基于高阶统计量方法的ARMA模型功率谱估计在设备故障诊断中的应用

∑ 其中σj 为对角阵
ຫໍສະໝຸດ Baidu
= diag[σ1 , σ2 , …, σM 2 ] 中元素 。
v
i j
=
[
v
(
i
,
j)
,
v(i +1,
j) ,
…,
v(i + p,
j) ] T
而 v ( i , j) 是矩阵 V 的第 i 行 、第 j 列元素 。则 , A R 参数的最小二乘估计由下式给出 :
∧
a ( i) = s - ( p) ( i + 1 ,1) / s - ( p) (1 ,1)
m k , x (τ1 ,τ2 , …,τk - 1)
= 0 ,若 k Ε 3 且为奇数 ≠0 , 若 k Ε 4 且为偶数
收稿日期 :2004205210 作者简介 :姬中华 (19732) ,男 ,河南滑县人 ,郑州大学机械工程学院硕士研究生 。
2004 年 10 月 基于高阶统计量方法的 ARMA 模型功率谱估计在设备故障诊断中的应用
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性质 2 若随机变量{ x ( n) } 和{ y ( n) } 相互独立 ,则 cu m ( x 1 + y1 , x 2 + y2 , …, x k + yk) = cu m ( x 1 , x 2 , …, x k) + cu m ( y1 , y2 , …, yk) 。
性质 3 高阶累积量关于它们的变元是对称的 ,即 cu m ( x 1 , …, x k) = cu m ( x i1 , …, x ik) ,
重要的性质 。
对于一个零均值的平稳随机过程 { x ( n) } ,其累积量有如下的计算式 : cu m 2 x (τ) = E{ x ( n) x ( n + τ) } = R x (τ) cu m 3 x (τ1 ,τ2) = E{ x ( n) x ( n + τ1) x ( n + τ2) } cu m 4 x (τ1 ,τ2 ,τ3) = E{ x ( n) x ( n + τ1) x ( n + τ2) } - R x (τ1) R x (τ2 - τ3) - R x (τ2) R x ·(τ3 - τ1) - R x (τ3) R x (τ1 - τ2)
p
q
∑ ∑ a ( i) x ( n - i) = b ( i) u ( n - i) ( a (0) = b (0) = 1)
(2)
i =0
i =0
u ( n) 是独立同分布 ( I. I. D) 的 、且至少具有一个非零二阶累积量的平稳零均值随机序列 ,其中 :
a ( i) ( i = 0 ,1 ,2 , …, p) , b ( k) ( k = 0 ,1 , …, q)
2 利用高阶统计量对机械故障信号进行功率谱估计
设有一被高斯噪声污染的机械故障信号序列为
y ( n) = x ( n) + w ( n) ( n = 0 ,2 , …, N - 1)
(1)
x ( n) 代表故障信号 , w ( n) 代表高斯有色噪声 。信号 x ( n) 的 ARMA 模型可以表示为 :
为 ARMA ( p , q) 模型的参数 , q , p 为模型阶次 。因为 x ( n) 在被高斯有色噪声污染的信号 y ( n) 中观测 , 需
要排除高斯有色噪声信号 ( w ( n) ) 在 ARMA 模型辨识中的干扰 ,由上述高阶累计量的性质 1 和性质 2 可知
信号 x ( n) , y ( n) , w ( n) 有如下关系 :
cu m ky ( n1 , …, nk - 1) = cu m kx ( n1 , …, nk - 1) + cu m kw ( n1 , …, nk - 1) = cu m kx ( n1 , …, nk - 1) (3)
即观测过程 y ( n) 的高阶累计量与非高斯的故障信号 x ( n) 的高阶累计量等价 。
图 1 原始波形图 Fig. 1 Original Code
利用基于高阶累计量的奇异值分解 - 总体最小二乘法 ( SVD - TL S 算法) [6 ]求出 ARMA 模型中 A R 参
数估计 。为此我们取
M1 Ε q + 1 - p , M2 Ε p , N1 Φ q - p 和 N2 Ε q.
构造 M 2 ( N 2 - N 1 + 1) ×M 2 扩展阶累计量样本矩阵[7 ] :
关键词 : 噪声 ;ARMA ;高阶统计量 ;功率谱估计 中图分类号 : TH 17 文献标识码 : A
在设备故障信号的信号处理中 ,最基本的方法之一便是对离散时间序列进行功率谱估计 。我们常用的 方法大致可以分为非参数化的功率谱估计方法和参数化的功率谱估计方法 。对故障信号进行傅立叶变换是 我们常用的非参数化功率谱估计方法 。但它的频率分辨率受到采样长度的限制 ,在加窗处理后频域会产生 能量泄漏 。经典的 ARMA 模型功率谱估计大多是要求系统的噪声为高斯白噪声 ,模型的判定 、参数的估计 都是基于过程的 2 阶统计量 (如相关函数等) 进行的 。然而 ,在实际应用中 ,由于 2 阶统计量对高斯有色噪声 敏感 ,在复杂的噪声环境中常常不能准确地进行模型辨识和参数估计[3 ] 。因此基于 2 阶统计量的功率谱估 计随着应用对象和环境的复杂化 ,常常会因为高斯有色噪声的干扰 。在功率谱图上出现虚假谱线 。影响了 对设备故障的准确诊断 。
姬中华 , 黄士涛 , 雷文平 , 费致根
(郑州大学机械工程学院 ,河南 郑州 450002)
摘 要 : 为了消除或衰减加在机械故障信号上的有色高斯噪声 ,更好地对信号功率谱进行估计 ,提出了基于高阶统 计量方法的 ARMA 模型功率谱估计方法 。该方法依据是高阶统计量对高斯噪声不敏感的特性 。仿真结 果表明 ,该方法能有效的抑制高斯有色噪声的干扰 。
γ2 e ,γ3 e ,γ4 e均为常数[ 1 ] 。
3 故障信号仿真试验
设一观测故障信号为 :
x ( t) = A sin (2πf 1 t) + B sin (2πf 2 t + φ) + u ( t)
其中 f 1 为基频且归一化后取 f 1 = 0. 1 , f 2 为故障信号且有 f 2 = 2 f 1 = 0. 2 。 u ( t ) 为方差为 0. 5 的高斯有色
噪声 ,由高斯白噪声通过以下 A R 过程产生 :
u ( n) - 1. 058 u ( n - 1) + 0. 81 u ( n - 2) = e ( n) 其中 e ( n) 为零均值高斯白噪声 。观测故障信号的信噪比 ( SN R) 为 3dB 。
对数据采样 256 点后 ,取其前 50 点得到时域原始波形如图 1 。对信号进行傅立叶变换后 ,得到其单边 功率谱如图 2 。基于二阶统计量的功率谱估计如图 3 。基于四阶统计量的功率谱估计如图 4 。
第 22 卷 第 5 期 2004 年 10 月
河 南 科 学
H ENAN
SC I EN C E
Vol122 No.
Oct . 2004
5
文章编号 : 100423918 (2004) 0520608204
基于高阶统计量方法的 ARMA 模型功率谱估计在 设备故障诊断中的应用
其中 , cu m kx 为随机信号的 k 阶累计量 , R x 为{ x ( n) } 的自相关函数 。其主要性质表现为 :
性质 1 若零均值随机过程 { x ( n) } 满足高斯分布 ,则
高阶累积量 :
cu m k , x (τ1 ,τ2 , …,τk - 1) = 0 , k ≥3
高阶矩 :
cu m ( x 1 , …, x k) = 0 由以上性质可以得到如下重要的结论 :高阶累积量在理论上可以完全抑制高斯噪声的影响 ,如果非高斯 信号是在与之独立的加性高斯有色噪声中被观测的话 ,那么观测过程的高阶累积量就只有非高斯信号的高 阶累积量 ,滤掉了其中的高斯噪声 。因而高阶累积量是非高斯信号处理和非高斯过程辨识的重要工具[5 ] 。
(5)
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河 南 科 学 第 22 卷 第 5 期
这里 s - ( p) ( i , 1) 是矩阵 s ( p) 的逆矩阵 s - ( p) 的第 i 行 、第 1 列元素 。
确定 ARMA 过程的 A R 部分参数后 , 可以利用已知的 A R 阶数和 A R 参数 , 由残差时间序列方法确定出 ARMA 过程中的 M A 部分参数 。即用满足 ck～y ( m ,0 , …, 0) ≠0 的最大整数 m 作为 ARMA 模型的 M A 阶 数 。由 C ( q , n) 公式 ,立即可得
自 80 年代以来 ,高阶统计量在信号处理 、控制理论等领域的研究和应用得到了迅速的发展 。由于高阶 统计量具有在有色高斯噪声中提取非高斯信号的能力 ,基于高阶统计量的时间序列分析方法能够在较短的 时间序列中对 ARMA 模型重构 ,而具有鲁棒性好 、精度高的优点[4 ] ,所以基于高阶统计量的功率谱估计可以 很好的解决上述问题 。
1 , n) 确定 。
i ,0)
i=0
有关 ARMA 参数估计的详细过程可参考文献[6 ] , [8 ] 。
由已知的 ARMA 模型参数 ,利用 BBR 公式[9 ]的三阶 、四阶表达式 :
B (ω1 ,ω2) = β3 e H (ω1) H (ω2) H (ω1- 1ω2- 1)
(7)
T (ω1 ,ω2 ,ω3) = β4 e H (ω1) H (ω2) H (ω3) H (ω1- 1ω2- 1ω3- 1)
(8)
其中
q
∑b ( i) exp ( - jωk)
H (ω)
= i=0 p
(ω,ωi , i = 1 ,2 ,3 均为频域参量)
∑a ( i) exp ( - jωk)
i=0
这里 β3e ,β4 e为常数 。而信号的功率谱 Px (ω) 可以由其多谱重构出来 ,其结果最多相差一个常数 。即有 : B x (ω, 0) = (γ3 e/ γ2 e) Px (ω) H (0) T x (ω, 0 , 0) = (γ4 e/ γ2 e) Px (ω) H2 (0)
⁝
⁝
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∧
c kx ( M1 + 2 M2 - 1 , N 2)
…
∧
c kx ( M1 + M 2 , N 2)
∑ 然后计算出矩阵 Ce 的有效阶数 ,即为 A R 阶数估计 p 。并计算其奇异值分解 Ce = U V T 。令
p M2- p
∑∑ S ( p) =
σ2j
v
i j
(
v
i j
)
T
j =1 i =1
∧
c kx ( M1 + M2 - 1 , N 1)
…
∧
c kx ( M1 , N1)
⁝
⁝
⁝
∧
c kx ( M1 + M2 - 1 , N 2)
…
∧
c kx ( M1 , N2)
Ce =
⁝
⁝
⁝
(4)
∧
c kx ( M1 + 2 M2 - 1 , N 1)
…
∧
c kx ( M1 + M 2 , N 1)
p
∑ b ( n) = a ( i) h ( n - i) , n = 1 , …, q
(6)
i =0
直接计算出 M A 参数 。
p
(6) 式中
h ( n) 由
q 切片公式 h ( n)
=
f k ( q , n) f k ( q ,0)
∑a ( i) cky ( q = p=0
p
∑a ( i) cky ( q -
其中 , ( i1 , …, ik) 是 ( i , …, k) 的一种排列 。 性质 4 累积量相对其变元具有可加性 ,即
cu m ( x 0 + y0 , z 1 , …, z k) = cu m ( x 0 , z 1 , …, z k) + cu m ( y0 , z 1 , …, z k) 。 性质 5 如果 k 个随机变量{ x i} ( i = 1 , …, k) 的子集同其它部分独立 ,则
1 高阶统计量的定义及性质
高阶统计量 ,通常指高于 2 阶的统计量 ,一般包括高阶矩 、高阶累积量及其谱 、倒谱和循环累积量 。由于
高阶累积量在理论上可以完全抑制高斯噪声的影响以及其它的一些特性 (而高阶矩却不具备这一性质) ,因
此人们通常更多地利用高阶累积量及其谱作为主要的分析工具 。
关于高阶累积量的详细定义和性质详见文献[1 ][2 ] 。下面简要介绍有关高阶累积量的计算公式和一些