曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】空间曲线的曲率和挠率是微分几何中重要的概念，它们描述了空间曲线的弯曲程度和扭曲程度。
在工程和科学研究中，空间曲线的曲率和挠率广泛应用于物理学、天文学、地质学、材料科学等领域。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
假设曲线的参数方程为$ \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其切线向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}(t)}{dt}$，单位切向量为$\mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{T}(t)}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|}$，曲率为$$ \kappa(t)=\frac{\left\| \mathbf{T}'(t)\right\|}{\left\|\mathbf{T}(t)\right\|} $$曲率还有一种计算方法是参考弧长$s$，即$ds=\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|dt$，曲率公式可以表示为：其中，$ds/dt$表示弧长在$t$处的导数。
空间曲线的挠率描述了曲线沿着切线方向的扭曲程度。
假设曲线的单位切向量为$\mathbf{T}(t)$，单位法向量为$\mathbf{N}(t)$，单位切向量和单位法向量的导数分别为$\mathbf{T}'(t)$和$\mathbf{N}'(t)$。
则曲线的挠率为其中，$[\cdot,\cdot,\cdot]$表示向量的混合积。
挠率的单位也是长度的倒数，通常用$\operatorname{m}^{-1}$表示。
对于平面曲线，挠率为0，因为它们没有扭曲的方向；而对于球面曲线，它们在任何一点处的挠率都是常数$\dfrac{1}{R}$，其中$R$为球面曲线半径。
三、曲率与挠率的关系曲率和挠率之间存在一种联系，即弯曲和扭曲方向垂直。
曲率与挠率
曲率与挠率摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式 实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性.关键词：曲率与挠率 平面特征 刚性运动1. 曲率与挠率的定义及其几何意义1.1曲率的解析定义设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k=,并称()s r 为C 的曲率向量,当()0≠s k 时,称()()s k s p 1=为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理.引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=⋅α r,即r r 垂直于α.另一方面由于1=r,两边关于弧于s 求导便得0=⋅r r ,即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ⨯共线,即r 与β 共线.由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数()1s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义任取曲线C :()s r r=上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +∆,P 和Q 点处的单位切向量分别为()()s rs =α和()()s s r s s ∆+=∆+ α,它们的夹角设为θ∆,将()s s ∆+α 的起点移到()p s 点,则()()2sin2θαα∆=-∆+s s s,于是 ()()s s ss s s ∆∆⋅∆∆=∆∆=∆-∆+θθθθαα22sin 2sin 2故 ()()s r s k= ()()ss s s s s s s ∆∆=∆∆⋅∆∆=∆-∆+=→∆→∆→∆→∆θθθθααθθ000limlim 22sinlimlim这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大.1.3.2挠率的几何意义由挠率的定义和()γτ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度.1.4 直线与平面曲线的特征1.4.1直线的特征定量3.1 曲线为直线的充分必要条件是曲率0k =证明()⇒若曲线C :()s r r =为直线,则其方程为s r r α +=0,其中0r为常矢量,α为直线的单位方向矢量,s 为弧长参数.于是0==r k()⇐若有0k ≡,则α α为常矢量,对r =α两边关于弧长s 积分得 ⎰+==0r s ds rαα这正是直线的方程. 1.4.2平面曲线的特征定理3.3曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率()0s τ≡. 证明()⇒若曲线C :()s r r =为平面曲线,则γ为常矢量,于是()0≡⋅-=βγτ s()⇐由于()0s τ≡,即0=⋅βγ ,而γ 共线于β ,所以()0≡s γ 或()s γ 为常矢量,于是可直接验证()0=⋅dsr d γ ,即 p r =⋅γ(常数)这说明曲线C 上的点满足一平面的方程,即C 为平面曲线.2. 曲率和挠率的计算公式2.1曲率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()s r s s k ==α②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()3t r t r t r t k '''⨯'=1.2挠率的计算公式①给出曲线C 的自然参数方程()s r r=时:()()()()()()()2,,s r s rs r s r s =τ ②给出曲线C 的一般参数方程()t r r=时:()()()()()()()()2,,t r t r t r t r t r t ''⨯'''''''=τ3.曲率和挠率的计算实例例1分别求椭圆C :(){}()00,sin ,cos >>=b a t b t a t r长轴上顶点(),0,0A a 及短轴上顶点()0,,0B b 处的曲率和挠率.解 注意到点A 和点B 对应的参数值分别为0,/2t t π==,直接计算得到()a r b r =⎪⎭⎫⎝⎛'='2,0πab r r =''⨯'于是A 点处的曲率3A ab k b =,B 点处的曲率3B abk a=,显然A B k k >,这正说明椭圆C 在长轴顶点处的弯曲程度比C 在短轴顶点处的弯曲程度高,换句话说,椭圆C 在短轴顶点邻近比长轴顶点邻近平坦.至于挠率,因为曲线C 是平面曲线,其挠率处处为0.特别地,若a b =,即C 是圆,这时,容易验证圆上每一点处的曲率都相待,且等于半径的倒数,这一方面表明圆在其上每一点处的弯曲程度都相同,同时也表明半径愈大,弯曲程度愈小,这些事实的几何直观是不言而语的.例2求圆柱螺线(){}bt t b t a t r ,sin ,cos =()0>>b a 的曲率和挠率.解 直接计算到22b a r +=' ,22b a a r r +=''⨯' ()b a r r r 2,,=''''''代入曲率和挠率的计算公式立即得2222,a bk a b a b τ==++ 由此可见圆柱螺线的曲率和挠率均为常数,其逆命题也成立,即曲率和挠率均为非零常数的曲线一定是圆柱螺线.例3 求曲线(){}t t t t r 233cos ,sin ,cos =的曲率和挠率，这里02t π<<.解 直接计算得到()t t r 2sin 25=',可见t 不是弧长参数,所以将()t r ' 单位化后得到 ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=''=54,sin 53,cos 53t t t r t rα而{}0,cos ,sin t t dsdt dtda ds dtdtdar r ====ααβ 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⨯=53sin,54,cos 54t βαγ于是曲线的曲率625sin 2dada da dt dt k dr ds dt ds t dt ==⋅==为了计算挠率,由定义βλτ ⋅-=ds d ，而dsdt ds r d ds r d ⋅=,故 dtr d dt r d βτ-=简单计算得曲线的挠率825sin 2tτ=-说明:本题可像例2直接利用公式求曲率和挠率,但有一定的计算量,如果曲线的赂量式比较复杂,这里介绍的方法比较稳妥.4. 曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性4.1 曲率和挠率关于刚性运动的不变性所谓刚性运动是指3R 中的平移,或旋转,或平移与旋转的合成,祥言之,设33:f R R →是一个刚性运动（简称运动）,意指存在一个向量()321,,b b b b =和一个正交矩阵A （即t A A ⋅=单位矩阵,这里tA 表示A 的转置矩阵）,使得对任意3(,,)A x y z R ⋅∈,有(,,)(,,)f x y z x y z A b =+曲率和挠率关于刚性运动的不变性是指当曲线C 经过3R 中的一个运动变为C 时,C 和C 上对应点的曲率和挠率皆相等.设曲线C 的自然参数表示是()r s ,并设曲线C 经过运动f 变为典线C ,那么C 有参赞数表示()r s ,使得()(())()r s f r s r s A b ==⋅+于是()()dr drs s A ds ds=⋅ 从而2()()d r drs s A ds ds=⋅()()tdr dr s A s A ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()ttt dr dr dr dr s A A s s s ds ds ds ds ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2()1dr s A ds=⋅= 故s 也是曲线()r s 的弧长参数.C 与C 的上述参数表达式()r s 和()r s 有一个特点,那就是()(())r s r s =这表明:若0P 是C 上的点,它经过f 变为C 上的点0P ,则0P 与0P 有相同的参数值,即00()()s P d P =设曲线()r rs 的曲率和挠率分别为k 和τ,曲线()r r s =上相应的曲率和挠率分别为k 和τ,则因22332233,,,dr drd r d rd r d rA A A ds dsds ds ds ds=⋅=⋅=⋅同时注意一det 1A =,我们有22332233,,dr drd r d rd r d rds dsds ds ds ds===从而由曲率的计算公式,我们有2222()d r d rk s A ds ds ==⋅22()d rk s ds == 这表明曲率在运动f 下不变.再由挠率的确良计算公式,结合上述讨论及解析几何中关于混合积的几何意义,我们得到:23232,,()()d r d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎣⎦[]23232,,()dr d r d r A A A ds ds ds k s ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=[]23232,,()()dr d r d r ds ds ds s k s τ⎛⎫ ⎪⎝⎭== 这表明挠率在运动f 下不变,至此我们证明了曲率和挠率皆是运动不变量.4.2 曲率和挠率关于参数变换的不变性设曲线C 的一般参数议程为(),()r r t t t t ==是任一容许的参数变换,由复合函数的链式求异法则,容易验验证2222222,,dr dr dt d rd r dt dr d r dt dt dt dt dt dt dt dt⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 333223323323,d rd r dt d r dt d t dt d tdt dt dt dt dt dtdt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 将以上三式代入曲率和挠率的计算公式,就可得到()(()),()(())k t k t t t t t ττ==这表明曲线在容许的参数变换下,对应点的曲率和挠率都不变,即曲率和挠率都是参数变换下的不变量.结束语以上所述即是根据曲率与挠率的计算公式进行实例分析.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之。
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率1. 引言空间曲线是三维空间中的一条路径，而为了全面理解空间曲线的性质与行为，我们需要深入研究其曲率和挠率。
曲率和挠率是描述曲线弯曲和旋转程度的重要量度，它们帮助我们揭示曲线的特性和几何性质。
在本文中，我们将探讨空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率，并详细解释它们的含义和意义。
2. 曲率的定义与计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的量度，它告诉我们曲线在某给定点上的弯曲程度。
我们可以通过计算曲线在该点的切线与曲线的弯曲部分的夹角来得到曲率值。
具体而言，曲率的定义为：在某给定点上，曲线上的切线和该点的弯曲部分之间的夹角的余弦值的倒数。
3. 曲率中心轨迹的意义与计算方法曲率中心轨迹是描述曲线所有点处曲率中心连成的轨迹，它告诉我们曲线在不同点上的曲率中心位置和分布情况。
曲率中心轨迹可以通过计算曲线上任意两点的曲率中心连成的线段的中垂线的交点来得到。
这些交点的连接形成了曲率中心轨迹。
4. 挠率的定义与计算方法挠率是描述曲线旋转程度的量度，它告诉我们曲线在某给定点上的旋转程度。
我们可以通过计算曲线在该点的法平面和曲线的弯曲部分之间的夹角来得到挠率值。
具体而言，挠率的定义为：在某给定点上，曲线上的法平面和该点的弯曲部分之间的夹角的正弦值。
5. 曲率与挠率的关系与联系曲率和挠率是描述曲线弯曲和旋转程度的重要量度，它们之间存在重要的关系与联系。
曲率越大，曲线弯曲程度越大；挠率越大，曲线旋转程度越大。
这说明曲率和挠率是同一个几何性质的两个方面，它们共同揭示了曲线的全面特性。
6. 个人观点与理解在我的理解中，空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率是描述曲线行为的重要指标，它们不仅告诉我们曲线的弯曲和旋转程度，还能够揭示曲线的几何性质和特性。
通过深入研究曲率和挠率，我们可以更好地理解曲线的特点，进一步应用于各个领域的问题中。
总结与回顾在本文中，我们全面探讨了空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率。
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式前言空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0k >时为直线,0τ=时为平面曲线.本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet 公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.1. 空间曲线的曲率和挠率的定义1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是(),r r s =其中s 是自然参数，得drdsr ==α是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.由于1=α，则⊥αα，即r r ⊥.在α上取单位向量==αrβαr， (1) β称为曲线()c 上p 点的主法向量.再作单位向量=⨯γαβ，γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.设空间中3c 类曲线()c 的方程为().r r s =曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.我们把空间曲线在p处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p的曲率.定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为()lims k s sϕ∆→∆=∆， 其中s ∆为p点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角. 再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有()k s =α.由于r =α，所以曲率也可表示为()k s r =.由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.现在设曲线()c 上一点p的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).（图一）再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到lims sϕ∆→∆=∆γ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.根据（1）和曲率的定义，我们有()k s ===r ααβrα， 即()k s =αβ. (2) 对=⨯γαβ求微商，有()()k s =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯αβαβαβββαβαβγ，因而⊥αγ.又因为γ是单位向量，所以⊥γγ.由以上两个关系可以推出//γβ. (3) 现在我们给出挠率的定义如下： 定义[]1 曲线()c 在p 点的挠率为：().s τ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩γγβγγβ，当和异向，，当和同向 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度. 介绍了曲率、挠率的定义之后，为了更好的应用曲率和挠率,下面我们来看Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导过程.2. Frenet 公式和曲率、挠率的一般参数表示式的推导2.1 Frenet 公式的推导 根据（3）及挠率的定义有τ=-γβ（s) （4） 另外，对=⨯βγα求微商，并利用（4）和（2），可以推导出()()()()()s k s k s s ττ=⨯=⨯+⨯=-⨯+⨯=-+βγαγαγαβαγβαγ（5）公式（2），（5），（4）称为空间曲线的伏雷内（Frenet ）公式，即()()()()k s k s s s ττ⎧=⎪⎪=-+⎨⎪=-⎪⎩αββαγγβ， 这组公式是空间曲线的基本公式.它的特点是基本向量α、β、γ关于弧长s 的微商可以用α、β、γ的线性组合来表示.它的系数组成反称的方阵()0()0()0()0k s k s s s ττ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭2.2 曲率的一般参数表示式的推导 若给出3c 类的空间曲线()c().r r s =，则有,dr ds ds r r ds dt dt== ，22,222,,222dsd s d r ds d s ds d s r r r r r r dt dt ds dt dt dt dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以232,,,2ds ds d s ds r r r r r r r dt dt dt dt ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯=⨯+=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由上式得3,,,sin ds r r r r dt θ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.注意上式中,1,,dsr r r r dt=⊥=， 因而有3,,,,r r k r ⨯=.由此得到曲率的一般参数表示式,,,3,r r k r⨯=.2.3挠率的一般参数表示式的推导 再由伏雷内公式的（4）式τ=-γβ（s)，两边点乘β得r τ=-βββ，因而()()26,2,,,1111111,,,,k k k k k k k k r r r τ⎛⎫=-==⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯γβγβαβαααααγγγγγγγγγγ再把,dsr rdt=22,,2ds d s r r r dt dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭323,,,233ds ds d s d s r dt dt dt dt ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭γγγ代入(),,,,,,r r r ⨯⨯中得()66,,,,,,,,,,,ds r r r r dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭γγγγγγ，所以得到()(),,,,,,2,,,r r r r r τ⨯⨯=⨯. 这是一般参数表示的挠率计算公式.另外说一下密切圆，曲率中心，曲率半径的定义.空间曲线()c 在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线()c 上一点()P s 的主法线的正侧取线段PC ，使PC 的长为1k ，以C 为圆心，以1k为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线()c 在()P s 点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径（如图二）.（图二）3. 有关曲率、挠率的计算和证明例 1[]1 求圆柱螺线{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ()θ-∞<<+∞的曲率和挠率. 解 由圆柱螺线方程{}cos ,sin ,a a b θθθ=r ，先计算{},sin ,cos ,a a b θθ=-r ,{},,cos ,sin ,0a a θθ=--r ,{},,,sin ,cos ,0a a θθ=-r ,于是有,=r{},,,2sin cos sin ,cos ,,cos sin 0a ab ab ab a a a θθθθθθ⨯=-=---123e e e r r,,,⨯=r r代入曲率和挠率的公式得,,,322,,ak a b ⨯===+r r r()(),,,,,,2222422,,,,,.,ba ba b aa bτ===++r r r r r 由以上可以看出，圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.例 2[]1 证明曲率恒等于零的曲线是直线. 证明 已知0,k =≡r因而,=r 0由此得到 =r a（常向量）. 再积分即得 ,s =+r a b 其中b 也是常向量.这是一条直线的参数方程.例 3[]1 证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线. 证明 若0,τ≡则γ是固定向量，但是我们已知0,=αγ因而有0,=r γ积分后得a =r γ （常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线.以上即为有关曲率、挠率的计算和证明，充分说明了研究空间曲线的曲率、挠率对空间曲线的研究有重要意义.结语:空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的重要部分.其中Frenet公式是微分几何空间曲线论的基本公式，是研究空间曲线论的基础，在经典微分几何中占有重要地位，可以由它导出曲线的诸多重要性质和定理.参考文献：[1] 梅向明，黄敬之.微分几何（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.（英文版）Two regulations promulgated for implementation is in the party in power for a long time and the rule of law conditions, the implementation of comprehensive strictly strategic plan, implementation in accordance with the rules and discipline to manage the party, strengthen inner-party supervision of major initiatives. The two regulations supporting each other, the < code > adhere to a positive advocate, focusing on morality is of Party members and Party leading cadres can see, enough to get a high standard; < rule > around the party discipline, disciplinary ruler requirements, listed as "negative list, focusing on vertical gauge, draw the party organizations and Party members do not touch the" bottom line ". Here, the main from four square face two party rules of interpretation: the first part introduces two party Revised regulations the necessity and the revision process; the second part is the interpretation of the two fundamental principles of the revision of laws and regulations in the party; the third part introduces two party regulations modified the main changes and needs to grasp several key problems; the fourth part on how to grasp the implementation of the two regulations of the party. < code > and < Regulations > revised the necessity and revised history of the CPC Central Committee the amendment to the Chinese Communist Party members and leading cadres honest politics several guidelines > and < Chinese Communist Party discipline and Punishment Regulations > column 1 by 2015 to strengthenparty laws and regulations focus. Two party regulations revision work lasted a Y ears, pooling the wisdom of the whole party, ideological consensus, draw historical experience, respect for the wisdom of our predecessors, which reflects the unity of inheritance and innovation; follow the correct direction, grasp the limited goals, adhere to the party's leadership, to solve the masses of the people reflect a focus on the problem. The new revision of the < code > and < rule >, reflects the party's 18 and the eighth session of the third, the spirit of the fourth plenary session, reflecting the experience of studying and implementing the General Secretary Xi Jinping series of important speech, reflects the party's eighteen years comprehensive strictly practice. (a) revised two regulations of the party need of < the ICAC guidelines > in < in 1997 Leaders as members of the Communist Party of China clean politics certain criteria (Trial) > based on revised, the promulgation and implementation of January 2010, to strengthen the construction of the contingent of leading cadres play an important role. But with the party to manage the party strictly administering the deepening, has not been able to fully meet the actual needs. Content is too complicated, "eight prohibition, 52 are not allowed to" hard to remember, and also difficult to put into practice; the second is concisely positive advocated by the lack of prohibited provisions excessive, no autonomy requirements; the third is banned terms and discipline law, both with the party discipline, disciplinary regulationsrepeat and Criminal law and other laws and regulations repeat; the fourth is to "clean" the theme is not prominent, not for the existing problems, and is narrow, only needle of county-level leading cadres above. < rule > is in 1997 < Chinese Communist Party disciplinary cases (Trial) > based on revision, in December 2003 the promulgation and implementation, to strengthen the construction of the party play very important role. Along with the development of the situation, which many provisions have been unable to fully meet the comprehensive strictly administering the practice needs. One is Ji law, more than half of the provisions and criminal law and other countries laws and regulations Repetition; two is the political discipline regulations is not prominent, not specific, for violation of the party constitution, damage the authority of Party Constitution of misconduct lack necessary and serious responsibility to pursue; third is the main discipline for the leading cadres, does not cover all Party members. Based on the above situation, need to < the criterion of a clean and honest administration > and < rule > the two is likely to be more relevant regulations first amendment. By revising, really put the authority of Party discipline, the seriousness in the party tree and call up the majority of Party members and cadres of the party constitution of party compasses party consciousness. (II) two party regulations revision process the Central Committee of the Communist Party of China attaches great importance to two regulations revision . Xi Jinping, general books recorded in the FifthPlenary Session of the eighth session of the Central Commission for Discipline Inspection, on the revised regulations < > made clear instructions. According to the central deployment, the Central Commission for Discipline Inspection from 2014 under six months begin study two regulations revision. The Standing Committee of the Central Commission for Discipline Inspection 4 review revised. Comrade Wang Qishan 14 times held a special meeting to study two regulations revision, amendment clarifies the direction, major issues of principle, path and target, respectively held a forum will listen to part of the province (area) secretary of the Party committee, Secretary of the Discipline Inspection Commission, part of the central ministries and state organs DepartmentThe first party committee is mainly responsible for people, views of experts and scholars and grassroots party organizations and Party members. Approved by the Central Committee of the Communist Party of China, on 7 September 2015, the general office of the Central Committee of the Party issued a notice to solicit the provinces (autonomous regions, municipalities) Party, the central ministries and commissions, state ministries and commissions of the Party (party), the General Political Department of the military, every 3 people organization of Party of two regulations revision opinion. Central Commission for Discipline Inspection of extensive solicitation of opinions, careful study, attracting, formed a revised sent reviewers. In October 8 and October 12, Central Committee PoliticalBureau Standing Committee and the Political Bureau of the Central Committee After consideration of the two regulations revised draft. On October 18, the Central Committee of the Communist Party of China formally issued two regulations. Can say, two laws amendment concentrated the wisdom of the whole party, embodies the party. Second, < code > and < Regulations > revision of the basic principles of two party regulations revision work and implement the party's eighteen, ten eight plenary, the spirit of the Fourth Plenary Session of the Eleventh Central Committee and General Secretary Xi Jinping important instructions on the revised < low political criterion > and < Regulations >, highlighting the ruling party characteristics, serious discipline, the discipline quite in front of the law, based on the current, a long-term, advance as a whole, with Bu Xiuding independent < rule > and < rule >. Main principle is: first, adhere to the party constitution to follow. The constitution about discipline and self-discipline required specific, awaken the party constitution of party compasses party consciousness, maintaining the authority of the constitution. General Secretary Xi Jinping pointed out that "no rules, no side round. Party constitution is the fundamental law, the party must follow the general rules. In early 2015 held the eighth session of the Central Commission for Discipline Inspection Fifth Plenary Session of the 16th Central Committee, Xi Jinping again pointed out that constitution is the party must follow the general rules, but also the general rules." the revisionof the < code > and < rule > is Method in adhere to the regulations established for the purpose of combining rule of virtue is to adhere to the party constitution as a fundamental to follow, the constitution authority set up, wake up the party constitution and party rules the sense of discipline, the party constitution about discipline and self-discipline specific requirements. 4 second is to adhere to in accordance with the regulations governing the party and the party. The Party of rule of virtue "de", mainly refers to the party's ideals and beliefs, excellent traditional style. The revised the < code > closely linked to the "self-discipline", insisting on the positive initiative, for all members, highlight the "vital few", emphasized self-discipline, focusing on the morality, and the majority of Party members and the ideological and moral standards. The revised < > Ji method separately, Ji, Ji Y an to Method, as a "negative list", emphasizing the heteronomy, focusing on vertical gauge. Is this one high and one low, a positive reaction, the strict party discipline and practice results transformation for the integration of the whole party to observe moral and discipline requirements, for the majority of Party members and cadres provides benchmarking and ruler. Third, insist on to. In view of the problems existing in the party at the present stage, the main problems of Party members and cadres in the aspect of self-discipline and abide by the discipline to make clearly defined, especially the party's eighteen years strict political discipline and political rules, organization and discipline andto implement the central eight provisions of the spirit against the four winds and other requirements into Disciplinary provisions. Not one pace reachs the designated position, focusing on in line with reality, pragmatic and effective. After the revision of major changes, major changes in the < code > and < rule > modified and needs to grasp several key problems (a) < code > < code > adhere to according to regulations governing the party and party with morals in combination, for at the present stage, the leadership of the party members and cadres and Party members in existing main problems of self-discipline, put forward principles, requirements and specifications, showing Communists noble moral pursuit, reflected at all times and in all over the world ethics from high from low 5 common requirements. One is closely linked to the "self-discipline", removal and no direct relation to the provisions of . the second is adhere to a positive advocate, "eight prohibition" 52 are not allowed to "about the content of the" negative list moved into synchronization amendment < cases >. Three is for all the party members, will apply object from the leadership of the party members and cadres to expand to all Party members, fully embodies the comprehensive strictly required. The fourth is prominent key minority, seize the leadership of the party members and cadres is the key, and put forward higher requirements than the ordinary Party members. Five is to simplify, and strive to achieve concise, easy to understand, easy to remember. The revised < code > is the ruling Party since the first insists ona positive advocate forAll Party members and the self-discipline norms, moral declaration issued to all members of the party and the National People's solemn commitment. > < criterion of a clean and honest administration consists of 4 parts, 18, more than 3600 words. After the revision of the < code >, a total of eight, 281 words, including lead, specification and Party member cadre clean fingered self-discipline norms, etc. Part 3 members low-cost clean and self-discipline, the main contents can be summarized as "four must" "eight code". Lead part, reiterated on ideal and faith, fundamental purpose, the fine traditions and work style, noble sentiments, such as "four must" the principle of requirements, strong tone of self-discipline, The higher request for 6 and supervised tenet, the foothold in permanent Bao the party's advanced nature and purity, to reflect the revised standards requirements. Members of self-discipline norms around the party members how to correctly treat and deal with the "public and private", "cheap and rot" thrifty and extravagance "bitter music", put forward the "four norms". Party leader cadre clean fingered self-discipline norms for the leadership of the party members and cadres of the "vital few", around the "clean politics", from civil servant of the color, the exercise of power, moral integrity, a good family tradition and other aspects of the leadership of the party members and cadres of the "four norms" < > < norm norm. "The Party member's self-discipline norms" and "party members and leading cadre clean fingered self-discipline norms," atotal of eight, collectively referred to as the "eight". "Four must" and "eight" of the content from the party constitution and Party's several generation of leaders, especially Xi Jinping, general secretary of the important discussion, refer to the "three discipline and eight points for attention" statements, and reference some embody the Chinese nation excellent traditional culture essence of epigrams. (2) the revised regulations, the main changes in the revised Regulations > to fully adapt to the strictly requirements, reflects the according to the regulations governing the law of recognition of deepening, the realization of the discipline construction and Jin Ju. < rule > is party a ruler, members of the basic line and follow. And the majority of Party members and cadres of Party organizations at all levels should adhere to the bottom line of thinking, fear discipline, hold the bottom line, as a preventive measure, to keep the party's advanced nature and purity. 1, respect for the constitution, refinement and discipline. Revised < rule > from comprehensive comb physical constitution began, the party constitution and other regulations of the Party of Party organizations and Party discipline requirements refinement, clearly defined in violation of the party constitution will be in accordance with regulations to give the corresponding disciplinary action. The original 10 categories of misconduct, integration specification for political discipline, discipline, honesty and discipline masses Ji Law and discipline and discipline and other six categories, the content of < rule >real return to Party discipline, for the majority of Party members and listed a "negative list. 7 2, highlighting the political discipline and political rules. > < Regulations according to the stage of the discipline of outstanding performance, emphasizing political discipline and political rules, organization and discipline, in opposition to the party's leadership and the party's basic theory, basic line, basic program and basic experience, the basic requirement of behavior made prescribed punishment, increase the cliques, against the organization such as violation of the provisions, to ensure that the central government decrees and the Party of centralized and unified. 3, adhere to strict discipline in the law and discipline In front, Ji separated. Revised < Regulations > adhere to the problem oriented, do Ji separated. Any national law existing content, will not repeat the provisions, the total removal of 79 and criminal law, repeat the content of the public security management punishment law, and other laws and regulations. In the general reiterated that party organizations and Party members must conscientiously accept the party's discipline, die van comply with national laws and regulations; at the same time, to investigate violations of Party members and even criminal behavior of Party discipline and responsibility, > < Regulations distinguish five different conditions, with special provisions were made provisions, so as to realize the connection of Party discipline and state law. 4, reflect Wind building and anti-corruption struggle of the latest achievements. < rule > the party's eighteen yearsimplement the spirit of the central provisions of the eight, against the requirements of the "four winds" and transformation for disciplinary provisions, reflecting the style construction is always on the road, not a gust of wind. In the fight against corruption out of new problems, increase the trading rights, the use of authority relatives profit and other disciplinary terms. Prominent discipline of the masses, the new against the interests of the masses and ignore the demands of the masses and other disciplinary terms and make provisions of the disposition and the destruction of the party's close ties with the masses.Discipline to protect the party's purpose. 8 of these regulations, a total of three series, Chapter 15, 178, more than 24000 words, after the revision of the regulations a total of 3 series, Chapter 11, 133, 17000 words, divided into "general" and "special provisions" and "Supplementary Provisions" Part 3. Among them, add, delete, modify the provisions of the proportion of up to nearly 90%. 1, the general general is divided into five chapters. The first chapter to the regulations of the guiding ideology, principles and scope of application of the provisions, highlight the strengthening of the party constitution consciousness, maintenance the authority of Party Constitution, increase the party organizations and Party members must abide by the party constitution, Y an Centralized centralized, would examine at all levels of the amended provisions implementing and maintaining Party discipline, and consciously accept the party discipline,exemplary compliance with national laws and regulations. The second chapter of discipline concept, disciplinary action types and effects of the regulations, will be a serious warning from the original a year for a year and a half; increase the Party Congress representative, by leaving the party above (including leave probation) punishment, the party organization should be terminated its representative qualification provisions. The third chapter of the disciplinary rules of use prescribed in the discipline rectifying process, non convergence, not close hand classified as severely or heavier punishment. "Discipline straighten "At least eighteen years of five years, these five years is to pay close attention to the provisions of the central eight implementation and anti -" four winds ". The fourth chapter on suspicion of illegal party disciplinary distinguish five different conditions, with special provisions were made provisions, to achieve effective convergence of Party and country 9 method. < rule > the provisions of Article 27, Party organizations in the disciplinary review found that party members have committed embezzlement, bribery, dereliction of duty dereliction of duty and other criminal law act is suspected of committing a crime shall give cancel party posts, probation or expelled from the party. The second is < Regulations > Article 28 the provisions of Party organizations in the disciplinary review But found that party members are stipulated in the criminal law, although not involved in a crime shall be investigated for Party discipline and responsibility shouldbe depending on the specific circumstances shall be given a warning until expelled punishment. This situation and a difference is that the former regulation behavior has been suspected of a crime, the feeling is quite strict, and the latter for the behavior not involving crime, only the objective performance of the provisions of the criminal code of behavior, but the plot is a crime to slightly. < Regulations > the 29 provisions, Party organizations in the discipline review found that party members and other illegal behavior, affect the party's image, the damage to the party, the state and the people's interests, we should depend on the situation Seriousness given disciplinary action. The loss of Party members, seriously damaging the party's image of behavior, should be given expelled from the party. At this article is party member is in violation of the criminal law outside the other illegal acts, such as violates the public security administration punishment law, customs law, financial laws and regulations behavior. The fourth is < cases > Article 32 stipulates, minor party members and the circumstances of the crime, the people's Procuratorate shall make a decision not to initiate a prosecution, or the people's court shall make a conviction and exempted from criminal punishment shall be given within the party is removed from his post, probation or expelled from the party. Party members and crime, sheets were fined in accordance with For acts; the principal Ordinance amended the provisions of the preceding paragraph. This is the new content, in order to achieve Ji method effectiveconvergence. Five is < > the thirty third article 10 of the provisions, the Party member due to an intentional crime is sentenced to criminal law (including probation) sheets or additional deprivation of political rights; due to negligence crime and was sentenced to three years or more (excluding three years) a penalty, shall give expelled punishment. Due to negligence crime is convicted and sentenced to three years (including three years) in prison or be sentenced to public surveillance, detention, shall in general be expelled from the party. For the individual may not be expelled from the party, should control Approval. This is followed and retained the original > < Regulations the provisions of punishment party authorization rules and report to a level party organizations. For is "party members with criminal acts, and by the criminal punishment, generally should be expelled from the party". The fifth chapter of probationary Party member of the discipline and discipline after missing members of the treatment and punishment decisions, such as the implementation of the provisions, clear the related party discipline and punishment decision made after, for duties, wages and other relevant alteration formalities for the longest time. 2, sub sub section will the original regulations of10 categories of acts of violation of discipline integration revised into 6 categories, respectively, in violation of the punishments for acts of political discipline "in violation of discipline behavior of punishment" in violation of integrity of disciplinary action points "of violation punishments for acts。
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率
【微积分讲解】曲线的曲率与挠率在微积分学的课程中，我们学到了很多的曲线和曲面之间的关系，其中包括曲率和挠率。
曲率是指在一点处曲线的曲率大小，是表示曲线弯曲程度大小的一种度量方法，而挠率则是曲线在空间内扭动的程度大小。
在本篇文章中，我们将会介绍曲线的曲率和挠率是如何计算的，以及它们之间的关系究竟是怎样的。
一、曲线的曲率曲线的曲率是指曲线在某一个点处的弯曲程度。
在二维空间中的曲线，其曲率是根据曲线长度和弯曲程度的比例来计算的。
假设一个平面曲线被表示为y=f(x)，那么曲线在x=a处的曲率公式可以表示为：$$k = \frac{|f''(a)|}{(1+f'(a)^2)^{3/2}}$$在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数。
可以理解为，曲率大小是曲线在该点附近沿着弧线方向依照曲率半径所构成的圆弧的半径，曲率计量的曲线弯曲程度大小越大，曲率值就越大。
这里就以二维曲线的形态来解释。
在三维空间中的曲线，要计算曲率就更加复杂了。
但是对于一个是参数方程表示的曲线，我们可以使用公式：其中，r(t)是曲线的参数方程表示，r'(t)是曲线在t时刻的一阶导数，r''(t)是曲线在t时刻的二阶导数。
相比于二维平面曲线，这个公式在计算时要用到向量积，稍稍有点麻烦。
在此公式中，f''(a)是f(x)的二阶导数，f'(a)是f(x)的一阶导数，也就是说，挠率用的还是曲线的一阶和二阶导数。
表明了曲面在某一点位置时，其纵向（方向型）与形状（弯曲型）的关系度量，挠率值越大，其形状耐扭曲能力就越弱。
对于三维空间中的曲线，它的挠率比较复杂，可以使用公式：$$t = \frac{(r'(t)\times r''(t))\cdot r'''(t)}{|r'(t)\times r''(t)|^2}$$三、曲率和挠率的关系曲率和挠率都是可以概念化地来度量曲线的性质，但是它们各自的意义是不同的。
曲线的曲率和挠率
曲线的曲率和挠率【原创版】目录一、引言二、曲线的曲率和挠率的定义与概念1.曲率的定义2.挠率的定义三、曲线的曲率和挠率的计算方法1.曲率的计算方法2.挠率的计算方法四、曲线的曲率和挠率在刚体运动下的不变性五、结论正文一、引言曲线是数学和物理学中的一个重要概念，它在许多自然现象和人为构造中都有广泛的应用。
在研究曲线的运动和变形过程中，我们需要了解曲线的一些基本性质，如曲率和挠率。
本文将从这两个方面对曲线进行详细的介绍和讨论。
二、曲线的曲率和挠率的定义与概念1.曲率的定义曲率是描述曲线在某一点处弯曲程度的物理量。
对于平面曲线，曲率可以用以下公式表示：α = (r_x^2 + r_y^2)^(3/2) / (r_x r_y)其中，r_x 和 r_y 分别是曲线在 x 和 y 方向上的曲率半径。
对于空间曲线，曲率的计算公式更为复杂。
曲率越大，表示曲线在某一点处弯曲越剧烈。
2.挠率的定义挠率是描述曲线在某一点处扭曲程度的物理量。
对于平面曲线，挠率可以用以下公式表示：k = |r_x r_y| / (r_x^2 + r_y^2)^(3/2)其中，r_x 和 r_y 分别是曲线在 x 和 y 方向上的曲率半径。
对于空间曲线，挠率的计算公式与曲率类似。
挠率越大，表示曲线在某一点处扭曲越剧烈。
三、曲线的曲率和挠率的计算方法1.曲率的计算方法曲线的曲率可以通过求导曲线的参数方程得到。
设曲线的参数方程为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)则曲线在某一点处的曲率为：α = |r_x(t) r_y(t) r_z(t)|^(3/2) / sqrt[(r_x(t)^2 + r_y(t)^2 + r_z(t)^2)^3 - (r_x(t) r_y(t) r_z(t))^6]2.挠率的计算方法曲线的挠率可以通过求导曲线的参数方程得到。
设曲线的参数方程为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)则曲线在某一点处的挠率为：k = |r_x(t) r_y(t) r_z(t)| / sqrt[(r_x(t)^2 + r_y(t)^2 +r_z(t)^2)^3 - (r_x(t) r_y(t) r_z(t))^6]四、曲线的曲率和挠率在刚体运动下的不变性在刚体运动中，曲线的曲率和挠率是不变的。
曲率和挠率对空间曲线形状的影响要点
曲率和挠率对空间曲线形状的影响摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的 曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。
本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究. 给出了常曲率和挠率的空间曲线特性• 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定 •而当一个空间曲线的曲 率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于 对空间曲线这部分内容的掌握和理解•一曲率的概念和几何意义1曲率的概念我们首先研究空间曲线的曲率的概念。
在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同。
例如半径较大的圆弯曲程度较小， 而半径较小 的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时， 曲线弯曲的程度变大。
为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。
要从直观的基础上引出曲率的确切的定义， 我们首先注意到，曲线弯曲的程 度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。
所以作为曲线在已知 线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在 P,Q间切向量关于弧长的平均旋转角。
图1-1设空间中c3类曲线（c）的方程为曲线（C）上一点P,其自然参数为S,另一邻近点p i,其自然参数为S + A S。
在P, P1两点各作曲线（c）的单位切向量*is和〉s •厶s。
两个切向量间的夹角是丄（图1-3），也就是把点p的切向量〉s平移到点P后，两个向量〉s 和:：i is： =s的夹角为「。
图1-3定义空间曲线（C）在P点的曲率为3豐忑，其中厶S为P点及其邻近点p间的弧长，二!'为曲线在点P和p」勺的切向量的夹角。
2曲率的几何意义利用“一个单位变向量"（（即卩（t）| = 1）的微商的模A '（t）的几何意义是丫（t）对于t的旋转速度”。
把这个结果应用到空间曲线（C）的切向量〉上去，则有'■ s 八。
曲率与挠率的关系及其应用
2 (- κ β) = - κ β, 于是 β( s) = - β( s) , 进而 对该式两边关于 s 求导 , 得κ( s)β = ε
_
_
_
_
_
_
_ γ( s) = α( s) × β( s) = ε γ ×( - β( s) ) = ε α ( s) . _ _ _ τ ( ) κ _ κ β( s) d s = ε s d s β( s) = 1 κ β( s) . 于 再对该式两边关于 s 求导 , 可得 - τ( s)β( s) = ε κ λ τ ( ) λ τ ( ) d s ds s s 1 1 κ ( s) = φ( s)κ, 是τ( s) = . 由于 s 是 s 的函数 , 故τ( s) = τ( s ( s) ) = τ( s) , 令 φ( s) = , 则τ λ τ( s) λ τ( s) 1 因此对于 Γ , 满足τ( t) = φ( t)κ( t) 的 φ( s) = , 其中τ是 Γ 的侣线 Γ 的挠率 , 而λ是常数 . λ τ( s) 3 公式τ( t) = φ( t)κ( t) 的应用 命题 2 一条非直线的曲线Γ ∶_ r = _ r ( t) 成为平面曲线的充要条件是Γ 的曲率和挠率所满足 的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( t) = 0 . 证明 必要性 :因Γ是非直线的平面曲线 , 故τ( t) = 0 ,κ( t) ≠0 , 于是由关系式可知φ( t) = 0 . 充分性 :因关系式中的 φ( t) = 0 , 故τ( t) = 0 , 这说明曲线Γ 是平面曲线 . 命题 3 一条曲线Γ ∶_ r = _ r ( s) ( 其中 s 为自然参数) 成为圆的充要条件是Γ 的曲率和挠率所 满足的关系式τ( t) = φ( t)κ( t) 中的函数 φ( s) = 0 且κ = C ( 其中 C 为非零常数) . 证明 必要性 :设曲线Γ为圆 , 于是Γ 的方程可写为 _ r ( s) = { aco s s , asin s , 0} ( 其中 a > 0 为常 1 数且 s 为自然参数) . 经计算圆的曲率和挠率分别为κ( s) = = C 和τ( s) = 0 , 于是满足相应关系
曲率与挠率
2t
.
为了计算挠率,
由定义 τ
=
−
dγ ds
·β,
而
dγ ds
=
dγ dt
·
dt ds
,
故
τ
=
−
dγ dt
·
dr
β
.
dt
简单计算得曲线的挠率
τ
=
25
8 sin
2t
.
说明: 本题可像例 2 直接利用公式求曲率和挠率, 但有一定的计算量, 如果曲线的向量 式比较复杂, 这里介绍的方法比较稳妥.
23
愈小. 这些事实的几何直观是不言而语的.
Question 4 若椭圆 C 位于 R3 中任意非坐标平面的平面内时, 情况会如何?
Question 5 求平面曲线 F (x, y) = 0 的曲率, 这里 Fx2 + Fy2 = 0. 【例2 】 求圆柱螺线 r(t) = {a cos t, a sin t, bt} 的曲率和挠率, 这里 a, b > 0.
3. 平面曲线的特征 定理 3.3 曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率 τ (s) ≡ 0. 证明 (⇒) 若曲线 C : r = r(s) 为平面曲线, 则 γ 为常矢量, 于是
τ (s) = −γ˙ · β ≡ 0.
18
(⇐) 由于 τ (s) ≡ 0 , 即 γ˙ · β = 0 , 而 γ˙ 共线于 β , 所以 γ˙ (s) ≡ 0 或 γ(s) 为常矢量, 于是可
直接验证
d(r·γ ds
)
=
0,
即
r · γ = p (常数),
这说明曲线 C 上的点满足一平面的方程, 即 C 为平面曲线.
空间曲线的曲率和挠率
空间曲线的曲率和挠率在复杂的几何图形中，空间曲线是一种重要的概念。
它在从二维几何图形到三维几何图形的转换中发挥重要作用。
空间曲线不仅包含折线和曲线，还包括曲面和曲线的交点，所以它比折线和曲线更复杂。
空间曲线的曲率和挠率是它的重要性质之一，可以用来描述曲线的曲率，并且是几何图形中重要的参数。
空间曲线的曲率是指曲线上任意一点所处于的曲线段上，曲线段的半径，它表示曲线的内曲率和外曲率。
一条曲率大的曲线，半径就小，曲率就小，反之，曲率就大。
曲率是曲线的一个基本特性，是这条曲线的几何性质的测量，用以反映曲线的实际变化程度。
挠率是曲线的另一种性质，也是曲线的重要参数，它与曲率的关系也很密切。
曲线上一点移动时，曲率在其周围受到改变，这种改变就是挠率。
挠率可以用来分析曲面的变形情况，以及曲线上每个点单点计算曲率的变化程度。
空间曲线的曲率和挠率在数学中是广泛应用的概念，在几何图形中，它们发挥着重要作用。
可以利用这些参数来表示曲线的曲率，分析曲面的变形情况，从而提供曲线形状的重要依据。
此外，曲率和挠率还可以用来求解曲面的曲率，以及求解曲面的曲率变化程度。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法也不同，一般情况下，首先要确定曲线的方程，根据形式的不同分别采用不同的方法来求解曲率和挠率。
例如，如果曲线方程是抛物线，可以直接求解曲率和挠率；如果曲线方程是椭圆，可以通过偏微分求解曲率和挠率；如果曲线方程是曲面，可以通过特征线求解曲率和挠率。
空间曲线的曲率和挠率是复杂几何图形中重要的参数，可以用来表示曲线的曲率，从而提供曲面形状的依据。
空间曲线的曲率和挠率求取的方法不同，要根据实际情况确定曲线或曲面的方程，然后采用不同的方法求解曲率和挠率。
这些概念在几何图形中具有重要意义，应用非常广泛，可以作为几何图形研究的重要参考依据。
曲线的曲率和挠率
曲线的曲率和挠率
曲线的曲率和挠率是两个重要的概念，它们描述了曲线的弯曲程度和扭曲程度。
曲率是描述曲线在某一点的弯曲程度的量。
对于平面曲线，曲率通常用主法向量来定义。
主法向量是在曲线上取一小段，然后找到这段曲线在该点的切线方向，而主法向量就是这个切线方向的垂直方向。
如果将这个主法向量进行归一化，就得到了曲率向量。
曲率向量的模就是曲率。
对于三维曲线，曲率向量会更为复杂，需要用更复杂的线性代数来描述，例如一般的黎曼曲率张量。
挠率是描述曲线在某一点的扭曲程度的量。
挠率与曲线的切线和垂直于切线的方向有关。
如果曲线在某一点的切线方向和垂直于切线的方向发生变化，那么我们就说曲线在该点发生了扭曲。
挠率的绝对值是副法线方向对于弧长的转动率，表示曲线扭曲。
挠率大于0表示曲线为右旋空间曲线，等于0表示为平面曲线，小于0表示为左旋空间曲线。
对于一条平面曲线，主法向量是在平面上，与切向量垂直。
次法向量等于切向量叉乘主法向量，与平面垂直。
由于平面曲线的次法向量处处与平面垂直，所以平面曲线挠率处处为零，也就是说，它不发生扭曲。
而对于三维曲线，某一点曲率，挠率都不为零，同时发生弯曲和扭曲。
曲线的曲率和挠率
曲线的曲率和挠率1. 引言曲线是数学中的基本概念，广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。
曲线的形状可以通过曲率和挠率来描述。
曲率衡量了曲线的弯曲程度，而挠率则衡量了曲线的扭转程度。
本文将介绍曲线的曲率和挠率的定义、性质和计算方法，并探讨它们在实际应用中的重要性。
2. 曲率的定义和性质2.1 曲率的定义曲率是描述曲线弯曲程度的一个量。
对于平面曲线，曲率可以通过曲线上某一点处的切线和曲线的几何性质来定义。
假设曲线在点P处的切线方向为T，曲线上距离点P很近的两个点A和B，它们在切线上的投影分别为A’和B’，则曲率K定义为点P处切线的方向变化率，即：K=limA→P ∠A′PA |A−P|其中，∠A′PA表示角度的度量，|A−P|表示点A到点P的距离。
2.2 曲率的性质曲率具有以下性质：•曲率是标量，没有方向。
•曲率与曲线的参数化方式无关。
•曲率越大，曲线越弯曲；曲率为零时，曲线是直线。
•曲线上不同点处的曲率可以不同。
3. 曲率的计算方法3.1 参数方程下的曲率计算对于参数方程表示的曲线，曲率的计算可以通过求导数来实现。
假设曲线的参数方程为：x=f(t)y=g(t)其中，t是参数。
曲线上某一点处的切线方向向量为：T⃗=drdt=dxdti+dydtj其中，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
曲线的曲率可以通过以下公式计算：K=| dT⃗dt| |r′⃗⃗ |其中，r′⃗⃗ =drdt是曲线的速度向量。
3.2 曲线方程下的曲率计算对于曲线的方程表示，曲率的计算可以通过求导数和求二阶导数来实现。
假设曲线的方程为：y=f(x)曲线上某一点处的切线方程为：y−f(x)=f′(x)(x−x0)其中，f′(x)是曲线在点(x0,f(x0))处的导数。
切线的斜率可以通过求导数来计算。
曲线的曲率可以通过以下公式计算：K=|f″(x)|(1+(f′(x))2)3 2其中，f″(x)是曲线在点(x,f(x))处的二阶导数。
空间曲线的曲率和挠率
文章编号:1006-7353(2003)05-0013(04)-02空间曲线的曲率和挠率傅朝金(湖北师范学院数学系,湖北黄石 435002) 摘要:本文利用极限的方法得到了空间曲率和挠率的几个等价的定义。
关键词:空间曲线;曲率;挠率中图分类号:O 186.11 文献标识码:A 空间曲线的曲率和挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻划了空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度。
一般微分几何教科书都给出了空间曲线的曲率和挠率的定义及其计算公式。
本文利用极限的方法,进一步得到了空间曲线的曲率和挠率的另几种形式的定义。
1.曲率的定义、公式及等价命题1.1曲率的定义与公式定义1 空间曲线Γ:r =r (s )在P (s )点的曲率定义为:κ(s )=lim Δs ※0ΔφΔs =d φd s(1)其中s 为空间曲线的弧长参数,Δs 为曲线Γ上的P (s )点及其邻近点P 1(s +Δs )间的弧长,Δφ为曲线Γ在点P 和P 1的单位切矢α(s )和α(s +Δs )的夹角。
由定义知,曲线Γ在P 点曲率是曲线Γ在P 点单位切矢关于弧长s 的旋转速度,即κ(s )=|﹒α|=|﹒r |(2)由空间曲线的Frenet 公式,又可得到κ(s )=﹒α·β=-α·﹒β(3)若空间曲线Γ的方程为r =r (t ),则得κ(t )=|r ′(t )×r ″(t )||r ′(t )|3(4)其中t 为曲线Γ的一般参数。
1.2曲率的等价命题命题1 设空间曲线Γ∶r =r (s )上点P (s )邻近的点P 1(s +Δs )到曲线Γ在点P 的切线L 的距离为d (P ,L ),则曲线Γ在点P 的曲率κ(s )=lim P 1※P2d (P ,L )|PP 1|2(5)证明 设曲线Γ在点P 的切线L 的方程为ρ=r +λα,由Taylor 公式得d (P ,L )=|PP 1×α|=|(r (s +Δs )-r (s ))×α|=|(αΔs +12κβΔs 2+εΔs 2)×α|=|-12κγ+ε×α|Δs 2,|PP 1|2=|αΔs +ε1Δs |2=|α+ε2|2Δs 2其中α,β,γ为曲线Γ在点P 的基本矢,且lim Δs ※0ε=lim Δs ※0ε1=0,故lim P 1※P 2d (P ,L )|PP 1 |2=lim P 1※P |κr -2ε×α|Δs 2|α+ε1|2Δs 2=κ(s )命题2 设空间曲线Γ∶r =r (s )上点P (s )的邻近两点为P 1(s -Δs )和P 2(s +Δs ),(Δs >0),S ΔPP 1P 2表示ΔΡΡ1P 2的面积,则曲线Γ在点P 的曲率13收稿日期:2003-04-15κ(s)=limΔs※02SΔΡΡ1P2Δs2(6)证明 由Toylor公式得2SΔΡΡ1P2=|PP2×PP1|=|(r(s+Δs) -r(s))×(r(s-Δs)-r(s))| =|(αΔs+12κβΔs2+ε1Δs2) ×(-αΔs+12βΔs2+ε1Δs2)|=|κγ+(α+12κβΔs+ε1Δs)×ε2 +ε1×(-α+12κβΔs)|Δs3其中limΔs※0ε1=limΔs※0ε2=0,故limΔs※02SΔPP1P2Δs3=κ(s)以上两个命题均可作为空间曲线在一点的曲率的定义。
空间曲线的曲率与挠率
空间曲线的曲率与挠率曲线是空间几何中的基本概念之一，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
曲线的曲率和挠率是描述曲线性质的重要指标，它们能够帮助我们理解曲线的形态和性质。
本文将围绕空间曲线的曲率和挠率展开论述，并介绍它们的定义、计算方法以及在实际应用中的意义。
一、曲率的定义和计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的量度，表示了曲线上某一点处曲线的弯曲程度。
计算曲率的一种常用方法是使用切向量和法向量之间的夹角，这种方法即为切向量法。
首先，我们可以定义曲线的切向量为其切线方向的单位向量。
对于参数化曲线 r(u)，其切向量可以通过求导得到：T(u) = r'(u) / ||r'(u)||，其中 r'(u) 表示曲线 r 在参数 u 处的导数。
然后，我们可以定义曲线的法向量为切向量的导数。
对于参数化曲线 r(u)，其法向量可以通过求导得到：N(u) = T'(u) / ||T'(u)||，其中 T'(u)表示曲线 r 在参数 u 处的二阶导数。
最后，我们可以定义曲线的曲率为切向量长度对曲线参数 u 的导数的模：κ(u) = ||T'(u)||。
曲线在某一点处的曲率越大，该点处的曲线弯曲程度就越大。
二、挠率的定义和计算方法挠率是描述曲线扭转程度的量度，表示了曲线上某一点处曲线的扭转程度。
计算挠率的一种常用方法是使用切向量和法向量之间的夹角的导数，这种方法即为导数法。
首先，我们可以定义曲线的切扭型为法向量和切向量之间的夹角：β(u) = arctan(||N(u)|| / ||T(u)||)。
其中，arctan 表示反正切函数。
然后，我们可以定义曲线的挠率为切扭型对曲线参数 u 的导数：τ(u) = dβ(u) / du。
曲线在某一点处的挠率越大，该点处的曲线扭转程度就越大。
三、曲率与挠率的应用意义曲率和挠率是描述曲线性质的重要指标，在实际应用中有着广泛的应用。
空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法
空间曲线的曲率与挠率理解空间曲线的曲率与挠率的计算方法空间曲线的曲率与挠率是数学中关于曲线性质的重要概念，它们可以帮助我们理解曲线在不同点上的弯曲程度以及曲线的扭转情况。
本文将介绍空间曲线的曲率与挠率的概念，并讨论它们的计算方法。
一、空间曲线的曲率空间曲线的曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。
具体而言，曲率可以用曲率圆的半径来表示，即在曲线上某一点处，与曲线相切且与曲线处处相切的所有圆中，半径最小的那个圆的半径就是曲率。
曲率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的曲率，我们需要求得曲率向量k(t)，该向量与切线方向相同，其模长为曲率。
曲率向量的计算公式为：k(t) = | r''(t) | / | r'(t) |其中，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过加减法、乘除法等运算，我们可以得到曲率向量的具体数值。
曲率越大，曲线的弯曲程度就越大；反之，曲率较小则曲线的趋势更为直线。
二、空间曲线的挠率空间曲线的挠率描述了曲线在某一点的扭转情况。
具体而言，挠率是指曲线在某一点的切线方向与曲线法平面法向量的夹角的大小。
挠率的计算方法如下：设空间曲线为C，参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中t表示参数。
为了计算曲线在某一点的挠率，我们需要求得挠率向量v(t)，该向量与法平面法向量相同，其模长为挠率。
挠率向量的计算公式为：v(t) = ( r'(t) × r''(t) ) / | r'(t) |^3其中，×表示叉乘运算，r'(t)表示曲线的切向量，r''(t)表示曲线的二阶导数。
通过叉乘、模长计算等方法，我们可以得到挠率向量的具体数值。
挠率的大小与曲线的扭转程度成正比，挠率越大，曲线的扭转程度就越大。
空间曲线曲率和挠率的介绍
3)由任意两个基本向量所确定的平面
分别叫做: 密切平面： ( R r ) 0 ( R r , , ) 0 法平面：
γ(s) 法平面 C r(s) β(s) 密切平面 α(s) 从切平面 O
( R r ) 0
从切平面： ( R r ) 0
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
其中 a和b 都是常向量，
lim 2)挠率 与曲率类似有 s 0 s r
r k ( s)
( s) (s s)
k (s) , ( )
则
的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。
曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的
弯曲程度。
例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
lim s 0 s
1 R
M s R M
微分几何的应用
理论物理
广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，
空间和时间结合在一起由一个流形描述：不同的 参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的 关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓 Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出 曲率等几何量。 Einstein方程说： 时空的物理量（能量动量张量） 等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。
( r 1, r r ) r r 由此得到曲率的一般参数的表示式 k 3 r
3
3
由 0 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) (( ) ) 1 1 1 ( r r ) [( )r r ] 3 ds r r r r ( r , r , r ) dt 3 2 2 ds d s ds 2 r (r r 2 ) r 6 dt dt dt r (r , r , r ) , , ) ( r r r 可得挠率公式为 2 2 (r r ) (r r )
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率
空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率在几何学中，空间曲线的曲率与挠率是非常重要且有趣的概念。
通过研究曲率和挠率，我们能够更好地理解曲线的形状和性质，从而深入探讨空间曲线的运动规律和变化过程。
本文将从简单到复杂的方式，逐步探讨空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率。
1. 曲率与挠率的定义空间曲线的曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度，是一个标量。
而挠率描述了曲线扭曲的程度，是一个矢量。
在三维空间中，曲线的运动轨迹往往具有复杂的形态，曲率和挠率正是用来描述这种复杂性的重要概念。
2. 曲率与挠率的计算曲率和挠率的计算是非常复杂的数学问题，通常需要运用微分几何学和向量分析的知识来进行推导和计算。
在计算过程中，需要考虑曲线的参数方程、切线和曲率、正切矢量等多个因素，以确定曲线在某一点的曲率和挠率值。
通过精确的数学计算，我们能够准确地理解曲线的形状和特性。
3. 曲率中心轨迹的特性曲率中心轨迹是指在空间曲线上，曲率中心点构成的轨迹。
通过对曲率中心轨迹的研究，我们能够发现曲线的整体特性和变化规律，从而更好地理解曲线的几何性质。
曲率中心轨迹的形状和曲率对于空间曲线的运动和变化有着重要的指导意义。
4. 个人观点和理解对于空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率，我个人认为其深刻地揭示了曲线运动的奥秘和规律，是一项极具挑战性和价值的数学研究。
通过深入研究曲率与挠率，我们可以更好地理解曲线的形状和特性，为曲线的运动和变化提供重要的数学支持和指导。
空间曲线曲率中心轨迹的研究不仅具有学术价值，还对实际问题的探讨和解决具有重要的意义。
总结通过本文对空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率的探讨，我们可以看出这一主题的广度和深度。
曲率与挠率的应用涵盖了微分几何学、向量分析、曲线运动学等多个领域，具有重要的理论和实际意义。
通过不断深入研究和探讨，我们能够更好地理解曲线的运动规律和变化特性，为相关领域的发展和应用提供重要的理论和技术支持。
希望本文能够对读者有所启发，引起对空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率的深入思考和探讨。
用曲率和挠率的关系研究空间曲线的分类
( 2+ 2) 2 令∃ =& + 代入( 2) 得 # = r (s) + ( 2+ 2 1 )2 0
!
1
2 1 )2
0+
&0 ( 11) ( 12)
+
2
)∃ -
( ( 2+
)∃ + ( 2+
3 2 2 )
2 3 )2
令r ∀(s) = r ( s) + !+
!
( 2+ !
则曲面 S 的方程为 # =r ∀(s) + & 0 对(11) 式微分得 r ∀ ∃ ( s) = 2( ) - ( #- # ) (! + ∀ ) ( - )2
! + ∀ ( + 2) 2
2 1
( 3)
( 4) 3 ( 2+ 2) 2 由定义可知, 曲线( C) 为柱面型曲线 ! 曲线( C) 的从可展曲面 (2) 为柱面 !
0 是常向量
∀ ! !
0=
( - )(- ! + ∀ )
! 由(4) 得
0=
0
! - =0
定理 2 设曲线( C) 为任一空间曲线, 、为( C) 的曲率和 挠率, 则曲线( C) 为锥面型曲线的充要条件是: 2( )= 0 (# - # )
W ANG Li- jing (Mathamatics Department, Cangzhou teachers College, Cangzhou 06 100 1, Hebei) Abstract: A new classifying method of space curve is found by way of the classification of developable surface. It is prove that all kinds of curves are characterized by curvature and torsion. There are sufficient conditions for the corresponding type of curves with formulas of the curvature and torsion. K ey words: developable surface; cylinder type curve; cone type curve; tangent surface curve; curvature;torsion [ 责任编辑: 游阳明]
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曲率和挠率对空间曲线形状的影响摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的 曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。
本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究. 给出了常曲率和挠率的空间曲线特性• 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定 •而当一个空间曲线的曲 率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于 对空间曲线这部分内容的掌握和理解•一曲率的概念和几何意义1曲率的概念我们首先研究空间曲线的曲率的概念。
在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同。
例如半径较大的圆弯曲程度较小， 而半径较小 的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时， 曲线弯曲的程度变大。
为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。
要从直观的基础上引出曲率的确切的定义， 我们首先注意到，曲线弯曲的程 度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。
所以作为曲线在已知 线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在 P,Q间切向量关于弧长的平均旋转角。
图1-1设空间中c3类曲线（c）的方程为曲线（C）上一点P,其自然参数为S,另一邻近点p i,其自然参数为S + A S。
在P, P1两点各作曲线（c）的单位切向量*is和〉s •厶s。
两个切向量间的夹角是丄（图1-3），也就是把点p的切向量〉s平移到点P后，两个向量〉s 和:：i is： =s的夹角为「。
图1-3定义空间曲线（C）在P点的曲率为3豐忑，其中厶S为P点及其邻近点p间的弧长，二!'为曲线在点P和p」勺的切向量的夹角。
2曲率的几何意义利用“一个单位变向量"（（即卩（t）| = 1）的微商的模A '（t）的几何意义是丫（t）对于t的旋转速度”。
把这个结果应用到空间曲线（C）的切向量〉上去，则有'■ s 八。
由于「所以曲率也可表示为由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。
当曲线在一点的弯曲程度越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度。
二■挠率的概念和几何意义1挠率的几何意义对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量——挠率。
当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）的位置随着改变（如图1-4），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）。
图1-4现在设曲线（C）上一点P的自然参数为s，另一邻近点Pi的自然参数为s •，在p, p两点各作曲线（c）副法向量s和s。
此两个副法向量的夹角「我们得到此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。
当曲线在一点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大） 副法向量（或密切平面）对于弧长的扭转程度就越大。
因此，我们可以用它来刻 画曲线的扭转程度。
2挠率的定义■ v»根据：==和曲率的定义，我们有H R即s 「■。
对二〉1求微商，有. S 卩' - ■ '，因而*10(又因为是单位向量，所以由以上两个关系可以推出现在我们给出挠率的定义如下： 定义曲线（C ）在P 点的挠率为•:当•和'异向 :•，当•和•同向挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度 三.曲率和 挠率对空间曲线形状的影响1空间曲线形状完全由曲率和挠率决定证明 在 C 3类曲线二s 上取一点 9，在它邻近在取一点 9 =s （图1-5）利用泰勒公式有・ 1 ・・21 •”31a弘+切一迤亠迤侶十护歸心）+护©卄j3s），由于•»r■» • • • 2k ： k k ：k：i-k：二_k 二11k： k所以S o *s - S o 八rs 2k厂 L s2 1-k^ 0 ■ k^0 ■ k^0 0 ■；s3其中；=；1〉0 ； 2 ：0； 3 0，而〉0，：0，0' k。
，* 0 等表示在点s0 的值由上式可得S0 rs - S0 = s 1 - _k02「1 : 0；k°，s2 1 k^ 2 ，s3 - 0 • 6 k。
’ 0「3 0如果在〉0厂0, 0的每一个分量中只取第一项，则有现在取［一S 。
J o，。
为新坐标系，并取So为计算弧长的始点，则有S ）=o,.is=s 。
如果,,为曲线上S o的临近点的新坐标，则有1 2「k o sv 13「= 6^ o s它可以看作在 So点邻近，曲线 ="s 的近似方程。
由此看出，曲线在某 点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状。
即空间曲线的形状完全 由曲率和挠率决定。
2曲率和挠率的取值对空间曲线形状的影响由曲率挠率的定义和几何意义可知，曲率刻画了曲线的弯曲程度，曲率越大， 曲线在某一点的弯曲程度就越大， 反之亦然。
挠率刻画了曲线的扭转程度，挠率 的绝对值越大，曲线在某点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越 大）.上面只讨论了挠率的绝对值对空间曲线的影响， 没有讨论挠率的正负对空间 曲线的影响。
下面就接着讨论挠率的正负对空间曲线的影响。
在基本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状， 来研究挠率的正负对空间曲线的影响。
近似曲线在法平面；=o 上的投影是JE 12尸 13=o ，=?k o s ，二际 o s消去参数s 后有2 "22T o3〜o,-,9ko它是半立方抛物线So*s U s 。
二'：s ：-1 2o + 2ko （A图1-6曲线在从切平面二0上的投影是“1 3=0，； =s，二評o s 消去参数s后，有“1 3=0，=詐0 0S它是立方抛物线图1-7曲线在密切平面.=0上的投影它是抛物线图1-8通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似 形状 从以上分析可以看出，挠率的正负对空间曲线的影响如下：.0 0是曲线由下往上成右旋曲线（图1-8）1 0S n- - + - ++++1 0 > 0sn- - + + +++-图1-9<0是曲线由下往上成右旋曲线（见图1-9)图1-10四■特定空间曲线的曲率■挠率与曲线的形状的关系1. 曲率恒等于零的曲线是直线.证明已知"「三0，因而-0，由此得到（常向量）.再积分即得- s b，其中b也是常向量.这是一条直线的参数方程.2. 挠率恒等于零的曲线是平面曲线.证明若• =0，则是固定向量，但是我们已知:■- • = 0，因而有r * = 0，积分后得r * = a （常数），所以曲线在一个平面上，即曲线是平面曲线. 3•曲率为常数.挠率恒为零的曲线是圆或圆弧•证明设该曲线C的方程为r二r s •曲率为a（a常数且大于零）和挠率恒为零由弗雷内(Frenet )公式建立微分方程组* P = -aa .其中 a=0得两边关于s 求导并应用Frenet 公式，得(5.3.1)令］s =：x(s),y(s),z(s):■代入(5.3.1)则有« 2 * 2 «x (s)= _a xsy (s)= _a ysz (s) =_a给出初值当s=0时，x(s) =1,y(s) =0,z(s) =0。
我们先看方程*» 2 •» 2x (s )- - a x s 即 x (s )a x s = 0这是一个关于实函数x(s)的二阶常系数线性奇次微分方程。
它的特征方程为2丄 2小a =0特征根为r = ai 2= -ai 因此通解为x s 二 ocosas c sinas将初值s=0时，x(s)=1代入有x s = cosas c 2sinasx s = cosas同理ys =asinas 令© =1有y s ip sinas 同理取zs l=0 (这里解不惟一,=s 二s 是C 的三个基本向量且:-s=©二对方程组，由---a 〉 d s2zs我们取一组比较简单的特解）即1 s - ；cosas,sinas,Ol 是特解又因为： (s) = k ：二 a l 二 a'cosas,sin as, 0? 所以 a (s ) = a{[cosas d s j sin as d s, fO d^ {sin as,（为了保证〉s 是单位向量，取积分 Od^O ） 由于〉s =d rs ，因此上式两边积分可以得到ds2 21 1 .cosas sin as = a ai这说明给定曲率为常数a 和挠率恒为零的空间曲线r （s ）在一个半径为-的 a 圆或圆弧•因为它的切向量：•（s ） = "sin as,-cosas,0f 用它和单位基向量 k ={0,0,1}作 积，有-：s (s) ・k(s)二 Min as^cosas,0{ 0,0,1^ = 0这说明r （s ）的切向量与z 轴平行，从这两点很明确地说明曲线r （s ）是半径 为1的圆或圆弧• a4•曲率和挠率都是常数，曲线为圆柱螺线证明 用和前题相同的方法，我们知道，给定曲率为a,，挠率为b 的曲线方程是-a2+ .2 —a • 2+ .2 a[右2 "荷齐b s,応：cosas,0：r s二• sinas d s.—cosa sld s ，Odsii .cosas, sin as, cs a a,（c 为常数）2a a2 $这说明给定曲率为常数a和挠率为常数b的空间曲线r(s)在一个半径为的圆柱面上它的切向量a(s^^ I21 2s in Va + b's, 212 (-cog a2 +b2s)r 212，N a +b va +b Ja +b ‘用它和单位基向量k二｛0,0,1｝作内积，有:(s) *k(s) 口! 1 2 2 1 2 2 1 r , sin a b s，—(—cos.a b s)，2—2 ‘°，01a b a b a b1a2 b2这说明r(s)的切向量与z轴的正向夹定角，从这两点很明确地说明曲线r(s)是半径为2a2的圆柱螺线a +b5.设曲线二s的曲率■ s和挠率• s都不为零，s是弧长参数。
如果该曲线落厂1+'1 d「1 'L(s)ds L(S)J (5.5.0)在一个球面上，则它的曲率和挠率必满足关系式9 2=常数。
证明假定曲线二s落在一个球面上，该球面的球心是0,半径是a,则有关系式‘ 2 2S- 0=a（5.5.1）将上式两边对于S求导，得到:S • S 一0=0，故s - °是曲线的法向量。