷2−1)×2=5〔平方米〕．3. 如图，水平相邻和竖直相邻的两个格点间的距离都是1，那么图中阴影局部的面积是．【答案】17【分析】根据毕克定理，正方形格点图算面积：面积=内部点+边界点÷2−1.内部点：8个；边界点：20个；所以面积：8+20÷2−1=17.4. 如以下图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影〔马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上〕，那么这个剪影的面积为平方厘米．【答案】56.5【分析】通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米． 5. 如图相邻两个格点间的距离是1，那么图中阴影三角形的面积为．【答案】1211【分析】连接AD、CD、BC．那么可根据格点面积公式，可以得到△ABC的面积为：1+42−1=2,△ACD的面积为：3+32−1=3.5,△ABD的面积为：2+42−1=3.所以BO:OD=S△ABC:S△ACD=2:3.5=4:7,所以S△ABO=44+7×S△ABD=411×3=12 11.6. 如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是m，假设四边形ABCD的面积是23，求五边形EFGHI的面积．【答案】28【分析】根据毕克定理：S=a+b÷2−1,有(10+5÷2−1)×m2=23,有m2=2;所以五边形EFGHI的面积是(12+6÷2−1)×2=28.7. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，相邻两个格点距离为1，请求出图形的面积是多少？【答案】21【分析】方法一：利用割补，图中长方形的面积是2×6=12，左边三角形我们可以把它包含在一个4×4的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积，所以左边三角形面积是4×4−3×4÷2−1×2÷2−2×4÷2=5，右边三角形同理包含在一个4×5的长方形中，所以右边三角形的面积是4×5−(1+5)×4÷2−4×1÷2−4×1÷2=4，所以礼盒的总面积是12+5+4=21．方法二：利用毕克定理，略．8. 如图，计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】12【分析】方法一：利用分割法，将原四边形分割成两个三角形ABC和ABD，ABC是单位三角形CEF面积的4倍，从而面积是4．同理ABD的面积是单位三角形CEF的8倍，所以面积是8，因此四边形面积是4+8=12．方法二：利用三角形毕克定理：S=(N+L2−1)×2，N:5个，L:4个，所以面积是(5+4÷2−1)×2=12．9. 相邻两个格点距离为1，求以下各个格点多边形的面积是多少？【答案】15；20【分析】利用毕克定理，图〔1〕N:10个，L:12个，面积是10+12÷2−1=15；图〔2〕N:16，L:10，面积是16+10÷2−1=20．10. 如图，有21个点，每相邻三个点成“∵〞或“∴〞，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积是多少？【答案】10【分析】方法一：利用割补，将ABC分割成四个三角形，易得S△DEF=1，S△ACD=2，S△AEB=3，S△FBC=4，所以S△ABC=1+2+3+4=10．方法二：毕克定理，N:4个，L:4个，所以S△ABC=(4+42−1)×2=10．11. 如图，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD 和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？【答案】20平方厘米，10平方厘米【分析】四边形ABCD 中，N:9个，L:4个，毕克定理可知 S 四边形ABCD =(9+42−1)×2=20(平方厘米); 在三角形EFG 中，N:4个，L:4个，S 三角形EFG =(4+42−1)×2=10(平方厘米). 12. 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【答案】6.5【分析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N +L 2−1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N =4，L =7，那么用粗线围成图形的面积为： (4+72−1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如以下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5②=2÷2=1③=2÷2=1④=2÷2=1⑤=2÷2=1⑥=2÷2=1还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l +1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16−9.5=6.5(平方厘米).13. 如图，每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米？【答案】19平方厘米【分析】阴影局部的面积为：(7+72−1)×2=19(平方厘米)． 14. 计算下面各图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】22；23【分析】利用毕克定理．图〔1〕，N:7个，L:10个，S =(7+10÷2−1)×2=22； 图〔2〕，N:5，L:15，S =(5+15÷2−1)×2=23．15. 求以下格点多边形的面积〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕．【答案】19；19；18；21【分析】方法一：分割法，略．方法二：毕克定理，图〔1〕N:7个，L:7个，S =(7+7÷2−1)×2=19；图〔2〕N:8个，L:5个，S =(8+5÷2−1)×2=19；图〔3〕N:7个，L:6个，S =(7+6÷2−1)×2=18；图〔4〕N:8个，L:7个，S =(8+7÷2−1)×2=21．16. 如图，中相邻两个格点的距离都是1，图中三个图形的面积分别是多少？【答案】3；11；5.5【分析】方法一：利用割补，第一个图“喇叭〞的面积是3；第二个图“狗〞的面积是11；第三个图“猫〞的面积是5.5．方法二：利用毕克定理，S=N+L2−1．用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积．内部点边上点正方形个数喇叭080+8÷2−1=3狗2202+20÷2−1=11猫0130+13÷2−1=5.517. 计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】24【分析】利用毕克定理．N:8个，L:10个，S=(8+10÷2−1)×2=24．18. 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】20【分析】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L−2)×单位正三角形面积其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4−2)×1=20(平方厘米).方法二：如以下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4局部计算，其中①局部对应的平行四边形面积为4，所以①局部的面积为2，②、③、④局部对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④局部的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米).19. 计算以下图面积并完成表格．〔每个小正方形面积是1〕【答案】见解析【分析】。
格点多边形面积
格点多边形面积
首先得知道啥是格点多边形，就是这个多边形的顶点都在那些方格纸的格点上。
那计算它的面积有个超酷的方法，叫皮克定理。
皮克定理说呀，格点多边形的面积等于内部格点数加上边界格点数除以2再减1。
比如说一个多边形，你先数它内部有多少个完整的格点，这个数就记为I。
然后再仔细数数它边界上的格点有多少个，这个数记为B。
那这个多边形的面积S就等于I + (B)/(2)- 1。
不过在数的时候可得细心点儿，边界格点有时候容易数错呢。
要是多边形比较简单，像三角形或者矩形，也可以用咱们平常的面积公式来算，但是皮克定理对于那些奇奇怪怪形状的格点多边形可就太好用啦。
毕克定理 裴蜀定理
毕克定理裴蜀定理
毕克定理与裴蜀定理
毕克定理与裴蜀定理都是数学中的重要定理，它们各自在各自的领域内发挥着重要的作用。
毕克定理
毕克定理（Pick's theorem）是计算平面内格点多边形的面积的一个公式。
这里的格点指的是坐标轴上的整点，即其坐标(x, y)都是整数的点。
毕克定理表明，对于一个由格点围成的多边形，其面积S可以表示为：
S = a + b/2 - 1
其中，a是多边形内部的格点数量，b是多边形边界上的格点数量。
这个定理由奥地利数学家乔治·毕克在1899年提出。
裴蜀定理
裴蜀定理（Bézout's identity或Bézout's Lemma）是数论中的一个定理，它关于最大公约数（或最大公约式）有一个重要的结论。
这个定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。
裴蜀定理说明，对于任何整数a、b和它们的最大公约数d，存在整数x和y，使得ax + by = d。
裴蜀定理的一个重要推论是：如果a和b互质（即最大公约数为1），那么存在整数x 和y，使得ax + by = 1。
这个推论在数论中有广泛的应用，例如在证明一些定理或者解决一些方程问题时，经常需要利用到这个推论。
这两个定理虽然各自在各自的领域内，但都是数学中的重要工具，它们为我们解决一些数学问题提供了有效的手段。
五年级奥数——格点与面积
练习：P31 6
图形 内部格点数 边上格点数 面积（单位：cm
阴影部分 9个
8个 9 8 2 1 112
三角形格点问题
三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或 “∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积 为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边 形。关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：
图形
SN L
长方形 8
3
12
三角形 4
2
6
平行四边形 8
4
10 S N 1 L 1
梯形
6
2
10
2
内部的格点数 边上的格点数
例2
宝塔图形面积：3 4 4 11 (cm2 )
图形
SN
L
宝塔图形 11 5
14
S N 1 L 1 2
内部的格点数 边上的格点数
例3
图形 序号
S
NL
图1 1 421 2 1 4
如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表 示图形周界上的格点数，那么有
S 2N L2
即：格点多边形面积等于图形内部所包 含格点数的2倍与边界上格点数的和减去2．
三角形格点面积公式 S 2 N L 2
分析：还是利用毕克定理来解决。 毕克定理中的正方形方格现在变成平行四边形，
两个相同的等边三角形可以组合成一个平行四边形， 如图。
小结
作业 思考与练习 P30：
1~4，7，8
谢谢
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四年级第19讲-格点与面积(二)-学生版
如图，小正方形的面积为1，下图中格点多边形的面积是多少？
如图，每相邻两格点之间的距离均为1厘米，下图中格点多边形的面积是多少？
格点与面积（二） 例 1
试一试 1 知识纵横 1、毕克定理（正方形格点公式）： 格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S =L ÷2+N -1 (用“S ”表示格点多边形单位面积的数量，用“N ”表示格点多边形内部的格点数，用“L ”表示格点多边形边上的格点数) 2、毕克定理(三角形格点公式)： 格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S =(L ÷2+N -1)×2 E D C B A
例2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为1平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
试一试2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
例3
下图中每个小正方形的面积为 4 平方厘米，计算两个格点多边形的面积？
试一试3
在下图中，每相邻三点构成一个面积为 3 平方厘米的等边三角形，求下列两个图形的面积和是多少？
例4
下图中，已知图 A 的面积是 45 平方厘米，求图 B 的面积是多少？
试一试4
如下图所示，已知图①的面积是 40 平方厘米，则图②的面积是多少平方厘米？。
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法第1篇：长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。
（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可！例、如下图，计算下列各个格点多边形的面积：（四年级8月1号天天练）【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）；第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）；第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）；第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。
下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点！（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。
（三）扩展未完，继续阅读 >第2篇：长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题汇总长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题。
经典例题例1、图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形的面积。
（小升初8月1号天天练）【详解】方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成a、b两个小三角形。
这两个小三角形都以辅助线为底的话，a就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的1倍，所以a的面积是1个面积单位三角形的4×1倍，即4。
小学数学毕克定理格点与面积
第7站格点与面积（本讲例1-例3同2019年4年级春季尖子第2站）知识糖果屋1、求规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；2、求简单不规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；3、求复杂不规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；4、求规则图形的面积（单位面积是1的小三角形格点）。
例题精品铺、习题游乐园例1、计算下列各个格点多边形的面积。
·······················································（1）（2）············································（3）（4）练习、计算下面格点多边形的面积。
····································例2、计算下面这个格点多边形的面积。
格点多边形面积公式（Pick定理）的一个形象解释（转）
格点多边形⾯积公式（Pick定理）的⼀个形象解释（转）Pick定理：如果⼀个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直⾓坐标平⾯上的格点，则称该多边形为格点多边形．若⼀个⾯积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝a/2＋b－1．强迫孩⼦们接受⽆法说出道理的东西，很容易打击孩⼦们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨，找到⼀个⾮常浅显的办法，既能够形象的解释Pick定理的道理，⼜能让看清Pick定理的本质．整个解释只需⽤到⼀个很浅显的预备知识：“多边形外⾓和等于⼀个周⾓”．以下图的格点多边形ABCDE为例，其边界上有a个格点，内部有b个格点．设想在平⾯的每个格点放⼀个铁饼，满⾜：(1)每个铁饼都⼀样⼤的圆（或者说是圆柱），圆⼼是格点；(2)每个铁饼都恰好重1克；(3)每个铁饼的半径都做得尽量⼩——不仅铁饼之间互相不重叠，⽽且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的内部；多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的外部．⾸先，考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重．这可以分如下两类进⾏计算：第⼀类：其内部格点上放的铁饼．此类总重显然是b克．第⼆类：其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁．假设每个边界格点上放的铁饼，恰有⼀半落在边界以内，则总重为a/2克．但显然在每个顶点处放的铁饼，落在边界以内的铁实际不⾜⼀半，⽐⼀半还少该顶点的⼀个外⾓内所含的铁，所有这种外⾓内所含的铁恰好拼成⼀块完整的铁饼（因为多边形外⾓和等于⼀个周⾓）．所以后⼀类铁的总重是a/2－1克．因⽽，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2＋b－1克．接下来，设想将平⾯上所有铁饼全部熔化，打造成⼀张厚薄均匀的铁板盖在整个平⾯上．这可以看作是：将每个单位正⽅形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼，熔化在这个正⽅形内部，故熔化后每个单位正⽅形内的铁都是1克．进⽽，平⾯上任意图形，其⾯积是多少，其内部就含多少克铁．因⽽，熔化并重新打造后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克．最后，注意到这个熔化并重新打造的过程，可以看成是：每个格点处的铁饼中的铁，按(以该格点为中⼼)放射状的⽅式重新适当改动位置⽽已．这样的改动，不会使格点多边形ABCDE外⾯的铁跑到多边形内部，也不会使内部的铁跑到外部．即熔化并重新打造的前后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的，所以S＝a/2＋b－1．。
格点与割补+等积变形
格点与割补
一：毕德哥拉斯（毕克）定理
（N：内部格点 L：边界格点）
•正方形格点：S＝N＋L÷2－1
•三角形格点：S＝2N＋L－2
等积变形
一：结论
1：等底等高的两个三角形面积相等
2：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等
3：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
4：若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
二：技巧
a：平行线的来源
1.平行四边形和梯形（平行四边形包括长方形和正方形）
2.已知平行（如AC∥DF）
3.并排摆放的正方形的同方向对角线
b：已知做底边，等高优先找。
20181126小学奥数练习卷(知识点：格点面积[毕克定理])含答案解析
![20181126小学奥数练习卷(知识点：格点面积[毕克定理])含答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/db198f3725c52cc58bd6bec7.png)
小学奥数练习卷（知识点：格点面积[毕克定理]）
题号一二三总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人得分
一．选择题（共10小题）
1．如图，长方形中甲部分的周长和乙部分的周长（）
A．相等B．甲的周长大C．乙的周长大D．无法确定2．沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树（）棵A．16B．18C．20D．22
3．在8×8网格的所有方格中放入黑白两种围棋子，每个方格放一枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相同，每列中的白色棋子的数目相等，那么这
个8×8网格中共有（）枚黑色棋子．
A．42B．32C．22D．12
4．去年冬羽绒服的价格在前年的价格上提价了40%，今年春换季时按现价打6折出售，今年春羽绒服的售价是前年的（）
A．60%B．40%C．84%D．100%
5．如图，从甲地到乙地，A、B两条路都是由半圆形组成的，甲乙两地的中点恰好是O点，这两条路的长度（）。
(小学奥数)格点型面积
模組一、正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水準直線和一些豎直直線，並使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉村小屋圖形就是一個格點多邊形．那麼，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數目有沒有關係？如果有，這兩者之間的關係能否用計算公式來表達？下麵就讓我們一起來探討這些問題吧！用N 表示多邊形內部格點，L 表示多邊形周界上的格點，S 表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數．我們能發現如下規律：12L S N =+-．這個規律就是畢克定理．【例 1】判斷下列圖形哪些是格點多邊形？⑴⑵⑶⑷畢克定理若一個格點多邊形內部有N 個格點，它的邊界上有L 個格點， 則它的面積為12LS N =+-． 例題精講4-2-7.格點型面積【例 2】如圖，計算各個格點多邊形的面積．【例 3】如圖(a)，計算這個格點多邊形的面積．【例 4】右圖是一個方格網，計算陰影部分的面積．【例 5】分別計算圖中兩個格點多邊形的面積．【巩固】求下列各個格點多邊形的面積．（1）（2）（3）（4）【例 6】“鄉村小屋”的面積是多少？【例 7】右圖是一個812面積單位的圖形．求矩形內的箭形ABCDEFGH的面積．HGFAEDCB______【例 8】比較圖中的兩個陰影部分①和②的面積，它們的大小關係【例 9】右圖中每個小正方形的面積都是1，那麼圖中這只“狗”所占的面積是多少？【巩固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方釐米，那麼用粗線圍成的圖形的面積是多少平方釐米？【例 10】第一屆保良局亞洲區城市小學數學邀請賽在7月21日開幕，下麵的圖形中，每一個小方格的面積是1，那麼7、2、1三個數字所占的面積之和是多少？【例 11】55的方格紙，小方格的面積是1平方釐米，小方格的頂點稱為格點．請你在圖上選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，並且使這7個點用直線連接後所圍成的面積盡可能大．那麼，所圍圖形的面積是平方釐米．【例 12】兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格．現將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為25.12cm，右下角的陰影部分(線狀)面積為27.4cm，求大正方形的面積．【例 13】將邊長為正整數n的正方形平均分成2n個小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點。
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。
（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可！例、如下图，计算下列各个格点多边形的面积：（四年级8月1号天天练）【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）；第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）；第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）；第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。
下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点！（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。
（三）扩展法将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形，同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的，那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可！例、如图所示，计算下面格点多边形的面积（五年级8月1号天天练）【详解】这虽然是一个规则的三角形，但是可以直接用面积公式计算，或者通过数格子么？好像不行，因为我们现在不能直接算出相应边的长度和高！现在尝试用分割法和扩展法来解！方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成两个小三角形。
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小学奥数：格点型面积（毕克定理）
板块一正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，
并使任意两条相邻的平行线的距离都相等
（通常规定是1个单位），这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点•在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算
用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数.
我们能发现如下规律：S = N - -1 •这个规律就是毕克定理.
2
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为s=N +丄一1 •
2
【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵（如右图）•如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？（教师总结：面积数值均扩大4倍.）
【例
【例2】如图，4 4的方格纸上放了 __________ 个.
【例
【例6】（“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积
. 【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积
.
【巩固】求下列各个格点多边形的面积
.
【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少
?
⑷
【例9】右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.
H
【例11】 （
“小学数学奥林匹克”竞赛试题
）5 5的方格纸，小方格的面积是 1平方厘米，小方格的顶点
称为格点.请你在图上选 7个格点，要求其中任意 3个格点都不在一条直线上，并且使这 7个点用
直线连接后所围成的面积尽可能大•那么，所围图形的面积是
__________ 平方厘米.
【例12】 （“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题 ）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7月21
日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是 1 ,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？
【例13】 （第六届“从小爱数学”邀请赛试题）两个边长相等的正方形各被分成
25个大小相同的小方格.现
将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分 （块状）面积为5.12cm 2
，右下角的阴影部
分（线状）面积为7.4cm 2
，求大正方形的面积.
【例14】 （第六届“华杯赛”试题）图中正六边形 ABCDEF 的面积是54 , AP=2PF , CQ=2BQ ，求阴影四
边形CEPQ 的面积.
F D
【例10】 右图中每个小正方形的面积都是
1那么图中这只“狗”所占的面积是多少?
板块二三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成•”或“•••”，所形成的三角形都是等边三角形•规定它的面 积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.
关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数， L 表 示图形周界上的格点数，那么有 S=2 N ，L_2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的 2倍与 周界上格点数的和减去 2.
【例15】 如图（a ），有21个点，每相邻三个点成或，所形成的三角形都是等边三角形.计算
三角形ABC 的面积.
A E
F D C
B (b)
【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1的等边三角形，计算 ABC 的面积.
【例18】 如图，如果每一个小三角形的面积是 1平方厘米，那么四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米
?
【例
16】 （每相邻三个点•”或成面积为 1的等边三角形）
.
【例17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网•如果大三角形的面积是 粗线所围成的三角形的面积.
128,求图中
A
(a)
C 求下列格点多边形的面积 ⑴ ⑵
⑶ ⑷
【例19】 把同一个三角形的三条边分别 5等分、7等分（如图1，图2），然后适当连接这些等分点，便得
至厅若干个面积相等的小三角形•已知图 1中阴影部分面积是 294平方分米，那么图 2中阴影部分
的面积是 ______ 方分米.
【例20】 将图中的图形分割成面积相等的三块.
【例22】 （第五届“华杯赛”试题）正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米.M 是AB 中点，N 是CD 中
点，P 是EF 中点.问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？
【例23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 ____ 方厘米.
N
N
E
【例21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米
?
2平方厘米•那么，三角形 ABC 的面积是
團I 2。