截交线作图

立体>> 平面与立体相交2 平面与立体相交在机器零件上经常见到一些立体与平面相交，或立体被平面截去一部分的情况。

这时，立体表面所产生的交线称为截交线。

这个平面称为截平面。

图15是带有截交线立体的例子。

从图中可以看出，截交线既属于截平面，又属于立体表面，因此截交线上的每个点都是截平面和立体表面的公有点。

这些公有点的连线就是截交线。

求截交线的投影，就是求截交线上一系列公有点的投影，并按一定顺序连接成线。

(从本章开始，用来标注不可见点的字母或数字不再加括号)由于立体具有一定的大小和范围，所以截交线一般是封闭的平面图形。

图15 立体表面的截交线2.2 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交，截交线一般是由曲线或曲线与直线组成的封闭的平面图形，当其投影为非圆曲线时，可以利用表面取点的方法求出截交线上一系列点的投影，再连成光滑的曲线。

2.2.1 平面截切圆柱平面截切圆柱时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，有下列三种截交形式(见表1)。

表1平面截切圆柱1）截平面(表中为正平面)平行于圆柱轴线截平面与圆柱面的交线为平行于圆柱轴线的两条平行线，与圆柱的截交线为矩形。

由于截平面为正平面，所以截交线的正面投影反映实形；水平投影和侧面投影分别积聚成直线段。

2）截平面(表中为水平面)垂直于圆柱轴线截交线为圆，其水平投影与圆柱面的水平投影重合，正面投影和侧面投影分别积聚成直线段。

3）截平面(表中为正垂面)倾斜于圆柱轴线. 截交线为椭圆，其正面投影积聚为直线段，水平投影与圆柱面的水平投影重合，侧面投影一般仍为椭圆。

当截平面与圆柱轴线斜交的夹角发生变化时，其侧面投影上椭圆的形状也随之变化；当夹角为45°时，截交线的侧面投影为圆，如图19所示。

图19 截平面倾斜角度对截交线投影的影响【例4】求图20中带切口圆柱的投影。

分析：图20所示的圆柱切口，是由三个截平面组成，截交线也由三部分组成。

其中正垂面倾斜于圆柱轴线，截交线是部分椭圆ⅠⅢⅡ；侧平面平行于圆柱轴线，截交线是两条直线ⅠⅧ、ⅡⅨ；水平面垂直于圆柱轴线，截交线是圆弧ⅧⅨ 。

三个截平面的交线是直线ⅠⅡ、ⅧⅨ。

图20 带切口圆柱的投影作图步骤如下:①画出圆柱的侧面投影图；② 求截交线的正面投影。

由于三个截平面都垂直于正面，所以三部分截交线的正面投影分别为直线段1′3′、1′8′、8′10′；③由于圆柱面的水平投影有积聚性，所以截交线的水平投影积聚在圆上；④求出截交线的侧面投影。

其中椭圆中的1″4″、2″5″两部分为不可见，应该用虚线画出，直线中被圆柱挡住的部分也要画成虚线，其他部分均为可见，用粗实线画出；⑤画出截平面之间的交线的投影。

截平面交线ⅠⅡ、ⅧⅨ的正面投影分别积聚为点；水平投影重合为一条直线，而且不可见，应画成虚线。

侧面投影1″2″不可见，应画成虚线，8″9″与圆弧ⅧⅨ的侧面投影重合；⑥整理投影轮廓线。

由正面投影可知，圆柱被正垂截平面和水平截平面切去一部分，所以侧面投影图中应没有这部分投影轮廓线。

【例5】求图21中圆柱开槽后的投影。

分析：由图21可知，圆柱槽口的截交线是由两个平行于圆柱轴线侧平面P1、P2和一个垂直于圆柱轴线的水平面Q相交而成。

平面P1、P2截圆柱顶面得截交线ⅠⅦ、ⅢⅤ。

截圆柱面的截交线为四条平行于圆柱轴线的直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ、ⅦⅧ。

平面Q截得的截交线为两段圆弧ⅡⅣ、ⅥⅧ。

直线ⅣⅥ、ⅡⅧ分别为截平面Q与P1、P2的交线。

作图步骤如下:①画出圆柱的侧面投影图；图21 圆柱开槽②画出截平面P1、P2与圆柱的截交线的正面投影，即为直线1′2′、7′8′、3′4′、5′6′，截平面Q与圆柱的截交线的正面投影为直线2′4′、6′8′；③画出各截交线的水平投影，顶面上截交线的投影为直线17和直线35；圆柱面上截交线的投影积聚在圆上；④求出各截交线的侧面投影；⑤求截平面之间交线ⅡⅧ、ⅣⅥ的投影。

正面投影积聚成点2′8′、4′6′，水平投影直线28、46分别与直线17、35重合，侧面投影为虚线2″8″和4″6″；⑥整理投影轮廓线。

圆柱切口、开槽、穿孔是机械零件中常见的结构，应熟练地掌握其投影的画法。

图22是空心圆柱被平面截切后的投影，其外圆柱面截交线的画法与例5相同。

内圆柱表面也会产生另一组截交线，画法与外圆柱面截交线画法类似，但要注意它们的可见性，截平面之间的交线被圆柱孔分成两段，所以6″、8″之间不应连线。

2.2.2 平面截切圆锥当截平面与圆锥轴线的相对位置不同时，圆锥表面上便产生不同的截交线，其基本形式有五种(见表2)。

表２圆锥面截交线的基本形式1）当截平面通过圆锥顶点时截交线是过锥顶的两条直线。

连同它与锥底面的交线构成一个三角形；2）当截平面垂直于圆锥轴线时截交线为圆3）当截平面倾斜于圆锥轴线，且θ＞a时. 截交线为椭圆；4）当截平面倾斜于圆锥轴线，且θ＝a时. 截交线为抛物线；5）当截平面平行或倾斜于圆锥轴线时(θ＜a＝. 截交线为双曲线【例6】求图23中正垂面截切圆锥的投影。

分析：由于正垂面倾斜于圆锥轴线，且θ＞a，所以截交线在空间是椭圆，其长轴为ⅠⅡ，短轴为ⅢⅣ。

因截交线属于截平面，而截平面的正面投影有积聚性，所以截交线的正面投影为斜线段，它反映椭圆长轴的实长。

又因为截交线也属于圆锥面，所以可以利用圆锥表面取点的方法（一般点及特殊点），求出椭圆上一系列点的水平和侧面投影，再将同面投影顺序光滑连接，即得截交线水平和侧面投影。

图23 正垂面截切圆锥作图步骤:1) 求完整侧面投影图；2）求截交线上特殊点的侧面投影；①求轮廓线上点。

截交线在圆锥正面投影轮廓线上的点1′、2′的对应水平投影1、2及侧面投影1″、2″可以利用点、线从属关系直接求得。

圆锥侧面投影轮廓线上点5″、6″可以根据5′、6′直接求得，然后再求出水平投影5、6；②求截交线(椭圆)长、短轴的端点。

1′、2′是长轴端点的正面投影，1、2和1″、2″分别是其水平投影和侧面投影。

1′2′的中点(3′4′)是短轴端点的正面投影。

本例中用辅助圆法求得椭圆短轴端点的水平投影3、4和侧面投影3″、4″；3）求截交线上一般位置点的投影利用辅助素线法或辅助圆法，求适当数量的一般位置点的投影，如图中点Ⅶ、Ⅷ的投影是用辅助圆法求得的；4）光滑连线将求得的点的水平投影按1-7-3-5-2-6-4-8-1的顺序光滑连接，并在侧面投影上将各点的侧面投影以同样顺序连接，即得所求截交线的水平投影和侧面投影；5) 整理投影轮廓线圆锥侧面投射轮廓线自Ⅴ、Ⅵ两点以上部分被截平面截去，所以圆锥侧面投影轮廓线的5″、6″以上部分不应画出。

图24所示为侧平面截切圆锥的截交线的作图。

侧平面与圆锥轴线平行，所以截交线为双曲线。

双曲线的正面投影和水平投影分别在侧平面的正面和水平积聚投影上；侧面投影反映实形，作图时用表面取点法求出双曲线的顶点Ⅲ(正面投射轮廓线上点)的侧面投影3″和Ⅰ、Ⅱ两点(截交线上最低点)的侧面投影1″2″，再求出若干一般位置点的投影，例如点Ⅳ、Ⅴ的投影4″、5″。

按1″-4″-3″-5″-2″的顺序连接成光滑曲线，即是截交线的侧面投影。

图24 侧平面截切圆锥【例7】求图25中截切圆锥的投影。

分析：圆锥被三个平面截切，其中一个是垂直于圆锥轴线的水平面，它截圆锥的截交线为圆弧ⅡⅠⅢ ；一个是过锥顶的正垂面，截得的截交线为直线段ⅡⅤ、ⅢⅥ(延长线过锥顶)；另一个是倾斜于圆锥轴线的正垂面，截得的截交线为椭圆弧ⅤⅣⅥ。

ⅡⅢ、ⅤⅥ是三个截平面的交线。

图25 截切圆锥作图步骤:1)求完整侧面投影图；2）求截交线的投影①水平面截圆锥的截交线的投影。

截交线正面投影为直线段1′2′3′，对应水平投影为反映实形的圆弧213，侧面投影为一直线段1″2″3″（该线段两端画到圆锥侧面投影轮廓线)，均可直接画出；②过锥顶正垂面截圆锥的截交线的投影。

其正面投影为2′5′、3′6′，对应的水平投影为25、36和侧面投影２″5″、3″6″；图中Ⅱ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅲ四点是截交线的结合点，在投影图中它们的投影仍是截交线投影的结合点；③正垂面截圆锥的截交线的投影。

其特殊点的投影（ⅣⅤⅥ的投影）；一般点的投影（利用辅助圆法）；截交线的投影；3）求截平面交线的投影；4) 整理投影轮廓线并擦去多余的线。

2.2.3 平面截切球平面与球的截交线是圆，圆的直径大小与截平面到球心的距离有关。

截交线圆的投影与截平面对投影面的相对位置有关。

图26为一水平面截切球，其截交线圆的正面投影和侧面投影分别为直线段，而水平投影反映圆的实形图26 水平面截切球当截平面为某一投影面的垂直面时，则截交线圆在该投影面上投影为直线段，其他两个投影分别为椭圆。

图27是一正垂面截切球，截交线的正面投影为直线段，其长度为截交线圆的直径；截交线圆的水平投影和侧面投影分别为椭圆。

作图步骤如下：图27 正垂面截切球1）求截交线的投影；①求截交线上特殊点的投影。

球面正面投射轮廓线、水平投射轮廓线和侧面投射轮廓线上点的正面投影分别为1′、2′、5′、6′、7′、8′，它们对应的水平和侧面投影可直接求出。

截交线圆的水平和侧面投影都是椭圆，两椭圆的短轴分别为12和1″2″，求出两椭圆的长轴端点，在正面投影上求出1′２′的中点3′4′，利用辅助圆法求出其水平投影3、4和侧面投影3″、4″、3、4和3″、4″分别为两椭圆的长轴；②求一般位置点；在1′2′上再取适当数量的一般点，然后用辅助圆法求出这些点的水平投影和侧面投影；③光滑连线并判别可见生。

将所求各点的水平和侧面投影分别光滑连接，因均可见，故画成粗实线，即得所求截交线的投影；2）整理投影轮廓线。

在各投影中，被截平面切去的那部分的投影轮廓线，不应画出。

2.2.4 一般回转体的截交线母线为任意曲线的回转面称一般回转面，一般回转面与端面围成一般回转体。

【例9】求图29所示的回转体被正平面截切后的投影。

分析：由于截平面的水平投影和侧面投影有积聚性，所以截交线的水平投影为直线段，侧面投影为直线段。

Ⅲ点为侧面投射轮廓线上的点，也是截交线上最高点。

Ⅰ、Ⅱ两点是截交线上的最低点，它们在回转面底圆上。

然后再求出若干一般位置点，并光滑连线，即完成截交线的正面投影作图。

图２9一般回转体的截交线作图步骤:1）求截交线的投影；①求截交线上特殊点的投影。

②求一般位置点；一般点ⅣⅤ和一般点ⅥⅦ；③光滑连线并判别可见性；2）整理投影轮廓线。

2.2.5组合回转体的截交线组合回转体的回转面由几个基本回转面组成。

求组合回转体被截切后的截交线的投影时，必须首先分析组合回转面由哪些基本回转面组成，根据截平面截切各基本回转面的部位确定截交线的形状，然后将各段截交线的投影分别求出，并连接起来就是所求组合回转面的截交线投影。

【例10】求图30中吊环的截交线。